Diseños en bloques Incompletos aleatorizados

Transcripción

1 Capítulo 6 Diseños en bloques ncompletos aleatorizados ntroducción Cuando se construye un diseño en bloques aleatorizados, puede suceder que no sea posible realizar todos los tratamientos en cada bloque. En estos casos es posible usar diseños en bloques aleatorizados en los que cada tratamiento no está presente en cada bloque. Estos diseño reciben el nombre de diseños en bloques incompletos. Hay varios tipos de diseños en bloques incompletos, siendo uno de los más utilizados el diseño en bloque incompletos balanceado (BB), que estudiaremos a continuación Planteamiento del modelo y análisis estadístico. Los diseño en bloques incompletos balanceados (BB) deben verificar: Cada tratamiento ocurre el mismo número de veces en el diseño. Cada par de tratamientos ocurren juntos el mismo número de veces que cualquier otro par. Supongamos que se tienen tratamientos de los cuales sólo se pueden experimentar K (K < ) tratamientos en cada bloque. Se puede construir un diseño BB tomando K bloques de forma que a cada bloque se le asigne una de las K combinaciones de tratamientos posibles. En algunas ocasiones es posible reducir el número de bloques necesarios para formar el diseño. En el Apéndice B se muestran tablas de construcción de diseños BB para ciertos valores de los parámetros del diseño. Los parámetros que caracterizan este modelo son los siguientes: 1

2 Diseños en bloques ncompletos aleatorizados, número de tratamientos o niveles del factor principal., número de bloques K, número de tratamientos por bloque. R, número de veces que cada tratamiento se presenta en el diseño, es decir el número de réplicas de un tratamiento dado. λ, número de bloques en los que un par de tratamientos ocurren juntos. N, número total de observaciones. Estos parámetros deben verificar las siguientes relaciones: i) N=R=K ii) λ=r K 1 1 iii) Cuando= el diseño recibe el nombre de simétrico. Al igual que en el diseño en bloques completos, la asignación de los tratamientos a las unidades experimentales en cada bloque se debe realizar de forma aleatoria. El modelo estadístico para este diseño es el mismo que para el diseño en bloques aleatorizados completos, es decir y ij =µ+τ i +β j +u ij. (6.1) En este diseño la variabilidad total SCT se descompone en donde SCT =SCTr +SCBl+SCR, (6.) SCTr es la suma de cuadrados de tratamientos ajustada, que tiene la siguiente expresión SCTr = K λ T i, (6.3)

3 Diseños en bloques ncompletos aleatorizados 3 siendot i el total ajustado por bloques deli-ésimo tratamiento, definido como con T i =y i. 1 K n ij y.j,,, (6.) 1 si el tratamientoiocurre en el bloquej n ij = 0 en otro caso Notamos que 1 K n ij y.j, es el valor medio de los totales de los bloques que contienen al tratamiento i-ésimo. Se verifica que T i =0, la suma de cuadrados ajustada de los tratamientos tiene, por tanto, 1 grados de libertad. Como en este diseño se realizank de los tratamientos en cada bloque, la suma de cuadrados correspondiente a los bloques tiene la siguiente expresión con 1 grados de libertad. SCBl= y.j K y.. N, (6.) SCT tiene la misma expresión que en el diseño en bloques completos aleatorizados, es decir conn 1 grados de libertad. SCT = y ij y.. N, (6.6) SCR se calcula a partir de las otras sumas de cuadrados, es decir

4 Diseños en bloques ncompletos aleatorizados SCR=SCT SCTr SCBl conn +1 grados de libertad, que se obtienen como la diferencia entre los grados de libertad desct y los grados de libertad desctr yscbl (N 1) ( 1) ( 1)=N +1. En este modelo el estadístico de contraste para los tratamientos es F τ = MCTr MCR donde los cuadrados medios tienen las siguientes expresiones i) ii) MCTr = SCTr 1 MCR= SCR N +1 La correspondiente tabla de análisis de la varianza se presenta a continuación Tabla -9. Análisis de la varianza para un diseño BB Fuentes de Suma de Grados de Cuadrados variación cuadrados libertad medios F exp Tra-ajustad. Bloq-no-ajustad. Residual TOTAL K i λ j T i y.j K y.. N 1 MCTr MCTr 1 SCT SCTr SCBl N +1 MCR yij y.. N 1 N i,j SCR En algunas ocasiones puede resultar de interés contrastar también la igualdad de efectos de los bloques, para ello la suma de cuadrados total se debe descomponer de la siguiente forma

5 Diseños en bloques ncompletos aleatorizados donde SCT =SCTr+SCBl +SCR SCT r es la suma de cuadrados de tratamientos no-ajustada SCTr= yi. R y.. N (6.7) SCBl es la suma de cuadrados ajustada de los bloques, que en el caso del diseño en bloques incompletos balanceado tiene la siguiente expresión SCBl = R λ B j siendob j el total ajustado por tratamientos delj-ésimo bloque, definido como B j =y.j 1 R Se verifica que n ij y i. B j =0, la suma de cuadrados ajustada de los bloques tiene, por tanto, -1 grados de libertad. En este caso el estadístico de contraste para los bloques es F β = MCBl MCR

6 6 Diseños en bloques ncompletos aleatorizados La correspondiente tabla de análisis de la varianza se muestra a continuación Tabla -10. Análisis de la varianza para un diseño BB Fuentes de Suma de Grados de Cuadrados variación cuadrados libertad medios F exp Trat-no-ajustad. y i. R y.. N i 1 R Bj Bloq-ajustad. 1 MCBl MCBl λ SCR Residual SCT SCTr SCBl N +1 MCR TOTAL yij y.. N N 1 i,j Como ilustración de este modelo se considera el siguiente ejemplo Una industria algodonera, interesada en maximizar el rendimiento de la semilla de algodón, quiere comprobar si dicho rendimiento depende del tipo de fertilizante utilizado para tratarla planta. A su disposición tiene tiposde fertilizantes. Como se cree que el tipo de terreno puede influir también en el rendimiento de la semilla de algodón se considera el terreno dividido en bloques. Para ello, divide el terreno en bloques 1 y cada bloque en parcelas, fumigando dentro de cada bloque cada una de las parcelas con un fertilizante, pero debido a la extensión de los bloques y a la falta de recursos, no se pueden aplicar todos los fertilizantes en cada bloque, sino que sólo se pueden aplicar de los fertilizantes en cada uno de ellos. Al recoger la cosecha se mide el rendimiento de la semilla, obteniéndose las siguientes observaciones. Un posible diseño BB para los parámetros = = lo proporciona la tabla correspondiente al Diseño del Apéndice B, con R =, = y λ = 3. La disposición del diseño y las observaciones obtenidas se muestran en la siguiente tabla, que dan lugar al Ejemplo -. 1 El terreno, en cada bloque, debe ser lo más homogéneo posible.

7 Diseños en bloques ncompletos aleatorizados 7 Tabla -11. Datos para el Ejemplo -. Bloques fertilizantes B1 B B3 B B Comprobemos que se verifican las relaciones exigidas a los parámetros del diseño. N=R=K. En efecto, ya quen=0,== yr=k= λ=r K 1 1 =3 =3. En este caso, puesto que==, es un diseño simétrico. Organizamos los datos en forma tabular como se muestra a continuación Tabla -1. Datos del Ejemplo - Bloques Fertil. B1 B B3 B B y i. yi. y ij y.j y.j Las sumas de cuadrados necesarias para el análisis de la varianza se calculan como sigue:

8 8 Diseños en bloques ncompletos aleatorizados SCT = SCBl= yij y.. N =16767 (183) 0 y.j K y.. N =6633 (183) 0 =160, =169,3 K T i SCTr = = λ 1 (1790,6)=77, donde los totales ajustados de los tratamientost i se calculan utilizando la ecuación de la siguiente manera T i =y i. 1 K n ij y.j,,, T 1 = (38) 1 ( )= 1, T = (338) 1 ( )=,7 T 3 = (371) 1 ( )= 7, T = (38) 1 ( )= 1,7 T = (37) 1 ( )= 19 Se comprueba que efectivamente i T i=0 Por último se calcula la suma de cuadrados del error SCR=SCT SCTr SCBl=813,7 El análisis de la varianza resultante se presenta en la siguiente tabla

9 Diseños en bloques ncompletos aleatorizados 9 Tabla -13. Análisis de la varianza para los datos del Ejemplo - Fuentes de Suma de Grados de Cuadrados Contraste variación cuadrados libertad medios F exp Trat-corregidos Bloq-no-correg Residual TOTAL Recordemos que los grados de libertad se obtienen como diferencia entre los grados de libertad de la suma de cuadrados total y los correspondientes a las sumas debidas a los tratamientos y a los bloques. Notemos que dichos grados de libertad también se pueden obtener como el producto de los grados de libertad de los tratamientos y los bloques (de forma similar al modelo en bloques completos) pero restando a este producto el número de observaciones faltantes con respecto al diseño completo, es decir =11. Si realizamos el contraste al% y comparamos el valor del estadístico de contrate con el correspondiente valor de laf teórica(f 0,0;,11 =3,36) concluimos que los efectos de los fertilizantes no son significativos. A continuación vamos a estudiar el efecto de los bloques, para lo cual calculamos: La suma de cuadrados ajustada de bloques SCBl = R λ B j = (79,37) 1 =0, donde los totales ajustados de los bloques,b j, se calculan utilizando la expresión B j =y.j 1 R de la siguiente manera n ij y i.

10 10 Diseños en bloques ncompletos aleatorizados B 1 = (39) 1 ( )= 10 B = (36) 1 ( )= 13, B 3 = (369) 1 ( )= 6 B = (368) 1 ( )= 3, B = (381) 1 ( )= 0,7 La suma de cuadrados de los tratamientos SCTr= yi. R y.. N =6663 (183) 0 =,3 El análisis de la varianza se presenta en la siguiente tabla Tabla -1. Análisis de la varianza para los datos del Ejemplo - Fuentes de Suma de Grados de Cuadrados variación cuadrados libertad medios F exp Trat-no-corregidos.3 Bloqu-corregidos Residual TOTAL Notamos que al nivel de significación del % tampoco son significativos los efectos del tipo de terreno. Puede observarse que la suma de cuadrados residual se puede obtener indistintamente como: o SCR=SCT SCTr SCBl SCR=SCT SCTr SCBl

11 Diseños en bloques ncompletos aleatorizados 11 Bibliografía utilizada García Leal,. & Lara Porras, A.M. (1998). Diseño Estadístico de Experimentos. Análisis de la Varianza. Grupo Editorial Universitario. Lara Porras, A.M. (000). Diseño Estadístico de Experimentos, Análisis de la Varianza y Temas Relacionados: Tratamiento nformático mediante SPSS. Proyecto Sur de Ediciones.