Univerdidad de Buenos Aires - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - Departamento de Matemática

Transcripción

1 Univdidad d unos is - Facultad d incias Exactas y Natuals - Dpatamnto d Matmática LGER I - Páctica N - Pim cuatimst d 00. onjuntos: nocions lmntals Ejcicio. Dcidi, n cada uno caso d los siguints casos, si, ó =. i) = {,, 3}; = {,, 3} ii) = {,,, 3}; = {,, 3} iii) = {x IR / x + x 6 = 0}; = {, 3} iv) = {n, m}; = {min(n, m), max(n, m)} (dond n y m son númos als) v) = {(x, y) IR / x + y = }; = {(x, y) IR / x + y = } vi) = {(x, y) IR / x + y }; = {(x, y) IR / x + y } vii) = {(x, y) IR / (x + y) = x + y }; = {(x, y) IR / xy = 0} viii) = {(x, y) IR / x y = }; = {t(, ) + (0, ) / t IR} ix) = { ( )n m / n, m, IN}; = Q Ejcicio. a) Dscibi a cada uno d los siguints subconjuntos d IR mdiant una sola cuación: i) { 3,, 5} ii) (, ] [7, + ) b) Dscibi a cada uno d los siguints subconjuntos d IR mdiant una sola cuación: i) ii) iii) iv) v) vi)

2 Univdidad d unos is - Facultad d incias Exactas y Natuals - Dpatamnto d Matmática vii) (*) viii) Ejcicio 3. Dado l conjunto = {,,, {}, {, 3}, }, dcidi si cada una d las siguints afimacions s vdada o falsa: a) f) j) / b) g) {} k) 3 c) h) {{}} l) {, 3} d) {} i) {} m) {, } ) {, 3} Ejcicio 4. Si un conjunto tin n lmntos cuántos subconjuntos d n lmntos pos? Ejcicio 5. En cada uno d los siguints casos, dscibi l conjunto d pats dl conjunto po xtnsión: i) = {} ii) = {, } iii) = {,, 3} iv) = {, {, }} Obsva la lación qu xist nt la cantidad d lmntos d y la d su conjunto d pats. Ejcicio 6. S consida l conjunto d fncia V = {x IN / x 0}, y los subconjuntos = {, 4, 7, 0}, = {,, 3, 4, 5} y = {, 4, 6, 8}. Dscibi los siguints subconjuntos, n dond la pima indica complmnto spcto d V. i) ii) iii) iv) ( ) v) vi) ( ) vii) ( ) viii) ( ) ( ) ix) ( ) x) ( ) ( ) xi) ( ) xii) ( ) xiii) ( ) xiv) ( )

3 Univdidad d unos is - Facultad d incias Exactas y Natuals - Dpatamnto d Matmática Ejcicio 7. a) Una compañía tin 40 mplados d los cuals 40 obtuvion un aumnto, 5 obtuvion un ascnso y 60 d llos obtuvion ambas cosas. uántos mplados no obtuvion ni aumnto ni ascnso? b) En un gupo d 50 studiants, 83 s anotaon n nálisis, 67 s anotaon n lgba y 45 n ambas matias. uántos d los studiants no stán insciptos n ningún cuso? c) En un gupo d 0 alumnos, 63 studian Inglés, 30 studian Fancés y 50 studian lmán. Hay 5 alumnos qu studian xactamnt dos idiomas y 63 alumnos qu studian solamnt un idioma. 3 alumnos studian Inglés y Fancés, 30 studian Inglés y lmán y studian Fancés y lmán. uántos alumnos studian los ts idiomas al mismo timpo? uántos alumnos studian Inglés y Fancés po no lmán? uántos no studian ninguno d stos idiomas? Ejcicio 8. Enconta fómulas qu dsciban las pats sombadas d los siguints diagamas. Utiliza únicamnt intsccions, unions y difncias nt los conjuntos, y. i) iv) vii) ii) v) viii) iii) vi) ix) Ejcicio 9. Suponindo qu n l jcicio antio los conjuntos, y stán dfinidos spctivamnt po las popidads p, q y : i) Escibi, paa cada caso, una popidad qu, n téminos d p, q y, dfina las zonas sombadas. ii) Escibi las tablas d vdad d cada una d las xpsions n p, q y fomadas n l punto i). 3

4 Univdidad d unos is - Facultad d incias Exactas y Natuals - Dpatamnto d Matmática Ejcicio 0. Da un jmplo y un contajmplo paa cada una d las siguints igualdads d conjuntos i) ( ) = ii) ( ) = ( ) iii) = iv) = Ejcicio. S consida l conjunto = {,, 3}. S sab qu l conjunto, qu tin po lmntos a conjuntos, cumpl simultánamnt las siguints popidads: i) {, } ii) {} iii) iv), D D Es cito qu P()? Justifica. Ejcicio. Dmosta las siguints idntidads, dond, y son subconjuntos d un conjunto V y la pima indica complmnto spcto a V. i) ( ) = ii) ( ) = iii) ( ) = ( ) ( ) iv) ( ) = ( ) ( ) v) = vi) = vii) ( ) = ( ) viii) ( ) = ix) ( ) = ( ) ( ) x) ( ) = ( ) ( ) xi) ( ) = ( ) ( ) xii) ( ) = xiii) ( ) = ( ) ( ) xiv) = ( ) xv) ( ) = ( ) Ejcicio 3. Dmosta las siguints afimacions: i) ii) iii) = = iv) = v) ( ) = vi) ( ) ( ) = ( ) ( ) vii) ( ) ( ) = ( ) viii) P() P() 4

5 Univdidad d unos is - Facultad d incias Exactas y Natuals - Dpatamnto d Matmática Ejcicio 4. Un miso nvía sñals d difnts fcuncias a un cpto a tavés d un cabl conducto. S dipon d filtos qu djan pasa a unas sñals sí y a otas no, dpndindo d sus fcuncias. filto ada uno d stos filtos tin una llav qu al accionala invit l spcto d fcuncias qu l filto dja pasa. filto invtido Los filtos pudn conctas n si o n paallo paa foma nuvos filtos. conxión si conxión paalla S consida ahoa n l conjunto d todas las fcuncias y s idntifica a cada filto con l subconjunto fomado po aqullas fcuncias qu ést dja pasa. i) Obsva qu con la idntificación cién stablcida, s tinn las siguints cospondncias a) Filto invtido omplmnto b) onxión si Intscción c) onxión paalla Unión ii) Disña cicuitos paa la constucción d los siguints filtos a pati d los filtos, y a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) ( ) ( ) ) 5

6 Univdidad d unos is - Facultad d incias Exactas y Natuals - Dpatamnto d Matmática iii) Rdisña l siguint cicuito constuyndo oto quivalnt po qu utilic únicamnt dos filtos. qué conjunto cospond l filto sultant? iv) Son los siguints cicuitos quivalnts? En caso afimativo scibi la idntidad d conjuntos qu sulta y dmostala. Ejcicio 5. San,, y D subconjuntos d un conjunto univsal V. a) i) Dibuja un cicuito paa l conjunto [ (D ( ) ] utilizando únicamnt filtos paa,,, D y sus complmntos. ii) Poba qu, si D, [ (D ( ) ] = ( D) ( D ) ( D) b) i) Dibuja un cicuito paa l conjunto [ (D ) (D ) ] [ ( D) ] utilizando únicamnt filtos paa,,, D y sus complmntos. ii) Poba qu, si D, [ (D ) (D ) ] [ ( D) ] = ( D ) ( D) ( D) iii) Da un contajmplo paa la igualdad d ii) si D. c) i) Dibuja un cicuito paa l conjunto ( ) (D ) utilizando únicamnt filtos paa,,, D y sus complmntos. ii) S sab qu ( D) ( D ) = ( ) (D ). Poba qu ( ) D. 6

7 Univdidad d unos is - Facultad d incias Exactas y Natuals - Dpatamnto d Matmática. Rlacions nt conjuntos Ejcicio 6. Sindo X = {,, 3} Y = {a, b}, dscibi po xtnsión los siguints conjuntos: i) X Y iii) X X ii) Y X iv) Y Y Obsva la lación xistnt nt la cantidad d lmntos dl poducto catsiano y las cantidads d lmntos d los conjuntos involucados. Ejcicio 7. Escibi po xtnsión todas las lacions d n sindo = {, } y = {a, b} Ejcicio 8. Dados, y conjuntos, dmosta las siguints igualdads: i) ( ) = ( ) ( ) ii) ( ) = ( ) ( ) iii) ( ) = ( ) ( ) iv) ( ) = ( ) ( ) Ejcicio 9. Dado l conjunto = {,, 3, 4, 5}, s consida la lación a) Dscibi la lación R dando: R = {(, ), (, 3), (, 4), (3, 4), (4, 3), (4, 4), (5, 4)} i) Una matiz d 5 5 n la qu cada fila y cada columna cospond a un lmnto d y n cada ntada hay un o un 0 dpndindo d qu l pa cospondint sté o no n la lación. ii) Los puntos d intscción d una gilla qu psnt a iii) Un diagama d Vnn con flchas qu indiqun qu lmntos stán lacionados. b) onstui una nuva lación R aggando a la lación R la mno cantidad d pas posibl d modo qu R sa tansitiva. c) onstui una nuva lación R aggando a la lación R la mno cantidad d pas paa qu R sa una lación simética. d) onstui una nuva lación R 3 aggando a la lación R la mno cantidad d pas paa qu R 3 sa a la vz una lación simética y tansitiva. Es R 3 flxiva? Ejcicio 0. Dscibi las siguints lacions po xtnsión, mdiant matics y gillas y analiza la validz d las popidads flxiva, simética, antisimética y tansitiva. a b a c 3 c d b d

8 Univdidad d unos is - Facultad d incias Exactas y Natuals - Dpatamnto d Matmática Ejcicio. S considan las siguints lacions dl conjunto = {, 5, 7} n sí mismo. Dcidi si son flxivas, siméticas, antisiméticas, tansitivas y clasificalas n lacions d quivalncia o d odn. i) ii) {} iii) {(x, x) / x } iv) {(, 7), (, 5), (5, 7)} v) {(5, ), (7, ), (5, 7), (, )} vi) {(5, 7), (7, ), (, 5)} vii) {(, ), (5, 5), (7, 7), (, 5), (5, )} viii) {(, ), (5, 5), (7, 7), (, 5)} ix) {(, ), (5, 5), (, 5), (5, )} Ejcicio. i) Es R = {(a, b) IN IN / a + b s pa} una lación d quivalncia d IN n IN? ii) Es la lación R dfinida n ZZ ZZ como una lación d odn? arb a b iii) S consida la lación R d P(IR) n P(IR) dfinida po R / Dcidi si s flxiva, simética, antisimética, tansitiva, d quivalncia o d odn. Ejcicio 3. Sa un conjunto no vacío. Dcidi si cada una d las siguints afimacions s vdada o falsa. Justifica. i) R lación simética R no s lación antisimética ii) R lación d quivalncia R no s lación d odn iii) R lación simética y tansitiva y {x / y, (x, y) R} = R lación d quivalncia iv) R lación d quivalncia y d odn R = {(x, x) / x } v) S (S S) (( S) ( S)) s lación d quivalncia d n sí mismo. Ejcicio 4. Dado = {a, b, c, d}: i) onstui la patición d asociada a la lación d quivalncia R = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, c), (c, a), (a, d), (d, a), (c, d), (d, c)} ii) onstui la patición d asociada a la lación d quivalncia R = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, c), (c, a), (b, d), (d, b)} iii) onstui la lación d quivalncia R dfinida po la patición {{a, b, c}, {d}} Ejcicio 5. Dscibi po xtnsión todas las lacions d quivalncia d n sí mismo, sindo = {,, 3}. 8

9 Univdidad d unos is - Facultad d incias Exactas y Natuals - Dpatamnto d Matmática 3. Funcions Ejcicio 6. Dado = {,, 3, 4}, dcidi si cada uno d los siguints subconjuntos d s o no una función. Justifica: i) {(, ), (, ), (3, 3), (4, 4)} ii) {(, 4), (, 3), (, ), (4, )} iii) {(, 3), (, 4), (3, 4), (4, 4)} iv) {(, ), (, ), (3, ), (4, )} Ejcicio 7. Sa f: IR IR la función dada po f(x) = x. alcula: i) f(0), f(), f( ) ii) f(x + ) iii) f(x ) iv) f(x + y) v) f(x) + f(y) vi) f(x ) Ejcicio 8. Paa cada una d las siguints lacions n IR, scibi una tabla d valos, dibuja una cuva apoximada y dcidi si s tata o no d una función: i) y = x ii) x = y iii) y = x 3 /3 Ejcicio 9. Dtmina si las siguints funcions son inyctivas, sobyctivas o biyctivas y calcula, cuando xista, la función invsa. i) f: IR IR f(x) = x 3 ii) f: IN IN f(x) = x iii) f: ZZ ZZ f(x) = x iv) f: IN IN IN f(x, y) = x + y v) f: IR IR f(x, y) = xy vi) f: IR IR f(x, y) = (x, x + y) vii) f: IR IR f(x) = { x si x < 6 x + 6 si x 6 Ejcicio 30. Dtmina cuáls d las siguints lacions son funcions d n. En caso afimativo, studia inyctividad, sobyctividad y biyctividad. i) {(x, y) Q IR / x + 3y = } = Q IR. ii) {(x, y) ZZ IN / x + y = } = ZZ IN. iii) {(x, y) ZZ ZZ / x + y = } = ZZ ZZ. iv) {(x, y) IR IR / x y} = IR IR. 9

10 Univdidad d unos is - Facultad d incias Exactas y Natuals - Dpatamnto d Matmática Ejcicio 3. S consida la función f: IN IN dada po i) Es f inyctiva? ii) Es sobyctiva? { n/, si n s pa f(n) = n +, si n s impa Ejcicio 3. Dmosta qu si f: y g: son dos funcions, ntoncs valn las siguints popidads: i) Si g f s inyctiva, ntoncs f s inyctiva. ii) Si g f s sobyctiva, ntoncs g s sobyctiva. iii) Si f y g son ambas inyctivas, también lo s g f. iv) Si f y g son ambas sobyctivas, también lo s g f. v) Si f y g son ambas biyctivas, también lo s g f. Ejcicio 33. Sa l conjunto d todas las xpsions d la foma b 7 b 6 b 5 b 4 b 3 b b b 0 n las qu cada b i s o bin 0 o bin. Los lmntos d s llaman byts. ada una d las cifas d un byt s un bit (cada byt tin 8 bits). Los bits s idntifican po su posición dnto dl byt y stán numados n odn dscndnt d 7 a 0 (l bit d la dcha s l númo 0 y l d la izquida, l 7). S considan las siguints funcions d n : R: dsplaza cada bit un luga hacia la dcha, pon un 0 n l bit 7 y dscata l bit 0. L: dsplaza cada bit un luga hacia la izquida, pon un 0 n l bit 0 y dscata l bit 7. En lo qu sigu b dnota a un lmnto cualquia, po fijo, d fctúa un ND ( y lógico, ) bit a bit con b. (0 0 = 0, 0 = 0, 0 = 0, = ) O fctúa un OR ( o lógico, ) bit a bit con b. (0 0 = 0, 0 =, 0 =, = ) X fctúa un XOR ( o lógico xclusivo, ) bit a bit con b. (0 0 = 0, 0 =, 0 =, = 0) Ejmplos: R(0000) = 0000, L(0000) = Si b = 0000, (0000) = , O(0000) = 00 y X(0000) = alcula R L, L R,, O, O, X X. Solamnt una d stas funcions s biyctiva; dscubi cuál y nconta su invsa. 0

11 Univdidad d unos is - Facultad d incias Exactas y Natuals - Dpatamnto d Matmática plicacions Los opados lógicos pudn aplicas a las sñals lécticas digitals d la misma mana n qu s aplican a los símbolos y 0. Estas sñals son una psntación física d los valos vdado y falso. La analogía vin dada po sñal alta = ; sñal baja = 0 Paa cada opado lógico xist un cicuito cospondint. Los más básicos son: i) El cicuito NOT NOT con tabla d vdad E S 0 0 ii) El cicuito ND ND con tabla d vdad E E S iii) El cicuito OR OR con tabla d vdad E E S pati d stos cicuitos básicos s pudn constui otos qu alizan nuvas funcions lógicas. Po jmplo qu s llama NND y s simboliza NND qu s llama NOR y s simboliza Ejcicio. i) onstuya un cicuito OR usando sólo cicuitos NOT y ND. ii) onstuya un cicuito ND usando sólo cicuitos NOT y OR. iii) onstuya un cicuito XOR (OR xclusivo) iv) onsidmos l cicuito NOR

12 Univdidad d unos is - Facultad d incias Exactas y Natuals - Dpatamnto d Matmática R XOR R XOR Pub qu, indpndintmnt d cual sa la sñal R, la sñal qu apac n s xactamnt la misma qu nta po. Nota: Est cicuito pud s usado paa tansmiti mnsajs cifados. El pim XOR lo usa l tansmiso y l sgundo l cpto. La sñal R s una sñal d uido qu conocn ambos y qu s usa n la ntada paa modifica l mnsaj ants d nvialo y n la salida paa cupalo. v) Esciba las tablas d vdad d los siguints cicuitos E E S E E S vi) onstui un cicuito cuya tabla d vdad sa la siguint: E E E 3 S Ejcicio. El objtivo d st jcicio s mosta la vinculación qu xist nt los opados lógicos y la suma binaia.

13 Univdidad d unos is - Facultad d incias Exactas y Natuals - Dpatamnto d Matmática i) Expliqu, mdiant una tabla d vdad, qué salidas s y a s obtinn a pati d las ntadas x y n l siguint cicuito. Must admás qu si a =, ntoncs s = 0, x = y =. x y s ii) Llammos smisumado al cicuito d la pat i) y considmos l cicuito: a x x x 3 SEMI SUMDOR SEMI SUMDOR SEMI SUMDOR s a a) Pub qu = 0 cualsquia san los valos d x, x y x 3. b) Pub qu si a = 0, al mnos dos d los valos d ntada son 0. c) Pub qu s = a = únicamnt cuando x = x = x 3 =. d) Rsuma toda la infomación n una tabla d vdad. iii) Llammos sumado al cicuito d la pat ii) y considmos l cicuito: x y x y SEMI SUMDOR Pub qu st cicuito fctúa la suma binaia x x + y y a s s d los númos d dos cifas binaias x x y y. SUMDOR iv) Disñ un cicuito qu fctú la suma binaia d dos númos d 8 cifas binaias: x x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 + y y y 3 y 4 y 5 y 6 y 7 y 8 c s s s 3 s 4 s 5 s 6 s 7 s 8 s s a 3