PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE

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1 PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE Pruebas de bondad de ajuste xi cuadrada y Kolmogorov-Smirnov Facultad de Ciencias Químicas e Ingeniería, UAEM Simulación de Procesos

2 Contenido Prueba de bondad de ajuste χ Ejemplo de prueba de bondad de ajuste χ Prueba de bondad de ajuste de Kolmogorov-Smirnov... 6 Ejemplo de prueba de bondad de ajuste de Kolmogorov-Smirnov... 6 Conclusiones... 9 Apéndice Bibliografía

3 Prueba de bondad de ajuste χ 2 Esta prueba se utiliza para encontrar la distribución de probabilidad de una serie de datos mediante histograma y tabla de frecuencias. La metodología de la prueba de χ 2 es la siguiente: 1. Se elabora una tabla de frecuencias de m intervalos, a partir de los n datos históricos. Se propone, de acuerdo a la regla de Sturges, que m = log n. Otra forma de determinar el número de intervalos es mediante m = n. Se obtiene la frecuencia observada i de cada intervalo (FO i ). Se calcula la media y la varianza de los datos. De acuerdo a la tabla de frecuencias se grafica el histograma. 2. De acuerdo a la tabla de frecuencias y al histograma, obtenidos en el paso anterior, se propone una distribución de probabilidad. 3. Con la distribución propuesta, se calcula la frecuencia esperada para cada uno de los intervalos (FE i ) mediante la integración de la distribución propuesta y su posterior multiplicación por el número total de datos. 4. Se calcula el estimador, de acuerdo a la siguiente expresión: m C = (FE i FO i ) 2 FE i i=1 5. Si el estimador C es menor o igual al valor correspondiente de χ 2 con m k 1 grados de libertad (k = número de parámetros estimados de la distribución) y a un nivel de confianza de 1 α, la hipótesis de que los datos siguen la distribución propuesta se acepta, y en caso contrario se rechaza y se propone una nueva distribución, repitiendo el procedimiento anterior. Ejemplo de prueba de bondad de ajuste χ 2 1. Los datos en meses del tiempo entre fallas de un automóvil son: Construya un histograma y determine la distribución de probabilidad a un nivel de confianza 1 α = 97.5% con la prueba de bondad de ajuste χ 2 2

4 Se tienen 50 datos, por lo que el número de intervalos es: m = log 50 m = El rango se obtiene a partir del valor máximo y del valor mínimo registrados. En este caso: valor máximo = valor mínimo = rango = valor máximo valor mínimo rango = Una vez calculados el rango y el número de intervalos, se estima el ancho de clase: ancho de clase = rango m ancho de clase = 2.61 A continuación, se procede a construir la tabla de frecuencias y el histograma: Tabla 1. Tabla de frecuencia del ejemplo 1 Número de clase Límite inferior Límite superior Frecuencia Observada (FO)

5 Frecuencia 14 Histograma ,69 36,3 38,91 41,52 44,13 46,74 49,35 Clase Figura 1. Histograma del ejemplo 1 Observando los datos de la columna de frecuencia observada (FO) y la forma del histograma, podemos suponer que los datos siguen una distribución de Weibull. Se trata de un modelo continuo asociado a variables del tipo tiempo de vida, tiempo hasta que un mecanismo falla, etc. La función de densidad de este modelo viene dada por: α f(x) = {αβ α x α 1 e (x β ) si x > 0 0 de otra manera La función de distribución que se propone, se obtiene por la integración de la función de densidad: α F(x) = {1 e (x β ) si x > 0 0 de otra manera Donde α y β son parámetros de forma y escala respectivamente. Por ejemplo, F(x) evaluado para el primer intervalo quedaría de la siguiente forma: F(x) = 1 e (x β ) α lím. sup. lím. inf. 4

6 Definiendo α = 6.31 y β = 40.09, y evaluando desde el límite inferior hasta el límite superior del primer intervalo F(x) 1 = [1 e ( ) 6.31 ] [1 e ( ) 6.31 ] De este modo, la frecuencia esperada es: F(x) 1 = FE 1 = n F(x) 1 FE 1 = 50(0.1019) = De manera similar se procede para el resto de las clases y se construye la siguiente tabla de FO i vs FE i Tabla 2. Tabla comparativa entre frecuencias observadas y frecuencias esperadas de acuerdo al modelo propuesto. Número Límite Límite FEi = FOi F(x)i de clase inferior superior n*f(x)i Finalmente, se calcula el estimador, de acuerdo a la siguiente expresión: m C = (FE i FO i ) 2 FE i i=1 C = El estimador C comparado con el valor de la tabla puntos porcentuales de la distribución ji 2 cuadrada con υ grados de libertad (Ver apéndice) χ 0.025, 4 = 11.14, es menor, por lo tanto, se acepta la hipótesis de que el tiempo transcurrido entre fallas de un automóvil se comporta de acuerdo a la distribución de Weibull propuesta, con un nivel de confianza del 97.5%. 5

7 Prueba de bondad de ajuste de Kolmogorov-Smirnov Esta prueba también es utilizada para encontrar la distribución de probabilidad y, a diferencia de la prueba de bondad de ajuste de χ 2, esta prueba trabaja con la distribución de probabilidad acumulada. La metodología es la siguiente: 1. Se elabora una tabla de frecuencias de m intervalos, a partir de los n datos históricos. Se propone, de acuerdo a la regla de Sturges, que m = log n. Otra forma de determinar el número de intervalos es mediante m = n. Se obtiene la frecuencia observada i de cada intervalo (FO i ). Se calcula la media y la varianza de los datos. 2. A continuación, se obtiene la probabilidad acumulada observada i (PO i ), resultado de dividir la frecuencia observada de cada intervalo por el número total de datos. 3. Se calcula la probabilidad acumulada observada de cada intervalo (PAO i ) del paso anterior. 4. Se propone una distribución de probabilidad de acuerdo con la forma de la tabla de frecuencias obtenida en el paso Con la distribución propuesta se calcula la probabilidad esperada para cada uno de los intervalos (PE i ) mediante la integración de la distribución propuesta. 6. Se calcula la probabilidad acumulada esperada (PAE i ) para cada intervalo de clase. 7. Se calcula el valor absoluto entre (PAE i ) para cada intervalo y se selecciona la máxima diferencia, llamándola DM. 8. El estimador DM se compara con un valor límite correspondiente a la tabla 1 anexada en el presente documento, con n datos y a un nivel de confianza de 1 α. Si el estimador DM límite de la tabla 1, la distribución propuesta se acepta, en caso contrario se rechaza y se propone una nueva distribución. Ejemplo de prueba de bondad de ajuste de Kolmogorov-Smirnov El número de horas de vida de un componente electrónico se comporta de acuerdo con los datos históricos siguientes:

8 Construya un histograma y determine la distribución de probabilidad de los datos a un nivel de confianza 1 α = 90% utilizando la prueba de bondad de ajuste de Komolgorov- Smirnov. Se tienen 50 datos, por lo que el número de intervalos será igual a m = log 50 m = Se obtiene la media, varianza y desviación estándar para la presente muestra de datos: μ = σ 2 = σ = 5.53 Análogo al problema anterior, se construye la tabla de frecuencia observada, incluyendo además las columnas de probabilidad observada y probabilidad observada acumulada. PO i = FO i n POA i = PO i Tabla 3. Tabla de frecuencia observada, probabilidad observada y probabilidad observada i m=1 acumulada. Número Límite Límite de clase inferior superior FO PO POA

9 f(x)=p(x) A partir de los datos de probabilidad acumulada, se obtiene el siguiente gráfico de densidad: 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 Función de densidad f(x) 0 140,55 144,5 148,45 152,4 156,35 160,3 164,25 x Observando los datos se puede pensar que siguen una distribución normal con media de y desviación estándar de La función normal no es integrable, así que se utilizará la tabla normal estándar. De tabla normal estándar, se lee la probabilidad acumulada desde hasta z i. Por ejemplo, para el primer intervalo: z 1 = LS 1 μ σ = z i = (x i μ) σ = Con ayuda de la función de Excel DISTR.NORM.ESTAND.N (z; acumulado) se busca el valor correspondiente a la probabilidad esperada acumulada (PEA) desde hasta es de para una distribución normal estándar. El procedimiento es similar para los demás intervalos. 8

10 Número de Límite z PEA clase superior Finalmente se estima POA-PEA y se determina la diferencia máxima DM Tabla 4. Tabla de Probabilidad Esperada Acumulada Número Límite FO PO POA z PEA POA-PEA de clase superior DM = El valor de DM se compara con la d 5%,50 = (ver tabla Valores Críticos de Kolmogorov-Smirnov). Como DM es menor, se acepta la hipótesis de que los datos siguen una distribución normal con media de y desviación estándar de 5.53 a un nivel de confianza del 95%. Conclusiones El método de prueba de bondad de ajuste de chi cuadrada es idóneo cuando se tienen distribuciones de fácil integración, tal es el caso de la distribución uniforme. En contraste, para una distribución normal, es preferible trabajar con el método de bondad de ajuste de Kolmogorov-Smirnov, dado que este método emplea el cálculo de probabilidad esperada 9

11 acumulada y hace una comparación más directa entre ésta y la probabilidad observada acumulada. Apéndice 10

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13 Bibliografía Azarang, M. R., & García Dunna, E. (1998). Simulación y análisis de modelos estocásticos. México: McGraw Hill. 12