Un modelo electromagnético aplicable a los procesos de calentamiento por inducción de piezas mecánicas

Transcripción

1 Un modlo lctomagnético aplicabl a los pocsos d calntaminto po inducción d pizas mcánicas D. Robto Suáz Ántola (D. Sc.) Pofso d Ingniía y Matmática Aplicada Univsidad Católica dl Uuguay 8 d Octub 81- CP116, Montvido, Uuguay suaz@ucu.du.uy Ing. Digo Suáz Bagnasco (M. Sc.) DSB - Ingniía Eléctica y Biomédica Agaciada CP117, Montvido, Uuguay ingdsb@gmail.com Rsumn: El fcto Klvin (fcto pil) s utiliza n l nduciminto supficial poducido po calntaminto po inducción d pizas mcánicas d gomtías compljas, mplando campos lctomagnéticos. El quipo d calntaminto po inducción s compon d una bobina (solnoid d tabajo) y un sistma d alimntación d potncia (con fcuncias compndidas nt 1 y 5 khz sgún la aplicación) qu incluy admás un sistma d acopl al solnoid d tabajo. La caga vista po l sistma d alimntación s quivalnt a un tansfomado. El pimaio cospond a la bobina o bobinas xcitadoas, y la piza d tabajo cospond a un scundaio cotocicuitado. En stas y otas aplicacions técnicas dl fcto Klvin a mnudo s ncsaio s capaz d laciona los spsos d pil locals con las cuvatuas locals d la supfici d los cupos conductos d la lcticidad bajo tataminto témico. Rcintmnt s popuso una fómula analítica cada qu laciona l spso d pil local con l spso d pil paa un cupo conducto d fonta plana y con la cuvatua mdia local d la supfici d la piza (cuvatua d Gmain), n condicions n las qu las coints d dsplazaminto son dspciabls. El popósito d st tabajo s tipl. En pim luga, ofc una dducción cítica d la fómula mncionada paa l caso d un cupo no fomagnético, tnindo n cunta las coints d dsplazaminto. En sgundo luga, aplica la fómula paa l spso d pil local paa dscibi la caga léctica vista po l sistma d alimntación bajo las condicions utilizadas n l nduciminto supficial po inducción. En tc luga, discuti algunas aplicacions d los sultados obtnidos y compaa la fómula analítica apoximada qu pmit stima l spso local dl fcto pil n función d la cuvatua mdia con las solucions lctomagnéticas xactas d Föst paa l caso d cilindos ciculas. Las fomulas dducidas n st tabajo s podían aplica paa stima algunas caactísticas d la caga d intés paa slcciona o disña l sistma d calntaminto, incluyndo la planificación d coidas d simulación digital. Palabas clav: Toía lctomagnética aplicada. Campos d vctos d Poynting. Efcto pil. Gomtía difncial d supficis. Cuvatua mdia (d Gmain). Caln-

2 taminto po inducción. Modlos matmáticos dl tataminto témico d los mtals y las alacions. Abstact: Klvin ffct (Skin ffct) is usd in sufac hadning poducd by induction hating of gas, cam foms, camshafts and oth wok pics of faily complx gomtis, using lctomagntic filds. Th induction hating quipmnt is composd by a coil (wok solnoid) and a pow diving systm (with fquncis btwn 1 and 5 khz dpnding of th nvisagd application) including a coupling systm with th xcitation coils. Th load sn by th diving systm is quivalnt to a tansfom. Th pimay cosponds to th xcitation coil o coil assmbly, and th wok pic cosponds to a shot-cicuitd sconday. In ths and oths tchnical applications of Klvin ffct it is oftn ncssay to b abl to lat local skin dpths with local cuvatus of th sufac of lctically conductiv bodis und thmal tatmnt. It was poposd cntly a closd fom analytical fomula that lats th local skin dpth with th local man cuvatu of th sufac of th body (Gmain s cuvatu) and th skin dpth fo a flat conductiv body, in conditions in which displacmnt cunts can b nglctd. Th pupos of this pap is thfold. Fist, giv a citical divation of th afomntiond analytical fomula fo a non fomagntic body, taking into account displacmnt cunts. Scond, apply th abov mntiond fomula to dscib th lctical load sn by th diving systm in th conditions usd fo sufac hadning. Thid, to discuss som applications of th obtaind sults and mak a compaison of th appoximat analytical fomula fo th local skin dpth and th xact lctomagntic solutions obtaind by Föst in th cas of cicula cylinds. Th fomula givn h could b applid to asss som chaactistics of th load that may b of intst in th choic o dsign of th diving systm, including th planning of digital simulations using complx comput cods. Ky wods: Applid lctomagntic thoy. Poynting vcto filds. Skin ffct. Diffntial gomty of sufacs. Man cuvatu (Gmain s cuvatu). Induction hating. Mathmatical modls of hat tatmnt of mtals and alloys. (1) Intoducción El calntaminto po inducción s un método d calntaminto sin contacto. Una piza mcánica conductoa d la lcticidad s coloca n l campo magnético altno poducido po una bobina o un conjunto d bobinas. El campo altno poduc, po inducción lctomagnética, coints d Foucault n l matial. Como sultado dl fcto Joul, l matial s calinta. En los mtals fosos s añad un calntaminto po pédidas d histésis, po st fcto s po lo gnal bastant mno qu l poducido po las coints d Foucault. Las dnsidads d coints inducidas y l calntaminto concomitant no son unifoms. La dnsidad d coint s máxima n la supfici d la piza qu s ncunta más póxima a los conductos d la bobina. Como la dnsidad local d poducción d potncia témica s popocional al cuadado d la dnsidad local

3 d coint léctica, l fcto d calntaminto local s también no unifom. Si la fcuncia dl campo magnético altno s lo bastant lvada, las coints lécticas inducidas s dsaollan n una capa dlgada adyacnt a la supfici d la piza ants mncionada. Ést s l fcto pil, plicula o Klvin. S utiliza n la industia paa l nduciminto d supficis d pizas mcánicas, paa soldadua y paa otos pocsos d tataminto témico ([5], [1], [11]). La Fig.1 psnta un squma simplificado d un nganaj (piza a s calntada po inducción) y l solnoid xcitado. Fig.1 Una psntación simplificada d la bobina y d la piza a s tatada. S indican las coints totals n la bobina y n la piza. La pofundidad d pntación d las coints inducidas s pud caactiza mdiant l dnominado spso d pil (o spso d fcto Klvin). Ést s una función d la fcuncia dl campo, d las popidads físicas y d la gomtía d la piza tatada ([5], [1]). En los pocsos d nduciminto supficial l matial s tatado duant algunos sgundos. Duant las pimas tapas dl pocso, l calo s ncunta confinado n una capa cuyo spso s dl odn dl spso d pil. El áa calntada s ntoncs nfiada muy ápidamnt (n agua tatada o acits), d tal foma qu s obtin un nduciminto supficial mintas qu la masa intio dl matial pmanc dúctil. La distibución dl calo poducido n l cupo pud contolas ajustando la fcuncia dl campo magnético altno y su duación. En gnal, s utilizan fcuncias compndidas nt 1kHz y 5kHz, sgún l popósito, dsd l calntaminto masivo a fcuncias bajas hasta l calntaminto supficial a fcuncias lvadas. Paa fcuncias no dmasiado lvadas (dl odn d las dcnas d khz), l cicuito d caga visto po la funt d potncia s quivalnt a un tansfomado

4 cotocicuitado. El pimaio cospond a la bobina d xcitación o al conjunto d tals bobinas. La piza a s tatada pud considas como un scundaio cotocicuitado, l cual vaía d una piza a ota. La impdancia d st tansfomado cotocicuitado dpnd d la gomtía y d las popidads físicas d la piza, d la fcuncia d opación, y d la gomtía y númo d vultas d las bobinas. Duant la slcción o l disño d un sistma paa calntaminto po inducción dstinado a s aplicado n pocsos d nduciminto supficial, los paámtos dl pocso (pofundidad dl fcto Klvin, tmpatuas qu dbn s alcanzadas, y duación dl calntaminto, nt otos) imponn sticcions tanto sob las bobinas como sob la lctónica d potncia. En l nduciminto supficial y n otas aplicacions técnicas dl fcto Klvin, a mnudo s ncsaio laciona las vaiacions dl spso d pil al pasa d un luga a oto, con vaiacions n las cuvatuas d la supfici dl cupo calntado, con la fcuncia d xcitación y con las vaiacions n la conductividad y n las popidads magnéticas acopladas con los fctos témicos. Una dscipción complta d los poblmas plantados po stos métodos pud hallas n la fncia [1]. El popósito d st tabajo s tipl. Pimo, gnaliza paa l caso d cupos no fomagnéticos la cint dducción d una xpsión analítica ([14]) qu vincula l spso local d fcto pil con la cuvatua mdia local y con l bin conocido spso d fcto pil cospondint a un cupo conducto cuya fonta s plana. Sgundo, aplica la fomula obtnida paa dscibi la impdancia d caga qu db s conducida po l quipo d calntaminto po inducción, n las condicions usuals asociadas al nduciminto supficial d nganajs y otas pizas mcánicas d gomtías lativamnt compljas. Tco, compaa la fómula analítica obtnida con las clásicas solucions lctomagnéticas xactas d Föst paa l caso d cilindos ciculas. () Una fómula qu laciona l spso dl fcto Klvin con la cuvatua mdia local Si psntamos l poducto vctoial d vctos mdiant l símbolo, ntoncs S E H s l campo d vctos d Poynting xpsado como poducto vctoial d los campos léctico E y magnético H 1. A pati d las cuacions d Maxwll s obtin paa la divgncia d s cam- 1 Los fundamntos d la toía lctomagnética d mdios continuos sob los qu s basa l psnt tabajo pudn hallas, po jmplo, n los libos mncionados n las fncias [1], [4], y [6].

5 po vctoial (psntando con l símbolo l poducto scala d vctos, po D l campo d dsplazaminto léctico y po B l campo d inducción magnética) : S H E J E (1) B D t t Considmos una piza situada n l intio d una bobina inductoa. En la supfici d la piza, la ngía lctomagnética pnta n l matial sgún la nomal a la fonta n l punto considado. Esto s db a la nom difncia n vlocidad d fas nt l ai y l cupo conducto ([1], [4]). Considmos ahoa las línas dl campo S n l intio dl matial, y supongamos qu tnmos (po continuidad, al mnos localmnt) una conguncia d supficis nomals a las línas d campo. V Fig.. Fig.. Línas vctoials cospondints al campo d Poynting y la conguncia d supficis asociada cca d la fonta d la piza. Po S SS, S un vcto unitaio y S s la noma dl vcto d Poynting. En l punto n l cual S s ncunta localizado, pasa una supfici d la conguncia, y S s l vso nomal a la supfici n s punto. Sgún un sultado clásico d la gomtía difncial y la toía d campos, la divgncia dl La cuación (1) s obtin dictamnt a pati d la cuación E H H E E H En sta última igualdad s sustituy H po D su xpsión dada n la ly d Amp, H J, y s sustituy E po su t B xpsión dada po la ly d inducción d Faaday, E t

6 vso nomal s l dobl d la cuvatua mdia o d Gmain d la supfici qu pasa po l punto ([], [13]). Entoncs: ds S S S SS S () ds ds Aquí s la divada diccional d S n la dicción d S, y s psnta la ds longitud d aco a lo lago d la lína d campo. D (1) y (), substituyndo J E y tomando pomdios spcto dl timpo, sulta: ds B D S σ E H E (3) ds t t En sta xpsión J s la dnsidad d coint léctica n l conducto, s la conductividad dl matial y la baa hoizontal sob los símbolos psnta l pomdio tmpoal dl témino cospondint. B Si la histésis magnética s dspciabl, H pud igualas a co. En ausncia d histésis diléctica, E t D t Entoncs dividindo ambos mimbos d la cuación po valo pomdio d la magnitud dl vcto d Poynting, s tin: d ln S E (4) ds S Las scalas spacials d vaiación d los campos n dicción tangncial a la fonta d la piza, posn l mismo odn d magnitud qu una dimnsión caactística dl cupo qu s calntado. Po la scala spacial d vaiación d los campos n dicción d las línas dl vcto d Poynting s dl mismo odn d magnitud qu l spso d fcto pil paa un cupo conducto con fonta plana. Al studia l fcto Klvin a las fcuncias gnalmnt utilizadas n l nduciminto po inducción, s pud dspcia la coint d dsplazaminto [1]. En s caso s tin: (5)

7 Aquí s la fcuncia angula dl campo magnético altno poducido po l quipo y s la pmabilidad magnética dl matial. En l caso dl nduciminto po inducción, l spso d pil s vaios ódns d magnitud mno qu una dimnsión caactística dl cupo. Como conscuncia, n pima apoximación los campos léctico y magnético s pudn dscibi mdiant las fómulas cospondints a una fonta plana ([1], [8]). 1 Entoncs E E y S E H. Aquí psnta l valo mdio cuadático d la magnitud qu apac nt 1 paéntsis, y l facto apac dbido a qu l campo léctico psnta un taso d fas d /4 spcto dl campo magnético (dspciando la histésis magnética [14]). Ent los campos léctico y magnético s stablc la lación ([1], [8]): E H (6) El paámto vin dado po: (7) D las cuacions antios s dspnd qu: dln S (8) ds Cuando la fonta s plana. Entoncs, d (8) sulta: s s S S (9) La cuación (9) dscib l dsvanciminto xponncial dl pomdio d la magnitud dl campo d Poynting al avanza hacia l intio dl cupo siguindo una lína d s campo. S s S s l valo n un punto sob la fonta y cospond a un punto dl intio dl cupo, a una distancia s mdida sob la lína d campo a la qu ambos ptncn. Paa l caso n qu la cuvatua mdia no s nula, y no vaía significativamnt n una distancia dl odn d a lo lago d una lína dl campo Poynting, st sultado sugi la intoducción d un nuvo spso d fcto pil,, qu

8 dpnd d la cuvatua: 1 Rodnando obtnmos: (1) 1 Esta cuación da la lación nt l spso local dl fcto Klvin, la cuvatua mdia local n la fonta y l spso d fcto Klvin paa l caso d una fonta plana. Con sta fómula alcanzamos l pim objtivo pincipal d st tabajo. (3) Una dscipción d la impdancia d caga vista po la funt d potncia El cupo calntado po inducción pud considas como un scundaio n cotocicuito d un tansfomado, con núclo d ai, cuyo pimaio s la bobina inductoa. En las condicions pvalcints duant l nduciminto supficial po inducción l spso d fcto pil local s n todas pats mucho mno qu las dimnsions gométicas dl cupo, po lo cual la distibución d las coints inducidas s unívoca, s lativamnt indpndint d los dtalls d la distibución dl campo magnético xtno, y s pud dscibi mdiant una dnsidad supficial d coint. Considmos un cupo n foma d baa d scción tansvsal no cicula po unifom, cuya fonta vin dada po una cuva. Sa h la longitud d sa baa. Si Ĵ s s un faso qu psnta la dnsidad supficial d coint y Î wp s la coint total inducida n la piza, ntoncs s vifica: Iˆ wp hjˆ s (11) Las coints lécticas fluyn, n la gión adyacnt a la fonta, paallas al contono d las sccions tansvsals d la baa. Si Ês s l faso qu psnta al campo léctico tangnt a la fonta (tangnt a ), la fuza lctomotiz (fm) inducida vin dada po la intgal d lína: E s dl (1) Paa un mdio cuya fonta s un plano ([7], [9]): j Eˆ 1 s Jˆ s (13) Como s usual n lctotcnia, j 1 psnta a la unidad imaginaia. 1

9 Si l fcto Klvin s lo bastant intnso, y la cuvatua s bastant mno qu 1/, podmos supon qu (13) pud aplicas a la baa sustituyndo po la pofundidad dl fcto pil local dada po (1). Multiplicando y dividindo po h y tomando (11) n cunta, sulta: 1 j dl Eˆ sdl Iˆ wp (14) h Obtnmos así la fomula siguint paa la impdancia d la piza: j dl Zˆ 1 wp (15) h Si l s la longitud d, d (1) y (15) obtnmos Po dfinición: l Zˆ wp ~ 1 j h (16) ~ 1 (17) Esta ~ s un spso pomdio d fcto pil qu cospond a la cuvatua pomdio: ~ 1 dl (18) l c c i Paa stima la caga léctica vista po l quipo d calntaminto po inducción, s ncsaio calcula la impdancia d la bobina cagada con la piza a tata. 3 Si s aplica un voltaj V c a las tminals d la bobina, si I c s la coint n la bobina, R s su sistncia, L, s su inductancia intna, s l flujo magnético qu atavisa l spacio intio dlimitado po las spias y N s l númo d di c d vultas, ntoncs suponmos qu : Vc Rc I c Lc, i N (19) dt dt La cuación (19) psupon qu son dspciabls los fctos capacitivos nt spias d la bobina, así como nt la piza y la bobina y la bobina y su ntono póximo. En conscuncia, l modlo matmático d la caga qu s constuy n l psnt tabajo s aplica a fcuncias d xcitación dl campo magnético 3 Los fundamntos d lctotcnia utilizados n l psnt tabajo pudn hallas n cualqui tatado d máquinas lécticas o n l tatado d lctotcnia mncionado n la fncia [6].

10 lativamnt bajas (infios a unas cntnas d khz) como las qu gnalmnt s utilizan n los pocsos d calntaminto po inducción. Si s l flujo magnético n l spacio d ai nt la supfici intio dl a bobinado y la supfici d la piza, y la piza: Si wp s l flujo magnético qu atavisa a () Ac s l áa d la scción tansvsal intna d la bobina y A wp s l áa d la scción tansvsal d la piza a c o o A Po dfinición A wp c a wp A 1 H (1), s l dnominado facto d llnado d la piza d tabajo n lación con l spacio intio d la bobina. El campo pomdio pud NI c stimas po H o, sindo h la longitud dl sistma. Ahoa, tabajmos h nuvamnt con fasos. La fm complja inducida n la piza s dˆ wp Zˆ wpi ˆ wp () dt dˆ wp La fm fljada n la bobina s: N Ẑwp NÎwp dt Po nt la coint Î c n la bobina y la coint n la piza Î wp s aplica la lación d tansfomación: Î NÎ wp c La fm fljada n la bobina s: dˆ wp N Ẑwp N Îc dt (3) D (1) s dspnd qu dˆ a N N j Ac1 Îc dt h (4) D (19), (),(3) y (4) s dduc: N Vˆ c RcÎc j Lc,iÎc j Ac1 Îc N ẐwpÎc h Entoncs, usando (16) paa la impdancia d la piza, obtnmos las siguints cuacions paa la impdancia complta d la caga, Z R jx qu v la L L L

11 funt: Como R X ~ 1 ~ 1 y ~ 1 l l R N (5) L c h ~ N l (6) L Lc,i j Ac1 N h h ~ dl s una cuvatua mdia, tanto la sistncia activa R L como la actancia X L son funcions ccints d la cuvatua pomdio d la supfici d la piza. X L La inductancia quivalnt LL consta d ts téminos. El pimo s laciona con la auto-inductancia intna d las spias y suf la influncia dl fcto Klvin. El sgundo témino s lativamnt indpndint d. El tc témino s la suma d dos inductancias. Una inductancia qu sug d, y s popocional a 1. Ota inductancia qu s db al fcto d ~, y qu s popocional a 1. Ambas inductancias dccn cuando cc, po la componnt lacionada con la cuvatua disminuy más ápido qu la componnt lacionada con l spso d fcto pil paa un cupo plano. Con la cuación (16) paa la impdancia d la piza tatada y sus conscuncias n la sistncia activa (5) y n la actancia (6), alcanzamos l sgundo objtivo pincipal plantado paa st tabajo: constui un modlo matmático d la caga léctica vista po l quipo alimntado d potncia. (4) Aplicación d los sultados obtnidos y compaación con las solucions xactas paa cilindos conductos (4.1) Aplicación al calntaminto po inducción d nganajs Paa aplica los sultados obtnidos considamos una uda d nganaj dl tipo más simpl, qu s utiliza paa tansmiti l moviminto d otación nt js paallos ([11], [1]). A nivl d la csta d los dints la supfici s convxa, y la cuvatua mdia s ngativa. Sgún la fómula (1), l spso d pil

12 local sá mayo qu l cospondint, n igualdad d las dmás condicions, a una fonta plana. En l vall nt los dints la supfici s cóncava, la cuvatua mdia s positiva y la pofundidad d pil s mno qu n l caso d una fonta plana. Una psntación squmática pud vs n la Fig. 3. a) b) Fig.3 a) Vaiacions dl spso d pil local con la cuvatua mdia local d la piza. b) Enganaj cilíndico d dints ctos. Las flchas qu apuntan hacia l intio d la piza psntan l campo d vctos d Poynting. Las flchas tangnts a la fonta psntan al campo léctico. El campo magnético s ppndicula al plano d la figua. Si la fonta adyacnt s convxa, l campo d vctos d Poynting convg hacia l intio dl matial, po lo qu s db atnua mnos qu n l caso d una fonta plana. Lo opusto db ocui cuando la supfici s cóncava [6]. D modo qu l sultado obtnido paa l spso local d fcto Klvin, dado po la fómula (1), stá d acudo con la intuición, po admás s una lación cuantitativa bin dfinida. Supongamos qu la piza s coloca n l intio d una bobina paa s calntada po inducción. El j gomético qu pasa po l cnto dl nganaj s hac coincidi con l j gomético d la bobina. La coint léctica inducida ciculaá n una capa adyacnt a los dints y a los valls situados nt los dints, dsvanciéndos hacia l intio d la piza. Como l spso local d pil n las cstas d los dints s mayo qu s spso a nivl d los valls, la pat al d la impdancia local (obtnida sustituyndo po n (13)) sá mno a

13 nivl d las cstas d los dints qu a nivl d los valls. No obstant, como la coint global s la misma, la dnsidad supficial d coint léctica sá mayo n los valls. Como la dnsidad local d potncia témica s popocional al cuadado d la dnsidad supficial d coint, l matial adyacnt a los valls s calntaá más qu l adyacnt a las cstas d los dints. Est hcho s impotant dsd l punto d vista dl nduciminto po inducción. A pati d los sultados dl psnt tabajo s posibl calcula la distibución d la potncia témica n una capa adyacnt a la supfici d la piza. Esta distibución s pud usa como témino funt n la cuación d tansfncia dl calo, y l campo d tmpatuas podía s stimado n una pima apoximación. Si la fcuncia d tabajo s lo suficintmnt alta, sá tan pquña qu sultaá dspciabl n compaación con 1. En tal caso l spso d pil local sá igual a y la potncia caloífica poducida po las coints inducidas sá la misma n todas pats n la supfici dl nganaj. Estas conscuncias d las fómulas s confiman tanto po los sultados xpimntals como po los sultados d la simulación digital y d la solución xacta d las cuacions d Maxwll paa casos paticulamnt simpls ([6],[1], [11]). (4.) Compaación con l modlo lctomagnético d Föst Las hipótsis fctuadas paa obtn l spso fctivo d fcto Klvin, dado n la fómula (1), sugin qu sta fómula s aplicabl si s lo bastant pquño, quizás infio a,3. Esta última stimación pud fundamntas n una compaación nt las fómulas analíticas apoximadas obtnidas n st tabajo paa baas d sccions tansvsals cualsquia y los sultados xactos obtnidos paa l fcto Klvin n cilindos ciculas infinitos y macizos, n dos situacions. En una d llas, un conducto cilíndico infinito llva una coint altna paalla a su j. Las coints poducn un campo magnético ppndicula al j dl cilindo ([6], [4]). En la ota situación, un cilindo cicula infinito s sitúa n un campo magnético xtno, altno, unifom y paallo a su j. Las coints inducidas ciculan paallas a las sccions ciculas dl cilindo. Est caso, studiado po Föst ([3]), s un modlo matmático simplificado qu s pud aplica n l nsayo no dstuctivo d mtals po métodos lctomagnéticos. No obstant, psnta

14 una stcha conxión con l caso dl calntaminto po inducción. Paa un cilindo convxo la cuvatua mdia s constant, s ngativa y n valo absoluto igual a la mitad dl cípoco dl adio dl cilindo, d modo qu d (1) sulta: (7) 1 1 o Las solucions xactas paa los campos léctico y magnético n cilindos ciculas infinitos y macizos, tanto paa l caso clásico dl fcto Klvin n un conducto d coint altna como paa l caso d un conducto dnto d una bobina infinita studiado po Föst, s constuyn usando funcions d Bssl ([3], [6]). Supongamos ahoa qu psnta la distancia nt un punto considado n l intio dl cilindo y l j gomético dl cilindo. Sgún l modlo d Föst, la dnsidad d coint léctica, n égimn altno stacionaio, a una distancia oscila con la fcuncia d xcitación ω y una amplitud popocional a I11 j y s dispon a lo lago d cículos concénticos con l j dl I1 j cilindo ([3]). Las funcions z I 1 z son funcions d Bssl modificadas I y d odn co y uno, spctivamnt. Hacindo un análisis asintótico d sas funcions d Bssl, s dspnd qu si la pat al d z s gand spcto d la unidad y si l agumnto d z stá compndido nt y, ntoncs ambas funcions s compotan como z 1 1 O dond O 1 tind a co cuando l módulo d z tind a infinito. 4 z z z En los casos d calntaminto po inducción s simp gand spcto d 1. Paa distancias a la supfici d odn supio a la dnsidad d coint s 4 Estas popidads asintóticas pudn hallas n los libos mncionados n las fncias [6] y [8] y n los tatados clásicos d matmática avanzada paa ingnios y físicos.

15 hac dspciabl. Po st motivo alcanza con consida puntos cuya distancia d la supfici dl cilindo s dl odn d. Paa llos s también gand spcto d 1. Entoncs l cocint d funcions d Bssl qu dtmina la vaiación d las amplituds d las dnsidads d coint léctica dnto dl cilindo s compota como: (8) S vifican las igualdads siguints: 1 ln 1 ln 1 Cuando l cocint nt la pofundidad dsd la supfici o y l adio s lo bastant pquño spcto d uno, a pati dl dsaollo dl logaitmo dl xponnt n si d potncias d podmos fctua la siguint apoximación d pim odn: (9) D las cuacions (8) y (9) s dspnd qu los campos s dsvancn hacia l j dl cilindo como: 1 (3) Po st sultado no s oto qu l qu apac n (7), con lo cual (1) quda confimada n st caso. La cuación (3) pud s utilizada, a su vz, paa stima como las amplituds d los campos y las coints locals s dsvancn con l incmnto d la distancia dsd la supfici d la piza d tabajo. Paa vlo, considmos un caso paa l qu s han hallado solucions analíticas xactas y qu psnta simultánamnt supficis convxas y cóncavas n las intfacs con l ai o diléctico. En la Fig. 4 pud vs una scción tansvsal d un cabl coaxial con su conducto cntal fomado po un cilindo macizo convxo y su nvoltua fomada po un cilindo huco cóncavo y guso spcto dl spso d pil paa la

16 coint altna conducida. Fig.4 Una scción tansvsal d un cabl coaxial (Tomado d la fncia [6]). En la Fig. 5 apacn vaias cuvas cospondints a la función: K 1 y (31) Fig.5. Cocint nt la dnsidad d coint léctica a una cita pofundidad y su valo n la supfici (odnadas) como función dl cocint nt sa pofundidad y l spso d pil paa un cupo d fonta plana (abscisas).

17 El valo absoluto d K s igual a /. Las difnts cuvas cospondn a K = -1, -.5, -.,,.,.5, 1. Los valos positivos d K s aplican a supficis cilíndicas cóncavas y los valos ngativos a supficis convxas. La Fig. 6 musta l campo léctico n l intio d un cilindo convxo intno y d un cilindo cóncavo xtno como los qu foman l conducto coaxial d la Fig. 4. Esta figua musta las solucions xactas n téminos d funcions d Bssl ([6]). Fig. 6 El cocint nt l campo léctico a una pofundidad dada y l campo n la supfici (odnadas), como función dl cocint nt la pofundidad y l spso d pil paa un cupo con fonta plana (abscisas) (Tomado d la fncia [6]). En sta figua s usó una convnción d signos paa K opusta a la utilizada n la Fig.4. Los sultados xactos qu apacn n la Fig. 6 s pudn compaa con los sultados apoximados d la Fig. 5, obtnida mplando (3) con l spso d pil local dado po la fómula (1). Con sta compaación cumplimos con l tc objtivo d st tabajo. (5) Discusión y conclusions La fómula (1) pmit stima l spso d pil (fcto Klvin) local n un conducto inmso n un campo magnético oscilant como l utilizado n l ca-

18 lntaminto po inducción, como función dl spso d pil cospondint un hmi-spacio conducto cuya fonta s plana y dl valo local d la cuvatua d Gmain d la supfici. Esta fómula, como s vió n (4.1), pmit calcula una stimación y dscibi las modificacions d la pofundidad d pntación d las coints pliculas n pizas d gomtías compljas. En la dducción d la fómula (1) no s dspciaon las coints d dsplazaminto, a difncia d lo qu s alizó n l tabajo pvio ([14]). Si s sustituy la fómula (5) paa po una xpsión más gnal, aplicabl a fcuncias más lvadas, la fómula (1) dbía sulta aplicabl paa stima la pofundidad local d pntación dl campo lctomagnético n un conducto d volumn inmso n un campo d adiofcuncias. Si s gnalizaa la cuación (4) paa pod aplicala a un conducto d volumn htogéno y anisótopo, cabía spa qu l método d abodaj dsaollado n l psnt tabajo s pudia utiliza n la invstigación d la intacción nt tjidos biológicos y campos lctomagnéticos d fcuncias lvadas. A su vz, la cuación (16) pmit stima la impdancia d una piza calntada po inducción. Si la intgal d lína d la cuvatua mdia local, tomada sob la cuva, s ngativa (como s l caso n un cupo pdominantmnt convxo) tanto la pat sistiva como la pat inductiva d la impdancia sán mnos qu las cospondints componnts d la impdancia paa un cupo d fonta plana. Si la intgal d lína d la cuvatua s positiva (caso d un cupo pdominantmnt cóncavo) tanto la pat sistiva como la inductiva sán mayos qu las cospondints componnts paa un cupo plano. Si la fcuncia dl campo magnético s lo bastant lvada, stas difncias dsapacn. Paa calcula la impdancia vista po l quipo lctónico qu suminista la potncia, la impdancia d la piza fu fljada dsd l cicuito scundaio hacia l cicuito pimaio (la bobina) dl tansfomado quivalnt, usando un pocdiminto bin conocido. Así s ddujon la fómula (5) paa la pat sistiva d la impdancia d caga y la fómula (6) paa su pat activa. Estas cuacions cospondn al modlo matmático más simpl d la caga léctica qu db alimnta l sistma d potncia n un pocso d calntaminto po inducción. En sa apoximación analítica s dspciaon los fctos n los xtmos d la baa o piza y los flujos d dispsión, así como las vaiacions n la conductividad léctica y n la pmabilidad magnética poducidas po l incmnto local

19 d tmpatua y po la histésis magnética. La histésis pud dscibis utilizando una pmabilidad magnética complja n (5) paa l spso d pil ([7], [14]). A tavés d así modificado, a pati d (1) s pud obtn la modificación qu suf l spso local d fcto Klvin dbido a la histésis. Una conscuncia d tn n cunta la histésis s qu la sistncia activa qu apac n la fómula (16) paa la impdancia d la piza, sulta mayo qu la actancia inductiva. La satuación magnética pud tns n cunta utilizando un valo adcuado, mno, d la pmabilidad magnética al calcula. La vaiación qu suf s pud taslada ntoncs a, y a tavés d, a la impdancia d caga ([14]). D todos modos, un nfoqu analítico s claamnt insuficint paa dtmina la mjo foma y dimnsions paa la bobina inductoa o aglo d bobinas inductoas, n vista a calnta po inducción las pizas d gomtías compljas qu s ncuntan n la páctica. Las complicacions asociadas a los pocsos témicos y lctomagnéticos poducidos n las pizas (incluyndo fctos tmolásticos asociados a la génsis d sfuzos mcánicos intnos, con l posibl cciminto concomitant d fisuas n l matial) y las intaccions nt las pizas y las bobinas inductoas, dbn s simuladas usando códigos d cálculo n odnados y los sultados dbn s validados conta xpimntos spcialmnt disñados. Ps a los dsaollos cints n lo fnt a softwa amigabl paa la simulación digital dl calntaminto po inducción, l mplo d los códigos no s sncillo. Algunas vcs los cálculos numéicos pudn aoja sultados falsos, sin qu su falsdad sult intuitiva paa l ingnio. No obstant, un nfoqu analítico como l psntado n st tabajo suminista sultados d índol bastant gnal qu pudn utilizas como una guía acca d qué spa y qué busca n lación con los sultados d las coidas d simulación digital. También, l nca analítico pmit calcula cotas infios y cotas supios paa los valos d paámtos tals como los spsos d pil locals y la impdancia d caga, qu podían s mplados paa slcciona quipos paa calntaminto po inducción y paa stablc algunas d las caactísticas pincipals dl pocso d calntaminto. Po los motivos pcdntmnt xpustos, todos stos aspctos pacn m-

20 c un studio analítico adicional, qu complt y sup l nca puamnt lctomagnético y lctotécnico dl psnt tabajo. (6) Rfncias bibliogáficas [1] M.Bdov, V.Rumiantsv, y I.Toptigin, Elctodinámica clásica, Moscú: Mi, 1986, pp [] J.Eiksn, Tnso filds, an Appndix to C.Tusdall and R.Toupin, Classical fild thois, n S.Flugg (d.) Encyclopdia of Physics, Volumn III/1, Blin: Sping, 196. [3] R.Hochschild, Elctomagntic mthods of tsting mtals, in Pogss in Non Dstuctiv Tsting, Volumn 1, London: Hywood, 1959, pp [4] L.Landau y E.Lifchitz, Elctodinamiqu ds miliux continus, Cous d Physiqu Thoiqu, Volumn 8, Moscú : Mi, 1969, Cap. 8. [5] M.Laughton y R.Wan (Eds) Elctical Engin s Rfnc Handbook, Oxfod: Nwns, 3, Cap. 9. [6] A. Ntushil y K. Polivanov, Pincipios d lctotcnia, volumn 3 (Toía dl campo lctomagnético), Bunos Ais: Catago, 1959, pp [7] A. Ntushil y K. Polivanov, Pincipios d lctotcnia, volumn 3 (Toía dl campo lctomagnético), Bunos Ais: Catago, 1959, pp [8] V.V. Nikolski, Elctodinámica y popagación d ondas d adio, Moscú: Mi, 1985, pp [9] V.V. Nikolski, Elctodinámica y popagación d ondas d adio, Moscú: Mi, 1985, pp [1] V.Rudnv, D.Lovlss, R.Cook and M.Black, Handbook of induction hating, Nw Yok: Macl Dkk, 3. [11] V. Rudnv, Induction hadning of gas and citical componnts. Pat II, Ga Tcnology, Novmb/Dcmb 8, pp [1] W.Stadl, Analytical Robotics and Mchatonics, Nw Yok: Mc Gaw- Hill, 1995, pp [13] R.Suáz Ántola, Osmosis, filtation and factu of poous mdia, n Pocdings of th XIV Bazilian Congss of Mchanical Engining, San Pablo: ABEM, 1997 [14] R. Suáz-Ántola, Klvin ffct and th load impdanc in induction hating: an analytical appoach including magntic losss, n Innovativ Algoithms and Tchniqus in Automation, Industial Elctonics and Tlcommunications, T.Sobh, K.Elliathy, A. Mahmood and M.Kaim (Editos), Sping, 7, pp