Departamento de Estadística y Econometría. UMA. EJERCICIOS DE ESTADÍSTICA II APLICADA A LA EMPRESA. L.A.D.E. TEMA 3

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1 Departamento de Estadística y Econometría. UMA. EJERCICIOS DE ESTADÍSTICA II APLICADA A LA EMPRESA. L.A.D.E. TEMA 3 1) En un área metropolitana se selecciona una muestra de 250 personas al azar y se les pregunta cuantas veces habían comprado un cierto producto durante el mes anterior. Los resultados son los de la tabla adjunta. Veces que compran Nº de personas Contrastar con un 95% de confianza la hipótesis de que las observaciones constituyen una muestra de una población que se distribuye como una Poisson. (Solución: Valor observado 16 64; valor crítico 7 82; se rechaza H 0 ). 2) El Departamento de Estadística de una Facultad española, para averiguar los conocimientos sobre Estadística que tienen los alumnos matriculados por primera vez en dicha Facultad, realiza el primer día de clase un test de nivel. Los resultados correspondientes a una muestra de 211 alumnos se encuentran recogidos en la siguiente tabla: Puntuaciones Test 50'5-55'5 55'5-60'5 60'5-65'5 65'5-70'5 70'5-75'5 75'5-80'5 80'5-85'5 Frecuencias Utilizar el test χ 2 de Pearson para estudiar la normalidad de la variable (α0'05). (Solución: Valor observado 4 9; valor crítico 7 82; se acepta H 0 ). 3) ORDENADOR: Un estudio realizado hace dos años indica que el tiempo de espera en la cola de la caja de una oficina bancaria se puede modelizar con una distribución exponencial de media 3 minutos. Para comprobar si este modelo sigue siendo válido, se ha tomado la siguiente muestra: 6, 4, 4, 3, 6, 1, 1, 1 Verificar si los datos proceden del modelo especificado en el estudio (α 0 05). (Solución: Valor observado ; valor crítico 0 457; se acepta H 0 ). 1

2 4) ORDENADOR: Una máquina de empaquetado automático deposita en cada paquete una cierta cantidad de determinado producto. Se seleccionan 20 paquetes, se pesa su contenido y se obtienen los siguientes resultados: 49, 50, 49, 50, 50, 50, 49, 50, 50, 50, 49, 50, 50, 51, 52, 48, 50, 51, 51, 51 A partir de esta información, verifique si la variable en cuestión es normal, con un nivel de confianza del 95%. (Solución más adecuada: Valor observado ; valor crítico 0 905; se rechaza H 0. Solución alternativa: Valor observado 0 25; valor crítico 0 190; se rechaza H 0 ). 5) ORDENADOR: De los porcentajes de variación diaria del IBEX35 durante el pasado año, se ha seleccionado la muestra adjunta: 2, 3, 2 4, 3 1, 2 2, 3 7, 3 2, 3 6, 2 8 Probar si los datos provienen de una distribución normal, aplicando el test de Shapiro-Wilks, con una confianza del 95%. (Solución: Valor observado 0 953; valor crítico 0 829; se acepta H 0 ). 6) Una muestra de pequeñas empresas se clasifica en función de su antigüedad en el mercado y del porcentaje de deudas sobre el capital que presentan, con los siguientes resultados: Porcentaje de deudas Empresas antiguas Empresas nuevas Con un nivel de significación del 5%: a) ORDENADOR: Puede admitirse que el porcentaje de deudas de las empresas es independiente de su antigüedad?. b) Se desea saber si el porcentaje de deudas de todas las empresas sigue una distribución normal. Se han calculado los coeficientes de asimetría (α 1 ) y de apuntamiento o curtosis (α 2 ), obteniéndose que α y α qué puede concluir tras aplicar el test de Jarque-Bera?. (Solución: a) Valor observado 14 37; valor crítico 7 82; se rechaza H 0 ; b) Valor observado ; valor crítico 5 99; se rechaza H 0 ). 2

3 7) Sean X e Y dos variables aleatorias, donde X representa el número de hijos por familia e Y la renta familiar anual, expresada en miles de euros. Se supone que la variable X es P (µ 1 1) y la variable Y es N (µ 36, σ 12). Elegida una muestra aleatoria de tamaño 400, se han obtenido los datos que se presentan en la tabla adjunta: X \ Y Menos de 24 De 24 a 36 Más de y más Se pide: a) Verifique que la proporción de familias con renta superior a la media es 0 5 frente a la posibilidad de que sea menor, con una confianza del 99%. A qué conclusión le lleva respecto a la distribución de la renta propuesta? b) Puede admitirse a un nivel de significación del 1% que X e Y son independientes?. (Solución: a) Valor observado -6 7; /valor crítico/ 2 33; se rechaza H 0 ; b) Valor observado 91 86; valor crítico 24 75; se rechaza H 0 ). 8) Se les pregunta a 50 economistas, 40 ingenieros y 10 abogados si creen que la Bolsa en el próximo mes va a bajar, subir o permanecer igual. El 20% de los economistas opina que subirá, mientras que el 40% de ellos piensa que bajará. El 50% de los ingenieros se inclina por que permanecerá igual y tan sólo el 5% cree que bajará. La mitad de los abogados se decanta por la subida y la otra mitad por la bajada. Con esta información y un nivel de significación del 1%, existe relación entre los pronósticos sobre la evolución del mercado bursátil y la profesión del encuestado?. (Solución: Valor observado 11 38; valor crítico 9 22; se rechaza H 0 ). 9) ORDENADOR: El consejo directivo de una Universidad querría determinar la opinión de diversos grupos en relación con un calendario docente propuesto. Una muestra aleatoria seleccionada entre 100 estudiantes, 50 graduados y 50 catedráticos dio los siguientes resultados: Opinión \ Grupos Estudiantes Graduados Catedráticos Favorable Desfavorable Si se desea saber si hay pruebas de una diferencia en la actitud hacia el calendario entre los diversos grupos: a) Indique cuál es el test adecuado para la realización de este contraste, y especifique las hipótesis a contrastar. b) Realice el contraste correspondiente, con un nivel de significación del 1%. (Solución: b) Valor observado 1 125; valor crítico 9 22; se acepta H 0 ). 3

4 EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS 10) Para estudiar la delincuencia en una determinada ciudad se anotan las denuncias por robo de automóviles recibidas en los últimos 575 días, obteniéndose los siguientes resultados: Denuncias Frecuencias Contrastar la hipótesis de que los datos proceden de una distribución de Poisson con λ 1. (α 0 05). (Solución: Valor observado 4; valor crítico Se acepta H 0 ) 11) Una persona afirma que entre los niños que presentan problemas de integración escolar la distribución del número de hermanos viene dada por la siguiente función de probabilidad: p ( x ) 9 16 si x 0 p ( x ) 3 16 si x 1 p ( x ) 3 16 si x 2 p ( x ) 1 16 si x 3 Extraída una muestra aleatoria simple de niños con este tipo de problemas resulta la tabla adjunta. Con α0'05, es compatible con los datos experimentales la función de probabilidad propuesta? Número de hermanos: Niños con problemas: (Solución: Valor observado ; valor crítico Se rechaza H 0 ). 12) Compruebe que los datos siguientes: 38, 35, 76, 58, 48, 59, 67, 63, 33, 69, 53, 51, proceden de una distribución normal con media 50 y desviación estándar 10 (α 0'05). (Solución: Valor observado ; valor crítico Se acepta H 0 ). 13) Sea X la distancia en centímetros entre registros defectuosos en un C.D. Verifique la hipótesis consistente en que la distribución de X es una exponencial con β 40, usando las siguientes observaciones de X: 18, 6, 1, 32, 116, 23, 12, 58, 101, 68 (α 0'05). (Solución: Valor observado 0 165; valor crítico Se acepta H 0 ). 4

5 14) La dirección de una oficina bancaria afirma que el importe (en miles de euros) de las solicitudes de préstamos personales recibidas sigue un modelo de probabilidad normal con media 10 y desviación estándar 8. Para comprobar esta afirmación se ha tomado una muestra aleatoria de 8 solicitudes seleccionadas al azar en el último trimestre: 15, 8, 6, 14, 10, 9, 7, 11 Con la información de la muestra verifique si la afirmación realizada por la dirección de la oficina se puede aceptar con un nivel de significación del 10%. (Solución: Valor observado ; valor crítico Se acepta H 0 ). 15) Verifique si los datos de la muestra aleatoria siguiente: 20, 22, 24, 30, 31, 32, 38, provienen de una distribución normal. Utilice α 0'05. (Solución: Valor observado ; valor crítico Se acepta H 0 ). 16) Se desea saber si una muestra aleatoria de tamaño 250 es o no normal. Se han calculado los coeficientes de asimetría y curtosis con los siguientes resultados: α 1 0'139514, α 2 1' Utilice α 0'01. (Solución: Valor observado ; valor crítico Se rechaza H 0 ). 17) De un grupo de 200 estudiantes de Empresariales, un 20% sigue la especialidad de Fiscal y el resto se reparte de modo igual entre las especialidades Contable y Comercial. Consultados sobre la utilidad de leer cierta revista empresarial, respondió afirmativamente un 60 % del grupo total. Además, siendo A el número de alumnos de Contable que la juzgaron útil, sólo 0'80*A alumnos de Comercial y 0'60*A de Fiscal la juzgaron útil. Para α 0'01, podemos afirmar que es independiente la especialidad cursada y la opinión sobre la lectura de dicha revista?. (Solución: Valor observado 7 29; valor crítico Se acepta H 0 ). 18) Sean X e Y dos variables aleatorias, donde Y representa la renta familiar y X el nivel de ahorro, expresadas en miles de euros. Supongamos que X es N(µ 2, σ 2 4) e Y es N(µ 18, σ 2 9). Elegida una muestra aleatoria de tamaño 100 se ha obtenido la tabla adjunta. X \ Y Menos de 15 De 15 a 30 Más de 30 Menos de De 2 a Más de Puede admitirse a un nivel de significación del 5% que X e Y son independientes?. (Solución: Valor observado 87 67; valor crítico Se rechaza H 0 ). 5

6 19) Sean X e Y dos variables aleatorias, donde X representa el número de hijos por familia e Y la renta familiar anual, expresada en miles de euros. Elegida una muestra aleatoria de tamaño 400, se han obtenido los datos que se presentan en la tabla adjunta: X \ Y Menos de 24 De 24 a 36 Más de y más Puede admitirse a un nivel de significación del 1% que X e Y son independientes?. (Solución: Valor observado 4 61; valor crítico Se acepta H 0 ). 20) Los martes por la tarde, durante el año académico, cierta Universidad invita a un especialista a dar una conferencia sobre algún tema de actualidad. El día anterior a la cuarta conferencia del año, se seleccionaron muestras aleatorias de 70 estudiantes de primer curso, 70 de segundo curso, 60 de tercer curso y 50 de cuarto curso, y a cada uno de los estudiantes se les preguntó a cuántas conferencias había asistido. Los resultados son los de la tabla adjunta. Curso \Conferencias Asistidas ninguna º º º º Contrástese la hipótesis de que asistieron con la misma frecuencia los estudiantes de todos los cursos, con un nivel de significación del 5%. (Solución: Valor observado ; valor crítico Se rechaza H 0 ). 21) Se quiere verificar si la distribución de la estancia de los turistas en España difiere significativamente en función de su país de origen. Para ello se ha tomado una muestra aleatoria de 60 turistas nacionales, otra de 80 turistas europeos y otra de 40 turistas de otros países (estas tres muestras aleatorias son independientes entre sí). Los resultados aparecen en la siguiente tabla de frecuencias: País de origen \ Duración estancia Menos de 6 días De 6 a 12 días Más de 12 días España Europa Otros países a) Especifique las hipótesis a contrastar. b) Realice el contraste y extraiga las conclusiones adecuadas (α 0 05). (Solución: Valor observado 6 07; valor crítico Se acepta H 0 ). 6

7 22) En el transcurso de 2 horas, el número de llamadas por minuto recibidas en una centralita telefónica presenta la siguiente distribución: Nº llamadas / minuto Frecuencias Compruébese si la variable número de llamadas/minuto se distribuye o no según una ley de Poisson a un nivel de significación del 1%. (Solución: Valor observado 7 61; valor crítico Se acepta H 0 ). 23) Se seleccionó al azar una muestra de 11 empleados de una empresa y se midió el tiempo en minutos que llegaron tarde el día que fueron seleccionados. Los resultados obtenidos fueron: Empleado Retraso Se pide: a) Sigue la variable una distribución normal, con una confianza del 95%?. b) Teniendo presente el resultado del apartado anterior, contrastar si el retraso de los trabajadores de la firma es, por término medio, de 5 minutos, o por el contrario es significativamente distinto, con un nivel de significación del 10%. (Solución: a) Valor observado 0 930; valor crítico 0 850; se acepta H 0 ; b) Valor observado -0 95; valor crítico 1 812; se acepta H 0 ). 24) Se ha realizado un estudio sobre la utilización de ciertas fuentes de financiación externas para las pequeñas y medianas empresas (PYMES). Para ello se han seleccionado aleatoriamente 500 PYMES de una comunidad autónoma. Las empresas se clasifican según su tamaño en tres categorías (micros, pequeñas y medianas) y según hayan utilizado o no alguna de las fuentes de financiación especificadas en el cuestionario. Los datos obtenidos son: Sí utilizan financiación No utilizan financiación Micros Pequeñas Medianas 15 5 a) Existe alguna relación entre el tamaño de la empresa y el hecho de recurrir o no a las fuentes de financiación indicadas?. Utilice un nivel de significación del 10%. b) Puede aceptarse, a un nivel de significación del 5% que un 20% de las empresas micros de la comunidad en cuestión utilizan fuentes de financiación frente a que la proporción sea mayor? c) Calcule la potencia del contraste del apartado anterior, si el verdadero valor de la proporción es del 27%. (Solución: a) Valor observado ; valor crítico 4 60; se rechaza H 0 ; b) Valor observado 3 146, valor crítico 1 645, se rechaza H 0 ; c) Potencia del contraste ). 7

8 ANEXO: SALIDAS DE ORDENADOR (STATGRAPHICS PLUS 5.1.) TEMA 3 EJERCICIO 3. Resumen del Análisis Datos: TIEMPO ESPERA 8 valores comprendidos desde 1,0 hasta 6,0 Distribución exponencial ajustada: media 3,25 Este análisis muestra los resultados de ajuste distribución exponencial a los datos en TIEMPO ESPERA. Se muestran los parámetros estimados de la distribución ajustada. Puede comprobar si la distribución exponencial ajusta los datos adecuadamente seleccionando Test de Bondad de Ajuste de la lista de Opciones Tabulares. Puede evaluar visualmente como se ajusta distribución exponencial seleccionando Histograma de Frecuencia de la lista de Opciones Gráficas. Otras opciones dentro del procedimiento le permiten calcular y mostrar las áreas de cola y los valores críticos para la distribución. Para seleccionar una distribución diferente, pulse el botón derecho del ratón y seleccione Opciones del Análisis. Tests de Bondad de Ajuste para TIEMPO ESPERA Contraste Chi-cuadrado Límite Límite Frecuencia Frecuencia Inferior Superior Observada Esperada Chi-cuadrado menor o igual 1, ,20 0,01 mayor 1, ,80 0, Datos insuficientes para efectuar el contraste de chi-cuadrado. Estadístico DMAS de Kolmogorov 0, Estadístico DMENOS de Kolmogorov 0, Estadístico DN global de Kolmogorov 0, P-Valor aproximado 0, Estadístico EDF Valor Forma Modificada P-Valor Kolmogorov-Smirnov D 0, , >0.10* *Indica que el p-valor se ha comparado con las tablas de valores críticos especialmente construidos para el ajuste de la distribución actualmente seleccionada. Otros p-valores están basados en tablas generales y pueden ser muy conservadores. Esta ventana muestra los resultados de los tests ejecutados para determinar si TIEMPO ESPERA puede ser modelado adecuadamente por una distribución exponencial. El test chi-cuadrado no se ha ejecutado porque el número de observaciones era demasiado pequeño. Dado que p-valor más pequeño de los tests realizados es superior o igual a 0.10, no podemos rechazar que TIEMPO ESPERA proceda de una distribución exponencial con un nivel de confianza de al menos un 90%. 8

9 EJERCICIO 4. Resumen del Análisis Datos: PESO 20 valores comprendidos desde 48,0 hasta 52,0 Distribución normal ajustada: media 50,0 desviación típica 0, Este cuadro muestra los resultados del ajuste a distribución normal a los datos en PESO. Se muestran los parámetros estimados de la distribución ajustada. Puede comprobar si la distribución normal ajusta los datos adecuadamente seleccionando Test de Bondad de Ajuste de la lista de Opciones Tabulares. Puede evaluar visualmente como se ajusta la distribución normal seleccionando Histograma de Frecuencia de la lista de Opciones Gráficas. Otras opciones dentro del procedimiento le permiten calcular y mostrar las áreas de cola y los valores críticos para la distribución. Para seleccionar una distribución diferente, pulse el botón derecho del ratón y seleccione Opciones del Análisis. Tests de Bondad de Ajuste para PESO Contraste Chi-cuadrado Límite Límite Frecuencia Frecuencia Inferior Superior Observada Esperada Chi-cuadrado menor o igual 49, ,33 0,83 49, , ,33 3,33 49, ,0 10 3,33 13,33 50,0 50, ,33 3,33 50, , ,33 3,33 mayor 50, ,33 0, Chi-cuadrado 24,9997 con 3 g.l. P-Valor 0, Estadístico DMAS de Kolmogorov 0,25 Estadístico DMENOS de Kolmogorov 0,25 Estadístico DN global de Kolmogorov 0,25 P-Valor aproximado 0, Estadístico EDF Valor Forma Modificada P-Valor Kolmogorov-Smirnov D 0,25 1,16305 <0.01* *Indica que el p-valor se ha comparado con las tablas de valores críticos especialmente construido para el ajuste de la distribución actualmente seleccionada. Otros p-valores están basados en tablas generales y pueden ser muy conservadores. Esta ventana muestra los resultados de los tests ejecutados para determinar si PESO puede ser modelado adecuadamente por distribución normal. El test chi-cuadrado divide el rango de PESO en intervalos no solapados y compara el número de observaciones en cada clase con el número esperado basado en la distribución ajustada. El test de Kolmogorov-Smirnov calcula la distancia máxima entre la distribución acumulada de PESO y el CDF de la distribución normal ajustada. En este caso, la distancia máxima es 0,25. Dado que p-valor más pequeño de los tests realizados es inferior a 0.01, podemos rechazar que PESO procede de una distribución normal con un nivel de confianza del 99%. Tests para la Normalidad para PESO Estadístico chi-cuadrado de bondad de ajuste 67,1 P-valor 1,60422E-10 Estadístico W de Shapiro-Wilks 0, P-valor 0,

10 Puntuación Z para asimetría 0,0 P-valor 1,0 Puntuación Z para curtosis 0, P-valor 0, Este cuadro muestra los resultados de varios tests ejecutados para determinar si PESO puede ser modelado adecuadamente por una distribución normal. El test chi-cuadrado divide el rango de PESO en 13 clases igualmente probables y compara el número de observaciones en cada clase al número esperado. El test de Shapiro-Wilks se basa en la comparación de los cuantiles de la distribución normal ajustada con los cuantiles de los datos. El test de asimetría estandarizada busca la falta de simetría en los datos. El test de curtosis estandarizada busca la forma distribucional que sea más plana o más puntiaguda que la distribución normal. El p-valor más bajo de los tests realizados es igual a 1,60422E-10. Dado que el p-valor para este test es inferior a 0.01, podemos rechazar que PESO procede de una distribución normal con un nivel de confianza del 99%. EJERCICIO 5. Resumen del Análisis Datos: Porcentaje 9 valores comprendidos desde 2,0 hasta 3,7 Distribución normal ajustada: media 2,88889 desviación típica 0, Esta ventana muestra los resultados del ajuste a distribución normal a los datos de Porcentaje. Se muestran los parámetros estimados de la distribución ajustada. Puede comprobar si la distribución normal ajusta los datos adecuadamente seleccionando Test de Bondad de Ajuste de la listas de Opciones Tabulares. Puede evaluar visualmente como se ajusta distribución normal seleccionando Histograma de Frecuencia de la lista de Opciones Gráficas. Otras opciones dentro del procedimiento le permiten calcular y mostrar las áreas de cola y los valores críticos para la distribución. Para seleccionar una distribución diferente, pulse el botón derecho del ratón y seleccione Opciones del Análisis. Tests de Bondad de Ajuste para Porcentaje Contraste Chi-cuadrado Límite Límite Frecuencia Frecuencia Inferior Superior Observada Esperada Chi-cuadrado menor o igual 2, ,60 0,10 mayor 2, ,40 0, Datos insuficientes para efectuar el contraste de chi-cuadrado. Estadístico DMAS de Kolmogorov 0, Estadístico DMENOS de Kolmogorov 0, Estadístico DN global de Kolmogorov 0, P-Valor aproximado 0, Estadístico EDF Valor Forma Modificada P-Valor Kolmogorov-Smirnov D 0, ,42445 >0.10* *Indica que el p-valor se ha comparado con las tablas de valores críticos especialmente construido para el ajuste de la distribución actualmente seleccionada. Otros p-valores están basados en tablas generales y pueden ser muy conservadores. 10

11 Esta ventana muestra los resultados de los tests ejecutados para determinar si Porcentaje puede ser modelado adecuadamente por la distribución normal. El test chi-cuadrado no se ha ejecutado porque el número de observaciones era demasiado pequeño. Dado que p-valor más pequeño de los tests realizados es superior o igual a 0.10, no podemos rechazar que Porcentaje proceda de una distribución normal con un nivel de confianza de al menos un 90%. Tests para la Normalidad de Porcentaje Estadístico chi-cuadrado de bondad de ajuste 4,0 P-valor 0, Estadístico W de Shapiro-Wilks 0, P-valor 0, Puntuación Z para asimetría 0, P-valor 0, Puntuación Z para curtosis no calculada. Este cuadro muestra los resultados de varios test ejecutados para determinar si Porcentaje puede ser modelado adecuadamente por una distribución normal. El test chi-cuadrado divide el rango de Porcentaje en 9 clases igualmente probables y compara el número de observaciones en cada clase al número esperado. El test de Shapiro-Wilks se basa en la comparación de los cuantiles de la distribución normal ajustada con los cuantiles de los datos. El test de asimetría estandarizada busca la falta de simetría en los datos. El test de curtosis estandarizada busca la forma distribucional que sea más plana o más puntiaguda que la distribución normal. La curtosis estandarizada no se puede calcular. El p-valor más bajo de los tests realizados es igual a 0, Dado que el p-valor para este test es superior o igual a 0.10, no podemos rechazar que Porcentaje proceda de una distribución normal con un nivel de confianza de al menos el 90%. EJERCICIO 6. Apartado a. Resumen del Procedimiento Columnas de variables: ANTIGUAS NUEVAS Número de observaciones: 125 Número de filas: 4 Número de columnas: 2 Este procedimiento construye varios estadísticos y gráficos para una tabla bidimensional. De interés particular está el test para la independencia entre filas y columnas, el cual se puede ejecutar eligiendo el Test Chi-Cuadrado en la lista de Opciones Tabulares. Contraste de Chi-cuadrado Chi-cuadrado GL P-Valor 14,37 3 0,0024 El test chi-cuadrado realiza un contraste de hipótesis para determinar si se rechaza o no la idea de que la fila y la columna seleccionadas son independientes. Dado que el p-valor es inferior a 0.01, podemos rechazar la hipótesis de que las filas y columnas son independientes con un nivel de confianza del 99%. En consecuencia, la fila observada para un caso particular tiene relación con su columna. 11

12 EJERCICIO 9. Resumen del Procedimiento Columnas de variables: ESTUDIANTES GRADUADOS CATEDRATICOS Número de observaciones: 200 Número de filas: 2 Número de columnas: 3 Contraste de Chi-cuadrado. Test de homogeneidad. Chi-cuadrado GL P-Valor 1,13 2 0,5698 Dado que el p-valor es superior o igual a 0.10, no podemos rechazar la hipótesis de homogeneidad. 12