Análisis de la Varianza

Transcripción

1 Análisis de la Varianza El Análisis de la Varianza -ANOVA- es una herramienta del área de la inferencia estadística, utilizada en las investigaciones científico-técnicas. Objetivo: probar hipótesis referidas a los parámetros de posición de dos o más poblaciones en estudio. Análisis de la varianza Requiere que ciertas suposiciones se satisfagan. Los supuestos consisten en que todas las observaciones sean descriptas adecuadamente mediante el modelo Yij =µ + τi + εij 1

2 Análisis de la varianza Las violaciones a estas suposiciones pueden ser investigadas fácilmente examinando los residuos. El residuo de la observación j del tratamiento i se define: eij = yij - yij observación estimación El no cumplimiento afectará el nivel de significación la potencia de la prueba El error Tipo I resulta mayor que el especificado se informa de demasiadas diferencias significativas entre los tratamientos. La potencia de la prueba se ve afectada en el sentido de que podría obtenerse una prueba más potente si se conociera el modelo estadístico correcto. Si los supuestos se verifican sólo aproximadamente, el modelo tendrá validez. 2

3 Diseño completo aleatorizado (DCA) Este modelo se fundamenta básicamente en: ε 2 ij N ( 0; σ ) ~ yij = µ + ti + eij Supone que los errores son independientes y que se encuentran normalmente distribuidos con media cero y varianzas constantes (iguales). ADITIVIDAD Los factores que participan en el modelo son aditivos. Un modelo corriente que describa la naturaleza de una observación consta de una media más un error. Este es un modelo lineal aditivo. yi= µ + ei es decir, "la observación i-ésima es una observación de la media (µ), pero está sujeta a un error de muestreo (εi) que actúa en forma aditiva sobre ella. 3

4 ADITIVIDAD Otros modelos aditivos: yij = µ + ti + eij yij = µ + ti + bj + eij yi = µ + ai +bj +(ab)ij + eijk ADITIVIDAD Causas que afectan la aditividad del modelo: *que existan interacciones, y no estén representadas en el modelo aditivo lineal. *que los efectos sean multiplicativos *se tomen observaciones equivocadas

5 ADITIVIDAD Diseño en bloques completamente aleatorizados e y yˆ y ij = ij ij = ij i.. j + y y y.. En este diseño se evalúa si el bloque tiene un efecto aditivo sobre el tratamiento o está interactuando con el. ADITIVIDAD trat. A B Bloque trat. A B Bloque Efectos Aditivos Efectos Multiplicativos 1 y 2 sufren un incremento igual al pasar de A a B. Los bloques recibieron en igual efecto de los tratamientos. 1 sufre un incremento de 20 y 2 un incremento de 0. el tratamiento B ha recibido el doble que el tratamiento A. (multiplicación de efectos). 5

6 ADITIVIDAD Gráficamente : Caso I - Modelo aditivo Caso II - Modelo no aditivo Bloque 1 Bloque 2 Trat. 1 Trat Bloque 1 Bloque 2 Trat. 1 Trat. 2 Prueba de aditividad de Tukey Posible solución: Realizar una transformación logarítmica de los datos. INDEPENDENCIA Los errores son independientes ( no presentan correlación) Graficar los residuos contra el orden del tiempo en el que se recopilaron los datos es útil para detectar alguna correlación entre ellos. Una tendencia a tener secuencias con residuos positivos y negativos indica la falta de independencia. Residual Plot for Variable 2 residual row number 6

7 INDEPENDENCIA Test Para determinar si una secuencia ordenada de observaciones es aleatoria (independiente) * contrastes de rachas * autocorrelación Posible solución: Asignar los tratamientos al azar en las parcelas experimentales la aleatorización en la toma de los datos. No hay ninguna adaptación ni transformación para superar la falta de independencia de los errores. La validez de la prueba de F puede resultar gravemente perjudicada por el no cumplimiento de este supuesto. HOMOCESDATICIDAD Los errores (εi) tienen la misma varianza σ2 La falta de homogeneidad se puede deber: respuesta muy variable en una de las muestras, que la escala de medida de los datos no es la correcta. Si la suposición de homogeneidad no se cumple, la prueba de F es afectada solo ligeramente en los modelos balanceados (igual número de observaciones por tratamiento) de efectos fijos. 7

8 HOMOCESDATICIDAD Graficar los residuos contra el orden del tiempo en el que se recopilaron los datos es también útil para detectar falta de homogeneidad de varianzas (Heteroscedasticidad). Residual Plot for Variable 2 residual row number Cuando la gráfica presenta mayor dispersión en un extremo que el otro indica una falta de homogeneidad de varianzas. HOMOCESDASTICIDAD Graficar los residuos contra los valores ajustados no debe revelar ningún patrón obvio. Residual Plot for Variable residual predicted Variable Si la gráfica muestra una forma de embudo que se ensancha indica la falta de homogeneidad de las varianzas 8

9 HOMOCESDATICIDAD Graficar las medias con las varianzas o con los desvíos estándar La gráfica no debe indicar ninguna correlación entre los estadísticos (media varianza o desvió estándar) Plot of SIGMAS vs MEANS SIGMAS MEANS HOMOCESDATICIDAD Graficar los residuos contra los niveles de los factores Residual Plot for Variable residual Tratamiento Si los niveles de un factor presentan una dispersión que no es constante es un indicio de falta de homocedasticidad. 9

10 HOMOCESDATICIDAD Test Permiten contrastar la Homogeneidad de Varianzas Test de Bartlett Test de Cochran Test de Hartley Test de Levene Este ultimo test consiste en realizar un ANOVA usando como variable dependiente el valor absoluto de los residuos Las hipótesis que se someten a prueba son: Ho las varianzas son iguales H1 al menos dos varianzas son distintas. HOMOCESDATICIDAD Posible solución aplicar una transformación a los datos para igualar varianzas y volver a realizar el análisis de la varianza a los datos transformados. En este caso las conclusiones obtenidas se aplican a los datos transformados y no a los datos originales. Sin embargo, las medias, deben presentarse en los informes y publicaciones en las unidades originales. Las transformaciones aplicadas para igualar varianzas en la mayoría de los casos también acercan los datos a una distribución normal. 10

11 NORMALIDAD Los errores (εi) tienen distribución Normal Graficar un histograma de los residuos. Si los errores tienen N ~ (0, σ2), la gráfica será semejante a la de una muestra de una distribución normal centrada en cero Cuando trabajamos con muestras pequeñas suelen aparecer fluctuaciones considerables, por lo que una desviación moderada aparente de la normalidad no necesariamente implica una violación del supuesto de Histogram for RESIDUALS normalidad. 8 frequency RESIDUALS NORMALIDAD Gráfico Quantile Quantile Plot Normal (Q-Q plot normal) grafica los cuantiles muestrales vs. los cuantiles teóricos tomando los residuales como datos. Si la distribución de los residuos es normal y no hay otros violaciones a los supuestos, estos se alinean sobre una recta a 5º. Quantile-Quantile Plot RESIDUALS Normal distribution 11

12 NORMALIDAD Las consecuencias de la no normalidad de los errores no son demasiado graves. Solamente una distribución muy sesgada tendría un marcado efecto sobre las pruebas de significancia. Las pruebas de t o de F no experimentan cambios significativos en su validez si el supuesto de normalidad se verifica parcialmente para el caso de efectos fijos. Posible solución: Realizar una transformación de la variable Recurrir a los métodos no paramétricos. NORMALIDAD Test para contrastar la Normalidad de los datos. Test de Chi-Cuadrado Test de Kolmogorov-Smirnov Test W de Shapiro-Wilks Las hipótesis que somete a prueba este ultimo test son: Ho: los residuos tienen distribución normal H1: los residuos no tienen distribución normal. 12

13 TRANSFORMACIONES Transformación logarítmica: Se aplicará siempre que la media este correlacionada positivamente con la varianza. Las distribuciones de frecuencias asimétrica hacia la izquierda se hacen a veces más simétricas por esta transformación. Transformación raíz cuadrada : Si las observaciones se aproximan a una distribución de Poisson (la varianza es igual a la media), su transformación en raíz cuadrada aproximara su distribución a una normal y las varianzas se harán generalmente independientes de las medias. Por ejemplo: cuando los datos son recuentos (insectos o células ) Cuando los recuentos incluyen valores ceros o cercanos, es conveniente utilizar la transformación y + 0,5 y + 1 TRANSFORMACIONES Transformación arco seno Esta transformación es apropiada si las variables son en porcentaje o proporciones (Distribución Binomial). Z ij = arc sen (%) podemos aproximar la variable a la normalidad y evitar que la varianzas estén en función de la media. Si los porcentajes en los datos originales caen entre 30% y 70% generalmente no es necesario aplicar la transformación arco seno. 13