F X > F Y F X < F Y F X 6= F Y

Transcripción

1 Alternativas No paramétricas En el caso de comparación de medias, como se comentó, es fundamental que se cumplan los supuestos de normalidad y varianzas iguales pero, qué hay que hacer si alguno de ellos no se cumple?. Alternativas no paramétricas para las pruebas de comparación de medias Mann-Whitney. Esta prueba ha sido tradicionalmente utilizada como la alternativa no paramétrica a la t de Student para comparación de medias, sin embargo, lo que esta prueba hace en realidad es probar que las distribuciones asociadas a cada población son distintas, es decir, prueba si H 0 : F X = F Y vs. H a : F X > F Y F X < F Y F X 6= F Y Entonces, porqué se usa como alternativa para la comparación de medias? Cuando realizamos la prueba paramétrica de comparación de medias, suponemos que la única diferencia entre las dos poblaciones es su media (conocida como medida de localización), bajo esta lógica, cuando realizamos la prueba Mann-Whitney, debemos suponer que las poblaciones también di eren sólo en una medida de localización, que, para pruebas no paramétricas, usualmente es la mediana. Entonces, las hipótesis pueden reescribirse como: H 0 : M X =M Y vs. H a : M X > M Y M X < M Y M X 6= M Y donde M X y M Y son las medianas respectivas de cada población. Estadística de prueba Para calcular su valor, se combinan las dos muestras y se ordenan las observaciones de menor a mayor. A las observaciones empatadas se les asigna el promedio de las posiciones de los rangos que habrían ocupado de no haber existido empates. Entonces, se suman los rangos de las observaciones de la población 1 (de las x s). Si el parámetro de localización de la población 1 es menor que el parámetro de localización de la población (las y s), se espera que la suma de los rangos de las observaciones muestreadas en la población 1 sea menor que la suma de los rangos de las observaciones provenientes de la población. De manera similar, si el parámetro de localización de la población 1 es mayor que el parámetro de localización de la población, se espera lo contrario. La estadística de prueba basada en este razonamiento es tal que, dependiendo de la hipótesis nula, ya sea un valor muy grande o muy pequeño de la suma de los 1

2 rangos asignados a las observaciones de la primera población, trae consigo que se rechace la hipótesis nula. La estadística de prueba es: T = S n(n + 1) Donde S es la suma de los rangos asignados a las observaciones muestreadas de la población 1. Regla de decisión Se rechaza H 0 para valores su cientemente grandes o su cientemente pequeños de T. Por lo tanto, se rechaza H 0 si T < W = o bien si T > W 1 =, donde W = y W 1 = son los correspondientes cuantiles de la distribución de T. En el caso de muestras pareadas, la alternativa no paramétrica a la t pareada, es la prueba de Wilcoxon. Los supuestos básicos para esta prueba son: 1. Los datos de análisis son n valores de la diferencia d i = X i Y i. Cada par de mediciones (X i ; Y i ) se toma sobre el mismo sujeto o sujetos que se ha pareado con respecto a una o más variables. La muestra de parejas es aleatoria.. La medición de las variables es al menos ordinal. 3. La distribución de las diferencias poblacionales es simétrica alrededor de su mediana M d. 4. Las diferencias son independientes. Las hipótesis a contrastar son: H 0 : M d = 0 vs: H a : M d > 0 M d < 0 M d 6= 0 Estadística de Prueba El procedimiento para obtener el valor numérico del estadístico de prueba es como sigue: 1. Obtener cada una de las diferencias con su signo correspondiente d i = X i Y i. Ordenar los valores absolutos de estas diferencias de menor a mayor; es decir, ordenar jd i j = jx i Y i j 3. Asignar a cada uno de los rangos resultantes el signo de la diferencia de la pareja sin considerar el valor absoluto. 4. Calcular T + = la suma de los rangos con signos positivos

3 T = la suma de los rangos con signos negativos T + o T es el estadístico de prueba, dependiendo de la hipótesis alternativa. Empates. Existen dos tipos de empates; uno o ambos pueden ocurrir en una situación dada. El primer tipo ocurre cuando X i = Y i para una pareja dada. Se eliminan del análisis todas las parejas de observaciones para las cuales d i = X i Y i = 0 lo que reduce el tamaño muestral. El otro tipo de empate ocurre cuando dos o más valores de jd i j son iguales. Para empates de este tipo, las jd i j reciben el promedio de los rangos que se les habrían asignado si no hubieran empates. Las extensiones naturales de estas dos pruebas para más de dos poblaciones son: ANOVA para pruebas paramétricas, Friedman (muestras relacionadas) y Kruskal-Wallis (muestras independientes) para pruebas no paramétricas. Alternativas no paramétricas para la ANOVA Como puede observarse, la prueba ANOVA tiene dos supuestos muy fuertes: la normalidad de cada población y la igualdad de las varianzas entre estas poblaciones. La alternativa no paramétrica para esta prueba es la Kruskal-Wallis (K-W), que es la generalización para más de dos muestras de la Mann-Whitney. Nuevamente, lo que hace K-W es probar si las distribuciones de las k poblaciones son iguales o son distintas, de manera similar a lo que dijimos en la prueba M-W, supondremos que esta diferencia se debe a una diferencia en la medida de localizacián, la mediana. Entonces las hipótesis a contrastar son: H 0 : M 1 = M = = M k vs. H a : M i 6= M j p.a. i 6= j i; j = 1; ; :::; k Supongamos que los tamaños de muestra de cada población son n j j = 1; ; :::; k. Entonces, hay que asignar rangos a la muestra combinada. Sea R j la suma de rangos de cada muestra. La estadística de prueba es: T = 1 N(N + 1) R j n j 3(N + 1) con N = n j : Si cada n j > 5 esta estadística se distribuye como una con k-1 grados de libertad. Si alguno de los tamaños de muestra es 5, se utiliza la distribución para muestras pequeñas. 3

4 Si rechazamos H 0, lo único que concluimos nuevamente, es que al menos alguna de las poblaciones tiene una mediana diferente del resto, pero no sabemos cuál ni cuántas. Comparaciones múltiples Una manera de hacer las comparaciones entre cada par de poblaciones es la siguiente: Rechazamos que la población i y j sean iguales si: R j n j R i n i > Z 1 = s N(N + 1) n j n i i 6= j i,,,,k ANOVA para muestras relacionadas Cuando las k poblaciones están relacionadas, entonces se viola el supuesto de independencia entre ellas. Una manera natural para obtener esta estructura de la información, es que cada sujeto dentro el estudio, sea medido en k ocasiones (para jar ideas, digamos k tratamientos). Una prueba no paramétrica para realizar la comparación de poblaciones entre muestras relacionadas es la de Friedman. Al igual que en K W las hipótesis a probar son: H 0 : M 1 = M = = M k vs. H a : M i 6= M j p.a. i 6= j i; j = 1; ; :::; k con M j la mediana de la j-ésima población. El primer paso para construir la estadística es asignar rangos a las observaciones. Como cada individuo tiene k observaciones, vamos a asignarles rangos a estas k mediciones. Si H 0 es cierta, todos los tratamientos tienen el mismo efecto, entonces los rangos asignados a cada tratamiento por todos los individuos (R j ), deben sumar aproximadamente lo mismo. Entonces, la prueba se basa en la comparación de estas sumas por tratamiento, contra la media de estas sumas de rangos. La estadística de prueba es: T = 1 nk(k + 1) n(k + 1) R j con n el número de individuos en la muestra y k el número de tratamientos. 4

5 Nuevamente, si rechazamos H 0, lo que concluimos es que al menos un tratamiento es distinto del resto, pero no sabemos cuál ni cuántos. Para realizar las comparaciones entre cada par de ellos, tenemos el siguiente proceso. Declararemos que el tratamiento i, es distinto del tratamiento j, si jr i R j j > Z 1 = r nk(k + 1) 6 i 6= j i,,,,k 5