PRÁCTICA 4. Ingeniería Técnica Industrial (2º) - Mecánica.

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1 PRÁCTICA 4. Ingeniería Técnica Industrial (2º) - Mecánica. Profesores: Javier Faulín y Francisco Ballestín 1. Introducción. El objetivo de esta parte es obtener resultados sobre contrastes de hipótesis para medias de una y dos poblaciones normales, para la igualdad de varianzas en poblaciones normales y para proporciones. El test de hipótesis paramétrico es un método que permite contrastar qué valores puede tomar el parámetro poblacional. El objetivo es comprobar si las afirmaciones referentes al parámetro desconocido son ciertas en función de las muestras que se manejan. Por ejemplo, un ingeniero puede decidir si el uso de un determinado material incrementa el tiempo de fallo de determinadas piezas, un investigador médico puede decidir si tomar café incrementa o no el riesgo de padecer cáncer, un sociólogo puede, basándose en datos recopilados, decidir si la ocurrencia de un determinado suceso modifica la opinión pública. En cada uno de los estudios se postula algo sobre un modelo, y considerando los datos muestrales se toman decisiones. 2. Contraste de medias en población normal con varianza conocida. El objetivo es contrastar la hipótesis nula de la no existencia de diferencias significativas entre la media de una población y un valor determinado cuando la desviación típica es conocida. Es decir: H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ µ 0 (ó µ > µ 0 ó µ < µ 0 ) donde µ es la media poblacional y µ 0 es el valor de prueba. También se obtiene un intervalo de confianza para la media poblacional. Seleccionamos en el menú: Stat > Basic Statistics > 1-Sample Z Obtenemos el cuadro de diálogo de la figura 1. Samples in columns: Seleccionamos la columna o columnas para las que queremos realizar el test de hipótesis y/u obtener el intervalo de confianza. Test mean: Especificamos el valor de prueba, es decir, el valor de µ 0. Para el cálculo del intervalo de confianza no se precisa indicar ningún valor. Standard deviation: Introducimos el valor de la desviación típica poblacional ya que este test asume que ésta es conocida. 1

2 Figura 1. Contraste de medias para una muestra con varianza poblacional conocida. Si seleccionamos la opción Graphs podemos obtener un histograma, un dibujo de los puntos individuales y un diagrama de cajas de las variables. Los gráficos muestran la media muestral y un intervalo de confianza para la media, cuando realizamos un contraste de hipótesis, muestran también el valor de prueba. Si seleccionamos la opción Options especificamos el nivel de confianza y definimos la hipótesis alternativa. Confidence level: Especificamos el nivel de confianza deseado. Introducimos cualquier número entre 0 y 100. Si introducimos el 90 obtenemos un intervalo de confianza al 90 %. Por defecto, tenemos el valor 95. Alternative: Especificamos la hipótesis alternativa, tenemos las opciones menor que, distinto que o mayor que, es decir, indicamos si el contraste es unilateral (una cola) o bilateral (2 colas). Si seleccionamos un contraste unilateral obtenemos una cota inferior o superior para la media. Al realizar cualquier contraste obtenemos el valor del estadístico (Z si la dstribución del estadístico es la Normal, T si es la t de Student, etc.). Además, obtenemos el p-valor (P), 2

3 con el que podemos decidir si rechazar la hipótesis nula para cualquier valor de significación. La fórmula es: p-valor < alfa Rechazamos H 0. Ejercicio 1. En un estudio de contaminación atmosférica, se efectuaron mediciones en una ciudad grande del estado de California. Las ocho lecturas (en partes por millón) fueron: 7 9, 11 3, 6 9, 12 7, 13 2, 8 8, 9 3 y Suponiendo que la población muestreada sea normal, a) calcula un intervalo de confianza al 95 % para la media real suponiendo σ = 1,5 b) contrasta la hipótesis de que la media sea 10 con un nivel de significación del 10%. 3. Contraste de medias en población normal con varianza poblacional desconocida. El objetivo es contrastar la hipótesis nula de la no existencia de diferencias significativas entre la media de una población y un valor de prueba, siendo el valor de la varianza poblacional desconocido. Para ello, seleccionamos el menú: Stat > Basic Statistics > 1-Sample t que nos permite calcular intervalos de confianza y realizar contrastes de hipótesis para la media de una población normal con varianza poblacional desconocida. Tanto el cuadro de diálogo como las opciones son casi idénticas a la del contraste con varianza poblacional conocida. Ejercicio 2. El ph del suelo es una variable importante cuando se diseñan estructuras que estarán en contacto con el terreno. El propietario de un solar posible lugar de construcción afirma que el ph del suelo es 6,5. Se han tomado 9 muestras del suelo del terreno, obteniéndose los resultados que se recogen en el archivo de datos ph.mtw. Suponiendo que la variable ph sigue una distribución normal, responde las siguientes cuestiones: a) Proporciona un intervalo de confianza para el ph medio con un nivel de significación del 10% y obtén el histograma de la variable. Se quiere comprobar la veracidad de la afirmación del propietario del solar. b) Qué tipo de contraste tendrías que realizar? Proporciona además las hipótesis. c) Para un nivel de confianza del 95% Se puede aceptar la afirmación del propietario? 3

4 4. Contraste de medias para dos muestras independientes con varianzas desconocidas. Se trata de comprobar la hipótesis nula de la no existencia de diferencias significativas entre las medias poblacionales de dos muestras independientes que, generalmente, van a ser de distinto tamaño. Para ello, seleccionamos el menú: Stat > Basic Statistics > 2-Sample t que nos permite calcular intervalos de confianza y realizar contrastes de hipótesis para la diferencia de medias de dos poblaciones normales. Al seleccionar el menú correspondiente se abre el siguiente cuadro de diálogo: Figura 2. Contraste de diferencia de medias para dos muestras independientes. Si las dos muestras están en una misma columna, debemos seleccionar Samples in one column, introducir la columna en cuestión en Samples y seleccionar una variable de agrupación que se introducirá en Subscript. Dicha variable de agrupación podrá tomar únicamente dos valores distintos, ya que se crearán tantas muestras como valores tenga esta variable, y en el caso de tener más de dos muestras independientes, deberemos aplicar un contraste ANOVA. Si cada una de las muestras está en una columna diferente, debemos seleccionar Samples in different columns e introducir cada una de las columnas en una casilla. Habrá también que indicar si se pueden asumir o no varianzas iguales. Si seleccionamos el submenú Options se abre el siguiente cuadro de diálogo: 4

5 Figura 3. 2-Sample t-options. En él podemos señalar el nivel de confianza deseado (95% por defecto), el valor de la diferencia de medias que se quiere contrastar (por defecto, µ 1 -µ 2 =0, es decir, µ 1 =µ 2 ) y la hipótesis alternativa (menor que, distinto que, mayor que). Si seleccionamos la opción Graphs aparece el siguiente cuadro de diálogo: Figura 4. 2-Sample t-graphs. Nos permite obtener un dibujo de los puntos y diagramas de cajas de la(s) variable(s) analizada(s) en cada una de las muestras. Ejercicio 3. Una empresa tiene en su poder dos dispositivos para mejorar la eficiencia de los sistemas de calefacción en los hogares; uno de ellos funciona con energía eléctrica (sistema 1) y el otro con energía térmica (sistema 2). Se quiere estudiar si ambos dispositivos son igualmente efectivos, para lo cual se compara el consumo de energía en 90 hogares que tienen uno u otro sistema; los datos del estudio se recogen en el archivo energía.mtw. Suponiendo que se ha llevado a cabo un test de igualdad de varianzas en el cual no se han encontrado evidencias que hagan pensar que dichas varianzas son distintas y para un nivel de confianza del 95%, responde a las siguientes cuestiones: a) Intervalo de confianza para la diferencia de medias. b) Valor del estadístico t de contraste. c) Valor del p-value. 5

6 d) Cuáles son los grados de libertad del estadístico? e) Podemos por lo tanto pensar que un sistema es más efectivo que otro? Por qué? 5. Contraste de medias en poblaciones normales para muestras emparejadas con varianzas desconocidas. Se trata de contrastar la hipótesis nula de la no existencia de diferencias significativas entre las medias poblacionales a partir de dos muestras con datos apareados. Esta situación se puede presentar cuando se tienen: - los mismos sujetos en situaciones diferentes. - sujetos distintos en ambos grupos comparables respecto a una serie de características o circunstancias de experimentación. Por ejemplo, si se dispone de dos ficheros con los beneficios de empresas de dos países diferentes, podemos estar interesados en contrastar si los beneficios difieren o no. El contraste que se realiza es: H 0 : µ D = µ 0 H 1 : µ D µ 0 (ó > ó <) donde µ D es la media poblacional de las diferencias y µ 0 es el valor de prueba de la media de la diferencia. Seleccionamos el menú: Stat > Basic Statistics > Paired t. Aparece el cuadro de diálogo de la figura 5: Figura 5: Contraste de medias en poblaciones normales para muestras emparejadas. 6

7 First sample: Introducimos el nombre de la columna conteniendo la primera muestra. Second sample: El nombre de la columna conteniendo la segunda muestra. Las opciones Graphs y Options son similares a la del contraste de la media poblacional. Ejercicio 4. Los siguientes datos son las horas-hombre que semanalmente se pierden en promedio por accidentes en 10 plantas industriales antes y después de que se implante cierto programa de seguridad: ANTES DESPUES Calcula un intervalo de confianza al 90 % para la media de la población de las diferencias en las horas-hombre perdidas. Utiliza un nivel de significación de 0,05 para probar si el programa de seguridad es eficaz. Qué tipo de contraste es? Proporciona además las hipótesis mediante parámetros. 6. Contraste del cociente de varianzas en poblaciones normales para muestras independientes. Se trata de contrastar la hipótesis nula de la no existencia de diferencias significativas entre las varianzas poblacionales a partir de dos muestras aleatorias. El contraste que se realiza es H 0 : σ 2 x /σ 2 y = 1 H 1 : σ 2 x /σ 2 y 1 (ó >1 ó <1) donde σ 2 x es la varianza poblacional de la primera población y σ 2 y es la varianza de la población de la segunda. Seleccionamos el menú: Stat > Basic Statistics > 2Variances 7

8 Aparece el cuadro de diálogo de la figura 6. Seleccionamos Samples in different columns y escribimos el nombre de la primera y de la segunda muestra. En Storage podemos almacenar los valores de los límites superior e inferior del I.C. para cada una de las varianzas, los valores de las varianzas muestrales y en Options podemos elegir el nivel de confianza. Figura 6: 2 Variances. (Test and confidence interval). Ejercicio 5. Se quiere contrastar si la variabilidad del precio de la mano de obra en talleres de automóviles difiere entre Pamplona y Zaragoza. Para ello se han tomado los siguientes datos en euros por hora: PAMPLONA ZARAGOZA 21,84 16,02 20,04 19,26 28,04 17,88 19,90 20,80 18,94 15,54 24,58 23,68 18,76 17,66 23,70 20,92 22,16 22,40 8

9 Realiza el correspondiente contraste al nivel de significación del 0,1. Existe diferencia entre la variabilidad en Pamplona y Zaragoza? 7. Contraste de una proporción Se trata de contrastar la hipótesis nula de la no existencia de diferencias significativas entre la proporción de elementos que cumplen una determinada característica en una población y un valor dado p 0. Planteamos la hipótesis como H 0 : p = p 0 H 1 : p p 0 (ó p > p 0 ó p < p 0 ) Seleccionamos el menú: Stat > Basic Statistics >1Proportion (Para realizar el contraste de proporciones entre dos poblaciones elegiríamos 2Proportion). Figura 7: 1-Proportion (test and confidence interval). Aparece el cuadro de diálogo de la figura 7. Si seleccionamos Samples in columns, los datos de la columna seleccionada han de tener sólo dos posibles valores. Si seleccionamos Summarized data, no tomamos ninguna columna sino que introducimos el número de pruebas en number of trials y en number of events el número de eventos, es decir, el número de elementos que tienen la característica en estudio (número de éxitos ). En opciones especificamos cuál es la hipótesis alternativa y el nivel de significación. Ejercicio 6. En una revisión realizada a 950 vehículos de una determinada marca y modelo, se ha detectado que 524 presentan un fallo en el sistema de air-bag. Decide si la 9

10 mayoría de los vehículos presenta un fallo en el air-bag. Especifica claramente las hipótesis mediante parámetros en el ReportPad. 8. Ejercicios de los distintos contrastes En todos estos ejercicios tienes primero que especificar qué tipo de contraste utilizas. Además, escribe las hipótesis claramente en el Report Pad, definiendo los parámetros (medias, varianzas, proporciones, etc.) que utilices. Ejercicio 7. Los siguientes datos fueron recabados en un experimento que fue diseñado para verificar si existe una diferencia sistemática en los pesos obtenidos con dos balanzas diferentes: Balanza 1 Balanza 2 Muestra de roca Muestra de roca Muestra de roca Muestra de roca Muestra de roca Muestra de roca Muestra de roca Muestra de roca Muestra de roca Muestra de roca Aplicad el contraste de hipótesis adecuado con un nivel de significación de 0,05, para probar si la diferencia de las medias de los pesos obtenidos con las dos balanzas es significativa. Escribe qué contraste has aplicado y cuál es la conclusión. Ejercicio 8. Dos empresas compiten en el sector de la producción de tornillos. Un cliente que lleva años trabajando con ambas empresas opina que el porcentaje de tornillos defectuosos producidos por la fábrica A es mayor que el de la fábrica B. Para comprobarlo se escoge una muestra aleatoria de 100 tornillos de cada fábrica y se comprueba que 9 son defectuosos en la fábrica A y 3 en la fábrica B. Cuál es la conclusión a la que llega el cliente con un nivel de significación de 0,05? Ejercicio 9. Un industrial afirma que el alambre que él fabrica tiene mejores propiedades de torsión que el de la competencia. Para comprobar la veracidad de esta afirmación, se seleccionan al azar diez tubos de alambre fabricados por el empresario (tubo 1) y diez tubos fabricados por la competencia (tubo 2) y se someten a torsión en 10

11 un aparato de laboratorio hasta su ruptura; la medida de interés es el número de revoluciones con el que se logra la ruptura. Los resultados se recogen en el archivo de datos ruptura.mtw. Suponiendo varianzas iguales y para un nivel de confianza del 95% responde a las siguientes cuestiones: a) Cuál es la hipótesis nula a contrastar? Y la hipótesis alternativa? b) Valor del estadístico de contraste y grados de libertad del estadístico. c) Podemos aceptar la afirmación del industrial, es decir, podemos aceptar que los tubos que él fabrica son mejores que los de la competencia? Ejercicio 10. Una muestra aleatoria de los archivos de una compañía que contienen información detallada indican que las órdenes de compra para cierta pieza de maquinaria fueron entregados en 10, 12, 19, 14, 15, 18, 11 y 13 días. Suponiendo que la población muestreada es normal y σ = 3, usando un nivel de significación α = 0,01, contrasta la afirmación de que el tiempo medio de entrega es 10.5 días. 11

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