5. EL METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS (MEF ó FEM).

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1 PORCOE L EUDO DE L QU ELECRC DE FLUO XL EDE L PLCCO DEL EODO DE LO ELEEO FO. E DOCORL. 5. EL EODO DE LO ELEEO FO (EF ó FE). 5.. El método gnal Dfinición dl método. El método d los lmntos finitos s un método d apoximación d poblmas continuos d tal foma qu [5] El continuo s divid n un númo finito d pats lmntos cuyo compotaminto s spcifica mdiant un númo finito d paámtos asociados a citos puntos caactísticos dnominados nodos. Estos nodos son los puntos d unión d cada lmnto con sus adyacnts. La solución dl sistma complto sigu las glas d los poblmas disctos. El sistma complto s foma po nsamblaj d los lmntos. Las incógnitas dl poblma djan d s funcions matmáticas y pasan a s l valo d stas funcions n los nodos. El compotaminto n l intio d cada lmnto quda dfinido a pati dl compotaminto d los nodos mdiant las adcuadas funcions d intpolación ó funcions d foma. El EF po tanto s basa n tansfoma un cupo d natualza continua n un modlo discto apoximado sta tansfomación s dnomina disctización dl modlo. El conociminto d lo qu sucd n l intio d st modlo dl cupo apoximado s obtin mdiant la intpolación d los valos conocidos n los nodos. Es po tanto una apoximación d los valos d una función a pati dl conociminto d un númo dtminado y finito d puntos plicación dl método. La foma más intuitiva d compnd l método al timpo qu la más xtndida s la aplicación a una placa somtida a tnsión plana. El EF s pud ntnd dsd un punto d vista stuctual como una gnalización dl cálculo maticial d stuctuas al análisis d sistmas continuos. D hcho l método nació po volución d aplicacions a sistmas stuctuals. Eduado Fías alo Página d 352 Dpatamnto d ngniía Eléctica. UPC. ño 2.4

2 PORCOE L EUDO DE L QU ELECRC DE FLUO XL EDE L PLCCO DEL EODO DE LO ELEEO FO. E DOCORL. Un lmnto finito vin dfinido po sus nodos (ijm) y po su contono fomado po línas qu los unn. Los dsplazamintos u d cualqui punto dl lmnto s apoximan po un vcto columna u ai... u iai = [ i j...] a j = a (5.) = Y vi(i) i ui(ui) j m X Figua 94. Coodnadas nodals (i j k) y dsplazamintos d los nodos. son funcions d posición dadas (funcions d foma) y a s un vcto fomado po los dsplazamintos nodals d los lmntos considados. Paa l caso d tnsión plana (figua 87) u( x y) u = v( x y) a i ui = vi u son los movimintos hoizontal y vtical n un punto cualquia dl lmnto. a i on los dsplazamintos dl nodo i. Las funcions i j m han d scogs d tal foma qu al sustitui n (5.) las coodnadas nodals s obtngan los dsplazamintos nodals. Conocidos los dsplazamintos d todos los puntos dl lmnto s pudn dtmina las dfomacions (ε) n cualqui punto. Qu vndán dadas po una lación dl tipo siguint Eduado Fías alo Página 2 d 352 Dpatamnto d ngniía Eléctica. UPC. ño 2.4

3 PORCOE L EUDO DE L QU ELECRC DE FLUO XL EDE L PLCCO DEL EODO DE LO ELEEO FO. E DOCORL. ε = u (5.2) indo un opado linal adcuado. ustituyndo la xpsión (5.) n (5.2) s obtin las xpsions siguints ε = Ba (5.3) B = (5.4) uponindo qu l cupo stá somtido a unas dfomacions inicials ε dbidas a cambios témicos cistalizacions tc. y qu tin tnsions intnas siduals σ la lación nt tnsions y dfomacions n l cupo vin dada po σ = D ( ε ε ) + σ (5.5) indo D una matiz d lasticidad qu contin las popidads dl matial o matials. dfin q q i = q j... como las fuzas qu actúan sob los nodos qu son státicamnt quivalnts a las tnsions n l contono y a las fuzas distibuidas qu actúan sob l lmnto. Cada fuza q i db tn l mismo númo d componnts qu l dsplazaminto nodal a i cospondint y db odnas n las diccions adcuadas. En l caso paticula d tnsión plana (v figua...) las fuzas nodals son U i q i = i Las fuzas distibuidas (b) son las qu actúan po unidad d volumn n diccions cospondints a los dsplazamintos u n s punto. La lación nt las fuzas nodals y tnsions n l contono y fuzas distibuidas s dtmina po mdio dl método d los tabajos vituals (v [5] Capítulo 2 paa dmostación). El sultado s l siguint ( s l volumn dl lmnto ) q = B σ d b d Esta xpsión s válida con caáct gnal cualsquia qu san las lacions nt tnsions y dfomacions. i las tnsions sigun una ly linal como (5.5) s pud scibi la cuación n la foma siguint (5.6) Eduado Fías alo Página 3 d 352 Dpatamnto d ngniía Eléctica. UPC. ño 2.4

4 PORCOE L EUDO DE L QU ELECRC DE FLUO XL EDE L PLCCO DEL EODO DE LO ELEEO FO. E DOCORL. q = K a + K = f B DB d f = b d B Dε d + B σ (5.7) d En la xpsión d f apacn po st odn las fuzas dbidas a las fuzas distibuidas las dfomacions inicials y las tnsions inicials. K s la matiz d igidcs. i xistisn fuzas distibuidas po unidad d supfici (t) s tndía qu añadi un témino adicional a las fuzas nodals dl lmnto cuyo contono pos una supfici. l témino adicional sía t d t tndá qu tn l mismo númo d componnts qu u paa qu la xpsión antio sa válida. Una vz obtnidos los dsplazamintos nodals po solución d las cuacions s pud calcula las tnsions n cualqui punto dl lmnto σ = DBa Dε + σ Funcions d foma. La intpolación s un lmnto clav dl EF pusto qu s a tavés d las funcions d foma o intpolación qu s consigu duci l poblma a la dtminación d los coimintos d unos nodos. Estas funcions dbn da valos suficintmnt apoximados d los coimintos d cualqui punto dl lmnto n función d los coimintos d los nodos Popidads d las funcions d foma. Popidads d las funcions d foma [7] Divabilidad. i l opado s d odn m la función d foma dbá sopota la m-ésima divada. Eduado Fías alo Página 4 d 352 Dpatamnto d ngniía Eléctica. UPC. ño 2.4

5 PORCOE L EUDO DE L QU ELECRC DE FLUO XL EDE L PLCCO DEL EODO DE LO ELEEO FO. E DOCORL. ntgabilidad. Po cohncia con la cuación (5.6) una vz s aliza la m-ésima divada la función d foma db s intgabl. mjanza con las lys d distibución d coimintos. Las lys d distibución d coimntos son continuas po lo qu también lo dbn s las funcions una vz aplicado l opado. Condición d polinomio complto. i la función d foma scogida s polinómica lo qu sul s lo más habitual paa qu la función s apoxim hasta l témino m-ésimo a la solución al l polinomio db s complto Citio d la pacla. Es convnint qu las funcions d foma tngan la popidad d val la unidad n los nodos a los qu stán asociadas y qu tngan un valo nulo n l sto. Est tipo d lmntos s llaman lmntos confoms y asguan la continuidad d la ly d coimintos nt lmntos. Los lmntos no confoms son po tanto los qu no asguan la unicidad d la ly d coimintos hcho qu povoca la xistncia d dfomacions infinitas n l contono nt lmntos. Est tipo d lmntos s válido simp qu no disip tabajo nt los contonos. Es paa st tipo d lmntos no confoms qu s mpla l citio d la pacla qu compuba la buna convgncia d st tipo d lmntos. Consist n aisla una poción d llos dl conjunto aplica un stado d coimintos qu povoqu una dfomación constant si ésta s poduc no s disipa tabajo y l lmnto s válido paa la fomulación ipos d funcions d foma. En cada lmnto s pudn distingui ts tipos d nodos Pimaios scundaios intmdios. Pimaios cundaios ntmdios Figua 95. ipos d nodos d un lmnto. Eduado Fías alo Página 5 d 352 Dpatamnto d ngniía Eléctica. UPC. ño 2.4

6 PORCOE L EUDO DE L QU ELECRC DE FLUO XL EDE L PLCCO DEL EODO DE LO ELEEO FO. E DOCORL. Las funcions d foma s agupan n dos familias pincipals n función dl tipo d nodos [6] ndípidas n las qu sólo xistn nodos fonta (pimaios y scundaios). Lagangianas ncluyn admás nodos intmdios. Con l fin d consgui un mayo ajust d los lmntos a la gomtía dl cupo xist también una intpolación d tipo gomético. Esto pmit obtn lmntos d lados cuvos a pati d un lmnto d fncia. Figua 96. ansfomación d la gomtía mdiant l mplo d funcions d intpolación. o sólo pudn distosionas lmntos bidimnsionals n otos también bidimnsionals sino qu s pud distosiona lmntos bidimnsionals n lmntos tidimnsionals. Esto s así stablcindo una cospondncia biunívoca nt las coodnadas catsianas y cuvilínas. Es convnint mpla funcions d foma también n las tansfomacions cuvilínas qu pmitn la obtnción d lados cuvos. Las tansfomacions dbn s unívocas s dci a cada punto dl sistma catsiano l db cospond un único punto dl sistma cuvilíno y vicvsa. Es dci no pudn xisti lmntos con pligus. O Figua 97. ansfomación biunívoca qu povoca pligus n l lmnto tansfomado. dmás no pud hab hucos ni solaps nt los lmntos tansfomados. Lo antio s sum n dos tomas qu s pudn nconta n [5] Eduado Fías alo Página 6 d 352 Dpatamnto d ngniía Eléctica. UPC. ño 2.4

7 PORCOE L EUDO DE L QU ELECRC DE FLUO XL EDE L PLCCO DEL EODO DE LO ELEEO FO. E DOCORL. oma Cuando dos lmntos contiguos stán ngndados po lmntos gnatics cuyas funcions d foma satisfacn las condicions d continuidad los lmntos distosionados (tansfomados) sán ntoncs continuos. oma 2 i las funcions d foma mpladas son tals qu la continuidad d los coimintos u s mantin n las coodnadas dl lmnto gnatiz las condicions d continuidad s satisfaán ntoncs n los lmntos distosionados. Cuando l númo d nodos qu dfinn la foma gomética dl lmnto s infio al númo d los utilizados n la intpolación d los coimintos s dic qu l lmnto s subpaamético. Cuando s supio s dic qu s suppaamético. En la mayoía d los casos s mplan las mismas funcions d intpolación paa la gomtía y paa los coimintos sindo n st caso los lmntos isopaaméticos. La tansfomación isopaamética mantin la continuidad d los coimintos nt lmntos. Como conclusión cab dci qu las funcions d foma tinn 3 comtidos pincipals dnto dl EF Obtn sultados n cualqui punto dl lmnto po intpolación d los valos nodals. Pmiti tansfomacions gométicas qu pmitn adapta l mallado a la foma dl cupo analizado d una mana más xacta. Raliza la intgación d las cuacions mdiant la sustitución d las funcions lmntals po polinomios d Lgnd (v 5.4) ntgación numéica. Las tansfomacions cuvilínas tansfoman las coodnadas xyz a las coodnadas locals ζηξ. y η z ζ ξ x Figua 98. istma d coodnadas locals (ζ ξ η) y sistma global d coodnadas catsianas (X Y Z). Eduado Fías alo Página 7 d 352 Dpatamnto d ngniía Eléctica. UPC. ño 2.4

8 PORCOE L EUDO DE L QU ELECRC DE FLUO XL EDE L PLCCO DEL EODO DE LO ELEEO FO. E DOCORL. Esto implica intoduci un cambio d vaiabl n las cuacions intgals qu dscibn l compotaminto d los lmntos. Las divadas d las funcions d foma qu intvinn n la xpsión d B son spcto a xyz qu guadan la lación (5.8) spcto a las coodnadas locals. K = B DB d b f = b d = B σ d f fσ ε = B Dε d f t = t d j x i = [ ] ζ Dond s la matiz acobiana d la tansfomación. [ ] i j (5.8) x ζ y ζ z ζ = x η y η z η (5.9) x ξ y ξ z ξ Los difncials d volumn n cada sistma d coodnadas vinn lacionados d la foma d x d y d z = dt [ ] dζ dη dξ Una vz alizada la tansfomación la intgación s más sncilla n l sistma d coodnadas local (ζ η ξ) qu n l catsiano (x y z) n l qu los dominios stán distosionados. Po la obtnción dl sultado final pud psnta citos poblmas ya qu [6]. dt[] pud s co a causa d una mala disctización po lo qu la solución no s posibl; l pocso d laboación dl jacobiano s laboioso y consum cusos. l jacobiano pud sta mal condicionado (dt [] póximo a co). Es l último d los poblmas nunciados l más pligoso d todos pusto qu pud intoduci os numéicos difícils d dtcta. En otas palabas pud poduci una [] - óna. La intgación numéica consist n sustitui la función qu s ptnd intga po un polinomio d intpolación (ota función d foma) qu pas po un dtminado númo d puntos llamados puntos Eduado Fías alo Página 8 d 352 Dpatamnto d ngniía Eléctica. UPC. ño 2.4

9 PORCOE L EUDO DE L QU ELECRC DE FLUO XL EDE L PLCCO DEL EODO DE LO ELEEO FO. E DOCORL. d Gauss. La intgación dl polinomio s aliza postiomnt a tavés d una suma pondada d los valos d la función n stos puntos d Gauss (5.). Y f(x) a x b X Figua 99. Límits d intgación d la función f. b f ( x) dx P( x) a b a dx b i a P( x) dx = H f ( x ); H factodpso. i i (5.) El método más mplado paa sustitui la función po un polinomio s la cuadatua d Gauss- Lgnd. El método pmit intga cualqui función nt - y + sustituyndo la función a intga (f(x)) po un polinomio d Lgnd d gado 2n-. omando como bas los n puntos d Gauss s pud obtn un valo tan apoximado a la intgal como s ds. Las abcisas d los puntos d Gauss cospondn a las aícs dl polinomio d Lgnd scogido. f f(ζ ) f(ζ 2 ) ζ Figua. ntgación d Gauss-Lgnd d la función f. Eduado Fías alo Página 9 d 352 Dpatamnto d ngniía Eléctica. UPC. ño 2.4

10 PORCOE L EUDO DE L QU ELECRC DE FLUO XL EDE L PLCCO DEL EODO DE LO ELEEO FO. E DOCORL. Los valos d los factos d pso paa los distintos gados d polinomios d Lgnd s pudn v n la tabla adjunta poducida d [5] hasta n=7. f ( x) dx = j= n H f ( a i j ); H factod pso. ±a n H i Como conclusión final s diá qu los puntos d Gauss son los puntos óptimos paa la valuación d tnsions y dfomacions [6] (o cualsquia otas incógnitas a dspja). En los otos puntos dl lmnto la apoximación s pob y los os pudn llga a s muy considabls. Po llo las tnsions nunca dbn s valuadas n los nodos dictamnt a difncia d los coimintos sino n los puntos d Gauss. Y sus valos n éstos s dbn obtn po xtapolación d los sultados n los puntos d Gauss Estimación dl o y mallado adaptativo. on divsas las funts d o n l análisis d poblmas mplando l EF. cogn a continuación un squma d os posibls xtaído d [6] Eos d modlización En la modlización d cagas xtios odlización d condicions d contono. Eduado Fías alo Página 2 d 352 Dpatamnto d ngniía Eléctica. UPC. ño 2.4

11 PORCOE L EUDO DE L QU ELECRC DE FLUO XL EDE L PLCCO DEL EODO DE LO ELEEO FO. E DOCORL. Popidads d los matials. Eos n la disctización Eos n la apoximación d la gomtía. Po falta d capacidad d las funcions d foma gométicas d psnta con xactitud la gomtía al. Est poblma s sulv aumntando l mallado o finándolo n las zonas conflictivas. Eos n la disctización. Rlacionados con l tamaño dl lmnto y la función d foma d los coimintos d los nodos. Como noma gnal s mplan lmntos pquños n las zonas d vaiación ápida d la solución y lmntos gands n las zonas d vaiación lnta. Eos d computación. Eo n la intgación sob los lmntos. Dado qu hay qu toma un gado d polinomio d Lgnd hay qu acpta un cito gado d o (asociado al gado dl polinomio). Eo n la solución dl sistma d cuacions. Po os d tuncaminto n la psntación intna dl odnado d los númos als y po os d dondo Estimación dl o. La foma xacta d dtmina los os asociados a la solución dl poblma s conoc la solución xacta y stal l valo obtnido. coimintos = u u (5. a) al calculada dfomacions = ε ε (5. b) al calculada tnsions = σ σ (5. c) al calculada Los stimados d o qu s mplan s basa n nomas qu psntan alguna cantidad scala intgal paa mdi l o o la función misma. La noma qu s sul mpla s la noma d ngía qu vin dada po = ( ε al ε calculada ) ( σ al σ calculada ) dω Ω / 2 (5.2) Expsión qu guada una lación dicta con la ngía d dfomación dl sistma qu vin dada po la xpsión [5] du = dε σ dω Ω Eduado Fías alo Página 2 d 352 Dpatamnto d ngniía Eléctica. UPC. ño 2.4

12 PORCOE L EUDO DE L QU ELECRC DE FLUO XL EDE L PLCCO DEL EODO DE LO ELEEO FO. E DOCORL. La dificultad stiba n qu nunca s conocn los valos als. Po llo la única mana qu s ha ncontado d valua la bondad d las solucions s mdiant stimados d o qu compaan la solución σ calculada obtnida spcto a una solución obtnida intpolando con funcions dl mismo tipo qu las mpladas paa psnta l campo d coimintos u calculada. El sultado obtnido s σˆ un campo d tnsions aplanado. El o stimado s σ = ˆ σ σ calculada (5.3) Est valo σ s pud intoduci n la noma (5.2) paa calcula l o d sta noma o cualqui ota (coimintos dfomacions tc) allado adaptativo. La impotancia d dispon d un mdio paa valua l o qu s comt n l cálculo adica n qu pmit l finaminto d los mismos. La finalidad s consgui obtn sultados po dbajo d un o macado. Existn 3 fomas d finaminto d los poblmas étodo H Consist n la ducción dl o actuando dictamnt sob l tamaño dl lmnto y mantnindo constant la función d foma. Psnta dos inconvnints s l método más lnto dsd l punto d vista d vlocidad d convgncia; y s pid l contol sob l mallado pudindo gnas mallas distosionadas. étodo P Consist n i aumntando pogsivamnt l gado d los polinomios d intpolación (funcions d foma) mantnindo fijo l tamaño d los lmntos. in mayo vlocidad d convgncia qu l método H po psnta l poblma d qu qui acota l gado máximo dl polinomio. Un gado muy alto podía povoca izado n las solucions. étodo HP Consist n l uso scuncial d ambas técnicas. En pim luga s optimiza l mallado a la gomtía y postiomnt s modifica l gado dl polinomio hasta alcanza l o dsado. En la solución d los poblmas d st poycto d tsis no s ha mplado ninguna técnica d mallado adaptativo. La azón d no mplalo ha sido condicionada po la no xistncia n l pogama d lmntos finitos d lmntos lctomagnéticos qu dispusian d sta opción. La Eduado Fías alo Página 22 d 352 Dpatamnto d ngniía Eléctica. UPC. ño 2.4

13 PORCOE L EUDO DE L QU ELECRC DE FLUO XL EDE L PLCCO DEL EODO DE LO ELEEO FO. E DOCORL. azón como s vá n 6.4 son las discontinuidads qu s poducn n la intfas nt matials difnts Pasos a sgui n l cálculo EF. Funcionaminto d un pogama d lmntos finitos. Los pogamas paa cálculo po lmntos finitos disponn d ts módulos d tabajo P-pocsado Dond s ppaa l modlo paa l cálculo. n l s alizan las opacions d Dibujo dl modlo o impotación si s ha gnado po mdio d un sistma CD qu gn fichos compatibls. lcción dl tipo d lmnto o lmntos a mpla. En función dl tipo d cálculos a aliza stos pogamas suln dispon d difnts tipos d lmntos qu son spcials paa cada aplicación. Po jmplo suln tn lmntos spcials paa cálculos d tnsions planas tnsions 3D lctostática magntostática lmntos d contacto tc. lcción d los matials a mpla qu pudn obtns po libías o s dfinidos po l usuaio. Esto último s común cuando s mplan matials d popidads no linals o matials anisotópicos. signación d lmnto y popidads d matials a los difnts componnts dl modlo. allado d los componnts dl modlo. plicación d las cagas xtios (puntuals linals o supficials). plicación d las condicions d contono dl modlo. Calculado Es la pat dl pogama qu aliza todo l cálculo dl EF y gna las solucions. Los pasos qu sigu son los siguints lcción dl tipo d cálculo a aliza po jmplo si s un análisis tansitoio n égimn amónico stático tc. Configuación d los paámtos d cálculo. lcción d intvalos d timpo noma dl o númo d itacions tc. nicio dl cálculo l pogama mpiza tansfiindo las cagas al modlo gna las matics d igidz aliza la tiangulación d la matiz sulv l sistma d cuacions y gna la solución. Post-pocsado s la haminta qu pmit la psntación gáfica d los sultados así como sultados indictos qu s pudn obtn opando las solucions dl modlo. Eduado Fías alo Página 23 d 352 Dpatamnto d ngniía Eléctica. UPC. ño 2.4

14 PORCOE L EUDO DE L QU ELECRC DE FLUO XL EDE L PLCCO DEL EODO DE LO ELEEO FO. E DOCORL EL EF PLCDO L ELECROGEO Ecuacions d patida. Las cuacions qu ign l compotaminto d los campos lctomagnéticos son las 4 cuacions d axwll D xh = + = t + B xe = t + D (6.) + t (6.2) B = (6.3) D = ρ (6.4) x Opado otacional. Opado divgncia. H D cto intnsidad d campo magnético. cto dnsidad d coint. cto dnsidad d coint funt. cto dnsidad d coint d pédidas inducidas. cto dnsidad d coint d vlocidad. cto dsplazaminto o dnsidad d flujo léctico. t impo E cto intnsidad d campo léctico. B cto dnsidad d flujo magnético. ρ Dnsidad d caga léctica. D La cuación d continuidad + = s diva d la (6.) y db cumplila cualqui t conjunto d cuacions d axwll. La lación nt los vctos d dnsidad intnsidad d campo magnético vin dada po Eduado Fías alo Página 24 d 352 Dpatamnto d ngniía Eléctica. UPC. ño 2.4

15 PORCOE L EUDO DE L QU ELECRC DE FLUO XL EDE L PLCCO DEL EODO DE LO ELEEO FO. E DOCORL. B = µ (6.5) [ ] H dond [µ] s la matiz d pmabilidad magnética qu s gnalmnt función d H y/o d la tmpatua. i s función únicamnt d la tmpatua vin dada n la foma [ µ ] µ x = µ µ pmabilidad dl vacío. µ pmabilidad lativa n la dicción X. x µ y (6.6) µ z i s función únicamnt dl campo la xpsión s [ µ ] = µ h µ Pmabilidad obtnida d la cuva B-H h (6.7) Cuando s incluy n l análisis imans pmannts la lación (6.5) s convit n la (6.8). B [ ] H = µ + µ (6.8) cto magntización mannt. El vcto intnsidad d campo s pud obtn dspjándolo d la cuación antio. H = ν ν [] ν B [] (6.9) [ ] ν atiz d luctividad [ ] ν luctividad dl vacío Las lacions quivalnts pa l campo léctico son las qu s mustan a continuación = [ σ ] E + v B (6.) v cto vlocidad. [ σ ] σ = XX σ YY σ ZZ µ µ atiz d conductividad léctica. σ Conductividad n la dicción X. XX Eduado Fías alo Página 25 d 352 Dpatamnto d ngniía Eléctica. UPC. ño 2.4

16 PORCOE L EUDO DE L QU ELECRC DE FLUO XL EDE L PLCCO DEL EODO DE LO ELEEO FO. E DOCORL. [] ε ε = XX ε YY ε ZZ D = ε (6.) [ ] E atiz d pmitividads. ε Pmitividad n la dicción X. XX étodos d solución po l EF. Los métodos d solución d poblmas d campos lctomagnéticos mplan funcions d potncial. Existn dos tipos Funcions potncial vcto. Funcions potncial scala. Las gions dond s aplican los métodos d solución son los mostados n la figua siguint. Rgión conductoa σ µ s Rgión no pmabl Ω Rgión pmabl no conductoa Ω 2 Ω µ µ Figua. Dominios d aplicación dl EF. Eduado Fías alo Página 26 d 352 Dpatamnto d ngniía Eléctica. UPC. ño 2.4

17 PORCOE L EUDO DE L QU ELECRC DE FLUO XL EDE L PLCCO DEL EODO DE LO ELEEO FO. E DOCORL olución mplando l Potncial Escala agnético. mpla n magntostática (dominios Ω y Ω ) s dci cuando s ignoan los fctos dl timpo sob las magnituds lctomagnéticas. Esto duc las cuacions d axwll a dos H = (6.2) B = ólo s tinn n cunta las gions Ω y Ω 2. La solución buscada tin la foma siguint H = φ (6.3) H g H g [ ] φ [ µ ] µ g H g g µ (6.4) = Campo magnético d puba. φ Potncial gnalizado. g El campo d puba db satisfac la ly d mpé (6.2) y l potncial gnalizado da l sto dl campo hasta llga al campo buscado. El valo absoluto d H g db s mayo qu φg. Existn ts statgias difnts d solución d las cuacions mplando l potncial scala y n todas llas s sncial la cocta slcción dl campo d puba H g. La lcción d st campo d puba va simp asociado a la Ly d Biot-avat y al campo obtnido d lla H = d 3 4π cto posición d la funt d coint al nodo. olumn ocupado po la funt d coint. H (6.5) La cuación (6.5) s pud duci a una intgal d supfici [] (6.6) H = d 4π upfici d la funt d coint. Hay ts statgias difnts paa obtn la solución [9] RP Rducd cala Potntial (Potncial Escala Rducido). DP Diffnc cala Potntial (Difncias d Potncial Escala). Eduado Fías alo Página 27 d 352 Dpatamnto d ngniía Eléctica. UPC. ño 2.4

18 PORCOE L EUDO DE L QU ELECRC DE FLUO XL EDE L PLCCO DEL EODO DE LO ELEEO FO. E DOCORL. GP Gnal cala Potntial (Potncial Escala Gnal) Estatgia RP. plicabl cuando la pmabilidad lativa val la unidad s dci cuando [ ] [ ] µ = µ o cuando no xistn funts d coint =. Fu dsaollada po O.C. Zinkiwicz [5] y [6] y s un pocdiminto d un sólo paso las cuacions (6.3) y (6.4) s sulvn hacindo H g = H (6.7) pmit tn n cunta matials no linals imans pmannts. aplica a las gions Ω y Ω Estatgia DP. mpla cuando xistn funts d coint y gions d pmabilidad distinta a la dl vacío qu no ncian coint alguna. Es dci qu la intgal cicula d campo n sta gión db tnd a co cuando la pmabilidad tind a infinito. H dl cuandoµ (6.8) aliza n dos pasos l pimo s sustitui n (6.3) y (6.4) H = H nω yω g (6.9) sujta a la siguint condición n H g = n (6.2) Esta condición d contono s cumpl mplando valos muy altos d pmabilidad n la gión Ω. Esto povoca qu l campo fctivo n sta gión sa pácticamnt co H =. El campo n la zona Ω s H = H φ n g Ω (6.2) En un sgundo paso s mplan los campos calculados n l pim paso como campos d puba paa las cuacions (6.3) y (6.4). Eduado Fías alo Página 28 d 352 Dpatamnto d ngniía Eléctica. UPC. ño 2.4

19 PORCOE L EUDO DE L QU ELECRC DE FLUO XL EDE L PLCCO DEL EODO DE LO ELEEO FO. E DOCORL. H g = nω = H n H g Ω En st paso s tinn n cunta la no linalidad d los matials y la psncia si la hay d imans pmannts. Est paso poduc los campos siguints H = φ n H g Ω = H φ n g g Ω Estatgia GP. aplica cuando xistn n funts d coint y cuando xistn gions d pmabilidad distinta a la dl vacío (Ω ) con funts d coint n su intio. Est método qui ts pasos. Pim paso. aplica una solución a la gión Ω mdiant la sustitución n µ H g φg = sticción [ ] ( ) no los imans pmannts si los hay. El campo sultant s H = φ H g = H sujto a la siguint n. En st paso s pudn consida las satuacions po H g gundo paso. busca la solución paa la gión Ω hacindo la siguint sustitución H g = H sujta a la sticción n n H g = n H Esta sticción s satisfac d mana automática stingindo l potncial scala solución φ g a la supfici tal como s tomó n l paso. La solución qu s obtin n Ω s H = φ c paso. H mplan los campos calculados n los dos pasos antios como campo d puba n las cuacions (5.3) y (5.4). = H n Ω y = H n Ω. H g H g g Eduado Fías alo Página 29 d 352 Dpatamnto d ngniía Eléctica. UPC. ño 2.4

20 PORCOE L EUDO DE L QU ELECRC DE FLUO XL EDE L PLCCO DEL EODO DE LO ELEEO FO. E DOCORL. En st paso s pudn tn n cunta tanto satuacions como imans pmannts olución mplando l Potncial cto agnético. En st método s considan campos státicos y dinámicos po s dspcian los fctos d las coints d dsplazaminto. Las cuacions d axwll con las qu s tabaja son las siguints H = (6.2) B (6.22) E = t B = (6.23) La solución s busca intoducindo l potncial vcto magnético qu pmit xpsa los campos léctico (E ) y magnético (B ) n la foma qu s musta a continuación. B = (6.24) E = t (6.25) Potncial cto agnético Potncial léctico scala. Las cuacions mpladas n l método son [9] σ σ + v σ = nω t [ ] [ ] [ ] 2 ν [] ν ν = + [] ν nω + Ω (6.26) (6.27) 3 3 sindo ν = t[] ν = ( ν () + ν (22) + ν (33) ). ha compobado qu n modlos tidimnsionals con difnts pmabilidads st método no s comndabl. ha dmostado qu s obtinn solucions ónas cuando la componnt nomal dl potncial vcto s lvada n la intfas nt lmntos con distinta pmabilidad [9]. Eduado Fías alo Página 3 d 352 Dpatamnto d ngniía Eléctica. UPC. ño 2.4

21 PORCOE L EUDO DE L QU ELECRC DE FLUO XL EDE L PLCCO DEL EODO DE LO ELEEO FO. E DOCORL. Los poblmas s pudn solv mplando lmntos qu admitn componnt nomal discontinua paa l potncial vcto. Y dispon d un lmnto d st tipo dnominado OLD 7 qu ha sido l lmnto mplado n las simulacions étodo d solución d campos lctostáticos. Potncial Escala Eléctico. Los campos lctostáticos cumpln las cuacions d axwll E = (6.28) D = ρ (6.29) sindo ρ la dnsidad d caga lib. La lación nt ambos campos s la constant diléctica ε D = ε (6.3) [ ] E Las condicions d contono a tn n cunta al tabaja con campos lctostáticos s fin a las lacions nt componnts n la intfas nt mdios distintos. E t E t 2 = Rlación nt componnts tangncials y nomals D = ρ ρ dnsidad supficial d caga n D n 2 La solución s obtin intoducindo l potncial scala léctico qu pmit xpsa l campo n la foma E = (6.3) La cuación cospondint a la divgncia dl vcto dsplazaminto s la qu sigu [] ε = ρ (6.32) atics d paámtos lctomagnéticos Emplando l Potncial scala magnético. u mplo stá stingido a campos státicos con pmabilidad no linal limitada. Gados d libtad φ Potncialscalamagntico Eduado Fías alo Página 3 d 352 Dpatamnto d ngniía Eléctica. UPC. ño 2.4

22 PORCOE L EUDO DE L QU ELECRC DE FLUO XL EDE L PLCCO DEL EODO DE LO ELEEO FO. E DOCORL. atiz d Coficints m L [ K ] [ K ] + [ K ] = (6.33) L [ K ] ( ) [ µ ] ( ) d = d h [ K ] ( H ) ( H ) (6.34) µ d (6.35) = d H H Cagas i = µ (6.36) ( ) [ ] ( H + H ) d g C Funcions d foma φ = φ. olumn dl lmnto. H g Campo d puba. H Campo cocitivo. C [ µ ] atiz d pmabilidad. d h µ Divada d la pmabilidad. obtin d la cuva B-H. d H El campo cocitivo stá lacionado con la magntización mannt a tavés d la siguint xpsión. µ = µ (6.37) La cuación básica a solv s [ ] H C φ (6.38) m [ K ] = i Emplando l Potncial vcto magnético. Las xpsions sultants son aplicabls a campos státicos y/o dinámicos pmabilidad no linal y campos pacialmnt otótopos. Ecuación a solv d v (6.39) [ C] u + [ K ] u = i dt Eduado Fías alo Página 32 d 352 Dpatamnto d ngniía Eléctica. UPC. ño 2.4

23 PORCOE L EUDO DE L QU ELECRC DE FLUO XL EDE L PLCCO DEL EODO DE LO ELEEO FO. E DOCORL. Gados d libtad (6.4) u = v Potncials vctos magnéticos d los lmntos v Potncial scala léctico intgado v = dt atics d coficints [ ] [ K ] [ ] [ ] [] K = B K L G [ K ] [ K ] + [ K ] + [ K ] L [ K ] ( [ ] ) [ ] ( [ ] [ ] [ σ ] ( v [ ] ) d = [ K ] (6.4) = (6.42) ν (6.43) G [ K ] ( [ ] ) [ ] ( [ ] ) d = µ (6.44) h 2 ( B ) ( B ( [ ] ) B [ ] ( ( ) d dν (6.45) = 2 d B [ K ] = ( [ ] ) [ σ ] ( ν [ ] ) d [ C ] B [ C ] [ C ] [ ] [ ] B C C = B [ C ] [ ] [ ] [ ] d (6.46) (6.47) = σ (6.48) [ C ] [ ] [ ] d = σ (6.49) [ C ] ( ) [ σ ] d = (6.5) Eduado Fías alo Página 33 d 352 Dpatamnto d ngniía Eléctica. UPC. ño 2.4

24 PORCOE L EUDO DE L QU ELECRC DE FLUO XL EDE L PLCCO DEL EODO DE LO ELEEO FO. E DOCORL. Cagas (6.5) i = t = + (6.52) = (6.53) = [ ] d ( [ ] ) H C [ ] d d (6.54) t = (6.55) t [ ] atiz d funcions d foma lmntals paa l potncial vcto magnético. =. [ ] cto d funcions d foma lmntals paa l potncial léctico scala. =. vcto fomado po los potncials lmntals. cto dnsidad d coint d la funt d coint. cto dnsidad d coint total. t H C olumn dl lmnto- Campo cocitivo. ν Rluctividad dl vacío. [ ν ] atiz d luctividad. dν h ( ) 2 d B Divada qu s obtin d la cuva B-H. [ σ ] atiz d conductividads. v cto vlocidad. La lación nt la magntización mannt y l campo cocitivo vin dado po la lación H C = ν ν [][ ] (6.56) Eduado Fías alo Página 34 d 352 Dpatamnto d ngniía Eléctica. UPC. ño 2.4

25 PORCOE L EUDO DE L QU ELECRC DE FLUO XL EDE L PLCCO DEL EODO DE LO ELEEO FO. E DOCORL Emplando l Potncial scala léctico. plicabl a poblmas dond l campo s lctostático. Ecuación a solv = (6.57) P [ K ] Q atiz d coficints P [ K ] ( ) []( ε ) d = (6.58) Cagas Q = Q + Q (6.59) Q = ρ d (6.6) Q = ρ d (6.6) cto d funcions d foma lmntals = ρ cto dnsidad d caga. ρ cto dnsidad supficial d caga agnituds sultants Rsultado obtnido po l método dl Potncial scala magnético. El sultado qu s obtin d solv l sistma (6.38) s l potncial scala gnalizado φ g. Po mdio d las funcions d foma s obtin l vcto intnsidad d campo. H = φ Funcions d foma. (6.62) α g El campo total sultant s obtin d suma a st campo l campo gnalizado dscito n 6.3. H = H + (6.63) g H α Eduado Fías alo Página 35 d 352 Dpatamnto d ngniía Eléctica. UPC. ño 2.4