Métodos de Diseño y Análisis de Experimentos

Transcripción

1 1 / 16 Métodos de Diseño y Análisis de Experimentos Patricia Isabel Romero Mares Departamento de Probabilidad y Estadística IIMAS UNAM mayo 2018

2 Ejemplo Modelos Mixtos 2 / 16

3 3 / 16 Ejemplo 1 (2 factores balanceado) Una compañía quiere reemplazar, en una de sus fábricas, las máquinas usadas para hacer cierto componente. Hay tres diferentes marcas de máquinas en el mercado. El gerente diseña un experimento para evaluar la productividad de las máquinas cuando son operadas por su propio personal. Se seleccionaron aleatoriamente seis empleados para participar en el experimento, cada uno de los cuales operó cada una de las máquinas en tres diferentes ocasiones. Los datos son calificaciones globales, que toman en cuenta el número y calidad de componentes producidos.

4 4 / 16 Ejemplo 1 (2 factores balanceado) Repetición Máquina Persona

5 5 / 16 Ejemplo 1 (2 factores balanceado) Repetición Máquina Persona

6 6 / 16 Ejemplo 1 (2 factores balanceado) El modelo es: y ijk = µ + τ i + p j + g ij + ε ijk i = 1,2,3 j = 1,...,6 k = 1,2,3 Donde µ es la media general, τ i efecto del tipo de máquina i, p j efecto aleatorio de la persona j, g ij interacción aleatoria máquina-persona y ε ijk error aleatorio asociado a la j-ésima persona operando la máquina i en el tiempo k. Los componentes aleatorios y sus correspondientes varianzas son: p j N(0,σ 2 p ) g ij N(0,σ 2 g ) ε ijk N(0,σ 2 )

7 7 / 16 Ejemplo 1 (2 factores balanceado) F.V. gl SS CM F E(CM) Máquina ** σ 2 + 3σg θτ 2 Persona *** σ 2 + 9σp 2 Máq x Pers *** σ 2 + 3σg 2 Error σ 2 La estimación de los componentes de varianza por el método de Momentos: Componente Estimación % del total Persona Máq x Pers Error Total

8 8 / 16 Ejemplo 1 (2 factores balanceado) Se rechaza la hipótesis de que el componente de varianza de la interacción es cero. Si fuera cero, indicaría que la diferencia en productividad entre todos los empleados (no solo los de la muestra) son similares para las tres máquinas. También indicaría que la diferencia en productividad entre las tres máquinas es similar para todos los empleados (no solo los de la muestra). Las inferencias son para la población de todos los empleados y no solamente para aquellos que fueron seleccionados aleatoriamente. La interpretación de la significancia del componente de varianza de la interacción Máquina x Persona es que la diferencia en productividad entre las máquinas varía dependiendo de la persona que use la máquina. O sea, se puede decir que algunas personas se adaptan mejor a algunas máquinas que a otras.

9 9 / 16 Ejemplo 1 (2 factores balanceado) Se rechaza la hipótesis de que el componente de varianza de persona es cero, lo que indica que existe una considerable variación en productividad entre los empleados de la planta. Se requiere un programa de entrenamiento para reducir esta variabilidad entre los empleados. Debido a que hay interacción máquina x persona no podemos probar cuál es la mejor marca de máquina.

10 10 / 16 Ejemplo 2 Un ingeniero industrial está estudiando la inserción a mano de componentes electrónicos en tarjetas de circuitos impresos para mejorar la velocidad de la operación de ensamblaje. Ha diseñado 3 dispositivos de ensamblaje y 2 esquemas que se ven prometedores. Se requieren operadores para realizar el ensamblado, por lo que decide seleccionar aleatoriamente 4 operadores para cada tipo de esquema. Ya que hay diferentes lugares donde se van a probar estos 2 factores, es difícil usar los mismos 4 operadores, por lo que los 4 operadores escogidos para el esquema 1 son diferentes a los 4 del esquema 2. Se corren en forma aleatoria la combinación de tratamientos y se obtienen 2 repeticiones. Se mide el tiempo de ensamblado en segundos.

11 11 / 16 Ejemplo 2 Esquema 1 2 Operador D i s p o s i t

12 12 / 16 Ejemplo 2 Este es un modelo mixto ya que dispositivos y esquemas son fijos y operador es aleatorio. En este modelo operadores están anidados en los niveles de esquema, mientras que dispositivos y esquemas están cruzados. y ijkl = µ + τ i + β j + γ k(i) + (τβ) ij + (βγ) jk(i) + ε l(ijk) τ i es el efecto del i-ésimo esquema, i = 1,2 β j es el efecto del j-ésimo dispositivo, j = 1,2,3 γ k(i) es el efecto del k-ésimo operador dentro del i-ésimo esquema, k = 1,2,3,4 (τβ) ij interacción esquema x dispositivo (βγ) jk(i) interacción dispositivo x operador dentro de esquema ε l(ijk) error, l = 1,2

13 13 / 16 Ejemplo 2 Note que no puede haber interacción esquema x operador por que no todos los operadores usan todos los esquemas, por lo tanto no puede haber interacción dispositivo x esquema x operador.

14 14 / 16 Ejemplo 2 Componente E(CM) Esquema Disposit σ 2 + 6σo θe 2 σ 2 + 2σod(e) θ d 2 esqxdis σ 2 + 2σod(e) 2 + 8θ ed 2 op(esq) op x dis(esq) σ 2 + 6σo 2 σ 2 + 2σod(e) 2 Error σ 2 Componente Esquema Dispositivo Esq x Dispo Operador(esq) Opera x Dispo(esq) Denominador (CM) Operador(esquema) Operador x Dispositivo(esquema) Operador x Dispositivo(esquema) error error

15 15 / 16 Ejemplo 2 F.V. gl SS CM F Prob > F Esquema Dispositivo Esq x Disp Operador(esq) Op x Disp(esq) Error

16 16 / 16 Reglas para encontrar E(CM) en diseños completos balanceados 1. El error, considerado jerárquico dentro de los demás factores, tendrá un componente de varianza σ 2 y es siempre aleatorio. 2. En cada hilera del A. de V. escriba los componentes de varianza que tienen todos los suscritos contenidos en los suscritos del factor en la hilera. 3. Determine qué suscritos no están presentes en cada componente de varianza. Multiplique el coeficiente de ese componente por el tamaño de muestra (número de niveles) de los factores correspondientes a los suscritos faltantes. 4. Multiplique el componente por (1 h/h) donde h es el número de niveles de un factor y H es el tamaño de la población de efectos. Así para efectos fijos h = H y para efectos aleatorios H =. El factor (1 h/h) multiplica a los componentes para cada factor H que está en el suscrito del componente y que no aparece dentro de un paréntesis y/o no está en el encabezado de la hilera. Excepto para σ 2.