Diseño de Experimentos

Transcripción

1 Diseño de Experimentos Tema 8. Diseño de Bloques al Azar JAIME MOSQUERA RESTREPO

2 DISEÑO DE BLOQUES El principio básico del diseño de experimentos consiste en garantizar la homogeneidad de las Unidades experimentales sometidas a diferentes tratamientos En algunas ocasiones no es posible garantizar que las unidades serán homogéneas, por tanto la aleatorización no puede hacerse de forma completa, sino restringida. Ejemplo: Usted necesita escoger entre 4 variedades diferentes de caña de azúcar, para ellos a decidido utilizar 3 parcelas que tiene disponible. El problema se presenta cuando se analiza el tipo de agua que se utiliza en cada una de esas parcelas, mientras que una se abastece de aguas subterraneas (colpozos), otra utiliza agua del Río Cauca impulsada por bombeo y la última emplea agua de un rió mucho mas pequeño (Río Bolo) y se sabe que está condición genera algún efecto sobre el crecimiento de la planta, como realizaría un efectivo procedimiento de aleatorización????

3 FORMACIÓN DE BLOQUES La inclusión de un factor bloque surge como la solución para eliminar el efecto que puede generar un factor perturbador identificado, medible y controlable. El factor bloque surge como consecuencia de limitaciones en la aleatorización de las unidades experimentales. La idea general consiste en realizar una repetición completa del experimento en cada uno de los niveles del factor bloque y realizar la aleatorizacion de los tratamientos dentro del factor bloque. Cada tratamiento se repite una vez dentro de cada nivel del bloque

4 EJEMPLO Se desea verificar si cuatro tipos de puntas presentan diferencias en su medición de la dureza (calibración). La maquina funciona presionando una punta sobre el material de prueba y se mide el grado de dureza a través de la profundidad de la depresión causada sobre el material. El problema que aquí se presenta es que se dispone de cuatro diferentes materiales para realizar la prueba. Identifique: Variable Respuesta: Factor de diseño y sus niveles: Factores perturbadores: Como realizaría la aleatorización?

5 DATOS Factor Bloque Ejemplar Tipo de Punta Y i. y i. E 1 E E 3 E 4 Total Promedio P P P P Y. j y. j Total Promedio Y.. y.. Factor de Diseño La asignación de las puntas a los ejemplares de prueba para cada tipo de material debe hacerse de forma aleatoria

6 Análisis Descriptivo Siempre deberá iniciarse por realizar un análisis descriptivo de la información disponible Dureza por Tipo de Punta Dureza por Ejemplar de Prueba 10, 10, 10,0 10,0 Dureza 9,8 9,6 Dureza 9,8 9,6 9,4 9,4 9, 9, P1 P Punta P3 P4 E1 E Ejemplar E3 E4

7 El MODELO DE ANALISIS y i = 1,,..., a = µ + τ + β + ε j = 1,,..., b ij i i ij Numero de niveles del tratamiento Numero de niveles del bloque Efecto del nivel i-simo del factor Efecto del nivel j-simo del factor bloque Var (total): Var (Tratamiento) + Var (Bloque) + Var (Error) PLANTEAMIENTO DE HIPOTESIS Ho : τ = τ = τ =... = τ =0 vs Ha : τ 0 i 1 3 a i para algún Dado que el efecto del factor bloque es conocido o no es de interés del experimento, no se plantean hipótesis respecto a su efecto

8 ANOVA (ESTADÍSTICO DE PRUEBA) En ocasiones se efectúa una prueba sobre el factor bloque, con el único objetivo de validar su inclusión

9 Descomposición de la Varianza Operando Algebraicamente SS (total): SS(Tratamiento) + SS (Bloque) + SS (Error)

10 Formulas Resumen Para el Calculo SS SS SS T a b = y i= 1 j= 1 Tratamientos Bloques ij y N a 1 = y b j= 1 i= 1 b 1 = y j a i y N y N SS = SS SS SS E T Tratamientos Bloques Suma de cuadrados de los totales por tratamiento Suma de cuadrados de los totales por bloque

11 RESULTADOS ANOVA Fuente Suma Cuadrados Grados de Libertad cuadrado medio F Significancia Tratamiento Bloque Error Total Según los resultados, se rechaza la hipótesis nula de igualdad de promedios, concluyendo que al menos una de las plumas presenta una medición diferente de la dureza del material

12 PRUEBAS POSTANOVA Pueden utilizarse las mismas pruebas descritas en el modelo ANOVA completamente al azar, con una ligera modificación en el número de replicas (n=b ) y los grados de libertad del error POTENCIA DE LA PRUEBA El procedimiento para calcular la potencia de la prueba es el similar al del caso completamente al azar, con la modificación del factor de no centralidad a b τ i nb D i = 1 Φ = a σ Φ = a σ

13 EL MODELO Y SUS ESTIMACIONES y ij = µ + τ i + βi + εij E( y ij ) = µ + τ + β i j τ = y y β j = y. j y.. i i... y = y + y y ˆij i.. j.. ε ˆ = y yˆ ij ij ij

14 Diseño de Experimentos Caso Ejemplo Diseño de Bloques JAIME MOSQUERA RESTREPO

15 EJEMPLO En una empresa lechera se tienen varios 5 silos para almacenar leche (Cisternas de 60000L). Un aspecto crítico en la conservación de la leche es su temperatura de almacenamiento Se desea identificar si existe algún silo cuya temperatura difiera del resto, puesto que para garantizar la homogeneidad del producto se requiere que se mantenga en condiciones similares de almacenamiento. El tiempo de almacenamiento mínimo es de (4.5 horas) Como diseñaría el experimento? Cuales son las hipótesis? Puede existir algún factor de confusión?

16 EJEMPLO Al parecer el cambio en la temperatura ambiente generaría una fuente de variabilidad que podría impactar la variabilidad total, por tal razón se ha decidido tomar mediciones en 5 momentos diferentes del día 1. Madrugada (:00 4:00 a.m.). Mañana (7:00 9:00 a.m.) 3. Mediodía (1:00 :00 p.m.) 4. Tarde (4:00 6:00 p.m) 5. Noche (7:00 9:00 p.m) Al finalizar se obtuvieron los siguientes resultados Franja SILO A B C 4,5 6,5 4,5 6 5 D ,5 4 E,5,0 3,0 3,0

17 EJEMPLO Tipo de Diseño: Diseño por Bloque Factor de Diseño: Silos (A, B, C, D, E) Factor Bloque: Franja del Día (Madrugada, Mañana, Mediodía, Tarde, Noche) Modelo de Análisis: y ij = µ + τ i + β j + ε ij i ( A, B, C, D, E ); j ( Mad, Mañ, Med, Tar, Noc ) µ τ i β j ε ij Temperatura promedio general de la leche almacenada. Efecto sobre la temperatura de la leche debido a su almacenamiento en el silo i Efecto sobre la temperatura de la leche debido a estar expuesta a la franja horaria j Error Experimental Hipótesis: Todos los silo presentan los mismos niveles de temperatura de almacenamiento Ho : τ A = τ B = τ C = τ D = τ E =0 vs Ha : τ i 0 para algún i

18 Análisis Descriptivo Individual Value Plot of Temp Individual Value Plot of Temp Temp 4 Temp A B C Silo D E 1 3 Franja 4 5 Variable Silo Mean StDev CoefVar Min Max Temp A 4,000 0,707 17,68 3,000 5,000 B 3,000 1,000 33,33,000 4,000 C 5,300 0,908 17,14 4,500 6,500 D 3,900 0,4 5,73 3,500 4,000 E,500 0,500 0,00,000 3,000 Variable Franja Mean StDev CoefVar Min Max Temp 1 3,600 0,8,8,500 4,500 3,700 1,857 50,0,000 6, ,700 1,04 3,54,000 5, ,900 1,43 36,71,000 6, ,800 0,837,0 3,000 5,000

19 ANOVA Analysis of Variance for Temp, using Adjusted SS for Tests Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Silo 4 3,0600 3,0600 5,7650 9,01 0,001 Franja 4 0,600 0,600 0,0650 0,10 0,980 Error 16 10,400 10,400 0,6400 Total 4 33, Existen diferencias en las temperatura del almacenamiento de los silos?. El Franja del día presentó influencia sobre la temperatura de almacenamiento?

20 Cual(es) es el silo(s) diferente? PostANOVA Tukey Simultaneous Tests Response Variable Temp All Pairwise Comparisons among Levels of Silo Silo = A subtracted from: Difference SE of Adjusted Silo of Means Difference T-Value P-Value B -1,000 0,5060-1,976 0,30 C 1,300 0,5060,569 0,139 D -0,100 0,5060-0,198 0,9996 E -1,500 0,5060 -,965 0,0603 Silo = B subtracted from: Difference SE of Adjusted Silo of Means Difference T-Value P-Value C,3000 0,5060 4,5458 0,006 D 0,9000 0,5060 1,7788 0,418 E -0,5000 0,5060-0,988 0,8568 Silo = C subtracted from: Difference SE of Adjusted Silo of Means Difference T-Value P-Value D -1,400 0,5060 -,767 0,0870 E -,800 0,5060-5,534 0,0004 Silo = D subtracted from: Difference SE of Adjusted Silo of Means Difference T-Value P-Value E -1,400 0,5060 -,767 0,0870 Tukey 95,0% Simultaneous Confidence Intervals Response Variable Temp All Pairwise Comparisons among Levels of Silo Silo = A subtracted from: Silo Lower Center Upper B -,549-1,000 0,54915 (-----*-----) C -0,49 1,300,84915 (-----*-----) D -1,649-0,100 1,44915 (------*-----) E -3,049-1,500 0,04915 (-----*-----) ,5 0,0,5 Silo = B subtracted from: Silo Lower Center Upper C 0,751,3000 3,849 (-----*-----) D -0,649 0,9000,449 (------*-----) E -,049-0,5000 1,049 (-----*-----) ,5 0,0,5 Silo = C subtracted from: Silo Lower Center Upper D -,949-1,400 0,149 (-----*------) E -4,349 -,800-1,51 (-----*-----) ,5 0,0,5 Silo = D subtracted from: Silo Lower Center Upper E -,949-1,400 0,1491 (-----*------) ,5 0,0,5

21 VALIDACIÓN DE SUPUESTOS Promedio de los residuales igual a cero One-Sample T: RESI1 Test of mu = 0 vs not = 0 Variable N Mean StDev SE Mean 95% CI T P RESI1 5-0,000 0,653 0,131 (-0,70. 0,70) -0,00 1,000

22 Varianza Constante VALIDACIÓN DE SUPUESTOS 1,6 Individual Value Plot of Res () 1,4 1, 1,0 Res () 0,8 0,6 0,4 0, 0,0 A B C Silo D E Test for Equal Variances for RESI1 Test for Equal Variances for RESI1 A B Bartlett's Test Test Statistic 4,33 P-Value 0,364 Levene's Test Test Statistic 1,11 P-Value 0,381 1 Bartlett's Test Test Statistic,57 P-Value 0,63 Levene's Test Test Statistic 0,90 P-Value 0,481 Silo C Franja 3 D 4 E % Bonferroni Confidence Intervals for StDevs % Bonferroni Confidence Intervals for StDevs 4

23 Normalidad de los errores VALIDACIÓN DE SUPUESTOS