Prácticasyproblemasdediseño de experimentos de una vía.

Transcripción

1 Práctica 2 Prácticasyproblemasdediseño de experimentos de una vía. 2.1 Problemas de diseño de experimentos de una vía con ordenador. Problema 2.1. Una fábrica de herramientas desea comprobar si la resistencia de unas piezas mecánicas que le proporcionan cuatro suministradores diferentes depende del suministrador. Para ello recoge una muestra aleatoria de cada suministrador y somete a cada una de las piezas a una prueba de resistencia que consiste en observar el número de veces que soporta una presión hasta estropearse. Los resultados del experimento son los de la tabla adjunta: Sumin. A Sumin. B Sumin. C Sumin. D Resistencia Desarrollo del Problema 2.1. Utilizando el Statgraphics se siguen los siguientes pasos. 1. Crear un fichero con los datos del problema. El fichero tendrá seis variables: cuatro variables con los datos de cada suministrador, una variable con todos los datos de la variable respuesta (resistencia) y la variable del factor (suministrador). 2. Hacer un estudio descriptivo analítico y gráfico de la variable resistencia según el factor resistencia. Se utiliza el módulo describe > numeric data > subset analysis. 11

2 12 web Juan Vilar Observar los estadísticos básicos de cada grupo y de la tabla de medias. Observar con atención los siguientes gráficos: gráfico de puntos de la variable respuesta frente al factor, gráfico de medias de los grupos, gráfico de las desviaciones típicas de los grupos y el gráfico de cajas múltiple. Obtener conclusiones. 3. Elestudiodelainfluencia del factor y la construcción de la tabla ANOVA se hace en el módulo compare > analysis of variance > one-way anova Este módulo permite realizar un estudio completo del problema. Se pueden realizar los siguientes análisis: - Hacer un estudio descriptivo análogo al del apartado anterior. - Construir la tabla ANOVA y contrastar la influencia del factor. - Calcular intervalos de confianza para las medias de grupos. - Hacer contrastes múltiples por diferentes métodos. - Contrastar la hipótesis de homocedasticidad. - Hacer el contraste no paramétrico de Krustal-Wallis sobre la influencia del factor. - Dibujar gráficos descriptivos análogos a los del apartado anterior. - Dibujar diferentes gráficos de residuos para contrastar las hipótesis básicas. 4. Se guardan los residuos en una variable (también es conveniente guardar los residuos estandarizados). 5. Con el estudio realizado ya se puede tener un conocimiento razonable acerca del cumplimiento o no de las hipótesis básicas. En todo caso un análisis más detallado sobreesteparticularseobtienecomosigue: Hipótesis de normalidad: el módulo describe > distribution > distribution fitting proporciona diferentes contrastes de normalidad y gráficos que ayudan a estudiar la hipótesis de normalidad (gráfico de simetría, histograma, empírica y densidad teórica, gráfico Q Q). El gráfico de normalidad se obtiene en plot > exploratory plot > normal probability plot. 6. Hipótesis de homocedasticidad: el módulo one-way anova proporciona diferentes contrastes de homocedasticidad (Cochran, Bartlett, Hartley y Levene) y diferentes gráficos donde se puede contrastar esta hipótesis. Trabajando con la variable de residuos se puede hacer el contraste de Romero-Zúnica (tabla ANOVA de un factor donde la variable respuesta es la de residuos al cuadrado) y el gráfico de cajas múltiple de los residuos frente al factor.

3 Prácticas y problemas de diseño de experimentos de una vía Detectar datos atípicos: se utiliza el módulo describe > numeric data > outlier identification en el que se presentan diferentes métodos numéricos y gráficos para detectar datos atípicos entre los residuos. 8. Hipótesis de independencia: considerando la variable de residuos como una serie de tiempo se puede estudiar la independencia de la misma en el módulo special > time-series analysis > descriptive methods que permite obtener la función de autocorrelación (f.a.s.), los contrastes de rachas y el contraste de Box-Pierce (Box-Ljung), también se presentan las gráficas de residuos frente al índice y el correlograma. Si se considera que los residuos tienen mucha variabilidad se puede obtener una serie suavizada de los mismos utilizando los métodos de medias móviles en el módulo special > time-series analysis > smoothing. Problema 2.2. El fichero problema-2-2 contiene datos de una muestra de 155 coches. En base a esta muestra, estudiar: 1. La influencia del factor origen de los coches (origin) en la variable de interés inversa del consumo (mpg: millas por galón). 2. La influencia del año de fabricación (year) en la variable de interés aceleración de los coches (accel). 3. La influencia del año de fabricación (year) en el precio de los coches (price). 2.2 Contrastes de hipótesis no paramétricas. Problema 2.3. Durante la segunda guerra mundial se dividió el mapa de Londres en cuadrículas de 1/4 Km 2 y se contó el número de bombas caídas en cada cuadrícula durante un bombardeo alemán. Los resultados obtenidos fueron los siguientes: x i : impactos en la cuadrícula o i : frecuencia observada A partir de estos datos deducir si el bomardeo se hacía de forma aleatoria o se perseguía un determinado objetivo militar Solución al Problema 2.3. Del contexto de los datos parece razonable intentar ajustar una distribución de Poisson.

4 14 web Juan Vilar Se estima el parámetro λ ˆλ = x = P xi o i P oi = = = Se calculan las probabilidades teóricas e ˆλ i ˆλx p i = P (X = x i )=. x i! Se obtiene la tabla del contraste chi cuadrado de ajuste de una distribución (E i O i ) 2 x i p i E i = p i 576 O i E i Q = En la Figura 2.1. se representa la distribución ajustada ,5 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 Figura 2.1. Histograma y distribución de Poisson ajustado. Bajo la hipótesis nula (la variable en estudio es de Poisson) el estadístico Q sigue una distribución con grados de libertad, de donde ³ p valor =1 P χ 2 4 < = =

5 Prácticas y problemas de diseño de experimentos de una vía. 15 Se acepta la hipótesis de que la distribución de la variable en estudio es de Poisson. Problema 2.4. Se ha observado el tiempo de funcionamiento de diez impresoras de un determinado modelo antes de tener la primera avería, los datos se han tomado con unidad cien horas de funcionamiento. Una vez ordenada la muestra de menor a mayor, los resultados son los de la tabla adjunta: En base a estos datos ajustar una distribución utilizando el contraste de Kolmogorov- Smirnov. Solución al Problema 2.4: Por el contexto del problema es razonable suponer que las observaciones siguen una distribución exponencial. La función de densidad es y, la función de distribución es Se estima el parámetro λ = 1 E (X), Se calcula la tabla del contraste K-S: f (x) =λe λx si x > 0 F (x) =P (X x) =1 e λx si x > 0. ˆλ = 1 x = = x i F (x i ) F n (x i 1 ) F n (x i ) D (x i ) KS =

6 16 web Juan Vilar En la tabla KS se observa que al valor KS = le corresponde un p valor = Se acepta la hipótesis de que las observaciones siguen una distribución exponencial. Problema 2.5. El ordenador DEC-20 era utilizado en las universidades americanas en la década de los ochenta. Los datos de la tabla adjunta indican el número de averías que tenía uno de estos ordenadores en 128 semanas consecutivas de funcionamiento. Se puede ajustar a estos datos una distribución de Poisson? En caso negativo proponer una distribución alternativa (los datos están en el fichero problema-2-5) Problema 2.6. Los datos de la tabla adjunta indican los tiempos, en segundos, que tarda en realizar una operación un cajero automático de una entidad bancaria (los datos están en el fichero problema-2-6) Hacer un estudio descriptivo de estos datos. 2. Puede suponerse que estos datos siguen una distribución normal?

7 Prácticas y problemas de diseño de experimentos de una vía Los datos de la muestra han sido recogidos de forma consecutiva durante un día, puede suponerse que son independientes?. Problema 2.7. En la tabla adjunta se presentan los datos del tiempo transcurrido, en días, entre dos terremotes ocurridos en algún lugar. Se consideran los terremotos con una magnitud superior a grados en la escala Richter o en el que murieron más de personas. Los datos se recogían entre el 16 de Diciembre de 1902 y el 4 de Marzo de En base a estos datos, los terremotos ocurren de forma aleatoria?, el tiempo entre dos terremotos se puede ajustar por una distribución exponencial?, (los datos están en el fichero problema- 2-7) Problemas resueltos de diseño de experimentos de una vía. Problema 2.8. (Diseño de experimentos con un factor fijo) Un campus universitario tiene cuatro facultades. Se quiere estudiar la variable tiempo que tarda un alumno en hacer una consulta en la base de datos de la biblioteca de su facultad. Para ello se ha recogido una muestra aleatoria cuyos resultados son los de la tabla adjunta. Analizar estos datos y estudiar la influencia del factor facultad en la variable de interés. Arquitectura Informática Derecho Caminos

8 18 web Juan Vilar Solución al Problema 2.8. La media y desviación típica de cada una de las facultades y del total es: ˆµ =ȳ = 1 X n y ij = ij s 2 Y = 1 X µ 1 X n ij y2 ij n ij y ij = = = s Y = = (desviación típica muestral) ŝ 2 Y = s2 Y = = ŝ Y = = (cuasi-desviación típica muestral) La suma de cuadrados global es: En cada grupo se obtiene scg = X ij (y ij ȳ ) 2 = Facultad Media Cuasi-Varianza Cuasi-Desviación típica Arquitectura ȳ 1 = ŝ 2 1 = ŝ 1 = Informática ȳ 2 = ŝ 2 2 = ŝ 2 = Derecho ȳ = ŝ 2 3 = ŝ 3 = Caminos ȳ 4 = ŝ 2 4 = ŝ 4 = TOTAL ȳ = ŝ 2 Y = ŝ Y = El contraste sobre la influencia del factor facultad es ( H0 : µ 1 = µ 2 = µ 3 = µ 4 ) H 1 : existen medias diferentes A la vista de los resultados sobre la media del cuadro anterior se puede intuir que se va a rechazar H 0 y,portanto,elfactor facultad influyeenlavariabledeinterés. Se calcula la tabla ANOVA. Teniendo en cuenta que la predicción en cada facultad coincide con la media condicionada: Predicciones ˆµ 1 =ȳ 1 = ˆµ 2 =ȳ 2 = ˆµ 3 =ȳ 3 = ˆµ 4 =ȳ 4 =

9 Prácticas y problemas de diseño de experimentos de una vía. 19 La suma de cuadrados explicada por el factor 4X Xn i sct (facultad) = (ȳ i ȳ ) 2 = La suma de cuadrados residual i=1 j=1 4X n i (ȳ i ȳ ) 2 = i=1 = = scr = scg sct = = También se puede calcular scr directamente a partir de los residuos (siempre los hay que calcular para contrastar las hipótesis básicas), scr = X ij e 2 ij = X ij (y ij ȳ i ) 2 = = = La tabla ANOVA es Tabla ANOVA Suma de cuad. Gr. lib. Varianzas F p valor sct s 2 e = scr ŝ 2 R = scg ŝ 2 Y = Se rechaza H 0 para cualquier valor de α > y se concluye que el factor facultad essignificativo. Intervalos de confianza al 90% para los diferentes parámetros del modelo: Intervalo de confianza para la varianza: σ 2 (n I)ŝ 2 R σ 2 = σ 2 χ 46 = = χ σ 2 χ = = = σ = Intervalo de confianza para σ : σ

10 20 web Juan Vilar Intervalo de confianza para µ i µ i ȳ i s ŝ 2 R n i t n I = µ p /10 = µ t 46 = = t µ t = = µ ± = ± = , De forma análoga se obtienen intervalos de confianza para las otras medias, IC (µ 2 )=( , ) IC (µ 3 )=( , ) IC (µ 2 )=( , ) Intervalo de confianza para la diferencia de medias. Se hace para µ 1 µ 2 (µ 1 µ 2 ) ( ) r (µ 1 µ 2 ) (ȳ 1 ȳ 2 ) ŝ R s 1 n n 2 t n I = = (µ 1 µ 2 ) (µ 1 µ 2 ) = t 46 = = t (µ 1 µ 2 ) t = (µ 1 µ 2 ) ± = ± = , Puede considerarse que existe una diferencia significativa entre la media de ArquitecturaylamediadeInformática. Haciendo todos los intervalos de confianza para la diferencias de medias se obtienen dos grupos homogéneos: Grupo 1: Informática y Caminos Grupo 2: Arquitectura y Derecho. En las siguientes figuras se representan tres gráficas que ayudan a entender que existe influencia del factor facultad y que los residuos verifican las hipótesis estructurales: - Figura 2.2. Gráfico de cajas múltiple para los datos del problema según el factor. - Figura 2.3. Gráfico de medias condicionadas con int. confianza según el factor.

11 Prácticas y problemas de diseño de experimentos de una vía Figura 2.4. Gráfico de residuos del modelo frente a predicciones. 1 facultad Figura 2.2. Gráfico de cajas múltiple. Means and 90,0 Percent LSD Intervals Figura 2.3. Gráfico de medias condicionadas residual predicted Figura 2.4. Gráfico de residuos frente a predicciones.

12 22 web Juan Vilar Problema 2.9. (Diseño de experimentos con un factor aleatorio). En una empresa de montaje trabajan 135 operarios que realizan un determinado trabajo (T). La dirección de la empresa está interesada en conocer si influye el factor operario en la variable tiempo de realización del trabajo T.Paraelloseeligencinco operarios al azar y se controla el tiempo en minutos que tardan en realizar el trabajo T en diez ocasiones. Los resultados del experimento son los de la tabla adjunta. Qué conclusiones se deducen de este experimento? Oper.1 Oper.2 Oper.3 Oper.4 Oper Solución al Problema 2.9. Es un diseño de experimentos con un factor (el factor operario ) que es aleatorio. Las medias y cuasi-desviaciones típicas en cada grupo (operario) son Operador Media Cuasi-Varianza Cuasi-Desviación típica Operador 1 ȳ 1 = ŝ 2 1 = ŝ 1 = Operador 2 ȳ 2 = ŝ 2 2 = ŝ 2 = Operador 3 ȳ 3 = ŝ 2 3 = ŝ 3 = Operador 4 ȳ 4 = ŝ 2 4 = ŝ 4 = Operador 5 ȳ 5 = ŝ 2 5 =100 9 ŝ 5 = TOTAL ȳ = ŝ 2 Y = ŝ Y = De donde scg = X ij (y ij ȳ ) 2 = En este caso el modelo matemático es y ij = µ + T i + ε ij, T i N ³ 0, σ 2 T, ε ij N ³0, 2 σ El objetivo es la realización del contraste: ( H0 : σ 2 T =0 ( µ 1 = µ 2 = µ 3 = µ 4 ) ) H 1 : existe variabilidad debida al factor Las predicciones son Predicciones ˆµ 1 = ˆµ 2 = ˆµ 3 = ˆµ 4 = ˆµ 5 =64 0 7

13 Prácticas y problemas de diseño de experimentos de una vía. 23 Cálculo de la suma de cuadrados explicada por el factor 5X Xn i 4X sct (operador) = (ȳ i ȳ ) 2 = n i (ȳ i ȳ ) 2 = i=1 = 10 j=1 i=1 " ( ) 2 +( ) 2 +( ) 2 + +( ) 2 +( ) 2 # Finalmente se obtiene La tabla ANOVA es = scr = scg sct = = Tabla ANOVA Suma de cuad. Gr. lib. Varianzas F p valor sct s 2 T = scr ŝ 2 R = scg ŝ 2 Y = Se rechaza H 0 para cualquier valor de α > y se concluye que el factor operador es significativo, esto es, hay variabilidad entre los diferentes operadores. Estimación de las varianzas del modelo: ŝ 2 R E (SCMR) =σ 2 ˆσ 2 =ŝ 2 R = E (SCMT) = σ 2 + cσ 2 T ˆσ 2 T = ŝ2 T ŝ2 R c = = σ 2 Y = σ2 + σ 2 T ˆσ2 Y =ˆσ2 +ˆσ 2 T = = Al igual que en el problema anterior las siguientes gráficas ayudan a comprender e interpretar la resolución del problema: Figura 2.5. Gráfico de cajas múltiple para los datos del problema según el factor. Figura 2.6. Gráfico de medias condicionadas con intervalos de confianza según el factor. Figura 2.7. Gráfico de residuos frente a predicciones.

14 24 web Juan Vilar 1 operario tiempo Figura 2.5. Gráfico de cajas múltiple. Means and 90,0 Percent LSD Intervals tiempo operario Figura 2.6. Gráfico de medias condicionadas. 9 6 residual predicted tiempo Figura 2.7. Gráfico de residuos frente a predicciones.

15 Prácticas y problemas de diseño de experimentos de una vía Problemas propuestos de diseño de experimentos de una vía. Problema Sehaestudiadoelcontenidoenplata(tantoporcientodeplata)demonedasde Bizancio descubiertas en Chipre. Nueve de las monedas eran de la Epoca I, en el reinado del Rey Manuel I ( ), siete monedas eran de la Epoca II, cuatro de la Epoca III y siete de la Epoca IV. En base a estos datos existen diferencias significativas del contenido de plata en las monedas según las diferentes épocas? En particular, existe una diferencia significativa del contenido en plata de las monedas del reinado del Rey Manuel I con las otras épocas? Epoca I Epoca II Epoca III Epoca IV Problema En la tabla adjunta se presentan los tiempos, en segundos, de coagulación de la sangre extraída a 40 animales alimentados con cuatro dietas distintas (A, B, C, D). El muestreo se ha realizado de forma que las dietas se han asignado al azar y las muestras de sangre fueron extraídas y analizadas en orden aleatorio. En base a estos datos hay evidencias suficientes que indiquen la existencia de diferencias reales entre los valores medios de las distintas dietas? Analizar los residuos. En particular se tienen dudas acerca de las hipótesis de normalidad y homocedasticidad Dieta A Dieta B Dieta C Dieta D Problema Un departamento universitario desea contrastar si en los resultados de los alumnos en el aprendizaje de una asignatura influye el profesor que la imparte. Para ello se eligen aleatoriamente muestras de alumnos de los cuatro profesores que imparten la asignatura: Juan, Luis, Pedro y Pablo, para que realizen un examen obteniendo los siguientes resultados en una puntuación de 0 a 80. Qué conclusiones se deducen?.

16 26 web Juan Vilar Juan Luis Pedro Pablo Problema Se sabe que el dióxido de carbono tiene un efecto crítico en el crecimiento biológico. Cantidades pequeñas de CO 2 estimulan el crecimiento de muchos organismos, mientras que altas concentraciones inhiben el crecimiento de la mayor parte de ellos. Este último efecto se utiliza comercialmente cuando se almacenan productos alimenticios perecederos. Se realizó un estudio para investigar el efecto de CO 2 sobrelatasadecrecimientodel Pseudomonasfragi, un corruptor de alimentos. Se administró CO 2 a cinco presiones atmosféricas diferentes. La respuesta anotada es el cambio porcentual en la masa celular después de un tiempo de crecimiento de una hora. Se utilizaron diez cultivos en cada nivel, obteniéndose los datos de la tabla adjunta. Qué conclusiones se deducen del estudio estadístico de estos datos? Los resultados del experimento se presentan en la tabla adjunta. Nivel del factor, presión en atmósferas de CO Problema Una empresa de enlatado decide comprar nuevas máquinas y dispone de cuatro ofertas. Antes de elegir decide realizar una prueba para saber si las cuatro máquinas ofertadas pueden producir la misma cantidad de unidades por hora. Para ello, observa la producción de las cuatro máquinas y observa los resultados que se reflejan en la tabla adjunta. Qué conclusiones se deducen de este experimento? maq.a maq.b maq.c maq.d

17 Prácticas y problemas de diseño de experimentos de una vía. 27 Problema Una cadena de supermercados desea determinar si los empleados de caja, que se supone tienen un mismo nivel de capacidad, tardan el mismo tiempo en atender a los clientes. Para ello, se han seleccionado cinco empleados al azar y se ha observado el tiempo que han tardado en atender a los clientes. Los resultados son los de la tabla adjunta, Cajero.1. Cajero.2. Cajero.3. Cajero. 4. Cajero En base a estos datos: 1. Escribir el modelo matemático adecuado al problema. Cuál es la hipótesis nula a contrastar? 2. Calcular la tabla ANOVA. Contrastes relacionados. Conclusiones. 3. Calcular el coeficiente de determinación. 4. Analizar los residuos del modelo. Problema Los datos de la tabla adjunta indican la salinidad (partes por mil) de diferentes muestras tomadas en el lago Binimi (Bahamas) en tres zonas diferentes, elegidas de forma aleatoria entre toda la extensión del lago. En base a estos datos, se puede afirmar que la salinidad en el lago es constante? Zona I Zona II Zona III Problema Los datos de la tabla adjunta indican el peso de los depósitos de corcho de 28 árboles en cada una de las direcciones: norte, sur, este y oeste. Se quiere contrastar la hipótesis de que las medias de los pesos son iguales en todas las direcciones.

18 28 web Juan Vilar 1. Hacer un estudio descriptivo de cada una de las cuatro variables. 2. Calcular la tabla ANOVA. Conclusiones. 3. Análisis de los residuos. 4. Calcular intervalos de confianza para las medias y para la diferencia de medias. 5. Se ha elegido la muestra de forma conveniente? Proponer un muestreo alternativo. 6. Sería razonable utilizar un modelo de bloques? En caso afirmativo cómo se recogería la muestra? Con el nuevo modelo cambian las conclusiones? Norte Este Sur Oeste Norte Este Sur Oeste Problema Un ingeniero civil está interesado en determinar si cuatro métodos diferentes para estimar la frecuencia de inundaciones producen estimaciones equivalentes del flujo máximo, medido en pies cúbicos por segundo, cuando se aplican a una misma cuenca. Cada procedimiento se evaluó seis veces en la misma cuenca y las observaciones son las de la tabla adjunta. Realizar el análisis estadístico y comprobar la heterocedasticidad de los residuos. Qué transformación es más apropiada para conseguir varianza constante?. Método Método Método Método

19 Prácticas y problemas de diseño de experimentos. 29 Problema Interesa determinar el efecto de cambiar el número de revoluciones por minuto (rpm) de una bomba rotatoria que impulsa un líquido por un circuito. Las rpm se controlan directamente mediante el tacómetro situado en la consola de la bomba. La tasa de corriente del fluído se mide en litros por minuto. Se seleccionan 5 niveles equiespaciados de rpm: 10, 75, 100, 125 y 150 rpm (codificados respectivamente del 1 al 5). Los resultados de las observaciones se recogen en el fichero problema En base a estos datos: 1. Calcular la tabla ANOVA y contrastar la hipótesis el número de rpm no afecta a la tasa de corriente del líquido. 2. Conclusiones del estudio. 3. Calcular un intervalo de confianza para la varianza al 90%. Problema El fichero problema-2-20 contiene variables que representan conjuntos de residuos obtenidos al ajustar un diseño de experimentos de un factor con cinco niveles (se tienen veinte observaciones en cada nivel). Analizar cada uno de estos conjuntos de residuos y estudiar si verifican las hipótesis estructurales del modelo.

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