Diseños factoriales con dos factores

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1 Capítulo 6 Diseños factoriales con dos factores Enprimerlugarvamosaestudiarlosdiseñosmássimples,esdeciraquellosenlos queintervienensólodosfactores.supongamosquehayanivelesparaelfactoraybniveles del factor B, cada réplica del experimento contiene todas las posibles combinaciones de tratamientos, es decir contiene los ab tratamientos posibles El modelo sin replicación El modelo estadístico para este diseño es: y ij =µ+τ i +β j +(τβ ij +u ij i=1,2,,a ; j=1,2,,b,donde y ij :Representalaobservacióncorrespondientealnivel(idelfactorAyalnivel(j del factor B. µ: Efecto constante denominado media global. τ i :Efectoproducidoporelniveli-ésimodelfactorA,( i τ i=0. β j :Efectoproducidoporelnivelj-ésimodelfactorB, ( j β j=0. ( (τβ ij :EfectoproducidoporlainteracciónentreA B, i (τβ ij = j (τβ ij =0. u ij sonvvaa.independientescondistribuciónn(0,σ. 1

2 2 Diseños factoriales con dos factores Supondremos que se toma una observación por cada combinación de factores, por tanto,hayuntotalden=abobservaciones. Parámetros a estimar: Parámetros Número µ 1 τ i a 1 β j b 1 (τβ ij (a 1(b 1 σ 2 1 Total ab+1 A pesar de las restricciones impuestas al modelo, i τ i= j β j= i (τβ ij = j (τβ ij =0, elnúmerodeparámetros(ab+1superaal número de obsevaciones(ab. Por lo tanto, algún parámetro no será estimable Estimación de los parámetros del modelo Los estimadores máximo verosímiles de los parámetros del modelo son µ=ȳ.., τ i =ȳ i. ȳ.., βj =ȳ.j ȳ.. y ( τβ ij =y ij ȳ i. ȳ.j +ȳ.. Losresiduosdeestemodeloson:e ij =y ij ŷ ij =y ij µ τ i β j ( τβ =0. ij Porlotanto,alserlosresiduosnulosnoesposibleestimarlavarianzadelmodeloy no se pueden contrastar la significatividad de los efectos de los factores. Dichos contrates sólo pueden realizarse si: a SuponemosquelainteracciónentreA Bescero.Entoncese ij =y ij ȳ i. ȳ.j +ȳ... b Replicamos el experimento(tomamos varias observaciones por cada combinación de factores El modelo con replicación El modelo estadístico para este diseño es: y ijk =µ+τ i +β j +(τβ ij +u ijk ; i=1,2,,a ; j=1,2,,b ; k=1,2,,r dondereselnúmerodereplicacionesyn=abreselnúmerodeobservaciones. El número de parámetros de este modelo es, como en el modelo de dos factores sin replicación,ab+1peroenestecasoelnúmerodeobservacionesesabr.

3 6.2 El modelo con replicación Estimación de los parámetros del modelo Los estimadores máximo verosímiles de los parámetros del modelo son µ=ȳ..., τ i =ȳ i.. ȳ..., βj =ȳ.j. ȳ... y ( τβ =y ij. ȳ i.. ȳ.j. +ȳ... ij donde y ij. eslamediadelasrobservacionesenlaceldillaij:y ij. =( k y ijk/r ȳ i.. eslamediadelasobservacionesdelnivelidelfactora: ȳ i.. =( j,k y ijk /(br ; i=1,,a ȳ.j. eslamediadelasobservacionesdelnivelj delfactorb: ȳ.j. =( i,k y ijk /(ar ; j=1,,b ȳ... eslamediatotaldelasobservaciones:ȳ... =( i,j,k y ijk /r. Los residuos de este modelo son: e ijk =y ijk ŷ ijk =y ij µ τ i β j ( τβ =y ijk y ij.. ij Se verificaquetodos los residuos de unaceldilladebensumarceroes decir,encada celdillahayr 1residuosindependientes.Porlotanto,entotalhabráab(r 1residuos independientes. Se verifican las mismas propiedades para los estimadores máximo-verosímiles que en los modelos anteriores. La varianza residual tiene la siguiente expresión a b r Ŝ 2 R= i=1 j=1k=1 ab(r 1 e 2 ijk Descomposición de la variabilidad La ecuación básica del análisis de la varianza es: a b (y ijk ȳ... 2 = br (ȳ i.. ȳ ar (ȳ.j. ȳ i,j,k i=1 j=1 r (y ijs ȳ i.. ȳ.j. +ȳ (y ijk ȳ ij. 2 i,j i,j,k que simbólicamente podemos escribir: SCT = SCA+SCB+SC(AB+SCR. Estas sumas de cuadrados también se pueden expresar como:

4 4 Diseños factoriales con dos factores SCT = i,j,k y2 ijk ( y 2... /r:sumatotaldecuadrados. ( SCA= ( SCB= i y2 i.. j y2.j. ( SC(AB = /(br ( y 2... /(abr:s.c.entrenivelesde A. /(ar ( y 2... /(abr:s.c.entrenivelesde B. i,j y2 ij. /r ( y 2... /(abr SCA SCB:S.C.delainteracciónA B SCR=SCT SCA SCB SC(AB:S.C.delerror. A partir de la ecuación básica del ANOVA se pueden construir los cuadrados medios definidos como: Cuadradomediototal:CMT =(SCT/(n 1 CuadradomediodeA:CMA=(SCA/(a 1 CuadradomediodeB:CMB=(SCB/(b 1 CuadradomediodelainteracciónA B:CM(AB=(SC(AB/((a 1(b 1 Cuadradomedioresidual:CMR=(SCR/(ab(r Análisis estadístico El objetivo del análisis es realizar los contrastes de hipótesis nula: i H 0A τ 1 = =τ a =0.Es decir,considerandolapresenciadelasinteracciones con el factor B, contrastar si los efectos de los niveles del factor A son nulos. El estadístico de contraste es F A = (SCA/(a 1 (SCR/(ab(r 1 = CMA CMR H 0AF (a 1,ab(r 1 SerechazaH 0A alnivelαsif α(exp >F (a 1,ab(r 1 ii H 0B β 1 = =β b =0.Esdecir,considerandolapresenciadelasinteracciones con el factor A, contrastar si los efectos de los niveles del factor B son nulos. El estadístico de contraste es F B = (SCB/(b 1 (SCR/(ab(r 1 =CMB CMR H 0B F (b 1,ab(r 1

5 6.2 El modelo con replicación 5 SerechazaH 0B alnivelαsif α(exp >F (b 1,ab(r 1. iii H 0(AB (τβ ij = 0 para todo i,j. Es decir, contrastar si los efectos de las interacciones entre los factores A y B son nulos. El estadístico de contraste es F (AB = (SC(AB/((a 1(b 1 (SCR/(ab(r 1 = CM(AB CMR H 0(ABF (a 1(b 1,ab(r 1 SerechazaH 0(AB alnivelαsif α(exp >F (a 1(b 1,ab(r 1. Tabla ANOVA para el modelo bifactorial con replicación F.V. S.C. G.L. C.M. F exp Factor A SCA a 1 CMA CMA/CMR Factor B SCB b 1 CMB CMB/CMR Interacción SC(AB (a 1(b 1 CM(AB CM(AB/CMR Residual SCR ab(r 1 CMR TOTAL SCT abr 1 CMT La diagnosis y validación del modelo se realiza igual que en los modelos anteriores. Ejemplo 6.1 En unos laboratorios se está estudiando los factores que influyen en la resistencia de untipoparticulardefibra.seeligenalazarcuatromáquinasytresoperariosyserealiza un experimento factorial usando fibras de un mismo lote de producción. Los resultados obtenidos se muestran en la tabla adjunta. Analizar los resultados y obtener las conclusiones apropiadas. Tipos de máquinas Operario A B C D Para realizar el análisis organizamos los datos en forma tabular de la manera siguiente:

6 6 Diseños factoriales con dos factores Tipos de máquinas Operario A B C D y i y.j LasSumasdeCuadrados ylatablaanovasemuestranacontinuación SCT = ( (26952 SCA= (26952 =262,97 =12,46 SCB= (26952 =160,33 SC(AB= ( ,46 160,33=44,67 y SCR=45,5. F.V. S.C. G.L. C.M. F exp Factor A 12,46 3 4,15 1,10 Factor B 160, ,17 21,14 Interacción 44,67 6 7,45 1,96 Residual 45, ,79 TOTAL 262,97 23 Realizando los contrastes al nivel de significación del 5%, se concluye que es significativoelefectoprincipaldel operario (factorb(f 0,05,2,12 =3,49,peronosonsignificativos elefectoprincipaldeltipodemáquina(factora(f 0,05,3,12 =3,89ylainteracciónentre eltipodemáquinayoperario(factora B(F 0,05,6,12 =3,00. Bibliografía utilizada Lara Porras, A.M.(2000. Diseño Estadístico de Experimentos, Análisis de la Varianza y Temas Relacionados: Tratamiento Informático mediante SPSS. Proyecto Sur de Ediciones.