Programa de Statgraphics. TITULO: Aplicaciones del Análisis de la Varianza. Resolución de dos Ejercicios propuestos paso por paso.

Transcripción

1 Programa de Statgraphics TITULO: Aplicaciones del Análisis de la Varianza. Resolución de dos Ejercicios propuestos paso por paso. AUTOR: JUAN VICENTE GONZÁLEZ OVANDO

2 ANALISIS Y CALCULOS A) Planteamos los contrastes de Hipótesis Ho : El nivel de dificultad de los exámenes es el mismo en las tres pruebas. La media de las puntuaciones es la misma en los tres exámenes µ 1 = µ 2 = µ 3 = µ H 1 : El nivel de dificultad fueron distintos en cada test o prueba. B) Establecemos la región de criterio de contraste, para ello hallamos el F α; m-1; m(n-1) estadístico F-snedecor Donde: α = 0,05 m = No.de muestras = 3 m-1 = 3-1 = 2 n = No.de alumnosn = 10 m(n-1) = 3*9 = 27 Tenemos así el grado de libertad de F-s es (2 ; 27). El valor del estadístico es : F 0,05;2;27 = 4,21 (dado en una tabla )

3 C ) Pasamos a calcular los datos para formar nuestra tabla ANOVA (Análisis de Varianza) y así obtener el estimador de las muestras. 1º Calculamos la de cada una de las muestras, esto es de cada una de las pruebas o test: Test 1 : y 1 = = 201 Test 2 : y 2 = = 611 Test 3 : y 3 = = 551 2º Calculamos y ij = = º Calculamos C = ( Y ij ) 2 / n.m = (1363) 2 / 10.3 = /30= 61925,63 4º Calculamos y i 2 / n = ( ) / 10 = 71732,30 5º Calculamos y ij2 = = º Calculamos la suma de cuadrados de los test (SSt ) SSt = y i2 / n C = 71732, ,63 = 9806,67 7º Calculamos la suma de cuadrados totales (SST) SST = y ij2 - C = ,63 = 12017,40 8º Calculamos la suma de cuadrado del error o del azar (SSE) SSE = SST SSt = 12017, ,67 = 2210,70

4 D) Formamos la Tabla ANOVA Simple para puntuaciones por Test Variable dependiente es: las puntuaciones de cada alumno Factor o muestra: Cada uno de los Test (Final, 1er. Parcial, 2º Parcial) Cuadro General: FUENTE Grados de Suma de Cuadrado Razón Valor P libertad Cuadrados Medio F-Snedecor GL SC CM F Entre Grupos m-1 SST SST / (m-1) [SST / (m-1) ] / [SSE / m(n-1) ] Intra Grupos m(n-1) SSE SSE / m(n-1) Total mn-1 SST

5 A continuación nuestra tabla ANOVA con los datos numéricos: FUENTE Grados de Suma de Cuadrado Razón Valor P libertad Cuadrados Medio F-Snedecor GL SC CM F Entre Grupos , ,67/2 = 4903, ,33 / 81,8778 = 59,89 Intra Grupos ,7 2210,7/27 = 81,8778 Total ,4 E) Finalmente emitimos nuestra conclusión analizando los resultados obtenidos: Estimador F = 59,89 > 4,21 = F 0,05;2;27 Estadístico Rechazamos la hipótesis nula Ho considerando que el valor del estimador calculado F = 59,89 cae fuera de la región de aceptación o contraste. Concluimos que las diferencias entre los exámenes (prueba o Test) son significativos, es decir, que los mismos tenían diferentes grados de dificultad.

6 A continuación mostramos las graficas obtenidas con el programa de Statgraphics para visualizar la dispersión de los datos: 80 Dispersión por Código de Nivel PUNTUACION ES A B C EXAMEN Podemos apreciar en la gráfica de dispersión de los datos que los Test del 1er. Y 2º parcial han obtenido puntuaciones similares por lo que se pueden considerar que el nivel de dificultad entre ambos fueron similares.

7 ANOVA Gráfico para PUNTUACIONES A C B EXAMEN P = 0,0000 Residuos

8 A continuación mostramos los resultados obtenidos con el programa Statgraphis

9 ANOVA Simple - PUNTUACIONES por EXAMEN Variable dependiente: PUNTUACIONES (VARIABLE DEPENDIENTE) Factor: EXAMEN (TEST( COD. A TEST FINAL B 1er.Parcial, C 2º Parcial )) Número de observaciones: 30 Número de niveles: 3 El StatAdvisor Este procedimiento ejecuta un análisis de varianza de un factor para PUNTUACIONES. Construye varias pruebas y gráficas para comparar los valores medios de PUNTUACIONES para los 3 diferentes niveles de EXAMEN. La prueba-f en la tabla ANOVA determinará si hay diferencias significativas entre las medias. Si las hay, las Pruebas de Rangos Múltiples le dirán cuáles medias son significativamente diferentes de otras. Si le preocupa la presencia de valores atípicos, puede elegir la Prueba de Kruskal-Wallis la cual compara las medianas en lugar de las medias. Las diferentes gráficas le ayudarán a juzgar la significancia práctica de los resultados, así como le permitirán buscar posibles violaciones de los supuestos subyacentes en el análisis de varianza. Tabla ANOVA para PUNTUACIONES por EXAMEN Fuente Suma de Cuadrados Gl Cuadrado Medio Razón-F Valor-P Entre grupos 9806, ,33 59,89 0,0000 Intra grupos 2210, ,8778 Total (Corr.) 12017,4 29 El StatAdvisor La tabla ANOVA descompone la varianza de PUNTUACIONES en dos componentes: un componente entre-grupos y un componente dentro-de-grupos. La razón-f, que en este caso es igual a 59,886, es el cociente entre el estimado entre-grupos y el estimado dentro-de-grupos. Puesto que el valor-p de la prueba-f es menor que 0,05, existe una diferencia estadísticamente significativa entre la media de PUNTUACIONES entre un nivel de EXAMEN y otro, con un nivel del 95,0% de confianza. Para determinar cuáles medias son significativamente diferentes de otras, seleccione Pruebas de Múltiples Rangos, de la lista de Opciones Tabulares.

10 A continuación la resolución del Ejercicio 8 paso a paso y luego el resumen obtenido Con el programa Statgraphics.

11 ANALISIS Y CALCULOS A) Planteamos los contrastes de Hipótesis Ho : La media de los errores de las cuatro impresoras son iguales µ 1 = µ 2 = µ 3 = µ H 1 : La media de los errores son distintos. B) Establecemos la región de criterio de contraste, para ello hallamos el F α; m-1; m(n-1) estadístico F-snedecor Donde: α = 0,05 m = No.de muestras = 4 m-1 = 4-1 = 3 n = No.de semanas = 5 m(n-1) = 4*4 = 16 Tenemos así el grado de libertad de F-s es (3 ; 16). El valor del estadístico es : F 0,05;3;16 = 3,24 (dado en una tabla )

12 C ) Pasamos a calcular los datos para formar nuestra tabla ANOVA (Análisis de Varianza) y así obtener el estimador de las muestras. 1º Calculamos la de cada una de las muestras, esto es de cada una de las pruebas o test: Impresora 1 : y 1 = = 70 Impresora 2 : y 2 = = 75 Impresora 3 : y 3 = = 79 Impresora 4 : y 4 = = 69 2º Calculamos y ij = = 293 3º Calculamos C = ( Y ij ) 2 / n.m = (293) 2 / 5.4 = 85849/20= 4292,45 4º Calculamos y i 2 / n = ( ) / 5 = 4305,40 5º Calculamos y ij2 = = º Calculamos la suma de cuadrados de los errores de cada impresora (SSe ) SSe = y i2 / n C = 4305, ,45 = 12,95 7º Calculamos la suma de cuadrados totales (SST) SST = y ij2 - C = ,45 = 114,55 8º Calculamos la suma de cuadrado del error o del azar (SSE) SSE = SST SSe = 114,55 12,95 = 101,60

13 D) Formamos la Tabla ANOVA Simple para los errores por impresora Variable dependiente es: número de errores de cada impresora Factor o muestra: Cada una de las impresoras ( 1, 2, 3 y 4) Cuadro General: FUENTE Grados de Suma de Cuadrado Razón Valor P libertad Cuadrados Medio F-Snedecor GL SC CM F Entre Grupos m-1 SST SST / (m-1) [SST / (m-1) ] / [SSE / m(n-1) ] Intra Grupos m(n-1) SSE SSE / m(n-1) Total mn-1 SST

14 A continuación nuestra tabla ANOVA con los datos numéricos: FUENTE Grados de Suma de Cuadrado Razón Valor P libertad Cuadrados Medio F-Snedecor GL SC CM F Entre Grupos 3 12,95 12,95/3 = 4,3167 4,3167 / 6,35 = 0,68 Intra Grupos ,60 101,60/16 = 6,35 Total ,55 E) Finalmente emitimos nuestra conclusión analizando los resultados obtenidos: Estimador F = 0,68 < 3,24 = F 0,05;3;16 Estadístico Aceptamos la hipótesis nula Ho considerando que el valor del estimador calculado F = 59,89 cae dentro de la región de aceptación. Concluimos que las diferencias entre los errores de las impresoras son debidos al azar. La media de errores de las tres impresoras son iguales.

15 A continuación mostramos los resultados obtenidos con el programa Statgraphis

16 ANOVA Simple - NUMERO DE ERRORES por IMPRESORAS Variable dependiente: NUMERO DE ERRORES (POR SEMANA) Factor: IMPRESORAS (NUMERACION) Número de observaciones: 20 Número de niveles: 4 IMPRESORAS NUMERO DE ERRORES NUMERACION POR SEMANA

17 El StatAdvisor Este procedimiento ejecuta un análisis de varianza de un factor para NUMERO DE ERRORES. Construye varias pruebas y gráficas para comparar los valores medios de NUMERO DE ERRORES para los 4 diferentes niveles de IMPRESORAS. La prueba-f en la tabla ANOVA determinará si hay diferencias significativas entre las medias. Si las hay, las Pruebas de Rangos Múltiples le dirán cuáles medias son significativamente diferentes de otras. Si le preocupa la presencia de valores atípicos, puede elegir la Prueba de Kruskal-Wallis la cual compara las medianas en lugar de las medias. Las diferentes gráficas le ayudarán a juzgar la significancia práctica de los resultados, así como le permitirán buscar posibles violaciones de los supuestos subyacentes en el análisis de varianza. Tabla ANOVA para NUMERO DE ERRORES por IMPRESORAS Fuente Suma de Cuadrados Gl Cuadrado Medio Razón-F Valor-P Entre grupos 12,95 3 4, ,68 0,5771 Intra grupos 101,6 16 6,35 Total (Corr.) 114,55 19 El StatAdvisor La tabla ANOVA descompone la varianza de NUMERO DE ERRORES en dos componentes: un componente entre-grupos y un componente dentro-de-grupos. La razón-f, que en este caso es igual a 0,67979, es el cociente entre el estimado entre-grupos y el estimado dentro-de-grupos. Puesto que el valor-p de la razón-f es mayor o igual que 0,05, no existe una diferencia estadísticamente significativa entre la media de NUMERO DE ERRORES entre un nivel de IMPRESORAS y otro, con un nivel del 95,0% de confianza.

18 Dispersión por Código de Nivel 20 NUMERODE ERRORES IMPRESORAS ANOVA Gráfico para NUMERO DE ERRORES IMPRESORAS P = 0,5771 Residuos