DISEÑO FACTORIAL MODELO JERÁRQUICO (0 ANIDADO)

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1 DISEÑO FACTORIAL Niveles de B Niveles de A y 11 y 12 y 13 y 14 y 15 2 y 21 y 22 y 23 y y 3 y 31 y 32 y 33 y 34 y 35 4 y 41 y 42 y 43 y 44 y 45 Todos los niveles de cada factor están combinados con todos los niveles de los restantes factores MODELO JERÁRQUICO (0 ANIDADO) Ciertos niveles de B están ligados a ciertos niveles de A. Niveles de B Niveles de A y 11 y 12 2 y 23 3 y 34 4 y 45 La presencia de un nivel de B depende de la de un cierto nivel de A; en este caso diremos que el factor B está anidado en el factor A,yconB j(i) indicaremos que el j ésimo nivel de B corresponde al i-ésimo de A. Modelo equilibrado: Un factor anidado con el mismo número de observaciones por celda Modelo no-equilibrado: Un factor anidado con distinto número de observaciones por celda 1

2 DISEÑO JERÁRQUICO CON UN FACTOR ANIDADO Y EL MISMO NÚMERO DE OBSERVACIONES POR CELDA 1) Distinto n o de niveles del factor anidado por cada nivel del factor principal MODELO ESTADÍSTIC0 y ijk = µ + τ i + β j(i) + u (ij)k µ : la media global τ i : el efecto del nivel i ésimo del factor A; (i =1, 2,,a) β j(i) : el efecto producido por el nivel j ésimo del factor B dentro del nivel i ésimo del factor A, (j =1, 2,,b i ) (k =1, 2,,r) : r es el número de réplicas n : número de observaciones: n = r X i b i u (ij)k : el error experimental. Variables aleatorias independientes N(0,σ) NO HAY INTERACCIÓN: CADA NIVEL DE B NO APARECE CON CADA NIVEL DE A. MODELO DE EFECTOS FIJOS A y B son fijos: X a τ i =0; X r i β j(i) =0(para i =1, 2,,a). i=1 j=1 2

3 ECUACIÓN BÁSICA DEL ANÁLISIS DE LA VARIANZA SCT = SCA + SCB(A)+SCR H 0 τ i =0 ; 8i ; H 0 β j(i) =0 ; 8i,j Tabla ANOVA para el modelo de efectos fijos F. V. S. C. G. L. C. M. F exp Fac. A SCA = 1 ax yi:: 2 y2 ::: CMA a 1 CMA r b i=1 i n Ã! BenA SCB(A) = 1 X ax yij: 2 r yi:: 2 CMB(A) R a CMB(A) b i;j i=1 i Error SCR = X yijk 2 1 X yij: 2 R(r 1) r i;j;k i;j TOT. SCT = X i;j;k y 2 ijk y2 ::: n n 1 CMT R : el número total de niveles del factor B R = X i bi n el número total de observaciones. n = r X i bi F exp(a) = SCA a 1 SCR R(r 1) = CMA ; F exp(a(b)) = SCB(A) R a SCR R(r 1) = CMB(A) Bajo H 0 F exp(a) Ã F a 1;R(r 1) Bajo H 0 F exp(a(b)) Ã F R a;r(r 1) 3

4 MODELO DE EFECTOS ALEATORIOS Los niveles de A son una muestra aleatoria de una población N(0; σ A ) Los niveles de B son una muestra aleatoria de una población N(0; σ B ) Contrastes: H 0 σ 2 A =0 y H 0 σ 2 B =0, respectivamente MODELO DE EFECTOS MIXTOS A es el factor de efectos fijos. H 0 τ i =0 B el factor de efectos aleatorios. H 0 σ 2 B =0 Tabla ANOVA. Modelo de efectos aleatorios y mixtos F. V. S. C. G. L. C. M. F exp Fac. A SCA = 1 ax yi:: 2 y2 ::: CMA a 1 CMA r b i=1 i n CMB(A) Ã! BenA SCB(A) = 1 X ax yij: 2 r yi:: 2 CMB(A) R a CMB(A) b i;j i=1 i Error SCR = X yijk 2 1 X yij: 2 R(r 1) r i;j;k i;j TOT. SCT = X i;j;k y 2 ijk y2 ::: n n 1 CMT F exp(a) = SCA a 1 SCB(A) R a = CMA CMB(A) Bajo H 0 F exp(a) Ã F a 1;R a ; F exp(a(b)) = SCB(A) R a SCR R(r 1) = CMB(A) Bajo H 0 F exp(a(b)) Ã F R a;r(r 1) 4

5 Ejemplo. Diseños con un factor anidado (no-balanceado) Una entidad bancaria tiene siete sucursales en tres ciudades, distinguiéndose éstas por su distinto carácter económico. En la central del banco están interesados en saber si la diferente captación de clientes, medida por el volumen de las cuentas corrientes, entre unas sucursales y otras, así mismo entre ciudades, se debe al hecho de ser las ciudades diferentes económicamente, a la labor de los directores de las sucursales, o a ambas cosas a la vez. Para contrastar estas posibles fuentes de variabilidad, se decide utilizar un diseño factorial jerárquico (los niveles del factor sucursales no pueden combinarse con todos y cada uno de los niveles del factor ciudades) y se toma una muestra de tres cuentas corrientes en cada sucursal, en miles de ptas. Ciudad 1 Ciudad 2 Ciudad 3 Sucursales Suc. 1 Suc. 2 Suc. 1 Suc. 2 Suc. 3 Suc. 1 Suc y ij y i Modelo jerárquico con un factor anidado: las sucursales están jerarquizadas según las ciudades. SCT = X yijk 2 y2 ::: n = (1150)2 + + (870) 2 (21190)2 21 i;j;k = ,96 SCA = 1 r 3X i=1 yi:: 2 y2 ::: b i n = 1 2 (6819) 3 2 = ,12 SCB(A) = 1 X yij: 2 r 1 r i;j 1 2 (6819) 3 2 ax i=1 + (9369)2 3 + (9369)2 3 + (5002)2 (21190) yi:: 2 = 1 (3455) 2 + (3364) (15) 2 b i 3 + (5002)2 2 SCR = SCT SCA SCB(A) = 3979,33 =3583,5 = 5

6 F. V. S. C. G. L. C. M. Factor A SCA = ,12 2 CMA = ,06 Fact B en A SCB(A) = 3583,50 7 3=4 CMB(A) =895,8750 Error SCR =3979,33 2 7=14 =4,2381 TOTAL SCT = ,96 20 Modelo de efectos fijos: Ciudades (factor A) ysucursales (factor B). son de efectos fijos. H 0A τ i =0 y H 0B(A) β j(i) =0 F.V. g.l. C.M. F exp Factor A 2 CMA = ,06 CMA/ =512,4 Fact B en A 4 CMB(A) =895,8750 CMB(A)/ =3,152 Error 14 =4,2381 Si α = 0.05, como F exp(a) = 512,4 >F 0,05;2,14 =3,74, la captación de clientes es significativamente distinta en los tres tipos de ciudades, debido al hecho de su distinto carácter económico y F exp(a(b)) =3,152 >F 0,05;4,14 =3,11 la labor de los directores de sucursal también es significativamente distinta. Modelo de efectos aleatorios: Ciudades (A) y Sucursales (B) son de efectos aleatorios H 0A σ 2 A =0 y H 0B(A) σ 2 B =0 F.V. g.l. C.M. F exp Factor A 2 CMA = ,06 CMA/CMB(A) = 162,5 Fact B en A 4 CMB(A) =895,8750 CMB(A)/ =3,152 Error 14 =4,2381 Si α = 0.05, como F exp(a) = 162,5 >F 0,05;2,4 =6,94, los distintos niveles del factor A (Ciudades) son significativamente distintos y F exp(b(a)) =3,152 >F 0,05;4,14 =3,11 también son significativamente distintos los efectos del factor B (sucursales). Modelo de efectos mixtos: Ciudades (A): Efectos fijos y Sucursales (B): Efectos aleatorios. Los contrastes H 0A τ i =08i y H 0B σ 2 B =0se resuelven como en el modelo de efectos aleatorios llegándose a las mismas conclusiones. 6

7 2) Igual n o de niveles del factor anidado en todos los niveles del factor principal MODELO ESTADÍSTIC0 8 < y ijk = µ + τ i + β j(i) + u (ij)k : i =1, 2,,a j =1, 2,,b k =1, 2,,r Diseño anidado balanceado: Elmismon o de niveles de B dentro de cada nivel de A yelmismon o de réplicas. EJEMPLO Consideremos una compañía que compra su materia prima a tres diferentes proveedores. La compañía desea determinar si la pureza de la materia prima de cada uno de los proveedores es la misma. Hay cuatro lotes de materia disponible de cada proveedor y se hacen tres determinaciones de la pureza de cada lote. Modelo Jerárquico con un factor anidado (balanceado) Proveed Lotes y 111 y 121 y 131 y 141 y 211 y 221 y 231 y 1 y 311 y 321 y 331 y 341 Observ. y 112 y 122 y 132 y 142 y 212 y 222 y 232 y 2 y 312 y 322 y 332 y 342 y 113 y 123 y 133 y 143 y 213 y 223 y 233 y 3 y 313 y 323 y 333 y 343 Es un modelo jerárquico con un factor anidado, donde los lotes están jerarquizados según los proveedores. Los lotes de un proveedor son únicos para ese proveedor en particular, es decir, el lote 1 del proveedor 1 no tiene relación con el lote 1 de cualquier otro proveedor (igual para los restantes lotes). Si los factores fuesen cruzados el lote 1 siempre sería el mismo para cualquier proveedor y lo mismo ocurriría con los demás lotes) 7

8 Ejemplo: Diseños con un factor anidado (balanceado) Un compañía compra su materia prima por lotes a tres proveedores. La pureza de la materia prima varía considerablemente, se desea determinar si la variabilidad en la pureza puede atribuirse a diferencias entre los proveedores. Para ello, selecciona al azar cuatro lotes de materia prima y se hacen tres determinaciones de la pureza sobre cada lote. Proveedores Lotes Observaciones Modelo de efectos mixtos: el factor proveedor es fijo y el factor lote es aleatorio. El efecto lote-dentro-proveedor también se trata como de efecto aleatorio porque contiene un factor aleatorio. F.V. S. C. G. L. C.M F exp Factor A 15, ,5 7,5/7,769 = 0,969 Fact. B en A 69, =9 7,769 7,769/2,639 = 2,944 Error 63, (3 1) = 2,639 TOTAL 148, Si α =0,05 se observa que el efecto proveedor (F 0,05;2,9 =4,26) no es significativo y el efecto lotes-dentro-proveedor (F 0,05;9, =2,30) si es significativo. 8

9 Ejemplo: Diseños con un factor anidado (balanceado) Con el propósito de estudiar el rendimiento de cinco máquinas diferentes, se realiza un experimento en el que cada máquina es operada por cuatro diferentes operarios y se seleccionan y prueban cuatro piezas de cada operador y se mide el tiempo que tardan en realizarlas. Debido a que las máquinas están en diferente localidad no es posible usar los mismos operarios en cada máquina; además los operarios se eligen al azar. Máquinas Operario A B C D E 1 6,2,0,8 10,9,7,12 0,0,5,5 11,0,6,4 1,4,7,9 2 13,3,9,8 2,1,1,10 10,11,6,7 5,10,8,3 6,7,0,3 3 1,10,0,6 4,1,7,9 8,5,0,7 1,8,9,4 3,0,2,2 4 7,4,7,9 0,3,4,1 7,2,5,4 0,8,6,5 3,7,4,0 Modelo de efectos mixtos: El factor Máquina es de efectos fijos y el factor Operario es de efectos aleatorios. F.V. S. C. G. L. C.M F exp Factor A 45, ,269 11,269/18,858 = 0,598 Fact. B en A 2, =15 18,858 18,858/10,700 = 1,762 Error 642,000 20(4 1) = 60 10,700 TOTAL 969, Si α =0,05 ni el efecto máquina (F 0,05;4,15 =3,06) ni el efecto operario-dentromáquina (F 0,05;15,60 =1,84) son significativos. 9

10 DISEÑO JERÁRQUICO FACTORIAL DISEÑO JERÁRQUICO Y FACTORES CRUZADOS MODELO ESTADÍSTICO y ijkl = µ + τ i + β j + γ k(j) +(τβ) ij +(τγ) ik(j) + u (ijk)l µ : la media global τ i : el efecto del nivel i ésimo del factor A; (i =1, 2,,a) β j : el efecto producido por el nivel j ésimoel factor B ;(j =1, 2,,b) γ k(j) : el efecto producido por el nivel k ésimoel factor C dentro del nivel j ésimo del factor B; (k =1, 2,,c) (τβ) ij : el efecto producido por la interacción A B (τγ) ik(j) : el efecto producido por la interacción del factor A C dentro del factor B (l =1, 2,,r) donde r denota el número de réplicas u (ijk)l : el error experimental. Se suponen variables aleatorias independientes N(0, σ) C está anidado en B ) no existen las interacciones B C ni A B C. A está cruzado con B y C ) Puede existir interacción entre A B y A C ECUACIÓN BÁSICA DEL ANÁLISIS DE LA VARIANZA SCT = SCA + SCB + SC(A B)+SC(C(B)) + SC(A C(B)) + SCR 10

11 SCT = X i:j:k:l y 2 ijkl y2 :::: abcn SCA = ax i:=1 y 2 i::: bcn y2 :::: abcn SCB = bx j=1 y 2 :j:: acn y2 :::: abcn SC(C(B)) = X j;k y 2 :jk: an bx j=1 y 2 :j:: acn. SC(A B) = X i;j yij:: 2 cn y2 :::: SCA SCB abcn SC(A C(B)) = X i;j;k y 2 ijk: n X j;k y 2 :jk: an X i;j y 2 ij:: cn + bx j=1 y 2 :j:: acn ; SCR = SCT SCA SCB SC(A B) SC(C(B)) SC(A C(B)) TablaANOVA.Diseñojerárquicofactorial F.V. S. C. G. L. C.M F exp CMA A (F) SCA a 1 CMA CM(AC(B)) CMB B. (F) SCB b 1 CMB CMC(B) CMC(B) CenB SCC(B) b(c 1) CMC(B) CM(AB) A B SC(AB) (a 1)(b 1) CM(AB) CM(AC(B)) CM(AC(B)) A C en B SC(AC(B)) b(a 1)(c 1) CM(AC(B)) Error SCR abc(r 1) TOTAL SCT abcr 1 CMT 11

12 Ejemplo: Diseños con un factor anidado y dos factores cruzados En un experimento se trata de mejorar la rapidez de ensamblaje en una línea de producción, para ello se estudia la intersección manual de componentes electrónicos en circuitos impresos. Se diseñan tres aparatos para ensamblar y dos distribuciones del lugar de trabajo. Se requiere que los operadores realicen el ensamblaje y se decide seleccionar a cuatro para cada combinación aparatodistribución. Sin embargo, no se pueden probar a los mismos cuatro operadores en cada distribución de lugar de trabajo debido a que los lugares de trabajo están en diferentes localidades dentro de la planta. Por lo tanto, los cuatro operadores de la distribución 1 son diferentes a los de la distribución 2. Se obtienen aleatoriamente dos réplicas de cada combinación de tratamientos de este diseño. Los tiempos de ensamblaje se muestran en la siguiente tabla Distribución 1 Distribución 2 Operario y i... Aparato 1 Aparato 2 Aparato y ij y.j = y SCT = X SCA = SCB = i:j:k:l X i bcr X j acr y 2 ijkl y2 :::: abcr y 2 i::: y 2 :j:: y2 :::: abcr y2 :::: abcr = (12)2 48 = 339,13 (12)2 48 = 32660,42 (12) =299,67 =82,80 =4,08

13 X y 2 ij:: i;j SC(A B) = y2 :::: (12)2 SCA SCB = 362, cr abcr 48 =82,80 4,08 = 19,04. X X SC(C(B)) = j;k y 2 :jk: ar X i;j;k y 2 ijk: j y 2 :j:: = 332, ,42 = 71,91 acr X X X j;k y 2 :jk: SC(A C(B)) = + = r ar cr acr = ,33 362, ,42 = 65,84 SCR = SCT SCA SCB SC(A B) SC(C(B)) SC(A C(B)) = 56 i;j y 2 ij:: j y 2 :j:: F.V. S. C. G. L. C.M F exp Factor A (F) 82, ,40 41,40/5,49 = 7,54 Factor B. (F) 4,08 1 4,09 4,09/11,99 = 0,34 Fact. C en B 71, ,99 11,99/2,33 = 5,15 Inter. A B 19,04 2 9,52 9,52/5,49 = 1,73 Inter. A C en B 65, ,49 5,49/2,33 = 2,36 Error 56 2,33 TOTAL 299,67 47 CMT Al nivel de significación del 5 %, son significativos los efectos de los aparatos (factor A), de los operadores dentro de las distribuciones (factor C en B) yde la interacción entre aparatos y operadores dentro de las distribuciones (factor A C en B). 13