En clases anteriores hemos estudiado diseños aleatorizados a un factor (con y sin bloqueo), introduciendo el modelo de Análisis de la Varianza

Transcripción

1 Bioestadística II

2 Bioestadística II

3 En clases anteriores hemos estudiado diseños aleatorizados a un factor (con y sin bloqueo), introduciendo el modelo de Análisis de la Varianza Bioestadística II

4 Bioestadística II Modelo lineal de Anova a un factor Y ij es la j-ésima observación del i-ésimo tratamiento, realizada sobre cada unidad experimental μ es la media general de las observaciones Variable respuesta: conjunto de observaciones que se obtienen de las unidades experimentales τ i es el efecto del i-ésimo tratamiento ɛ ij es un término que representa al error aleatorio asociado a la observación Y ij Tratamiento: conjunto de acciones que se aplican a las unidades experimentales con el fin de observar cómo responden

5 Bioestadística II Modelo lineal de Anova a un factor con bloques Y ij es la observación en el i-ésimo tratamiento del j-ésimo bloque μ es la media general de las observaciones β j es el efecto del j-ésimo bloque, con j=1,,b τ i es el efecto del i-ésimo tratamiento, con i=1,,a ɛ ij es un término que representa al error aleatorio asociado a la observación Y ij

6 Ahora introduciremos los, donde se evalúan -o más- aplicados a las mismas unidades de observación. En este caso, se asume el supuesto de aditividad entre los factores estudiados Bioestadística II

7 El modelo para un diseño a dos factores es el siguiente Y ij es la respuesta al i-ésimo nivel del factor A y j-ésimo nivel de factor B α i es el efecto del i-ésimo nivel del factor A, con i=1,,a μ es la media general de las observaciones β j es el efecto del j-ésimo nivel del factor B, con j=1,,b ɛ ij es un término que representa al error aleatorio asociado a la observación Y ij Bioestadística II

8 Bioestadística II Hipótesis Estadísticas H 0 : α 1 = α 2 = = α a H 1 : al menos un α i es diferente a los demás H 0 : β 1 = β 2 = = β b H 1 : al menos un β j es diferente a los demás

9 Fuente de Variación Suma de Cuadrados Grados de Libertad Cuadrado Medio F Factor A SCA= a i=1 (y i ) 2 a - (y ) 2 ab gla= a-1 CMA= SCA gla CMA CME Factor B SCB= b j=1 (y j ) 2 b - (y ) 2 ab glb= b-1 CMB= SCB glb CMB CME Error SCE= SCT-SCA-SCB gle= (gla)- (glb) CME= SCE gld Total SCT= a b i=1 k=1 2 y ij - (y ) 2 ab glt= ab - 1 Bioestadística II

10 Supuestos del modelo Todos los análisis de la varianza presentan los mismos supuestos para el término correspondiente al error aleatorio: La varianza de los errores es constante (homogeneidad de varianzas) Los errores son variables aleatorias normales con esperanza cero Los errores (y por ende los datos) son independientes unos de otros ~ N I ( 0, ij 2 ) Mediante interpretaciones gráficas y test estadísticos pueden evaluarse los supuestos de normalidad y homogeneidad de varianzas. Bioestadística II

11 Supuestos del modelo Verificar la distribución normal de los errores: gráficamente: Q-Q plot Test de Shapiro-Wilk Las hipótesis que se someten a prueba son: H 0 : los residuos tienen distribución normal H 1 : los residuos no tienen distribución normal Verificar la homogeneidad de varianzas gráficamente: residuos vs. predichos Test de Levene Las hipótesis que se someten a prueba son: H 0 : σ 1 2 = σ 2 2 = = σ a 2 H 1 : al menos dos varianzas son distintas Bioestadística II

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13 En este caso, si el investigador supone que la respuesta a dos factores no se puede explicar como la suma de sus efectos individuales, el modelo debe incluir términos que incorporen estas hipótesis Bioestadística II

14 Se incorpora entonces un al modelo. Permite la partición de la variabilidad considerando los efectos de cada factor y la interacción entre ellos. El modelo correspondiente es el siguiente: Y ijk es la respuesta de la k-ésima repetición de cada uno de los tratamientos (definidos como todas las posibles combinaciones de los a niveles del factor A con los b niveles del factor B) μ es la media general de las observaciones α i es el efecto del i-ésimo nivel del factor A, con i=1,,a β j es el efecto del j-ésimo nivel del factor B, con j=1,,b δ ij representa los efectos para cada combinación de los niveles de los factores, es decir, la interacción entre factores ɛ ijk es un término que representa al error aleatorio asociado a la observación Y ijk Bioestadística II

15 Bioestadística II Hipótesis Estadísticas H 0 : δ 11 = = δ a1 = δ 12 = = δ 1b = = δ ab H 1 : al menos un δ ij es diferente a los demás H 0 : α 1 = α 2 = = α a H 1 : al menos un α i es diferente a los demás H 0 : β 1 = β 2 = = β b H 1 : al menos un β j es diferente a los demás

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17 Supuestos del modelo Todos los análisis de la varianza presentan los mismos supuestos para el término correspondiente al error aleatorio: La varianza de los errores es constante (homogeneidad de varianzas) Los errores son variables aleatorias normales con esperanza cero Los errores (y por ende los datos) son independientes unos de otros ~ N I ( 0, ij 2 ) Mediante interpretaciones gráficas y test estadísticos pueden evaluarse los supuestos de normalidad y homogeneidad de varianzas. Bioestadística II

18 Ejemplo de aplicación En un estudio sobre la potencialidad forrajera de Atriplex cordobensis, un arbusto que crece en depresiones del chaco árido argentino, se evaluó la concentración de proteínas en hojas cosechadas en invierno y verano sobre plantas masculinas y femeninas. Para cada combinación de sexo y estación, se obtuvieron tres determinaciones del contenido proteico medido como porcentaje del peso seco. Los resultados se presentan en la siguiente tabla. Estación Invierno Verano Femenino Sexo Masculino

19 Ejemplo de aplicación A continuación se presenta la tabla correspondiente al Análisis de la Varianza (salida de Infostat). Análisis de la varianza Variable N R² R² Aj CV Conc.Prot. 12 0,93 0,91 6,30 Cuadro de Análisis de la Varianza (SC tipo III) F.V. SC gl CM F p-valor Modelo 198, ,00 37,71 <0,0001 Factor A 3,00 1 3,00 1,71 0,2268 Factor B 3,00 1 3,00 1,71 0,2268 Factor A*Factor B 192, ,00 109,71 <0,0001 Error 14,00 8 1,75 Total 212,00 11

20 Ejemplo de aplicación Se grafica aquí la media ± el error estándar asociado de la concentración de proteínas en hojas de Atriplex cordobensis, por efecto del sexo y la época de cosecha. Se observa que los perfiles de respuesta se cruzan en este caso donde la interacción resultó significativa.

21 Ejemplo de aplicación Para poner a prueba los supuestos del modelo, se solicitó al programa que guarde los residuos. En primer lugar, esta información fue utilizada para evaluar los supuestos mediante interpretaciones gráficas. Finalmente, se llevaron a cabo los test estadísticos correspondientes. A continuación se detallan las pruebas referidas a la normalidad de los residuos Q-Q plot (normal) Test de Shapiro-Wilks Shapiro-Wilks (modificado) Variable n Media D.E. W* p (una cola) RDUO_Conc.Prot. 12 0,00 1,13 0,94 0,6672

22 Ejemplo de aplicación Se incluyen aquí las pruebas para evaluar la homogeneidad de varianzas Gráfico de dispersión de Residuos (RDUO_Conc.Prot.) vs. Predichos (PRED_Conc.Prot.) Test de Levene (Anova tomando como variable respuesta el valor absoluto de los residuos, RABS_Conc.Prot.) Análisis de la varianza Variable N R² R² Aj CV RABS_Conc.Prot. 12 0,06 0,00 87,64 Cuadro de Análisis de la Varianza (SC tipo III) F.V. SC gl CM F p-valor Modelo 0,33 1 0,33 0,62 0,4475 Factor A 0,33 1 0,33 0,62 0,4475 Error 5, ,53 Total 5,67 11

23 Actividad de cierre Ejercicio integrador: Se desea estudiar cómo afecta la aplicación de distintas dosis de droga sobre la concentración de cierta hormona en ratas. Dado que se trata de hormonas esteroides, en el diseño del experimento se consideró también el sexo de las ratas tratadas. Los resultados se encuentran en la siguiente tabla, expresados como concentración plasmática de hormona en pg/ml. A continuación explique: Sexo Femenino Masculino 2,3 1,8 1. Cuál es la variable respuesta y cuál la unidad de observación, cuáles son los factores y tratamientos resultantes, y cuántas Droga Control Dosis mínima 2,1 2 1,9 2,1 2,5 2,1 3 2,6 2,3 1,9 repeticiones hay por tratamiento. 2.El modelo estadístico correspondiente al diseño utilizado, explicitando, en términos estadísticos y prácticos, cada uno Dosis máxima 3,2 2,5 2,9 2,9 3,3 2,7 de los componentes. 3.Dócimas de hipótesis en términos estadísticos y prácticos. 4.Finalmente, qué conclusiones pueden obtenerse a partir de esta experiencia?