Experimentos factoriales con factores aleatorios

Transcripción

1 Expimntos factoials con factos alatoios Intoducción Si considamos la situación d xpimntos factoials n los cuals s studian dos factos A y B, s pudn psnta dos modlos altnativos: MODELO DE EFECTOS ALEATORIOS: Modlo n los qu los nivls d A y B son slccionados al aza d una población gand d posibls nivls. MODELO DE EFECTOS MIXTOS: Modlo n los qu los nivls d un facto A son fijados po l invstigado mintas los nivls dl oto facto B son slccionados al aza d una población gand d posibls nivls. 1

2 Modlo Suponga qu s tinn los factos A y B y qu ambos tinn un númo gand d nivls qu son d intés. Slccionamos alatoiamnt a nivls d A y b nivls d B y montamos l nsayo n un disño compltamnt alatoizado. Si l xpimnto s plica vcs, ntoncs l modlos linal s: yijk i j ( τ β ) ε ijk µ + τ + β + + i 1,,..., a j 1,,..., b k 1,,..., S supon qu τ i, β j, (τ β) ij y ε ijk son vaiabls alatoias indpndints y qu s distibuyn: τ ~ N i β ~ N j ( τβ ) ε ijk ij ~ N ( 0; τ ) ( 0; β ) ( 0; τβ ) ( 0; ) ~ N ij La vaianza d cualqui obsvación s: Hipótsis y τ Nos intsa poba las siguints hipótsis: β τβ H H H 1 3 : : : τ 0 β 0 τβ 0 ANOVA Las sumas d cuadados s calculan igual qu con fctos fijos. Paa foma las stadísticas d puba, dbmos xamina la spanza d los cuadados mdios.

3 ANOVA (Continuación) Los cuadados mdios spados sultan: E ( A ) E ( B ) E ( AB ) E (D) + τβ + b τ F.V. g.l. SC F Facto A a - 1 SC A A Facto B b - 1 SC B B + τβ + a β + τβ A AB B AB Intacción (AxB) (a -1) * (b 1) SC AB AB AB D Eo Expimntal ab * (-1) SCD D Total N - 1 SCT ANOVA (Conclusions) Los componnts d vaianza s pudn stima po l método d análisis d vaianza, igualando los cuadados mdios obsvados a sus spctivos valos spados y solvindo las cuacions, qudando: ˆτ ˆβ ˆτβ ˆ D ( A AB ) b ( B AB ) a ( AB D) Una vz stimados cada uno d los componnts d vaianza podmos analiza la contibución d cada uno d llos a la vaianza total idntifica las pincipals funts d vaiación. 3

4 Ejmplo S qui sab si la vaiabilidad n la duación d batías laboadas con difnts matials y opadas a difnts tmpatuas stán dnto d los stándas acptabls paa su comcialización. Paa llo s slccionan alatoiamnt 3 tmpatuas d funcionaminto y 3 tipos d matials. S cunta con 4 pticions slccionadas n foma alatoia po cada tataminto. Vaiabl Tmpatuas Duación n hoas A B C Matial Cuado d Análisis d la Vaianza (SC tipo III) F.V. SC gl F p-valo Modlo 59416, 8 747,03 11,00 <0,0001 Matial(A) 10683,7 5341,86, 0,43 Tmpatua(B) 39118, ,36 8,14 0,0389 Int. (A*B) 9613, ,44 3,56 0,0186 Eo 1830, ,1 Total 77646,97 35 Las stimacions d las componnts d vaianza son: ˆ D ( A AB ) ( ) ˆ τ b 3*4 ( B AB ) ( ) ˆ β a 3*4 ( D) ( ) AB ˆ τβ

5 La stimación d la vaianza total d una obsvación s: y y + τ + β + τβ La intacción significativa implica qu la duación d las batías no vaia d mana congunt paa los distintos matials cuando son somtidas a difnts tmpatuas. Sin mbago la mayo pat d la vaiabilidad s db a la componnt tmpatua con un 51.4 % d la vaiabilidad total. Los ingnios d la fabica dbán dcidi si alguna d los componnts qu contibuyn a la vaiabilidad, n foma significativa, xcd un nivl acptabl y, d s ncsaio, dbán modifica la composición d los matials con l fin d disminui la vaiabilidad total. Expimntos factoials con factos anidados 5

6 Intoducción En algunos xpimntos factoials los nivls d un facto (B) son similas po no idénticos paa difnts nivls d oto facto (A). Est aglo s llama DISEÑO ANIDADO O JERÁRQUICO y s dic qu B stá anidado n A. Gnalmnt los factos qu stán anidados son alatoios. Po jmplo, una compañía compa su matia pima a ts difnts povdos. La compañía dsa dtmina si la puza d la matia pima s la misma n cada povdo. S slccionan cuato lots d matia pima d cada povdo y s tomaán ts dtminacions d puza n cada lot. Ejmplo Est s un disño anidado d tapas, con lot anidado n povdo, y obsvación anidada n lot. Una notación comúnmnt mplada paa indica qu un facto stá anidado n oto, s scibi nt paéntsis l facto dond s anida, po jmplo si l facto B s ncunta anidado n l facto A, s lo scib como B (A). 6

7 Po qué no son dos factos cuzados? Paa qu dos factos san cuzados los nivls d un facto, B, dbán s idénticos n todos los nivls dl oto facto, A, s dci cada nivl dl facto A contndá idénticos nivls dl facto B. En l jmplo, los lots d cada povdo son únicos paa l povdo x. Esto s, l lot 1 dl povdo 1 no tin nada qu v con l lot 1 d los otos povdos, s solamnt una tiquta. Una foma paa idntifica si un facto B stá anidado o cuzado con oto facto A, s obsva si los nivls dl facto B s pudn numa n foma abitaia, si s así ntoncs l facto B stá anidado n l facto A. Modlo Suponga qu s tinn dos factos fijos A y B y qu l facto B sta anidado n A. Si tnmos a nivls d A y b nivls d B y montamos l nsayo n un disño compltamnt alatoizado con pticions po tataminto, l modlo linal paa un disño anidado n dos tapas sá: yijk µ + τ + β + ε i j( i) k( ij) i 1,,..., a j 1,,..., b k 1,,..., Es convnint pnsa n las pticions como qu stán anidadas n la combinación d nivls d A y B. Como cada nivl d B no apac con cada nivl d A no hay intacción nt A y B. 7

8 ANOVA F.V. g.l. SC F Facto A a - 1 SC A A Facto B (A) a (b 1) SC B(A) B(A) A D B ( A) D Eo Expimntal ab * (-1) SCD D Total N - 1 SCT Suma d cuadado total SCT Y SC i, j, k i j k C Y i, j, k i j k Suma d cuadado facto A A Y 1 L + + Y b a C Yi i, j, k N j k SC Suma d cuadado facto B (A) B( A) Y 11 + L + Y ab 1 Y + L + Y b Suma d cuadado dl o (SCD) SCD SCT SC A SC B( A) a Hipótsis Hipótsis 1: No hay difncias nt los nivls dl facto A Hipótsis : No hay difncias nt los nivls dl facto B(A). En la hipótsis, s contasta la hipótsis d qu todos los nivls dl facto anidado B son iguals dnto dl facto A dond stán anidados. Si s obtin qu l facto B(A) s significativo a nivl global, s intsant contasta, a continuación, si los nivls dl facto B anidado n A son iguals nt sí, dnto d cada nivl i (d A) n l qu stán anidados. Así, paa cada nivl fijado d i, dond i 1,..., a s contasta si los nivls dl facto anidado son iguals o no dnto d cada uno d los nivls dl facto A n l qu stán anidados d mana individual. 8

9 Una vaiant Supongamos ahoa qu los factos A y B son alatoios y qu l facto B sta anidado n A. F.V. g.l. SC F Facto A a - 1 SC A A A B(A) Facto B (A) a (b 1) SC B(A) B(A) B(A) D Eo Expimntal ab * (-1) SCD D Total N - 1 SCT ˆ D + + y τ ( - ) β ( τ ) A B(A) ( ) ˆ τ B(A) D b ˆ β(τ) 9