Departamento de Estadística y Econometría. UMA. EJERCICIOS DE ESTADÍSTICA APLICADA A LA EMPRESA II. L.A.D.E. TEMA 4

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1 Departamento de Estadística y Econometría. UMA. EJERCICIOS DE ESTADÍSTICA APLICADA A LA EMPRESA II. L.A.D.E. TEMA 4 1) Una máquina de empaquetado automático deposita en cada paquete una cierta cantidad de determinado producto. Se seleccionan 20 paquetes, se pesa su contenido y se obtienen los siguientes resultados: 49, 50, 49, 50, 50, 50, 49, 50, 50, 50, 49, 50, 50, 51, 52, 48, 50, 51, 51, 51 A partir de esta información verifique si la muestra es aleatoria, con un nivel de confianza del 95%. (Solución: valor observado=4, valores teóricos=2 y 9. Se acepta H 0 ). 2) ORDENADOR. En la siguiente tabla se recogen los precios en euros de una nueva herramienta en una muestra de 12 ferreterías en un mes determinado. Se desconoce la forma de la distribución. Pruebe la hipótesis de que el precio mediano en la población es mayor de 10 euros, utilizando un nivel de significación del 5%. Herramientas/ferretería (Solución: valor observado=10 y valor teórico 11. Se rechaza H 0.) 3) El departamento de Marketing de una empresa europea quiere analizar la eficacia de su equipo de venta. Para ello toma una muestra de 9 comerciales repartidos por varias de sus delegaciones europeas y recoge la facturación de cada comercial en los últimos seis meses (en miles de euros): Comerciales Facturación Se pide: a) Es la muestra aleatoria a un nivel de significación del 2%? b) Compruebe si la muestra procede de una distribución normal con un nivel de significación del 10%. c) Verifique si la mediana es realmente euros con un nivel de confianza del 90%. (Solución: a) valor observado=5, valores teóricos=0 y 8. Se acepta H 0. b) valor observado=0 794 y valor crítico= Se rechaza H 0. c) valor observado=18 y valor teórico=8. Se acepta H 0 ) 4) ORDENADOR. Una compañía de mercadotecnia se interesa en la preferencia de los consumidores con respecto a dos marcas de refresco que compiten entre sí. Se seleccionan, de forma aleatoria, 14 personas y se les pide que clasifiquen las bebidas mediante una escala del 1 (poca aceptación) al 10 (mucha aceptación). El orden en la selección de la bebida fue aleatorio. Se obtiene la siguiente información: 1

2 Marca \Persona: Marca A: Marca B: Existe alguna razón para creer que existen diferencias en las preferencias por estos dos refrescos? (α=0 1) (Solución: valor observado=9, α 0 = Se acepta H 0. Por la aproximación normal, valor observado=1 11 y /valor teórico/= Se acepta H 0 ). 5) El director comercial de una empresa del sector de la informática desea conocer si cierta técnica de ventas aumenta la facturación de componentes de su empresa. Para ello tiene en cuenta en cada tienda las ventas que utilizan dicha técnica y aquellas que no. Posee los siguientes datos: Tienda X Y Siendo: X: ventas en que se utiliza la técnica. Y: ventas en que no se utiliza la técnica. a) Son las muestras, X e Y, aleatorias a un nivel de significación del 5%?. b) ORDENADOR. Es significativa la diferencia de las ventas medias en ambas circunstancias para un nivel de significación del 5%? (Solución: a) valor observado=6, valores teóricos=2 y 9. Se acepta H 0 ; valor observado=7, valores teóricos=2 y 9. Se acepta H 0. b) valor observado=25 5 y valor teórico=8. Se acepta H 0 ). 6) Los fabricantes de un nuevo modelo de reproductor de MP4 se preguntan si una reducción del precio del 10% permitiría aumentar las ventas del producto. Para investigarlo, seleccionan de forma aleatoria 7 puntos de venta en los que ofrecen el reproductor al precio reducido, y otros 8 en los que se mantiene el precio original. Los ingresos obtenidos a lo largo de una semana en los distintos establecimientos por la venta de estos reproductores de MP4 son los siguientes (en miles de euros): Establecimientos con precio reducido Establecimientos con precio habitual 13,8 12,1 8,8 11,5 14,1 12,5 9,6 12,8 13,4 15,2 10,6 11,4 13,5 11,2 12 a) Verifique la aleatoriedad de la segunda muestra con un nivel de significación del 2%. b) Con un nivel de significación del 5%, puede admitirse que la reducción del precio permite un aumento de los ingresos? c) ORDENADOR. Verifique si el ingreso promedio de los establecimientos que venden el producto al precio reducido es igual a euros. (Solución: a) valor observado=4, valor teórico=8. Se acepta H 0. b) Solución 1: valor observado=53 y valor teórico=71. Se acepta H 0. Solución 2: valor observado=25, α 0 = Se acepta H 0; ). 2

3 7) La tabla adjunta recoge las tasas de inflación de 13 países seleccionados al azar, 6 pertenecientes a la Unión Europea y 7 al resto del mundo. Puede afirmarse que la inflación en la Unión Europea es más baja que en el resto del mundo, con una confianza del 95%? Unión Europea Resto del mundo (Solución 1: valor observado=4, α 0 = Se rechaza H 0. Solución 2: valor observado= 25, valores teóricos= 30 y 54. Se rechaza H 0 ). 8) Una cadena de hostelería tiene dos establecimientos en una misma ciudad. El gerente de dicha cadena piensa que existen diferencias en los ingresos diarios de ambos. Para contrastar la opinión del gerente se han tomado dos muestras de los ingresos diarios para ambos establecimientos. Los datos, en euros, se presentan en la siguiente tabla: 1º establecimiento 2º establecimiento Se pide: a) Es la muestra del segundo establecimiento aleatoria a un nivel de significación del 5%? b) Sigue la muestra del primer establecimiento una distribución normal de parámetros µ = 1.800, σ = 200, a un nivel de significación del 5%? c) Son los ingresos diarios de ambos establecimientos significativamente distintos, a un nivel de significación del 5%? (Solución: a) valor observado=8, valores teóricos=2 y 9. Se acepta H 0. b) valor observado=0 4956, valor teórico= Se rechaza H 0 ; c) Solución 1: valor observado=36, α 0 = Se acepta H 0. Solución 2: valor observado=99, valores teóricos=66, 114. Se acepta H 0 ). 9) ORDENADOR. En una gran compañía se da un curso de formación a tres grupos de vendedores técnicos enseñándoles cierto procedimiento de localización de averías por diferentes métodos, A, B, y C. Al final de la instrucción, se hacen pruebas de rendimiento a los sujetos, obteniéndose las siguientes puntuaciones de rendimiento logradas por los sujetos en los tres grupos: 3

4 Método A: 33, 30, 32, 25, 30, 34 Método B: 29, 28, 27, 28, 21, 24, 28 Método C: 31, 22, 24, 26, 23 Utilizar un nivel de significación del 5%, para decidir si en general la calidad de rendimiento media de los formados por los tres métodos es la misma. (Solución: valor observado=6 666 y valor teórico=5 99. Se rechaza H 0 ). 10) El departamento financiero de una empresa de telefonía móvil satisface las deudas con sus proveedores mediante tres medios de pago, el primero el cheque bancario, el segundo la transferencia y el último, el crédito documentario. Se extrae una muestra aleatoria de los pagos realizados a proveedores, independientes entre sí, arrojando los siguientes resultados (expresados en miles de euros): Muestra 1º (cheque bancario) Muestra 2º (transferencia) Muestra 3º (crédito documentario) a) Es la segunda muestra aleatoria a un nivel de confianza del 90%? b) Con un nivel de significación del 5%, encuentra diferencia entre los pagos satisfechos por cheques bancarios y transferencias? c) Con un nivel de significación del 5%, encuentra diferencia entre las cantidades satisfechas por los diferentes medios de pago? (Solución: a) valor observado=4, valores teóricos = - y 6. Se acepta H 0 ; b) Solución 1: valor observado = 10, α 0 = Se acepta H 0.. Solución 2: valor observado=20, valores teóricos=12 y 32. Se acepta H 0. c) valor observado= 1 27; h α = Se acepta H 0 ). EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS 11) Supóngase que los siguientes datos constituyen la secuencia de residuos para una ecuación de regresión estimada: Existe alguna razón para creer que esta secuencia de residuos no es aleatoria? (α=0 05) (Solución: valor observado=7, valores teóricos= 8 y 19. Se rechaza H 0 ). 12) Un actuario de una compañía de seguros desea examinar los registros de reclamaciones por robo de las personas que tienen póliza contra incendio y robo. En el pasado, la mediana fue de 85 dólares por reclamación. Se toma una muestra aleatoria de 18 reclamaciones y los resultados, expresados en dólares, son los siguientes: 4

5 Ha aumentado significativamente la mediana? Utilice un nivel de significación del 5%. (Solución: valor observado = 79 5 y valor teórico = 47. Se acepta H 0. Por la aproximación normal, valor observado = 0 26 y /valor teórico/ = Se acepta H 0.). 13) Las cotizaciones en bolsa de las acciones de una empresa para doce sesiones, seleccionadas al azar a lo largo del ejercicio de 1995 fueron las siguientes: a) Verifique si esos datos constituyen una muestra aleatoria. (α=0 05) b) Verifique la afirmación de un analista de bolsa relativa a que el valor mediano de esas acciones durante 1995 fue 32. (α=0 05) (Solución: a) valor observado=8, valores teóricos=3 y 10. Se acepta H 0. b) valor observado=19 5 y valor teórico=14. Se acepta H 0 ). 14) En la primera prueba de un periodo de práctica, 15 personas obtuvieron las siguientes puntuaciones en un test de aprendizaje: 85, 83, 81, 82, 77, 83, 88, 84, 87, 86, 83, 81, 72, 82 y 76 En la décima prueba, las puntuaciones fueron respectivamente: 92, 89, 84, 82, 92, 90, 90, 86, 91, 92, 94, 78, 81, 90, y 81 Contrastar al 0 05 de nivel de significación la aparente mejoría en la puntuación. (Solución: valor observado=3 5 y valor teórico=26. Se rechaza H 0 ). 15) Para estudiar cómo se comporta la productividad a lo largo de la jornada laboral se contabilizan en una fábrica las unidades producidas durante la primera hora de trabajo (en tres ocasiones), en la cuarta hora (en cinco ocasiones) y en la séptima hora (en cuatro ocasiones), obteniéndose como resultados: 468, 474, 469, 473, 481, 467, 470, 469, 480, 472, 476, 473 a) Suponga que la información proviene de una sola muestra, y contraste si es aleatoria con un nivel de confianza del 95%. b) Se dispone de la información: 1ª muestra (1ª hora): 468, 474, 469 2ª muestra (4ª hora): 473, 481, 467, 470, 469 3ª muestra (7ª hora): 480, 472, 476, 473 Hay diferencias significativas entre las productividades según las horas de la jornada laboral con un nivel de significación del 5%?. (Solución: a) valor observado=8, valores teóricos=3 y 10. Se acepta H 0. b) valor observado=2 22, h α = Se acepta H 0 ). 5

6 16) Un funcionario del Ministerio de Sanidad desea comparar las tasas de ocupación en hospitales urbanos con respecto a los hospitales comarcales. Selecciona para ello una muestra aleatoria de 9 hospitales urbanos y otra de 9 hospitales comarcales, obteniendo los siguientes resultados: Hospital urbano Hospital comarcal Existe evidencia de una diferencia en las tasas promedio de ocupación entre hospitales urbanos y comarcales a un nivel de significación del 10%?. (Solución 1: valor observado=20, α 0 = Se rechaza H 0. Solución 2: valor observado=106, valores teóricos=66 y 105. Se rechaza H 0 ). 17) Se desean comparar dos nuevas variedades de trigo. Para ello, se toman 10 fincas al azar y se dividen en dos partes distintas, plantando en una el trigo de clase A y en la otra el de la clase B. La producción en las 10 fincas fue la siguiente: Finca Clase A Clase B a) Se puede aceptar que las producciones son iguales para ambas clases de trigo, a un nivel de significación del 5%? b) Se puede aceptar que la muestra correspondiente a la clase B es aleatoria, a un nivel de significación del 10%? (Solución: a) valor observado=11 5 y valor teórico=6. Se acepta H 0. b) valor observado=7, valores teóricos=3 y 8. Se acepta H 0 ). 18) Las puntuaciones en tests de inteligencia de dos grupos independientes de personas dan los siguientes valores: Grupo 1º : Grupo 2º : a) Contrastar la hipótesis de igualdad de medias al nivel de significación del 5%. b) Se puede aceptar que la muestra correspondiente al grupo 2º es aleatoria, a un nivel de significación del 10%?. (Solución: a) Solución 1: valor observado=20, α 0 = Se rechaza H 0. Solución 2: valor observado=135, valores teóricos=79 y 131. Se rechaza H 0. b) valor observado=6, valores teóricos=3 y 8. Se acepta H 0 ). 6

7 19) En tres sucursales bancarias se observa la edad de las personas en el momento de formalizar su plan de pensiones. Tomadas tres muestras aleatorias de tamaño 10, 9 y 8 respectivamente se obtuvieron los datos de la tabla adjunta: Sucursal A Sucursal B Sucursal C a) Hay evidencia estadística suficiente para afirmar que la edad media de contratación del plan de pensiones es la misma en las tres sucursales?. Utilice un nivel de significación del 5%. b) Es aleatoria la muestra tomada para la sucursal B?. Utilice un nivel de significación del 10%. (Solución: a) valor observado=4 023, valor teórico=5 9. Se acepta H 0. b) valor observado= 5, valores teóricos= 0 y 6. Se acepta H 0. ). 7

8 ANEXO: SALIDAS DE ORDENADOR (STATGRAPHICS PLUS 5.1.) TEMA 4 EJERCICIO 2 Contraste de Hipótesis para PRECIOS Media muestral = 12,4167 Mediana muestral = 11,5 Contraste t Hipótesis nula: media = 10,0 Alternativa: mayor que Estadístico t = 2,06426 P-valor = 0, Se rechaza la hipótesis nula para alpha = 0,05. Contraste de los signos Hipótesis nula: mediana = 10,0 Alternativa: mayor que Número de valores inferiores a la mediana de H0: 3 Número de valores superiores a la mediana de H0: 7 Estadístico para grandes muestras = 0, (aplicada la corrección por continuidad) P-valor = 0,17139 No se rechaza la hipótesis nula para alpha = 0,05. Contraste de rangos con signo - Hipótesis nula: mediana = 10,0 Alternativa: mayor que Rango medio de los valores inferiores a la mediana: 5,33333 Rango medio de los valores superiores a la mediana: 8,42857 Estadístico para grandes muestras = 1,53206 (aplicada la corrección por continuidad) P-valor = 0, No se rechaza la hipótesis nula para alpha = 0,05. El StatAdvisor Esta ventana muestra los resultados de tres tests concernientes al centro de la población de la que procede la muestra de PRECIOS. El primer test es un t-test cuya hipótesis nula es que el PRECIOS medio es igual a 10,0 frente a la hipótesis alternativa en la que PRECIOS medio es superior a 10,0. Puesto que el P-valor para este test es inferior a 0,05, podemos rechazar la hipótesis nula para un nivel de confianza del 95,0%. El segundo tests es un test de signos cuya hipótesis nula es que la mediana de PRECIOS es igual a 10,0 frente a la hipótesis alternativa de que la mediana es superior a 10,0. Está basado en el recuento del número de valores por encima y debajo de la mediana supuesta. Puesto que el P-valor para este test es superior o igual a 0,05, no podemos rechazar la hipótesis nula para un nivel de confianza del 95,0%. 8

9 El tercer test es un test de signo-rango cuya hipótesis nula es que la mediana de PRECIOS es igual a 10,0 frente a la hipótesis alternativa de que la mediana es superior a 10,0. Se basa en la comparación de rangos medios de valores por encima y por debajo de la mediana hipotética. Puesto que el P-valor para este test es superior o igual a 0,05, no podemos rechazar la hipótesis nula para un nivel de confianza del 95,0%. EJERCICIO 4 Resumen de Procedimiento Datos: A-B 14 valores comprendidos desde -2,0 hasta 7,0 El StatAdvisor Este procedimiento está destinado a examinar las diferencias significativas entre dos muestras de datos los cuales se ha agrupado en pares. Calculará varias estadísticos y gráficos para las diferencias entre los datos pareados. El procedimiento también incluye pruebas destinadas a determinar si la diferencia media es igual a cero. Para acceder a estos procedimientos diferentes use los botones Opciones Tabulares y Opciones Gráficas en la barra de herramientas del análisis. Contraste de Hipótesis para A-B Media muestral = 1,85714 Mediana muestral = 2,0 contraste t Hipótesis nula: media = 0,0 Estadístico t = 2,61615 P-valor = 0, Se rechaza la hipótesis nula para alpha = 0,05. Contraste de los signos Hipótesis nula: mediana = 0,0 Número de valores inferiores a la mediana de H0: 4 Número de valores superiores a la mediana de H0: 9 Estadístico para grandes muestras = 1,1094 (aplicada la corrección por continuidad) P-valor = 0, No se rechaza la hipótesis nula para alpha = 0,05. Contraste de rangos con signo - Hipótesis nula: mediana = 0,0 Rango medio de los valores inferiores a la mediana: 4,375 Rango medio de los valores superiores a la mediana: 9,61111 Estadístico para grandes muestras = 2,11135 (aplicada la corrección por continuidad) P-valor = 0, Se rechaza la hipótesis nula para alpha = 0,05. 9

10 El StatAdvisor Esta ventana muestra los resultados de tres tests concernientes al centro de la población de la que procede la muestra de A-B. El primer test es un t-test cuya hipótesis nula es que el A-B medio es igual a 0,0 frente a la hipótesis alternativa en la que A-B medio es no igual 0,0. Puesto que el P- valor para este test es inferior a 0,05, podemos rechazar la hipótesis nula para un nivel de confianza del 95,0%. El segundo tests es un test de signos cuya hipótesis nula es que la mediana de A-B es igual a 0,0 frente a la hipótesis alternativa de que dicha mediana no es igual a 0,0. Está basado en el recuento del número de valores por encima y debajo de la mediana supuesta. Puesto que el P-valor para este test es superior o igual a 0,05, no podemos rechazar la hipótesis nula para un nivel de confianza del 95,0%. El tercer test es un test de signo-rango cuya hipótesis nula es que la mediana de A-B es igual a 0,0 frente a la hipótesis alternativa de que no es igual a 0,0. Se basa en la comparación de rangos medios de valores por encima y por debajo de la mediana hipotética. Puesto que el P-valor para este test es inferior a 0,05, podemos rechazar la hipótesis nula para un nivel de confianza del 95,0%. EJERCICIO 5 Resumen de Procedimiento Datos: X-Y 10 valores comprendidos desde -16,0 hasta 13,0 El StatAdvisor Este procedimiento está destinado a examinar las diferencias significativas entre dos muestras de datos los cuales se ha agrupado en pares. Calculará varias estadísticos y gráficos para las diferencias entre los datos pareados. El procedimiento también incluye pruebas destinadas a determinar si la diferencia media es igual a cero. Para acceder a estos procedimientos diferentes use los botones Opciones Tabulares y Opciones Gráficas en la barra de herramientas del análisis. Contraste de Hipótesis para X-Y Media muestral = 0,3 Mediana muestral = 1,5 contraste t Hipótesis nula: media = 0,0 Estadístico t = 0, P-valor = 0, No se rechaza la hipótesis nula para alpha = 0,05. Contraste de los signos Hipótesis nula: mediana = 0,0 Número de valores inferiores a la mediana de H0: 4 Número de valores superiores a la mediana de H0: 6 Estadístico para grandes muestras = 0, (aplicada la corrección por continuidad) P-valor = 0, No se rechaza la hipótesis nula para alpha = 0,05. 10

11 contraste de rangos con signo - Hipótesis nula: mediana = 0,0 Rango medio de los valores inferiores a la mediana: 6,375 Rango medio de los valores superiores a la mediana: 4,91667 Estadístico para grandes muestras = 0, (aplicada la corrección por continuidad) P-valor = 0, No se rechaza la hipótesis nula para alpha = 0,05. El StatAdvisor Esta ventana muestra los resultados de tres tests concernientes al centro de la población de la que procede la muestra de X-Y. El primer test es un t-test cuya hipótesis nula es que el X-Y medio es igual a 0,0 frente a la hipótesis alternativa en la que X-Y medio es no igual 0,0. Puesto que el P-valor para este test es superior o igual a 0,05, no podemos rechazar la hipótesis nula para un nivel de confianza del 95,0%. El segundo, es un test de signos cuya hipótesis nula es que la mediana de X-Y es igual a 0,0 frente a la hipótesis alternativa cuya mediana no es igual a 0,0. Está basado en el recuento del número de valores por encima y debajo de la mediana supuesta. Puesto que el P-valor para este test es superior o igual a 0,05, no podemos rechazar la hipótesis nula para un nivel de confianza del 95,0%. El tercero es un test de signo-rango cuya hipótesis nula es que la mediana de X-Y es igual a 0,0 frente a la hipótesis alternativa cuya mediana no es igual a 0,0. Se basa en la comparación de rangos medios de valores por encima y por debajo de la mediana hipotética. Puesto que el P-valor para este test es superior o igual a 0,05, no podemos rechazar la hipótesis nula para un nivel de confianza del 95,0%. EJERCICIO 6 Contraste t Hipótesis nula: media = 10,0 Estadístico t = 2,35349 P-valor = 0, Contraste de los signos Hipótesis nula: mediana = 10,0 Número de valores inferiores a la mediana de H0: 2 Número de valores superiores a la mediana de H0: 5 Estadístico para grandes muestras = 0, (aplicada la corrección por continuidad) P-valor = 0,44969 Contraste de rangos con signo - Hipótesis nula: mediana = 10,0 Rango medio de los valores inferiores a la mediana: 1,5 Rango medio de los valores superiores a la mediana: 5,0 Estadístico para grandes muestras = 1,77482 (aplicada la corrección por continuidad) P-valor = 0,

12 EJERCICIO 9 Resumen del Procedimiento Muestra 1: A Muestra 2: B Muestra 3: C Muestra 1: 6 valores 25,0 hasta 34,0 Muestra 2: 7 valores 21,0 hasta 29,0 Muestra 3: 5 valores 22,0 hasta 31,0 El StatAdvisor Este procedimiento compara los datos en 3 columnas del actual fichero. Realiza varios tests estadísticos y gráficos para comparar las muestras. El F-test en la tabla de ANOVA comprobará si hay alguna diferencia significativa entre las medias. Si hay, los Tests de Rangos Múltiples le indicarán las medias que son significativamente diferentes unas de otras. Si le preocupa la presencia de valores atípicos, puede elegir el test Kruskal-Wallis que compara las medianas en lugar de las medias. Los diferentes gráficos le ayudarán a juzgar la significación práctica de los resultados, y le permitirán buscar las posibles violaciones a las asunciones subyacentes en el análisis de la varianza. Test Kruskall-Wallis Tamaño Muestral Rango Medio ---- A 6 14,0 B 7 7,92857 C 5 6, Estadístico = 6,7077 P-valor = 0, El StatAdvisor El test de Kruskal-Wallis prueba la hipótesis nula de igualdad de las medianas dentro de cada una de las 3 columnas. Los datos de todas las columnas primero se combinan y se ordenan de menor a mayor. Entonces se calcula el rango medio para los datos en cada columna. Puesto que el p-valor es inferior a 0,05, hay diferencia estadísticamente significativa entre las medianas a un nivel de confianza del 95,0%. Para determinar cuáles son las medianas significativamente diferentes entre si, seleccionar Gráfico de Caja y Bigotes de la lista de Opciones Gráficas y seleccione la opción muesca de mediana. 12