Diferentes tamaños de u.e. Diseño de experimentos p. 1/24

Transcripción

1 Diferentes tamaños de u.e. Diseño de experimentos p. 1/24

2 Introducción Los diseños experimentales que tienen varios tamaños de u.e. son: diseños de mediciones repetidas, diseños de parcelas divididas, algunos diseños anidados y diseños que tienen combinaciones de ellos. La característica que distingue a estos tipos de diseños es que se utilizan más de un tamaño de u.e. Cada tamaño de u.e. tiene sus propias estructuras de diseño y de tratamientos. Ya que hay más de un tamaño de u.e., hay más de un término de error, esto es, hay un término de error para cada tamaño de u.e. lo cual está reflejado tanto en el modelo como en la tabla de ANOVA. Diseño de experimentos p. 2/24

3 Parcelas Divididas El diseño de parcelas divididas (split-plot) tiene su origen en aplicaciones en Agricultura, donde las parcelas grandes generalmente eran grandes áreas y las parcelas pequeñas áreas pequeñas dentro de las grandes, y a cada una de los dos tamaños de parcela le corresponde un tratamiento. Por ejemplo, ciertas variedades de cultivo se podían sembrar en áreas diferentes (parcelas grandes), una variedad en cada parcela. Luego cada área se divide en k parcelas pequeñas y cada una de estas puede ser tratada con un tipo de fertilizante diferente. La variedad del cultivo es el tratamiento de la parcela grande y el fertilizante el de la parcela pequeña. Diseño de experimentos p. 3/24

4 Parcelas Divididas En general, el diseño de parcelas divididas se utiliza cuando algunos factores requieren u.e. grandes, mientras que otros factores las requieren más pequeñas. Alternativamente, algunas veces encontramos que la aleatorización completa no es factible por que es más difícil cambiar los niveles de algunos factores, por lo que los factores difíciles van a las parcelas grandes, mientras que los fáciles van a las pequeñas. Ejemplo de hornos y recetas de pastel. Diseño de experimentos p. 4/24

5 Parcelas Divididas La clave para construir los modelos de los diseños de parcelas divididas es identificar los diferentes tamaños de las unidades experimentales e identificar sus correspondientes estructuras de diseño y de tratamientos. Las suposiciones de los modelos de parcelas divididas son las usuales, en el sentido de que los términos de error para cada una de los tamaños de ue se distribuyen independientemente como normales con media cero y una varianza propia. A continuación se muestran algunos ejemplos tomados de varios libros. Diseño de experimentos p. 5/24

6 Ejemplo 1 parcelas divididas Ejercicio 6, cap 14 Kuehl. Un investigador de una compañía de mariscos quiere estudiar el crecimiento bacterial en ostiones y mejillones sujetos a tres temperaturas de almacenamiento. Están disponibles nueve unidades de enfriamiento. Se selecionaron aleatoriamente tres unidades para cada una de las temperaturas. Los ostiones (1) y los mejillones (2) se guardaron por dos semanas en cada uno de las unidades de enfriamiento, después de lo cual se contó el número de bacterias en una muestra de ostiones y mejillones. Se registró el logaritmo del conteo bacterial. Diseño de experimentos p. 6/24

7 Ejemplo 1 Unidad Temp ( C) Marisco y Unidad Temp( C) Marisco y ParcelasDivididasMariscos.jmp Diseño de experimentos p. 7/24

8 Ejemplo 1 Este es un experimento de parcelas divididas en diseño completamente al azar. El modelo para este experimento es: y ijk = µ + T i + U j(i) + M k + (TM) ik + ǫ ijk i = 1, 2, 3 j = 1, 2, 3 k = 1, 2 donde: T i es el efecto de la temperatura (tratamiento de parcela grande) U j(i) es el error de parcela grande (aleatorio) M k es el efecto de marisco (tratamiento de parcela pequeña) (TM) ik interacción temperatura x marisco ǫ ijk error de parcela pequeña (aleatorio) Diseño de experimentos p. 8/24

9 Ejemplo 1 Componente E(CM) Temperatura σ 2 + 2σU(T) 2 + 6θ2 T Error (a)=u(t) σ 2 + 2σU(T) 2 Marisco σ 2 + 9θM 2 T x M σ 2 + 3θTM 2 Error(b) σ 2 Las F se construyen de la siguiente manera: Temperatura: Marisco: T x M: CM T /CM U(T) CM M /CME CM TM /CME Diseño de experimentos p. 9/24

10 Ejemplo 1 F.V. gl SS CM F p-value Temperatura Error (a) Marisco T x M Error (b) Total Las estimaciones de los componenetes de varianza con el método de Momentos son: Componente Estimación % de varianza total U(T) Error (b) Total Diseño de experimentos p. 10/24

11 Ejemplo 2 parcelas divididas El dueño de una fábrica de papel está interesado en estudiar el efecto de tres métodos diferentes de preparar la pulpa y cuatro diferentes temperaturas de cocinado (horneado) para la pulpa, en la resistencia del papel. El investigador decide correr tres repeticiones de este experimento factorial, por lo que necesita (3 x 4 x 3) 36 observaciones. Sin embargo, la planta es capaz de hacer solamente 12 corridas por día, entonces el investigador decide correr una repetición del factorial completo en cada uno de los 3 días necesarios y considerar los días o repeticiones como bloques. Diseño de experimentos p. 11/24

12 Ejemplo 2 El experimento se llevó a cabo, en cada uno de los días, de la siguiente manera: Se produce un lote de pulpa con uno de los tres métodos bajo estudio. Este lote de pulpa se divide en cuatro muestras y cada muestra se cocina con una de las cuatro temperaturas. Entonces, se produce el segundo lote de pulpa usando otro de los tres métodos, el cual también se divide en cuatro muestras que se cocinan con las cuatro temperaturas. El proceso se repite usando un lote de pulpa producido por el tercer método. Los datos son: Diseño de experimentos p. 12/24

13 Ejemplo 2 Bloque 1 Bloque 2 Bloque 3 Pulpa Temp F Inicialmente podríamos considerar que es un experimento factorial con 3 métodos de preparación (A) y cuatro niveles de temperatura (B) en bloques al azar. Diseño de experimentos p. 13/24

14 Ejemplo 2 Si este fuera el caso entonces el orden de experimentación dentro del bloque debería ser completamente aleatorio. Esto es, dentro de un bloque (día), deberíamos seleccionar aleatoriamente una combinación de niveles (tratamiento) (un método de preparación y una temperatura) y obtener una observación, seleccionamos aleatoriamente otro tratamiento y obtenemos una segunda observación, y así, sucesivamente, hasta que se tengan las 12 observaciones en el bloque. Sin embargo, el investigador no obtuvo sus datos de esa manera. Él hizo un lote de pulpa (con alguno de los métodos) y obtuvo las observaciones para las 4 temperaturas con el mismo lote de pulpa. Dada la economía de preparar los lotes y el tamaño de los lotes, ésta es la única forma factible de hacer el experimento. Diseño de experimentos p. 14/24

15 Ejemplo 2 Cada bloque se divide en tres partes llamadas parcelas grandes, y los métodos de preparación se llaman tratamientos principales o de parcela grande. Cada parcela grande se divide en cuatro partes llamadas parcelas pequeñas, y se asigna al azar una temperatura a cada una. La temperatura se llama tratamiento de la parcela pequeña. El modelo lineal para este diseño en parcelas divididas es: y ijk = µ+τ i +β j +(τβ) ij +γ k +(τγ) ik +(βγ) jk +(τβγ) ijk +ǫ ijk Diseño de experimentos p. 15/24

16 Ejemplo 2 donde µ es la media general τ i efecto de método de preparación de la pulpa (i = 1, 2, 3) β j efecto del bloque (j = 1, 2, 3) (τβ) ij error de parcela grande γ k efecto de temperatura (k = 1, 2, 3, 4) (τγ) ik y (βγ) jk interacciones (τβγ) ijk error de parcela pequeña ǫ ijk no estimable parcelasdiv.jmp Diseño de experimentos p. 16/24

17 Ejemplo 2 Las esperanzas de cuadrados medios son: Factor E(CM) Pulpa τ i σ 2 + 4στβ σ2 τ Bloque β j σ σβ 2 PxB (τβ) ij σ 2 + 4στβ 2 Temp γ k σ 2 + 3σβγ σ2 γ PxT (τγ) ik σ 2 + στβγ 2 + 3σ2 τγ BxT (βγ) jk σ 2 + 3σβγ 2 PxBxT (τβγ) ijk σ 2 + στβγ 2 Error ǫ ijk σ 2 Diseño de experimentos p. 17/24

18 Ejemplo 2 Las estadísticas F se construyen de la siguiente manera: Pulpa: Temperatura: P x T: B x T: PxBxT: CM P /CM PxB CM T /CM BxT CM PxT /CM PxBxT no hay prueba no hay prueba Diseño de experimentos p. 18/24

19 Ejemplo 2 FV gl SS CM F p-value Pulpa Bloque PxB=error(a) Temp PxT BxT PxBxT=error(b) Error 0 Total Diseño de experimentos p. 19/24

20 Ejemplo 3 Ejemplo 24.1 Milliken & Johnson Los datos son los rendimientos en libras de dos variedades de trigo (B) sembradas en cuatro diferentes métodos de fertilización. El área fue dividida en dos bloques, cada uno conteniendo cuatro parcelas. Cada uno de los cuatro fertilizantes se asignaron aleatoriamente a una de las parcelas grandes en cada bloque. Entonces, el diseño experimental para las parcelas grandes consistió en un bloques al azar y un solo factor (Fertilizante), con dos bloques y en cada uno cuatro parcelas grandes. Diseño de experimentos p. 20/24

21 Ejemplo 3 Cada parcela grande se dividió en dos partes (parcelas pequeñas) y se asignó aleatoriamente una variedad de trigo a cada parcela pequeña dentro de la parcela grande. El diseño experimental de las parcelas pequeñas es un bloques al azar con un solo factor (Variedad), con ocho bloques y en cada uno dos parcelas pequeñas. El modelo para este experimento es: y ijk = µ + F i + B j + e ij } parcela grande + V k + FV ik + ǫ ijk } parcela pequeña donde i = 1, 2, 3, 4; j = 1, 2; k = 1, 2 y e ij NID(0, σ 2 e) ǫ ijk NID(0, σ 2 ǫ) Diseño de experimentos p. 21/24

22 Ejemplo 3 Las esperanzas de cuadrados medios son: FV gl E(CM) F i 3 σ 2 + 2σ 2 e + 4σ 2 F B j 1 σ 2 + 8σB 2 e ij 3 σ 2 + 2σe 2 V k 1 σ 2 + 8σV 2 FV ik 3 σ 2 + 2σFV 2 ǫ ijk 4 σ 2 Total 15 Diseño de experimentos p. 22/24

23 Ejemplo 3 Tabla de Análisis de Varianza FV gl SC CM F p Fertilizante Bloque FxB-error(a) Variedad FxV Error-error(b) Total Diseño de experimentos p. 23/24

24 Ejemplo 3 Usando el método de momentos para estimar los componentes de varianza de los dos errores, tenemos: CM error(a) = σ 2 + 2σ 2 e CM error(b) = σ 2 Por lo tanto, ˆσ 2 = CM error(b) = 2.11 ˆσ e 2 = CM error(a) ˆσ 2 = ej24_1_messy.jmp Diseño de experimentos p. 24/24