Distribución de frecuencia.

Transcripción

1 Dr. Jesús Alberto Mellado Si de una población se extrae una muestra de tamaño n, y en esa muestra se mide alguna característica, entonces, con los datos recabados se puede elaborar una distribución de frecuencia, es decir, establecer rangos (intervalos o clases) con los que se puedan clasificar los datos. Una vez elaborada la distribución de frecuencia se puede graficar en barras (histograma) para poder apreciar el comportamiento de los datos. Distribución Uniforme Población Muestra x f(x) Distribución de frecuencia. Distribución Normal Distribución Exponencial La gráfica resultante puede no tener forma alguna, o puede tener una forma reconocible, las mas comunes es la distribución uniforme, la distribución norma (que es la más común en la agropecuaria), distribución exponencial, distribución ji-cuadrada (chi-cuadrada) o distribución logística a de saturación. Dist. Chi-cuadrada Dist. Logarítmica o de saturación

2 En la gráfica se muestran en el eje x los rangos (clases) de los datos, y en el eje y se muestra el número de datos que caen en cada rango. Otra forma de expresar la gráfica es por medio de probabilidades, por ejemplo, si en una columna se tienen 9 datos de una muestra de 4, entonces la probabilidad de que un dato caiga en ese rango es 9/4 =.225, si ese cálculo se hace para cada rango (columna), la gráfica se convierte en una distribución de probabilidad Distribución de frecuencia. Distribución de probabilidad En el caso específico de la distribución normal, el valor de la media corresponde al centro de la gráfica en el eje.6 x y la mayoría de los datos se encuentran entre x s y.4 x + s..2 La suma de todas las probabilidades es 1 x s x x + s Pero, debido a la normal es una distribución para variables continuas, la gráfica no se puede quedar en forma de barras, así que se diseñó una gráfica a partir de una línea que diera contorno a las probabilidades ya calculadas. La suma de toda el área es Ejemplo para una normal con media 12 y desviación de 2 Así se puede calcular la probabilidad de que un dato caiga en cualquier rango, tan solo es necesario calcular el área que ocupa; desafortunadamente el cálculo se puede volver complejo dado que se trata de una integral, es por eso que se requiere el uso de tablas o de una computadora (se puede calcular con una función de Excel o de un paquete estadístico)

3 Distribución normal estándar Existen infinitas distribuciones normales, de todos los seres vivos que se pueden medir e infinidad de variables, entonces se ha diseñado un procedimiento para elaborar un modelo a escala que modifique todas distribuciones. Este modelo se llama normal estándar Estandarización X=15 Z=.33 Si se toma cualquier distribución normal, y cada uno de los valores de x se resta la media, al volver a graficar los datos resultantes, se obtiene una normal que tiene una media, pero conserva la desviación estándar. x a = x i x El siguiente paso es dividir cada valor resultante de la resta, entre la desviación estándar, el resultado es una distribución normal estándar con media y desviación estándar de 1. x a = x i x s -2 2 Si en la distribución original se desea calcular el área (la probabilidad) entre dos valores de una variable, estos dos valores (x 1 y x 2 ), se transforman para que se ubiquen en la normal estándar, los valores se transforman a z 1 y z 2 de la siguiente manera: z 1 = x 1 x s z 2 = x 2 x s x 1 x 1 z 1 z 2

4 Los valores del área de una distribución normal estándar a partir de un valor z, se pueden encontrar en tablas, en programas como el Excel o en paquetes estadísticos, a veces se proporciona el área del valor de z hasta menos infinito o de z a. Valores importantes en la normal estándar z Area es.95 Area es.5 Area es.5 Area es.95 Z= 1.65 Z=.65 El área dentro de la gráfica a la derecha de z=1.65 es de.5 El área dentro de la gráfica a la izquierda de z=.65 es de.5 Area es.975 Area es.25 Area es.25 Area es.875 Z= 1.96 Z= 1.96 El área dentro de la gráfica a la derecha de z=1.96 es de.25 El área dentro de la gráfica a la izquierda de z=.96 es de.25 Si se marca el área a la derecha de z=1.96 y el área a la izquierda de z=.96, en los extremos quedará un área de.5 y al centro quedará un área de.95 Area es.25 Area es.95 Area es.25 Z=.96 Z= 1.96

5 Distribución t-student Se ha demostrado que en muestras pequeñas (menores a 3 observaciones) la media no se distribuye normal, sino t- student, que en términos generales es mas baja que la normal. T-student Normal Una característica de la t-student es que cambia de forma de acuerdo al tamaño de la muestra, es por eso que cada distribución es denominada con sus grados de libertad (n). Para calcular un área es necesario usar tablas, el excel o paquete estadístico. Por ejemplo, en una distribución t con 26 grados de libertad, en el valor t=1.75 queda a la derecha un área de.5 t con 26 gl t con 26 gl T con 18 gl Area de.5 t 26gl = 1.75 Nota: El nombre de la distribución t-student se debe a que le autor lo publicó en un artículo científico, pero por temor a estar equivocado, no quiso poner su nombre, sino que usó el pseudónimo de the student, al ser reconocido el trabajo, ya no se cambió el nombre de la distribución al del autor (como la F de Fisher) y se quedó con ese nombre. Cálculo de la probabilidad en distribución t-student Normal b) Las tablas proporcionan el área de a z. ejemplo: t de student b) Las tablas proporcionan el valor de t (eje horizontal). Ejemplo: t= 2.22 Área.25 z=1.96 a) Se calcula el valor de z (eje horizontal) ejemplo: z= a) Se establecen los grados de libertad, y se establece el área a la derecha del valor t. Ejemplo: área de.25 con 1 gl.

6 Por el tipo de pruebas en que se aplica la prueba t, se establecen los grados de libertad (número de datos menos 1), ese valor se va a localizar en el renglón de la tabla, luego se determina el área que se desea localizar a la derecha del punto t, ese valor se ubica en las columnas de la tabla. El valor resultante al cruzar el renglón y la columna, es la distancia de al punto donde se cumple el área buscada..25 Área a localizar Grados de libertad Distancia de al punto donde se cumple el Distribución ji-cuadrada Dada un distribución normal, si a cada valor de x se le resta la media x i x, el resultado es otra distribución normal con media, la mitad de los datos son positivos y la otra mitad negativos -2 2 En una distribución normal cuya media es, al elevar al cuadrado todos los valores al cuadrado todos los negativos pasarán a ser positivos, y se conforma la distribución ji-cuadrada (chi-cuadrada) x i x 2 media La ji-cuadrada no tiene una forma constante, cambia de acuerdo al número de datos, es por eso que identifica por los grados de libertad. Otra característica de la ji-cuadrada es que no es simétrica respecto al eje, ya que todos los valores son positivos.

7 La varianza y su Distribución ji-cuadrada Dado que la ecuación de la varianza es: s 2 = x i s Para calcular la varianza se siguen los siguientes pasos: x 2 a) A cada valor de la muestra se le resta la media b) Cada resultado de la resta anterior se eleva al cuadrado. c) A todos los valores anteriores se les calcula la media, es decir, se suman y se dividen entre (n). Con esto se concluye que la varianza es la media de la distribución ji-cuadrada. s 2 Probabilidades de la ji-cuadrada a) Se determina la forma de la distribución con los grados de libertad (n) b) Se determina el área que se desea a la derecha del un punto en el eje c) La tabla (o el programa) otorga la distancia de al punto donde se cumple el área (probabilidad) buscada. En la tabla se ubican los grados de libertad en el renglón, el área en la columna y el cruce muestra la distancia en el eje de a punto donde se cumple el área deseada..25 Área a localizar Grados de libertad Distancia de al punto donde se cumple el

8 Distribución F de Fisher Cuando dos valores, a y b, se dividen el primero entre el segundo (a/b), si el resultado es mayor a 1, quiere decir que a es mayor que b, si el resultado es 1, quiere decir que ambos valores son iguales, y si el resultado es menor a 1, quiere decir que a es menos a b. En los diseños experimentales se necesita saber qué valor es mayor, si la varianza causada por el tratamiento o la varianza del error experimental, entonces se procede a dividirlos var de efectos de tratamientos = valor F de Fisher var del error experimental La división de dos variables con distribución ji cuadrada produce un valor (F) con distribución F, que tiene forma similar a la ji-cuadrada, pero que su contorno de modifica de acuerdo a los grados de libertad de cada una de las varianzas, llamadas grados de libertad del numerador (de los tratamientos) y del denominador (del error) F Para las pruebas de diseños experimentales, es necesario calcular la distancia que existe de al punto donde se cumple el área deseada, para lo cual se pueden usar tablas, paquetes estadísticos o Excel. Área de.5 F Tabla para el área de.5 12 Grados de libertad del denominador Grados de libertad del numerador Distancia de al punto donde se cumple el área requerida