Prácticas y problemas de diseño de experimentos de una vía.

Transcripción

1 Capítulo 1 Prácticas y problemas de diseño de experimentos de una vía Problemas de diseño de experimentos de una vía con ordenador. Problema 2.1. Una fábrica de herramientas desea comprobar si la resistencia de unas piezas mecánicas que le proporcionan cuatro suministradores diferentes depende del suministrador. Para ello recoge una muestra aleatoria de cada suministrador y somete a cada una de las piezas a una prueba de resistencia que consiste en observar el número de veces que soporta una presión hasta estropearse. Los resultados del experimento son los de la tabla adjunta: Sumin. A Sumin. B Sumin. C Sumin. D Resistencia Desarrollo del Problema 2.1. Utilizando el Statgraphics se siguen los siguientes pasos. 1. Crear un chero con los datos del problema. El chero tendrá seis variables: cuatro variables con los datos de cada suministrador, una variable con todos los datos de la variable respuesta (resistencia) y la variable del factor (suministrador). 2. Hacer un estudio descriptivo analítico y grá co de la variable resistencia según el factor resistencia. Se utiliza el módulo descripcion > datos numericos > analisis de subgrupo. 1

2 2 Modelos estadísticos aplicados. Juan Vilar Observar los estadísticos básicos de cada grupo y de la tabla de medias. Observar con atención los siguientes grá cos: grá co de puntos de la variable respuesta frente al factor, grá co de medias de los grupos, grá co de las desviaciones típicas de los grupos y el grá co de cajas múltiple. Obtener conclusiones. 3. El estudio de la in uencia del factor y la construcción de la tabla ANOVA se hace en el módulo comparacion > analisis de la varianza > anova simple Este módulo permite realizar un estudio completo del problema. Se pueden realizar los siguientes análisis: - Hacer un estudio descriptivo análogo al del apartado anterior. - Construir la tabla ANOVA y contrastar la in uencia del factor. - Calcular intervalos de con anza para las medias de grupos. - Hacer contrastes múltiples por diferentes métodos. - Contrastar la hipótesis de homocedasticidad. - Hacer el contraste no paramétrico de Krustal-Wallis sobre la in uencia del factor. - Dibujar grá cos descriptivos análogos a los del apartado anterior. - Dibujar diferentes grá cos de residuos para contrastar las hipótesis básicas. 4. Se guardan los residuos en una variable (también es conveniente guardar los residuos estandarizados). 5. Con el estudio realizado ya se puede tener un conocimiento razonable acerca del cumplimiento o no de las hipótesis básicas. En todo caso un análisis más detallado sobre este particular se obtiene como sigue: Hipótesis de normalidad: el módulo descripcion > distribuciones > ajuste de distribuciones proporciona diferentes contrastes de normalidad y grá cos que ayudan a estudiar la hipótesis de normalidad (grá co de simetría, histograma, empírica y densidad teórica, grá co Q Q). El grá co de normalidad se obtiene en graficos > graficos exploratorios > grafico probabilistico 6. Hipótesis de homocedasticidad: el módulo anova simple proporciona diferentes contrastes de homocedasticidad (Cochran, Bartlett, Hartley y Levene) y diferentes grá cos donde se puede contrastar esta hipótesis. Trabajando con la variable de residuos se puede hacer el contraste de Romero-Zúnica (tabla ANOVA de un factor donde la variable respuesta es la de residuos al cuadrado) y el grá co de cajas múltiple de los residuos frente al factor.

3 Prácticas y problemas de diseño de experimentos de una vía Detectar datos atípicos: se utiliza el módulo atipicos descripcion > datos numericos > identificacion de valores en el que se presentan diferentes métodos numéricos y grá cos para detectar datos atípicos entre los residuos. 8. Hipótesis de independencia: considerando la variable de residuos como una serie de tiempo se puede estudiar la independencia de la misma en el módulo avanzado > analisis de series temporales > metodos descriptivos que permite obtener la función de autocorrelación (f.a.s.), los contrastes de rachas y el contraste de Box-Pierce (Box-Ljung), también se presentan las grá cas de residuos frente al índice y el correlograma. Si se considera que los residuos tienen mucha variabilidad se puede obtener una serie suavizada de los mismos utilizando los métodos de medias móviles en el módulo avanzado > analisis de series temporales > suavizado. Problema 2.2. El chero problema-2-2 contiene datos de una muestra de 155 coches. En base a esta muestra, estudiar: 1. La in uencia del factor origen de los coches (origin) en la variable de interés inversa del consumo (mpg: millas por galón). 2. La in uencia del año de fabricación (year) en la variable de interés aceleración de los coches (accel). 3. La in uencia del año de fabricación (year) en el precio de los coches (price) Contrastes de hipótesis no paramétricas. Problema 2.3. Durante la segunda guerra mundial se dividió el mapa de Londres en cuadrículas de 1/4 Km 2 y se contó el número de bombas caídas en cada cuadrícula durante un bombardeo alemán. Los resultados obtenidos fueron los siguientes: x i : impactos en la cuadrícula o i : frecuencia observada A partir de estos datos deducir si el bomardeo se hacía de forma aleatoria o se perseguía un determinado objetivo militar Solución al Problema 2.3.

4 4 Modelos estadísticos aplicados. Juan Vilar Del contexto de los datos parece razonable intentar ajustar una distribución de Poisson. Se estima el parámetro P xi o i ^ = x = P oi = = = : Se calculan las probabilidades teóricas p i = P (X = x i ) = e ^ i ^x : x i! Se obtiene la tabla del contraste chi cuadrado de ajuste de una distribución (E i O i ) 2 x i p i E i = p i 576 O i E i Q = En la Figura 2.1. se representa la distribución ajustada. Figura 2.1. Histograma y distribución de Poisson ajustado. Bajo la hipótesis nula (la variable en estudio es de Poisson) el estadístico Q sigue una distribución con grados de libertad, de donde p valor = 1 P 2 4 < = = :

5 Prácticas y problemas de diseño de experimentos de una vía. 5 Se acepta la hipótesis de que la distribución de la variable en estudio es de Poisson. Problema 2.4. Se ha observado el tiempo de funcionamiento de diez impresoras de un determinado modelo antes de tener la primera avería, los datos se han tomado con unidad cien horas de funcionamiento. Una vez ordenada la muestra de menor a mayor, los resultados son los de la tabla adjunta: En base a estos datos ajustar una distribución utilizando el contraste de Kolmogorov- Smirnov. Solución al Problema 2.4: Por el contexto del problema es razonable suponer que las observaciones siguen una distribución exponencial. La función de densidad es y, la función de distribución es Se estima el parámetro = 1 E (X), f (x) = e x si x > 0 F (x) = P (X x) = 1 e x si x > 0: ^ = 1 x = = : Se calcula la tabla del contraste K-S: x i F (x i ) F n (x i 1 ) F n (x i ) D (x i ) KS = En la tabla KS se observa que al valor KS = le corresponde un p valor = : Se acepta la hipótesis de que las observaciones siguen una distribución exponencial.

6 6 Modelos estadísticos aplicados. Juan Vilar Problema 2.5. El ordenador DEC-20 era utilizado en las universidades americanas en la década de los ochenta. Los datos de la tabla adjunta indican el número de averías que tenía uno de estos ordenadores en 128 semanas consecutivas de funcionamiento. Se puede ajustar a estos datos una distribución de Poisson? En caso negativo proponer una distribución alternativa (los datos están en el chero problema-2-5) Problema 2.6. Los datos de la tabla adjunta indican los tiempos, en segundos, que tarda en realizar una operación un cajero automático de una entidad bancaria (los datos están en el chero problema-2-6) Hacer un estudio descriptivo de estos datos. 2. Puede suponerse que estos datos siguen una distribución normal? 3. Los datos de la muestra han sido recogidos de forma consecutiva durante un día, puede suponerse que son independientes?.

7 Prácticas y problemas de diseño de experimentos de una vía. 7 Problema 2.7. En la tabla adjunta se presentan los datos del tiempo transcurrido, en días, entre dos terremotes ocurridos en algún lugar. Se consideran los terremotos con una magnitud superior a grados en la escala Richter o en el que murieron más de personas. Los datos se recogían entre el 16 de Diciembre de 1902 y el 4 de Marzo de En base a estos datos, los terremotos ocurren de forma aleatoria?, el tiempo entre dos terremotos se puede ajustar por una distribución exponencial?, (los datos están en el chero problema- 2-7) Problemas resueltos de diseño de experimentos de una vía. Problema 2.8. (Diseño de experimentos con un factor jo) Un campus universitario tiene cuatro facultades. Se quiere estudiar la variable tiempo que tarda un alumno en hacer una consulta en la base de datos de la biblioteca de su facultad. Para ello se ha recogido una muestra aleatoria cuyos resultados son los de la tabla adjunta. Analizar estos datos y estudiar la in uencia del factor facultad en la variable de interés. Arquitectura Informática Derecho Caminos

8 8 Modelos estadísticos aplicados. Juan Vilar Solución al Problema 2.8. La media y desviación típica de cada una de las facultades y del total es: ^ = y = 1 X n y ij = ij s 2 Y = 1 n X ij y2 ij 1 X 2 n y ij = ij = = ) s Y = p = (desviación típica muestral) ^s 2 Y = s2 Y = = ) ^s Y = p = (cuasi-desviación típica muestral) La suma de cuadrados global es: En cada grupo se obtiene scg = X ij (y ij y ) 2 = Facultad Media Cuasi-Varianza Cuasi-Desviación típica Arquitectura y 1 = ^s 2 1 = ^s 1 = Informática y 2 = ^s 2 2 = ^s 2 = Derecho y = ^s 2 3 = ^s 3 = Caminos y 4 = ^s 2 4 = ^s 4 = TOTAL y = ^s 2 Y = ^s Y = El contraste sobre la in uencia del factor facultad es ( H 0 : 1 = 2 = 3 = 4 H 1 : existen medias diferentes A la vista de los resultados sobre la media del cuadro anterior se puede intuir que se va a rechazar H 0 y, por tanto, el factor facultad in uye en la variable de interés. Se calcula la tabla ANOVA. Teniendo en cuenta que la predicción en cada facultad coincide con la media condicionada: Predicciones ^ 1 = y 1 = ^ 2 = y 2 = ^ 3 = y 3 = ^ 4 = y 4 = )

9 Prácticas y problemas de diseño de experimentos de una vía. 9 La suma de cuadrados explicada por el factor 0 1 sct (f acultad) = 4X Xn (y i y ) 2 A = La suma de cuadrados residual i=1 j=1 4X n i (y i y ) 2 = i=1 = = 4; : scr = scg sct = 6; ; = 2; También se puede calcular scr directamente a partir de los residuos (siempre los hay que calcular para contrastar las hipótesis básicas), scr = X ij e 2 ij = X ij (y ij y i ) 2 = = : : : : : : : : : : : : = 2; : La tabla ANOVA es Tabla ANOVA Suma de cuad. Gr. lib. Varianzas F p valor sct s 2 e = scr ^s 2 R = scg ^s 2 Y = Se rechaza H 0 para cualquier valor de > y se concluye que el factor facultad es signi cativo. Intervalos de con anza al 90 % para los diferentes parámetros del modelo: Intervalo de con anza para la varianza: 2 (n I) ^s 2 R 2 = =) = = =) = =

10 10 Modelos estadísticos aplicados. Juan Vilar Intervalo de con anza para : Intervalo de con anza para i i y i s ^s 2 R n i t n I =) p =10 = t 46 =) = t t = =) = = ; : De forma análoga se obtienen intervalos de con anza para las otras medias, IC ( 2 ) = ( ; ) IC ( 3 ) = ( ; ) IC ( 2 ) = ( ; ) Intervalo de con anza para la diferencia de medias. Se hace para 1 2 ( 1 2 ) (y 1 y 2 ) ^s R r 1 n n 2 t n I =) ( 1 2 ) ( ) r ( 1 2 ) = ( 1 2 ) t 46 =) = = t ( 1 2 ) t = ( 1 2 ) = = ; : Puede considerarse que existe una diferencia signi cativa entre la media de Arquitectura y la media de Informática. Haciendo todos los intervalos de con anza para la diferencias de medias se obtienen dos grupos homogéneos: Grupo 1: Informática y Caminos Grupo 2: Arquitectura y Derecho. En las siguientes guras se representan tres grá cas que ayudan a entender que existe in uencia del factor facultad y que los residuos veri can las hipótesis estructurales: - Figura 2.2. Grá co de cajas múltiple para los datos del problema según el factor.

11 Prácticas y problemas de diseño de experimentos de una vía Figura 2.3. Grá co de medias condicionadas con int. con anza según el factor. - Figura 2.4. Grá co de residuos del modelo frente a predicciones. Figura 2.2. Grá co de cajas múltiple. Figura 2.3. Grá co de medias condicionadas. Figura 2.4. Grá co de residuos frente a predicciones.

12 12 Modelos estadísticos aplicados. Juan Vilar Problema 2.9. (Diseño de experimentos con un factor aleatorio). En una empresa de montaje trabajan 135 operarios que realizan un determinado trabajo (T). La dirección de la empresa está interesada en conocer si in uye el factor operario en la variable tiempo de realización del trabajo T. Para ello se eligen cinco operarios al azar y se controla el tiempo en minutos que tardan en realizar el trabajo T en diez ocasiones. Los resultados del experimento son los de la tabla adjunta. Qué conclusiones se deducen de este experimento? Oper.1 Oper.2 Oper.3 Oper.4 Oper Solución al Problema 2.9. Es un diseño de experimentos con un factor (el factor operario ) que es aleatorio. Las medias y cuasi-desviaciones típicas en cada grupo (operario) son Operador Media Cuasi-Varianza Cuasi-Desviación típica Operador 1 y 1 = ^s 2 1 = ^s 1 = Operador 2 y 2 = ^s 2 2 = ^s 2 = Operador 3 y 3 = ^s 2 3 = ^s 3 = Operador 4 y 4 = ^s 2 4 = ^s 4 = Operador 5 y 5 = ^s 2 5 = ^s 5 = TOTAL y = ^s 2 Y = ^s Y = De donde scg = X ij (y ij y ) 2 = 1; : En este caso el modelo matemático es y ij = + T i + " ij ; T i N 0; 2 T ; "ij N 0; 2 El objetivo es la realización del contraste: ( H 0 : 2 T = 0 () 1 = 2 = 3 = 4 ) H 1 : existe variabilidad debida al factor Las predicciones son Predicciones ^ 1 = ^ 2 = ^ 3 = ^ 4 = ^ 5 = )

13 Prácticas y problemas de diseño de experimentos de una vía. 13 Cálculo de la suma de cuadrados explicada por el factor 0 1 sct (operador) = 5X Xn (y i 4X y ) 2 A = n i (y i y ) 2 = i=1 = 10 " j=1 i=1 ( ) 2 + ( ) 2 + ( ) ( ) 2 + ( ) 2 # Finalmente se obtiene La tabla ANOVA es = 1; : scr = scg sct = 1; ; = : Tabla ANOVA Suma de cuad. Gr. lib. Varianzas F p valor sct 1; s 2 T = scr ^s 2 R = scg 1; ^s 2 Y = Se rechaza H 0 para cualquier valor de > y se concluye que el factor operador es signi cativo, esto es, hay variabilidad entre los diferentes operadores. Estimación de las varianzas del modelo: ^s 2 R E (SCMR) = 2 ) ^ 2 = ^s 2 R = : E (SCMT ) = 2 + c 2 T ) ^ 2 T = ^s2 T ^s 2 R c = = : 2 Y = T ) ^ 2 Y = ^ 2 + ^ 2 T = = : Al igual que en el problema anterior las siguientes grá cas ayudan a comprender e interpretar la resolución del problema: Figura 2.5. Grá co de cajas múltiple para los datos del problema según el factor. Figura 2.6. Grá co de medias condicionadas con intervalos de con anza según el factor. Figura 2.7. Grá co de residuos frente a predicciones.

14 14 Modelos estadísticos aplicados. Juan Vilar Figura 2.5. Grá co de cajas múltiple. Figura 2.6. Grá co de medias condicionadas. Figura 2.7. Grá co de residuos frente a predicciones.

15 Prácticas y problemas de diseño de experimentos de una vía Problemas propuestos de diseño de experimentos de una vía. Problema Se ha estudiado el contenido en plata (tanto por ciento de plata) de monedas de Bizancio descubiertas en Chipre. Nueve de las monedas eran de la Epoca I, en el reinado del Rey Manuel I ( ), siete monedas eran de la Epoca II, cuatro de la Epoca III y siete de la Epoca IV. En base a estos datos existen diferencias signi cativas del contenido de plata en las monedas según las diferentes épocas? En particular, existe una diferencia signi cativa del contenido en plata de las monedas del reinado del Rey Manuel I con las otras épocas? Epoca I Epoca II Epoca III Epoca IV Problema En la tabla adjunta se presentan los tiempos, en segundos, de coagulación de la sangre extraída a 40 animales alimentados con cuatro dietas distintas (A, B, C, D). El muestreo se ha realizado de forma que las dietas se han asignado al azar y las muestras de sangre fueron extraídas y analizadas en orden aleatorio. En base a estos datos hay evidencias su cientes que indiquen la existencia de diferencias reales entre los valores medios de las distintas dietas? Analizar los residuos. En particular se tienen dudas acerca de las hipótesis de normalidad y homocedasticidad Dieta A Dieta B Dieta C Dieta D Problema Un departamento universitario desea contrastar si en los resultados de los alumnos en el aprendizaje de una asignatura in uye el profesor que la imparte. Para ello se eligen aleatoriamente muestras de alumnos de los cuatro profesores que imparten la asignatura: Juan, Luis, Pedro y Pablo, para que realizen un examen obteniendo los siguientes resultados en una puntuación de 0 a 80. Qué conclusiones se deducen?.

16 16 Modelos estadísticos aplicados. Juan Vilar Juan Luis Pedro Pablo Problema Se sabe que el dióxido de carbono tiene un efecto crítico en el crecimiento biológico. Cantidades pequeñas de CO 2 estimulan el crecimiento de muchos organismos, mientras que altas concentraciones inhiben el crecimiento de la mayor parte de ellos. Este último efecto se utiliza comercialmente cuando se almacenan productos alimenticios perecederos. Se realizó un estudio para investigar el efecto de CO 2 sobre la tasa de crecimiento del Pseudomonasfragi, un corruptor de alimentos. Se administró CO 2 a cinco presiones atmosféricas diferentes. La respuesta anotada es el cambio porcentual en la masa celular después de un tiempo de crecimiento de una hora. Se utilizaron diez cultivos en cada nivel, obteniéndose los datos de la tabla adjunta. Qué conclusiones se deducen del estudio estadístico de estos datos? Los resultados del experimento se presentan en la tabla adjunta. Nivel del factor, presión en atmósferas de CO Problema Una empresa de enlatado decide comprar nuevas máquinas y dispone de cuatro ofertas. Antes de elegir decide realizar una prueba para saber si las cuatro máquinas ofertadas pueden producir la misma cantidad de unidades por hora. Para ello, observa la producción de las cuatro máquinas y observa los resultados que se re ejan en la tabla adjunta. Qué conclusiones se deducen de este experimento? maq.a maq.b maq.c maq.d

17 Prácticas y problemas de diseño de experimentos de una vía. 17 Problema Una cadena de supermercados desea determinar si los empleados de caja, que se supone tienen un mismo nivel de capacidad, tardan el mismo tiempo en atender a los clientes. Para ello, se han seleccionado cinco empleados al azar y se ha observado el tiempo que han tardado en atender a los clientes. Los resultados son los de la tabla adjunta, Cajero.1. Cajero.2. Cajero.3. Cajero. 4. Cajero En base a estos datos: 1. Escribir el modelo matemático adecuado al problema. Cuál es la hipótesis nula a contrastar? 2. Calcular la tabla ANOVA. Contrastes relacionados. Conclusiones. 3. Calcular el coe ciente de determinación. 4. Analizar los residuos del modelo. Problema Los datos de la tabla adjunta indican la salinidad (partes por mil) de diferentes muestras tomadas en el lago Binimi (Bahamas) en tres zonas diferentes, elegidas de forma aleatoria entre toda la extensión del lago. En base a estos datos, se puede a rmar que la salinidad en el lago es constante? Zona I Zona II Zona III Problema Los datos de la tabla adjunta indican el peso de los depósitos de corcho de 28 árboles en cada una de las direcciones: norte, sur, este y oeste. Se quiere contrastar la hipótesis de que las medias de los pesos son iguales en todas las direcciones.

18 18 Modelos estadísticos aplicados. Juan Vilar 1. Hacer un estudio descriptivo de cada una de las cuatro variables. 2. Calcular la tabla ANOVA. Conclusiones. 3. Análisis de los residuos. 4. Calcular intervalos de con anza para las medias y para la diferencia de medias. 5. Se ha elegido la muestra de forma conveniente? Proponer un muestreo alternativo. 6. Sería razonable utilizar un modelo de bloques? En caso a rmativo cómo se recogería la muestra? Con el nuevo modelo cambian las conclusiones? Norte Este Sur Oeste Norte Este Sur Oeste Problema Un ingeniero civil está interesado en determinar si cuatro métodos diferentes para estimar la frecuencia de inundaciones producen estimaciones equivalentes del ujo máximo, medido en pies cúbicos por segundo, cuando se aplican a una misma cuenca. Cada procedimiento se evaluó seis veces en la misma cuenca y las observaciones son las de la tabla adjunta. Realizar el análisis estadístico y comprobar la heterocedasticidad de los residuos. Qué transformación es más apropiada para conseguir varianza constante?. Método Método Método Método

19 Prácticas y problemas de diseño de experimentos de una vía. 19 Problema Interesa determinar el efecto de cambiar el número de revoluciones por minuto (rpm) de una bomba rotatoria que impulsa un líquido por un circuito. Las rpm se controlan directamente mediante el tacómetro situado en la consola de la bomba. La tasa de corriente del uído se mide en litros por minuto. Se seleccionan 5 niveles equiespaciados de rpm: 10, 75, 100, 125 y 150 rpm (codi cados respectivamente del 1 al 5). Los resultados de las observaciones se recogen en el chero problema En base a estos datos: 1. Calcular la tabla ANOVA y contrastar la hipótesis el número de rpm no afecta a la tasa de corriente del líquido. 2. Conclusiones del estudio. 3. Calcular un intervalo de con anza para la varianza al 90 %. Problema El chero problema-2-20 contiene variables que representan conjuntos de residuos obtenidos al ajustar un diseño de experimentos de un factor con cinco niveles (se tienen veinte observaciones en cada nivel). Analizar cada uno de estos conjuntos de residuos y estudiar si veri can las hipótesis estructurales del modelo.