5. DISEÑO FACTORIALES 2 k

Transcripción

1 5. DISEÑO FACTORIALES 2 k Los diseños factoriales son ampliamente utilizados en experimentos en los que intervienen varios factores para estudiar el efecto conjunto de éstos sobre una respuesta. Un caso especial e importante ocurre cuando se tienen k factores, cada uno con dos niveles, los cuales pueden ser cuantitativos (valores de temperatura, presión o tiempo), o cualitativos (dos máquinas, dos operadores, los niveles superior e inferior de un factor o, la ausencia o presencia de un factor. En la mayor parte de los problemas reales los factores que pueden afectar a la variable de respuesta estudiada son numerosos. El procedimiento típico (y equivocado) para abordar este tipo de problemas, es hacer pruebas aisladas, o la experimentación de un factor a la vez, ambos procedimientos no es aconsejable ya que: * Es muy costoso (exige muchas pruebas) * Las conclusiones obtenidas para cada factor tienen un campo de validez muy restringido. * No permite detectar la presencia de interacciones. * No garantiza la obtención de las condiciones óptimas La Alternativa es realizar Diseño de Experimentos para Estudiar Simultáneamente Todos los Factores. El diseño 2 k es particularmente útil en las primeras fases del trabajo experimental, cuando es probable que haya muchos factores por investigar si tienen influencia sobre la variable de respuesta. Este diseño es el más económico en el sentido de que es el diseño factorial completo que implica el menor número de corridas con las cuales pueden estudiarse k factores. Debido que sólo hay dos niveles para cada factor, debe suponerse que la respuesta es aproximadamente lineal en el intervalo de los niveles elegidos de los factores. 61

2 5.1 EL DISEÑO 2 3 Un diseño de la serie 2 k es aquel que tiene tres factores, A, B y C, cada uno con dos niveles. Este diseño se conoce como diseño factorial 2 3. Arbitrariamente, los niveles del factor pueden llamarse "inferior" y "superior". Por convención, el efecto de un factor se denota por la letra latina mayúscula. De este modo "A" se refiere al efecto del factor A, "B" se refiere al efecto del factor B, y "AB" se refiere a la interacción AB. En el diseño 2 3, los niveles bajo y alto de los efectos de A, B y C se denotan por "-" y "+", respectivamente. Ejemplo Un ingeniero está interesado en el efecto que tiene la rapidez de corte (factor A), la configuración (factor B) y el ángulo de corte (factor C) sobre la resistencia de una herramienta. Se eligen dos niveles de cada factor y se realiza un diseño factorial 2 3 con dos replicas. Los resultados se muestran la tabla 5.1, Combinación A B C replica I replica II (1) a b ab c ac bc abc Tabla 5.1 Datos sobre la resistencia de una herramienta. Variable de respuesta: Resistencia de una herramienta Factores controlados: Rapidez de corte (A) Configuración (B) Angulo de Corte (C) 62

3 Hipótesis a probar: Ho: No influye la rapidez de corte en la resistencia de una herramienta. Ha: Si influye la rapidez de corte en la resistencia de una herramienta. Ho: No influye la configuración en la resistencia de una herramienta. Ha: Si influye la configuración en la resistencia de una herramienta. Ho: No influye el ángulo de corte en la resistencia de una herramienta. Ha: Si influye el ángulo de corte en la resistencia de una herramienta. Ho: No hay efecto de interacción entre la rapidez de corte y la configuración en la resistencia de una herramienta. Ha: Si hay efecto de interacción entre la rapidez de corte y la configuración en la resistencia de una herramienta. Ho: No hay efecto de interacción entre la rapidez de corte y el ángulo de corte en la resistencia de una herramienta. Ha: Si hay efecto de interacción entre la rapidez de corte y el ángulo de corte en la resistencia de una herramienta. Ho: No hay efecto de interacción entre la configuración y el ángulo de corte en la resistencia de una herramienta. Ha: Si hay efecto de interacción entre la configuración y el ángulo de corte en la resistencia de una herramienta. Ho: No hay efecto de interacción entre la rapidez de corte, la configuración y el ángulo de corte en la resistencia de una herramienta. Ha: Si hay efecto de interacción entre la rapidez de corte, la configuración y el ángulo de corte en la resistencia de una herramienta. 63

4 5.2 SOLUCION ESTADISTICA DEL DISEÑO CALCULAR LOS SIGNOS DE LAS INTERACCIONES Se inicia calculando los signos de todos los efectos de interacciones, como se puede ver en la siguiente tabla 5.2 CombinaciónA B C AB AC BC ABC replica I replica II (1) a b ab c ac bc abc Tabla 5.2 calculo de los signos de los efectos de las interacciones CALCULO DE LOS CONTRASTES Con los valores SUMA de la tabla 5.3, calcular el contraste de los efectos. El contraste se define como el efecto total, es decir es la suma del efecto cuando esta en signo positivo o nivel alto menos la suma cuando el efecto esta en signo negativo o nivel bajo y se obtienen mediante las siguientes ecuaciones, CONTRASTE (A)= (A+ )- (A- )=( )-( )=133.1 CONTRASTE (B)= (B+ )- (B- )=( )-( )=60.3 CONTRASTE (C)= (C+ )- (C- )=( )-( )=-25.9 CONTRASTE (AB)= (AB+ )- (AB- )=( )-( )=69.7 CONTRASTE (AC)= (AC+ )- (AC )=( )-( )=-4.1 CONTRASTE (BC)= (BC+ )- (BC- )=( )-( )=6.3 CONTRASTE (ABC)= (ABC+ )- (ABC- )=( )-( )=

5 Combinación A B C AB AC BC ABC replica I replica II SUMA a b ab c ac bc abc Tabla de 5.3 La SUMA de las replicas de cada combinación CALCULO DE LOS EFECTOS PROMEDIO Los efectos promedios mediante las siguientes ecuaciones: EFECTO PROMEDIO (A)=CONTRASTE(A)/(2 K-1 )n=133.1/(2 3-1 )*2=133.1/8=16.63 EFECTO PROMEDIO (B)= CONTRASTE(B)/(2 K-1 )n=-60.3/(2 3-1 )*2=60.3/8=7.53 EFECTO PROMEDIO (C)= CONTRASTE(C)/(2 K-1 )n=-25.9/(2 3-1 )*2=-25.9/8=-3.23 EFECTO PROMEDIO (AB)=CONTRASTE(AB)/(2 K-1 )n=69.7/(2 3-1 )*2=69.7/8=8.71 EFECTO PROMEDIO (AC)= CONTRASTE(AC)/(2 K-1 )n=-4.1/(2 3-1 )*2=-4.1/8=-0.51 EFECTO PROMEDIO (BC)= CONTRASTE(BC)/(2 K-1 )n=6.3/(2 3-1 )*2=6.3/8=0.78 EFECTO PROMEDIO (ABC)=CONTRASTE(ABC)/(2 K-1 )n=-11.1/(2 3-1 )*2=-11.1/8=-1.38 En la tabla 5.4, se pueden ver los efectos promedio obtenidos del statgraphics Efectos estimados para Resistencia Efecto Estimado A:Rapidez de corte B:Configuracion C:Angulo de corte AB AC BC ABC Efectos promedio 65

6 DIAGRAMA DE PARETO El diagrama de Pareto (ver figura 5.1) es un grafico representa a los efectos promedio de la tabla 5.4, donde los efectos importantes están representados por las barras mas grandes, en este caso los efectos más importantes son el efecto de la Rapidez, Configuración y el efecto de Interacción de la Rapidez y la Configuración. Diagrama de Pareto para Resistencia A:Rapidez de corte + AB - B:Configuracion C:Angulo de corte ABC BC AC Efecto Figura 5.1 Diagrama de Pareto para efectos promedio CALCULO DE LA SUMA DE CUADRADOS La suma de cuadrados totales se puede estimar mediante la siguiente ecuación, SS TOTAL =SS A +SS B +SS C + SS AB +SS AC +SS BC +SS ABC + SS ERROR 5.1 Y cada uno los términos la ecuación 5.1, se pueden estimar mediante las siguientes formulas SS(A)=(CONTRASTE(A)) 2 /(2 K )n=( (A+ )- (A- )) 2 /(2 K )n=(133.1) 2 /8*2= SS(B)=(CONTRASTE(B)) 2 /(2 K )n=( (B+ )- (B- )) 2 /(2 K )n=(-60.3) 2 /8*2= SS(C)=(CONTRASTE(C)) 2 /(2 K )n=( (C+ )- (C- )) 2 /(2 K )n=(-25.9) 2 /8*2=

7 SS(AB)=(CONTRASTE(AB)) 2 /(2 K )n=( (AB+ )- (AB- )) 2 /(2 K )n=(69.7) 2 /8*2= SS(AC)=(CONTRASTE(AC)) 2 /(2 K )n=( (AC+ )- (AC- )) 2 /(2 K )n=(-4.1) 2 /8*2=1.05 SS(BC)=(CONTRASTE(BC)) 2 /(2 K )n=( (BC+ )- (BC- )) 2 /(2 K )n=(6.3) 2 /8*2=2.48 SS(ABC)=(CONTRASTE(ABC)) 2 /(2 K )n=( (ABC+ )- (ABC- )) 2 /(2 K )n=(-11.1) 2 /8*2=7.70 a SS TOTAL = i=1 b c n j=1 k=1 l=1 y 2 ijkl - y2. abcn a i=1 b c j=1 k=1 n y 2 ijkl =(18.2) 2 +(27.2) 2 +.+(36.3) 2 +(18.9) 2 +(24.0) 2 + +(39.9) 2 =10, l=1 y 2. abcn =(381.3)2 /16= SS TOTAL =10, = SS ERROR =SS TOTAL -SS A -SS B -SS C - SS AB -SS AC -SS BC -SS ABC SS ERROR = = Grados de libertad Efecto grados de libertad A a-1=2-1=1 B b-1=2-1=1 C c-1=2-1=1 AB (a-1)(b-1)=1x1=1 AC (a-1)(c-1)=1x1=1 BC (b-1)(c-1)=1x1=1 ABC (a-1)(b-1)(c-1)=1x1x1=1 Error abc(n-1)=2x2x2x2=8 Total abn-1=16-1=15 67

8 5.2.7 Cuadrados Medios Efecto Cuadrado Medio A B C CM A = SS A /a-1= /1= CM B = SS B /b-1=227.25/1= CM C = SS C /c-1=41.92/1=41.92 AB CM AB = SS AB /(a-1)(b-1)= /1= AC CM AC = SS AC /(a-1)(c-1)= 1.05/1=1.05 BC CM BC = SS BC /(b-1)(c-1)= 2.48/1=2.48 ABC CM ABC = SS ABC /(a-1)(b-1)(c-1)= 7.70/1=7.70 Error CM error = SS ERROR /abc(n-1)= /8= CALCULO DE LAS F s Efecto F CALCULADA A CM A / CM error = /2.32= B CM B / CM error = /2.32=97.95 C CM C / CM error = 41.92/2.32=18.06 AB CM AB / CM error = /2.32= AC CM AC / CM error = 1.05/2.32=0.45 BC CM BC / CM error = 2.48/2.32= 1.06 ABC CM ABC / CM error = 7.70/2.32=

9 5.2.9 TABLA DE ANOVA (STATGRAPHICS VERSION CENTURION) En la tabla 5.5, se puede ver el análisis de varianza para la resistencia de una herramienta. De los resultados del análisis de varianza se puede observar que cinco efectos presentan valores de P menor que el nivel de confianza dado α=0.05, con lo que se concluye r que los efectos que son Significativos son el efecto simple de la a rapidez de corte (A), el efecto simple del factor configuración (B), así como también el efecto simple del ángulo de corte(c), y el efecto de la interacción de la rapidez y la configuración(ab), con una confianza estadística del 95%. Análisis de Varianza para Resistencia Fuente Suma de Cuadrados Gl Cuadrado Medio Razón-F Valor-P A:Rapidez de corte B:Configuracion C:Angulo de corte AB AC BC ABC Error total Total (corr.) ( ) Tabla 5.5 Análisis de Varianza para la resistencia de una herramienta 69

10 GRAFICA DE PARETO ESTANDARIZADO Para obtener el diagrama del Pareto Estandarizado, primeramente se debe estimar el error estándar mediante la formula de esta forma tenemos que En segundo de debe estimar el efecto estandarizado, que es el resultado de dividir el efecto promedio entre el error estándar, como se ilustra a continuación EFECTO ESTANDARIZADO (A)= 16.63/0.7616=21.83 EFECTO ESTANDARIZADO (B)= 7.53/0.7616=9.88 EFECTO ESTANDARIZADO (C)=- 3.23/0.7616=-4.24 EFECTO ESTANDARIZADO (AB)= 8.71/0.7616=11.43 EFECTO ESTANDARIZADO (AC)=- 0.51/0.7616=-0.67 EFECTO ESTANDARIZADO (BC)= 0.78/0.7616=1.024 EFECTO ESTANDARIZADO (ABC)= -1.38/0.7616=-1.81 En la figura 5.2 se observa el diagrama de Pareto estandarizado, nótese la presencia de una línea vertical (La cual es el resultado de la raíz cuadrada del valor de la F de tablas con 1 grado de libertad en el numerador y abc(n-1) grados de libertad en el denominador). Los efectos que cruzan dicha línea son efectos significativos al 5%. Por lo que podemos estabelecer que los efectos que son significativos son, el efecto simple de la a rapidez de corte (A), el efecto simple del factor configuración (B), así como también el efecto simple del ángulo de corte(c), y el efecto de la 70

11 interacción de la rapidez y la configuración(ab), con una confianza estadística del 95%, también obsérvese que son los mismos resultados de la tabla de ANOVA. Diagrama de Pareto Estandarizada para Resistencia A:Rapidez de corte + AB - B:Configuracion C:Angulo de corte ABC BC AC Efecto estandarizado Figura 5.2 Diagrama de Pareto Estandarizado ANALISIS COMPLEMENTARIOS Una vez identificados los efectos significativos, procedemos a realizar los análisis complementarios, en esta caso se inicia analizando los efectos simples que resultaron significativos, como lo son el Efecto de la Rapidez de Corte (Factor A), el efecto de la configuración (Factor B) y el efecto del Angulo de Corte (Factor C). Para esto se procede a realizar las graficas de efectos promedio. 71

12 Resistencia GRAFICAS DE EFECTOS PROMEDIO Para el efecto de LA RAPIDEZ DE CORTE (FACTOR A), tenemos que las medias de este efecto son Nivel media Se construye una grafica del tipo x-y, como se ilustra en la figura 5.3 Gráfica de Efectos Principales para Resistencia Rapidez de corte 1.0 Figura 5.3 Grafica de efectos promedio para el efecto de Rapidez de Corte De la figura 5.3, se puede concluir que La Rapidez de Corte tiene un efecto positivo, es decir cuando se cambia de nivel bajo de la rapidez de corte a un nivel alto de la rapidez de corte se incrementa la resistencia de la herramienta. Para maximizar la resistencia de la herramienta se recomienda trabajar en el nivel alto de la rapidez de corte. 72

13 Resistencia Para el efecto de la CONFIGURACION (FACTOR B), tenemos que su medias son, Nivel media En la figura 5.4 se observa la grafica de efectos promedio de efecto configuración, en la que se puede concluir que existe un efecto positivo, cuando se cambia de nivel bajo a nivel alto de la configuración se incrementa la resistencia de la herramienta. Para maximizar la resistencia de la herramienta se recomienda usar el nivel alto de la configuración. Gráfica de Efectos Principales para Resistencia Configuracion 1.0 Figura 5.4 Grafica de efectos promedio para la configuración 73

14 Resistencia Para el efecto del ANGULO DE CORTE (FACTOR C), tenemos que su promedios son, Nivel media En la figura 5.5 se puede concluir que el Angulo de Corte tiene un efecto negativo, lo que significa que cuando se cambia del nivel bajo a nivel alto la resistencia de la herramienta disminuye. Para maximizar la resistencia de la herramienta se recomienda utilizar el nivel bajo del ángulo de corte. 26 Gráfica de Efectos Principales para Resistencia Angulo de corte Figura 5.5 Grafica de efectos promedio para el Angulo de Corte 74

15 GRAFICA DE INTERACCION En este caso, según el anova y la grafica de Pareto el único efecto de interacción es el de la rapidez de corte y la configuración, para ello se estiman sus promedios en conjunto, como se ilustra a continuación A B Donde 16.1 es el valor promedio de resistencia de la herramienta cuando la rapidez de corte y la configuración ambos están en nivel bajo. El valor es el promedio de la resistencia cuando el factor esta en nivel bajo y la configuración esta en nivel alto. El valor es el promedio de resistencia cuando la rapidez de corte esta en nivel alto y la configuración en el nivel bajo, y finalmente, el valor de es el promedio de resistencia cuando la rapidez de corte y la configuración ambos están en nivel alto. En la figura 5.6 se puede ver la grafica de interacción de la Rapidez de corte y la Configuración (interacción AB). En esta grafica se puede ver las siguientes interpretaciones: 1.- Si se trabaja en el nivel bajo de la rapidez de corte y se cambia de nivel bajo a nivel alto en la configuración se observa que no hay cambio en la resistencia. 2.- Si se trabaja en el nivel alto de la rapidez de corte y se cambia de nivel bajo a nivel alto en la configuración se observa un incremento en la resistencia. 3.- Para maximizar la resistencia se recomienda usar el nivel alto de la rapidez y nivel alto de configuración. 75

16 Resistencia Gráfica de Interacción para Resistencia Rapidez de corte= Rapidez 24 de corte= Rapidez de corte= Rapidez de corte= Configuracion Figura 5.6 Grafica de interacción entre la rapidez de corte y la configuración (AB) CONCLUSION Y RECOMENDACION: Por los resultados obtenidos en la tabla de anova, las graficas de efectos promedio y la grafica de interacción se puede concluir lo siguiente: 1.- Los efectos significativos al 5% son: los efectos simples de la rapidez de corte, la configuración y el ángulo de corte, además el efecto de interacción entre la rapidez de corte y la configuración. 76

17 2.- Para maximizar la resistencia de la herramienta se recomienda utilizar un nivel alto de la rapidez de corte, un nivel alto de la configuración y un nivel bajo del ángulo de corte MODELO DE REGRESION MULTIPLE En la ecuación 5.3 se puede ver el modelo de regresión general de un diseño de 3 factores 5.3 En la ecuación 5.3 lo importante es estimar los valores de los. Cuando los niveles de los factores del diseño son codificados a -1 y 1, el valor del corresponde al promedio general de la variable de respuesta, que en caso de la resistencia de la herramienta se tiene que y los demás valores de los corresponden a la mitad del valor del efecto promedio correspondiente, como se ilustra en la tabla 5.6. Estimación de los. Efecto Estimado valor de los A:Rapidez de corte B:Configuracion C:Angulo de corte AB AC BC ABC Estimación de los. Con el valor de y los valores de los de la tabla 5.6 encontramos que el modelo de regresión (ecuación 5.4) para el diseño de la resistencia de la herramienta es 77

18 5.4 Donde X 1 = Rapidez de corte X 2 =Configuración X 3 =Angulo de corte X 1 X 2 = Interacción de Rapidez de corte y la Configuración X 1 X 3 =Interacción de Rapidez de corte y Angulo de corte X 2 X 3 =Interacción de Configuración y Angulo de corte X 1 X 2 X 3 = Interacción de Rapidez de corte, Configuración y Angulo de corte De esta forma, con el modelo de regresión de la ecuación 5.4, es posible estimar la resistencia de cada una de las combinaciones de los factores del diseño (tabla 5.7) y representar gráficamente en una grafica llamada Grafica de Respuesta (ver figura 5.7). X 1 X 2 X Tabla 5.7 combinaciones de los factores del diseño

19 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )=25.59 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )=42.44 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )=38.09 La combinación recomendada según los resultados de las graficas de medias e interacciones fue nivel alto de Rapidez de corte (1), nivel alto de configuración (1) y nivel bajo de ángulo de corte (-1), el promedio esperado para esa combinación según el modelo de regresión (ecuación 5.4) es de 42.44, como se puede ver en la grafica de la figura

20 Angulo de corte Gráfica de Cubo para Resistencia Rapidez de corte Configuracion Figura 5.7 Grafica de respuesta de un diseño SUPUESTOS DEL MODELO DEL DISEÑO Al igual que los diseños anteriores, también en este diseño es importante verificar los supuestos del diseño, con el propósito de validar los resultados. Los supuestos a verificar son tres: 1.- El Supuesto de varianza constante (Una grafica para cada factor del diseño) 2. El supuesto de Independencia de los residuos 3. El supuesto de normalidad de los residuos. 80

21 residuo residuo residuo SUPUESTO DE VARIANZA CONSTANTE El supuesto de varianza constante para los efectos de Rapidez de corte, Configuración y ángulo de corte se pueden en las figuras 5.8a, 5.8b y 5.8c, respectivamente. Nótese que en ninguna grafica se puede ver un patrón inusual o embudo. Por lo que se puede concluir que no hay problemas en el supuesto de varianza constante. 2.1 Gráfica de Residuos para Resistencia 2.1 Gráfica de Residuos para Resistencia Rapidez de corte Configuracion Figura 5.8a Varianza constante para el efecto de Rapidez de corte. Figura 5.8b Varianza constante para el efecto de Configuración. Gráfica de Residuos para Resistencia Angulo de corte Figura 5.8 c Varianza constante para el efecto de Angulo de corte. 81

22 residuo SUPUESTO DE INDEPENDENCIA DE RESIDUOS En la grafica de la figura 5.9, se puede ver la grafica de verificación del supuesto de independencia de los residuos, nótese que no se presenta ningún patrón inusual o tendencia, por lo que podemos establecer que si se cumple con el supuestos de independencia de los residuos. 2.1 Gráfica de Residuos para Resistencia número de corrida Figura 5.9 Grafica de verificación de la independencia de los residuos 82

23 porcentaje SUPUESTO DE NORMALIDAD DE LOS RESIDUOS En cuanto a la normalidad de los residuos, se poder ver en la grafica de la figura 5.10, como los puntos se ordena y aproximan a lo largo de la línea, por lo que se puede concluir que no existe problema alguno de l supuesto de normalidad de los residuos Gráfico de Probabilidad Normal para Residuos residuos Figura 5.10 Grafico de probabilidad normal para residuos 83