ESTRUCTURA DEL ÁTOMO. MODELOS DE RUTHERFORD Y DE BOHR-SOMMERFELD

Transcripción

1 ESTRUCTURA DEL ÁTOMO. MODELOS DE RUTHERFORD Y DE BOHR-SOMMERFELD D todas las patículas subatómicas lmntals, ay ts qu intsan fundamntalmnt, pus son ncsaias paa constui un modlo atómico satisfactoio. S las dnomina patículas fundamntals y son: Elctón. Potón. Nutón. El lctón s dscub mdiant l studio d los ayos catódicos, cuyas pima conscuncias pmitn dduci qu dicos ayos staban constituidos po acs d patículas muy pquñas, dotadas d gan vlocidad y caga ngativa llgando a stablcs una lación caga / masa paa las patículas constituynts d los ayos catódicos, cuyo valo fu C/kg, A popusta dl físico ingls Stony, s dio a stas patículas l nomb d lctons. Postios studios pmition stablc la caga léctica qu posn, obtniéndos un valo d C. D st valo d la caga y d la lación caga / masa, s dduc la masa dl lctón, qu sulta s d kg, unas 1837 vcs mno qu la masa dl idógno. El potón s dscub mdiant l studio d los dnominados ayos canals, las pimas conscuncias pmitn stablc qu dicos ayos stán constituidos po acs d patículas muy pquñas cagadas positivamnt, cuya caga s simp igual o múltiplo d la dl lctón. A popusta d Rutfod s las dnominó potons. Caga dl potón C, masa kg = kg. Pusto qu los átomos son nutos, s concluy qu ambas patículas son pats intgants d los átomos, xistindo n cada una l mismo númo d potons qu d lctons Paa pod xplica l co d qu los núclos atómicos no s dsintgasn a psa d la nom pulsión lctostática a qu s ncuntan somtidos los potons qu lo foman, Rutfod, postulo la xistncia d una patícula nuta como constituynt sncial d los núclos atómicos. S la dnomino nutón. Dbido a su caáct nuto y, po tanto, imposibl d dtcta mdiant la acción d campos lécticos y magnéticos, la compobación xpimntal d la xistncia dl nutón psntó sias dificultads. Fuon obsvadas po pima vz po l físico ingls Cadwick al studia la acción qu s poduc cuando s bombadan átomos d bilio con patículas α, pocso n l qu s oigina cabono y s dspndn nutons: B+ C n La masa dl nutón s ligamnt supio a la dl potón, Kg A difncia dl potón y dl lctón, los nutons no son stabls; su vida mdia s dl odn d unos 1 8 minutos y s dsintgan dando oign a un potón y a un lctón.

2 Modlo atómico d Rutfod El stablc dos zonas ó pats dnto dl átomo claamnt difnciadas: - El núclo, constituido po potons y nutons, sponsabl d la masa matial y d la caga positiva d átomo. En gnal l númo d nutons psnts n un núclo atómico no simp coincid con l d potons; sindo casi igual n los átomos ligos y muy supio n los psados. La masa matial d un átomo, vin dada po l númo d potons y nutons. Est númo dnominado númo másico A, caactiza a un mismo lmnto o isótopo. - La cotza, constituida po lctons, dond adica la caga léctica ngativa dl átomo. Po s l átomo lécticamnt nuto y tn l potón y l lctón cagas d igual valo, mos d conclui qu l númo d lctons d la cotza a d s igual al númo d potons dl núclo. D st númo, llamado númo atómico Z, dpnd la natualza dl átomo y, po tanto, todas sus popidads químicas y gan pat d las físicas dl lmnto al qu ptnc. Sgún sto podmos conclui qu lmnto químico sá toda sustancia química constituida po átomos qu tinn todos l mismo númo atómico. Isótopos sán atamos d un mismo lmnto químico qu s difncian n l númo másico, s dci, él numo d nutons d sus núclos sán distintos. Cítica al modlo atómico d Rutfod. - Rutfod supon qu los lctons an d gia alddo dl núclo n óbitas ciculas o lípticas, a fin d qu la fuza cntífuga contast a la atacción nucla (modlo plantaio). Esta suposición ncia una dificultad d bas: si l lctón o lctons stán somtidos a una aclación (aclación adial) dbían miti ngía n foma d ondas lctomagnéticas y, d co, s sab qu sto no sucd. Po ota pat, sí l lctón mitia ngía lo aía a costa d su popia ngía cinética, lo qu s taduciía n un accaminto pogsivo al núclo y, n conscuncia un átomo instabl. - Supon nula la masa dl lctón o, dico d ota mana, consida infinita la masa d núclo spcto a la d la cotza. - No consida la posibl intacción d los lctons n la cotza. - No xplica satisfactoiamnt los spctos. Espctos atómicos. Los spctos pudn s: a) D misión b) D absoción - Espctos d misión, s dnominan así a los poducidos po adiacions mitidas po cupos incandscnts. - Espctos d absoción, son los dbidos a la absoción pacial d las adiacions mitidas po un foco luminoso cuando la luz poducida po l atavisa una sustancia n stado gasoso, ya qu todo gas o vapo absob, a cualqui tmpatua, las mismas adiacions qu s capaz d miti si stuvia incandscnt. El co xpimntal d qu cada lmnto químico posa su spcto caactístico pmit supon, qu las longituds d onda d las adiacions mitidas po él stén lacionadas nt sí mdiant alguna xpsión matmática, lo qu, n dfinitiva, vndía a dmosta qu n l átomo solamnt son posibls unos citos stados ngéticos. Balm, studiando l spcto dl idogno, ncontó qu la longitud d onda d las adiacions cospondints a las ayas obsvadas (xpsadas n cm) vnia dada po la xpsión: = R ó = R λ 4 n λ n dond n s un númo nto qu pud adopta los valos 3, 4, 5..., y R s una constant dnominada constant d Rydbg, cuyo valo apoximado s: R = cm 1 al pim mimbo d stas cuacions s l dnomina númo d ondas y s pud psnta po υ 1 = υ λ

3 Aplicando stá cuación a otos tipos d saltos: 1 1 = R n 1 λ 1 n n 1 = numo cuántico pincipal dl stado final n = numo cuántico pincipal dl stado inicial Ampliando a otos lmntos ó ions. 1 = Z 1 1 R n1 n λ La idntificación d las línas d los spctos s pud ac mdiant su longitud d onda, λ, o mdiant su fcuncia ν, y fundamntalmnt po su númo d ondas υ. Las lacions nt stas magnituds son: E = ν c c : E = ν = λ λ υ = númo d ondas n cntímtos λ = longitud d onda n cntímtos ν = fcuncia n sg. 1 c = vlocidad d la luz = m sg. 1 = constant d Planck ( J s) c = λ / T = λ ν

4 Modlo atómico d Bo. Postulados: 1. Los átomos stán constuidos sgún l modlo d Rutfod.. Solo son posibls unas óbitas dtminadas, ciculas, llamadas óbitas stacionaias, n las qu l lctón situado n llas no mit ngía. En dicas óbitas s cumpliía, admás qu l momnto cinético dl lctón, I ω, a d s un múltiplo nto d /π. D acudo con la toía d los quanta d Planck I ω = n π I = momnto d incia dl lctón qu gia spcto al núclo, qu s supon puntual = m ω = vlocidad angula dl lctón = v / = adio d la óbita qu dscib l lctón v = vlocidad linal dl lctón La cuación antio s tansfoma n: m v = n π Lo cual indica qu las óbitas po las qu pud movs l lctón stán cuantizadas. 3. El salto d un lctón dsd una óbita stacionaia d mayo ngía a ota óbita stacionaia d mno ngía da luga a la misión d una adiación lctomagnética (luz), d foma qu l valo d la ngía mitida s simp un fotón o cuanto d luz: Ei E f 1 Ei E f = foton : = c λ Sí E i > E f, l lctón mit ngía. Sí E i < E f, l lctón absob ngía. Tnindo n cunta todo lo antio s pud conclui qu: c Ei E f = ν = λ Aplicación dl modlo d Bo al átomo d idógno. Si s admit qu l átomo d idógno (p + + ) cumpl las lys d la Mcánica clásica, y qu l lctón stá giando alddo dl núclo n una óbita stacionaia cicula, la fuza atactiva d oign lctostático qu jc l núclo sob l lctón abá d s igual a la fuza cntípta qu l obligu a fctua l gio: C oulomb = C ntípta q q v Fcoulomb = K = Fcntipta = m Igualando los valos d ambas fuzas: mv = La ngía qu pos l lctón al sta situado n una óbita stacionaia sá la suma d su ngía cinética (½ mv ) y d su ngía potncial léctica (E p = q V; dond V s l potncial dl campo cado po l núclo a una distancia d él: V = k q/) E c m v = = E total 1 = = E c + E p = : 1 E p = q V = = 1 ( ) =

5 Conscuncias: a) Radios d las óbitas. Tnindo n cunta: m v = n m v = π y dspjando nt las do cuacions l adio d la óbita, s llga a una xpsión paa l adio d la óbita n función d una si d constants: Sustituyndo po sus valos numéicos: = n 4π m = n 0 59 Å Los adios d las distintas óbitas stacionaias stán lacionados nt sí como los cuadados d los númos natuals. A st numo n s l dnomino numo cuántico pincipal. b) Fcuncias d los saltos. Combinando las cuacions d la ngía y dl adio d una óbita, s obtin la ngía d una óbita n función d n. E = 4 π m n Cíticas al modlo atómico d Bo. - Supon qu las óbitas dscitas po l lctón son ciculas. - Consida infinita la masa dl núclo spcto d la dl lctón, cuando n alidad la masa dl núclo dl idogno spcto dl lctón s d 1840 vcs mayo. - No incopoa las toías lativistas a los fnómnos atómicos. - Induc a pnsa qu las difnts sis spctals d los dmás lmntos químicos, incluso d los muy complicados, pudn xpsas po difncia d téminos spctals. El studio d los spctos conduc a la xistncia d divsos nivls ngéticos dnto dl átomo, qu cospondn a los posibls stados d distibución d los lctons n la cotza atómica. Modlo atómico d Bo-Sommfld. Óbitas lípticas. Paa xplica los cos conocidos po los avancs n la spctoscopia, Sommfld modifica los postulados d Bo n los siguints aspctos: - Las óbitas dscitas po los lctons, dnto d cada nivl ngético dfinido po l númo cuántico pincipal n, pudn s ciculas o lípticas, lo qu supon pquñísimas difncias n los stados ngéticos d los lctons. La xcnticidad d la lips vin dtminada po un númo cuántico scundaio, l, qu, a su vz, sñala l subnivl ngético paa cada nivl cuántico, n. - El númo d súbnivls ngéticos xistnts n cada nivl s igual al númo cuántico pincipal, n. En l pim nivl (n = 1) ay un subnivl En l sgundo nivl (n = ) ay dos súbnivls En l tc nivl (n = 3) ay ts súbnivls... - Los valos qu pud toma l númo cuántico scundaio van dsd 0 asta (n 1). El pim subnivl ngético d cada capa o nivl cospond a una óbita cicula; los stant súbnivls psntan óbitas lípticas d xcnticidad ccint. l = 0 Obital s l = 1 Obital p

6 l = Obital d l = 3 Obital f... - Cuando l lctón co una óbita líptica db vaia su vlocidad, d acudo con la ly d las áas. - La ointación n l spacio d las distintas óbitas y su inclinación spcto d un plano d fncia no pud s cualquia, lo qu supon la intoducción d un nuvo númo cuántico, llamado numo cuántico magnético, m l, qu pud toma valos dsd l asta +l, pasando po 0. - Los saltos ngéticos stán condicionados po una si d glas. Po jmplo, solo son posibls aqullos saltos n los qu l numo cuántico magnético pmanc constant ó únicamnt cambia n una unidad ( m = 0 ó ±1). Sis spctals: Si d Lyman. Salto a la óbita n = 1 Si d Balm. Salto a la óbita n = Si d Pascn. Salto a la óbita n = 3 Si d Bactt. Salto a la óbita n = 4 Spin dl lctón. Paa xplica l llamado fcto Zman anómalo (dsdoblamintos d las línas cuando s somtn a futs campos magnéticos), postulaon qu l lctón admás d dscibi una óbita n tono al núclo, gia n tono a sí mismo compotándos como un pquño imán. Al no xisti mas qu dos sntidos d gio posibl, paa dtmina como va a s l gio dl lctón s cuió al llamado númo cuántico d spin, qu sgún s dmostó solo pud toma los valos m s = ±½.

7 Dfcto d masa. Engía d ligadua. S a obsvado xpimntalmnt qu la masa M d un núclo no coincid con la suma d las masas d las patículas nuclas qu lo constituyn, sindo gnalmnt mno. La xplicación d st fnómno, conscuncia d la toía d la Rlatividad, s lativamnt sncilla: cuando s an unido todas las patículas paa foma un núclo, s qu su stado final s más stabl qu l inicial, lo qu supon como conscuncia, una libación d ngía, qu s taduc dé acudo con la cuación d Einstin, n una pdida o dfcto d masa. E = mc² La Engía libada n la fomación d un núclo atómico s dnomina ngía d ligadua o d mpaqutaminto, pudindo dfinis como: la ngía qu ay qu suminista a un núclo atómico paa dscomponlo n sus constituynts lmntals: potons y nutons. Mcánica cuántica. Los pincipios básicos d los qu pat son l dualismo copúsculo-onda, obsvado a pati dl fcto fotoléctico y dl fcto Compton, l pincipio d inctidumb y la toía d los cuantos d Planck. Efcto fotoléctico. Po los datos obsvados n citas xpincias pmition supon qu, bajo la acción d citas adiacions d pquña longitud d onda, los mtals mitn lctons dnominándos a st fnómno fcto fotoléctico. Einstin, basándos n la toía cuántica d Planck llga a da una xpsión paa la vlocidad con qu son mitidos los lctons. Efcto Compton. Supon qu l fotón psnta n su coqu con l lctón un cito compotaminto copuscula (s potado d masa y d ngía) y qu n l fnómno s cumpln los pincipios gnals d la consvación d la ngía y dl momnto linal. Dualismo copúsculo-onda. D Bögli. Todas las patículas lmntals manifista un dualismo copúsculo-onda, llvando su onda asociada. Esta fómula, qu n pincipio s válida paa l caso d la luz (fotons), D Bögli la gnaliza a toda patícula n moviminto. Engía asociada a la masa = m c Engía asociada a la onda = ν Igualando m c = ν λ = m c Pincipio d inctidumb d Hisnbg. Sgún la mcánica clásica, si s conocn la posición y la vlocidad inicials d una patícula podmos pdci con xactitud su nuva posición y vlocidad al cabo d un cito t. Po sto n l mundo micofísico, ya no s posibl. En concto y paa l caso d los lctons, lo único qu podmos supon s qu l lctón sta dnto d un gupo d ondas qu s xtind a una pquña gión dl spacio y qu su posición n un cito instant no pud pdcis con la pcisión dsada. Hisnbg popon l pincipio d inctidumb. Su nunciado gnal s: Simp qu s op con vaiabls conjugadas, l poducto d los os comtidos n la dtminación simultana d ambas vaiabls a d s igual ó mayo qu la constant d Planck. Rfido a las magnituds posición y cantidad d moviminto s taduciía n stos téminos: El poducto d la inctidumb x d las mdidas d las coodnadas d la patícula po la inctidumb p x d la mdida

8 simultana d su cantidad d moviminto a d s igual o mayo qu la constant d Planck. Matmáticamnt: x p x POSTULADOS DE LA MECÁNICA ONDULATORIA El dsaollo d la M.O. (Mcánica ondulatoio) s a co aplicando los antios pincipios mdiant sis postulados. Paa unos objtivos d liga intuitiva iniciación bastan los dos pimos. Pim postulado d la M.O. «El stado d un sistma vin dado po una función, llamada función d stado, qu db s acptabl.» Si mos admitido qu cada patícula llva asociada una onda, tin qu xisti una cuación d sa onda qu la dscibas. En Física lmntal s studian las cuacions d los movimintos ondulatoios, lógico pnsa qu también las ondas asociadas a las patículas podán dscibis mdiant una lación matmática d vaiabls o cuación d ondas. La función d stado s simboliza po la lta giga ψ y dpnd d las coodnadas dl spacio d todas las patículas qu xistan n l sistma, y dl timpo; En l caso dl lctón dl idógno sá (x, y, z, t) po fis a una sola patícula. La condición d acptabl qu apac n la fomulación dl postulado s fi a qu db s unifom, continua y con cuadado intgabl Sgundo postulado d la M.O. «A cada obsvabl dl sistma cospond un opado d la cuación d ondas o función d stado.» S llama obsvabl n M.O. a todo aspcto dl sistma suscptibl d s mdido. Po jmplo, la posición s un obsvabl poqu s pud mdi n un sistma d js; l impulso, mv, poqu la vlocidad y la masa s pudn mdi; la ngía, tc. Intptación física d ψ Es posibl alla las xpsions d ψ, usando l cálculo difncial. Paa l átomo d idógno basta scibi la función V d ngía potncial conocida y aplica l cálculo. No s intnta l dsaollo dl método, po sí ac incapié n un co sopndnt: al intnta obtn la solución d la cuación d Scöding paa l lctón dl idógno, apacn unas condicions matmáticas qu cuantizan la solución. Esto no s nuvo n cálculo, pus s sab qu ay cuacions d sgundo gado qu psntan condicions paa su solución n l campo d los númos als; x²+ mx + 9 = 0, po jmplo, sólo tin solucions paa m 6. Lo intsant n st caso s obsva la coincidncia nt stas condicions y las qu stablcn las óbitas clásicas d Bo y continuados. Al solv la cuación d Scöding apacn unos númos qu cuantizan sus solucions y adquin los mismos valos qu los númos cuánticos conocidos. Es dci, sólo ay solución paa valos natuals d un paámto, n (1,, 3, 4,...); paa cada valo d n xistn valos paa oto, l (0, 1,,..., n - l); Paa cada valo d 1 sólo ay solución paa unos valos d oto paámto matmático, m ( 1,... 0, ). Los nombs d númos cuánticos pincipal, azimutal y magnético s mantinn. Exist una solución d la cuación d ondas paa cada tío d valos, n, 1, m, qu s cospond con las óbitas d la toía d Bo. También sug n la solución d las cuacions d onda l númo cuántico spin, s, cuando qumos dtmina stados spcíficos dl lctón. La solución d la cuación d Scöding llva a las fomas d los distintos obitals dl idogno:

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