Tema 9: Introducción al problema de la comparación de poblaciones

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1 Tema 9: Introducción al problema de la comparación de poblaciones Estadística. 4 o Curso. Licenciatura en Ciencias Ambientales Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 9: Introducción al problema de la comparación de poblaciones Curso / 17

2 Índice 1 Contrastes de una muestra 2 Comparación de dos poblaciones 3 Introducción al Análisis de la Varianza 4 Un Factor: Diseño completamente aleatorizado 5 Un Factor: Diseño por Bloques al azar Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 9: Introducción al problema de la comparación de poblaciones Curso / 17

3 3. Contrastes de una muestra Para la media Sea x 1,..., x n una Muestra Aleatoria Simple de una variable X N(µ, σ). Contraste σ conocida Se rechaza H 0 si σ desconocida Se rechaza H 0 si H 0 : µ = µ 0 H 0 : µ µ 0 H 0 : µ µ 0 H 1 : µ µ 0 H 1 : µ > µ 0 H 1 : µ < µ 0 X µ 0 σ/ n > z α/2 X µ 0 S/ n > t n 1,α/2 X µ 0 σ/ n > zα X µ 0 σ/ n > zα X µ 0 S/ n > t n 1,α X µ 0 S/ n > t n 1,α Si n 60, los test anteriores son válidos aunque no se verifique la hipótesis de normalidad. Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 9: Introducción al problema de la comparación de poblaciones Curso / 17

4 3. Contrastes de una muestra Para la varianza Sea x 1,..., x n una Muestra Aleatoria Simple de una variable X N(µ, σ). Contraste H 0 : σ 2 = σ 2 0 H 1 : σ 2 σ 2 0 H 0 : σ 2 σ 2 0 H 1 : σ 2 > σ 2 0 H 0 : σ 2 σ 2 0 H 1 : σ 2 < σ 2 0 µ desconocida Se rechaza H 0 si (n 1)S 2 σ 2 0 (n 1)S 2 σ 2 0 < χ 2 n 1,1 α 2 ó > χ 2 n 1, α 2 (n 1)S 2 σ0 2 >χ 2 n 1,α (n 1)S 2 σ0 2 <χ 2 n 1,1 α Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 9: Introducción al problema de la comparación de poblaciones Curso / 17

5 3. Contrastes de una muestra Para una proporción Sea x 1,..., x n una Muestra Aleatoria Simple de una variable X de Bernoulli de parámetro p. Contraste Se rechaza H 0 H 0 : p = p 0 H 0 : p p 0 H 0 : p p 0 H 1 : p p 0 H 1 : p > p 0 H 1 : p < p 0 n (ˆp p0 ) p p0 (1 p 0 ) > z α/2 n (ˆp p0 ) p p0 (1 p 0 ) > zα n (ˆp p0 ) p p0 (1 p 0 ) > zα Puesto que se utiliza la aproximación de la binomial por normal, los test anteriores son válidos si np 0 (1 p 0 ) > 5. Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 9: Introducción al problema de la comparación de poblaciones Curso / 17

6 Comparación de dos poblaciones Muestras independientes: comparación de varianzas Sean x 1,..., x n e y 1,..., y m muestras independientes de dos variables X N(µ X, σ X ) e Y N(µ Y, σ Y ). Contraste Se rechaza H 0 si 8 >< >: S 2 X S 2 Y S 2 X S 2 Y H 0 : σ 2 X = σ2 Y H 1 : σ 2 X σ2 Y > F n 1,m 1,α/2 ó < F n 1,m 1,1 α/2 S 2 X S 2 Y H 0 : σ 2 X σ2 Y H 1 : σ 2 X > σ2 Y > F n 1,m 1,α S 2 X S 2 Y H 0 : σ 2 X σ2 Y H 1 : σ 2 X < σ2 Y < F n 1,m 1,1 α Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 9: Introducción al problema de la comparación de poblaciones Curso / 17

7 Comparación de dos poblaciones Muestras independientes: comparación de medias Sean x 1,..., x n e y 1,..., y m muestras independientes de dos variables X N(µ X, σ X ) e Y N(µ Y, σ Y ). Contraste σ 2 X = σ2 Y Se rechaza H 0 si H 0 : µ X = µ Y H 1 : µ X µ Y X Ȳ r Sp 2 1n + m 1 > t n+m 2,α/2 H 0 : µ X µ Y H 1 : µ X > µ Y X Ȳ r Sp 2 1n + m 1 > t n+m 2,α σ 2 X σ2 Y Se rechaza H 0 si X Ȳ r S 2 Xn + S2 Ym > t f,α/2 X Ȳ r S 2 Xn + S2 Ym > t f,α S 2 Xn + S2 Ym «2 siendo S 2 p = (n 1)S2 X + (m 1)S2 Y n + m 2 y f el número entero más próximo a S 4 X n 2 (n+1) + 2. S4 Y m 2 (m+1) Si n, m 60, los test anteriores son válidos aunque no se verifique la hipótesis de normalidad. Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 9: Introducción al problema de la comparación de poblaciones Curso / 17

8 Comparación de dos poblaciones Muestras apareadas: comparación de medias Sean (x 1, y 1 ),..., (x n, y n ) muestras de X N(µ X, σ X ) e Y N(µ Y, σ Y ), tales que X e Y están relacionadas. Contraste Se rechaza H 0 si H 0 : µ X = µ Y H 1 : µ X µ Y X Ȳ S d / n > t n 1,α/2 H 0 : µ X µ Y H 1 : µ X > µ Y X Ȳ S d / n > t n 1,α siendo S d la desviación típica de la muestra x 1 y 1,..., x n y n. Si n 60, los test anteriores son válidos aunque no se verifique la hipótesis de normalidad. Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 9: Introducción al problema de la comparación de poblaciones Curso / 17

9 Comparación de dos poblaciones Muestras independientes: comparación de proporciones Sean x 1,..., x n e y 1,..., y m muestras independientes de dos variables X e Y con distribuciones de Bernoulli de parámetros p X y p Y, respectivamente. Contraste Se rechaza H 0 si H 0 : p X = p Y H 1 : p X p Y s ˆp X ˆp Y 1 ˆpˆq n + 1 «> z α/2 m H 0 : p X p Y H 1 : p X > p Y ˆp X ˆp Y 1 sˆpˆq n + 1 «> zα m siendo ˆp X y ˆp Y los estimadores de p X y p Y, respectivamente, ˆp = nˆp X + mˆp Y n + m y ˆq = 1 ˆp. Puesto que se utiliza la aproximación de la binomial por la normal, para que los test anteriores sean válidos se ha de verificar que nˆpˆq 5 y mˆpˆq 5. Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 9: Introducción al problema de la comparación de poblaciones Curso / 17

10 Introducción al Análisis de la Varianza Análisis de la varianza Es el procedimiento estadístico que consiste en dividir la variación total en las observaciones de una variable cuantitativa X en componentes que pueden atribuirse a alguna causa reconocible y utilizarse para contrastar la hipótesis de interés. Variables y factores En este tema vamos a generalizar el estudio del tema anterior a la comparación de k medias. Cada una de estas medias describe el comportamiento de X en una determinada subpoblación o el nivel de respuesta de X ante determinado tratamiento. La variable cualitativa que agrupa las distintas subpoblaciones o los distintos tratamientos se denomina factor. Podemos decir por tanto, que en este tema estudiaremos como determinar si existe o no relación entre una variable cuantitativa y una cualitativa (el factor). Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 9: Introducción al problema de la comparación de poblaciones Curso / 17

11 Introducción al Análisis de la Varianza Planteamiento del problema Supongamos que tenemos las siguientes variables: X variable cuantitativa continua, que supondremos con distribución normal. F variable cualitativa (factor). A sus posibles valores T 1,..., T k se les denomina tratamientos. F divide la población en k subpoblaciones. Denotaremos µ i la media de X en la subpoblación formada por los individuos a los que se ha aplicado el tratamiento T i (i = 1,..., k). La distribución de probabilidad sobre esta subpoblación se supone N(µ i, σ) (la desviación típica σ debe ser igual en todas las subpoblaciones). Estamos interesados en contrastar la hipótesis: H 0 : µ 1 = = µ k H 1 : µ i µ j para ciertos i, j Si aceptamos H 0 la media de la variable será la misma independientemente del tratamiento aplicado y por tanto X y F no están relacionadas. Por el contrario, si rechazamos H 0, X y F están relacionadas. Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 9: Introducción al problema de la comparación de poblaciones Curso / 17

12 Un Factor: Diseño completamente aleatorizado Toma de datos Para cada tratamiento o en cada subpoblación se tomará una muestra de individuos. Obtendremos por tanto k muestras independientes que se dispondrán del siguiente modo: Tratamientos T 1 T 2... T k X 11 X X k1 X 12 X X k X 1n1 X 2n2... X knk Medias X 1. X X k. X.. Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 9: Introducción al problema de la comparación de poblaciones Curso / 17

13 Un Factor: Diseño completamente aleatorizado Análisis de la varianza Al dividir la variabilidad total entre sus componentes nos encontramos con las siguientes fuentes de variación: Variabilidad entre tratamientos: SCTr = P k Variabilidad residual: SCE = P k i=1 Variabilidad total: SCT = P k i=1 i=1 n i( X i. X..) 2 P ni j=1 (X ij X i. ) 2 P ni j=1 (X ij X..) 2 Tabla ANOVA de una vía (N es el número total de datos): F.V. g.l. S.C. M.C. Vexp Vteor Tratam. k 1 SCTr MCTr = SCTr k 1 Error N k SCE MCE = SCE N k Total N 1 SCT MCTr MCE F k 1,N k,α Rechazamos H 0 al nivel α si Vexp F k 1,N k,α Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 9: Introducción al problema de la comparación de poblaciones Curso / 17

14 Un Factor: Diseño completamente aleatorizado Comparaciones múltiples Cuando en los modelos anteriores se acepta H 1, tenemos constancia de que hay diferencias entre al menos dos tratamientos. Sería conveniente averiguar cuáles son dichos tratamientos. Para ello se utiliza un procedimiento de comparaciones múltiples. Los contrastes que se plantean son: H 0 : µ i = µ j H 1 : µ i µ j i, j = 1,..., k Método de la mínima diferencia significativa (LSD): 1 LSD = t N k,α/2 smce + 1 «n i n j Rechazamos H 0, es decir, la diferencia es significativa al nivel α si X i. X j. LSD Método de Bonferroni: Análogo al anterior pero en el cálculo de LSD sustituimos α por α/`k 2 Método de Tukey: En principio válido para k muestras que tengan el mismo tamaño (n). Calculamos HSD = q k,n k,α r MCE n Rechazamos H 0, es decir, la diferencia es significativa a nivel α si X i. X j. HSD. Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 9: Introducción al problema de la comparación de poblaciones Curso / 17

15 Un Factor: Diseño por Bloques al azar Toma de datos El diseño por bloques se utiliza cuando las unidades experimentales en las que se mide la variable X se hallan agrupadas. Como resultado se obtienen k muestras relacionadas con la siguiente disposición: Tratamientos T 1 T 2... T k Medias 1 X 11 X X k1 X.1 Bloques 2 X 12 X X k2 X b X 1b X 2b... X kb X.b Medias X 1. X X k. X.. Se denomina bloque a cada uno de los grupos de observaciones. Los bloques son otra fuente de variabilidad que debemos considerar en la tabla ANOVA. Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 9: Introducción al problema de la comparación de poblaciones Curso / 17

16 Un Factor: Diseño por Bloques al azar Análisis de la Varianza En este caso tenemos las siguientes fuentes de variación: Variabilidad entre tratamientos: SCTr = P k i=1 b( X i. X..) 2 Variabilidad entre bloques: SCBl = P b j=1 k( X.j X..) 2 Variabilidad residual: SCE = P k P b i=1 j=1 (X ij X i. X.j + X..) 2 Variabilidad total: SCT = P k P b i=1 j=1 (X ij X..) 2 Tabla ANOVA: F.V. g.l. S.C. M.C. Vexp Vteor Tratam. k 1 SCTr MCTr = SCTr k 1 Bloques b 1 SCBl MCBl = SCBl b 1 Error (k 1)(b 1) SCE SCE MCE = (k 1)(b 1) Total kb 1 SCT MCTr MCE F k 1,(k 1)(b 1),α Rechazamos H 0 al nivel α si Vexp F k 1,(k 1)(b 1),α Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 9: Introducción al problema de la comparación de poblaciones Curso / 17

17 Un Factor: Diseño por Bloques al azar Comparaciones múltiples Los contrastes que se plantean son: H 0 : µ i = µ j H 1 : µ i µ j i, j = 1,..., k Método de la mínima diferencia significativa (LSD): LSD = t (k 1)(b 1),α/2 r 2MCE b Rechazamos H 0, es decir, la diferencia es significativa al nivel α si X i. X j. LSD Método de Bonferroni: Análogo al anterior pero en el cálculo de LSD sustituimos α por α/`k 2 Método de Tukey: HSD = q k,(k 1)(b 1),α r MCE b Rechazamos H 0, es decir, la diferencia es significativa a nivel α si X i. X j. HSD. Licenciatura en Ciencias Ambientales (4 o Curso) Tema 9: Introducción al problema de la comparación de poblaciones Curso / 17