7. FRACCIONES FACTORIALES 7.2 DISEÑOS FRACCIONADOS 7.1 INTRODUCCION

Transcripción

1 7. FRACCIONES FACTORIALES 7.1 INTRODUCCION Si el número de factores a estudiar no es reducido los planes factoriales equilibrados (por ejemplo, los planes 2 k ) exigen un número muy elevado de pruebas. Por ejemplo, en un estudio para mejorar el proceso de activación de un catalizador con el fin de aumentar su productividad en el reactor. Factores potencialmente interesante (Asociados sobre todo a diferentes parámetros del perfil de temperatura en el activador): 11 Factores, lo que nos da un numero de combinaciones de 2 11 = Realizar 2048 pruebas resulta un numero muy grande de pruebas, mas sin embargo es posible realizar este experimento solo realizando 16 pruebas adecuadamente escogidas entre las 2048 posibles, con lo que se podrá estimar los efectos simples de los once factores. Para esto, se recomienda emplear los diseños fraccionados. 7.2 DISEÑOS FRACCIONADOS En principio un plan 2 k permite estudiar un número muy elevado de posibles efectos. Por ejemplo a partir de los 64 resultados de un diseño 2 6 es posible estudiar: 6 Efectos Simples 15 Interacciones Dobles 20 Interacciones Triples 15 Interacciones Cuádruples 6 Interacciones Quíntuples 1 Interacción Séxtuplo Cada uno de estos efectos se estima con una gran precisión, como la diferencia entre las medias de dos conjuntos de 32 observaciones cada uno. La mayor parte de estos 63 efectos serán inexistentes (vg. muy posiblemente todas las interacciones de orden mayor que 2 y muchas de las interacciones dobles). Además la precisión obtenida puede ser innecesariamente elevada para el estudio. El uso de 99

2 los diseños fraccionados, permiten reducir el tamaño de la experimentación, sacrificando la precisión y la posibilidad de estudiar interacciones de orden elevado. 7.3 DISEÑO FRACCIÓN UN MEDIO 2 k-1 El diseño fracción un medio consiste en tomar la mitad de combinaciones de un diseño 2 k completo. Se recomienda usarlo en las primeras faces de la experimentación y es útil cuando el diseño es de 4 a 6 factores PROCEDIMIENTO PARA OBTENER UN DISEÑO FRACCION UN MEDIO Supongamos que se quiere investigar la influencia de 4 factores en una variable de respuesta, por lo que las combinaciones de un 2 4 se pueden ver en la tabla 7.1. De las 16 combinaciones de la tabla 7.1, se debe escoger adecuadamente 8 combinaciones para realizar un diseño fraccionado un medio. Y con esas 8 combinaciones estimar los efectos simples de los 4 factores y alguna que otra interacción doble. Para seleccionar las 8 combinaciones, no se recomienda seleccionar las primeras ocho, ni las últimas ocho, ya que el factor D solo se estudiaría en un solo nivel y no seria posible conocer su efecto promedio. Lo primero es que un requisito deseable que deben satisfacer las 8 pruebas seleccionadas es que todos los factores se hayan presentado en ellas 4 veces a nivel bajo ( -) y 4 veces a nivel alto ( +), como se muestra en las filas no sombradas de la tabla 7.2. El problema de la selección de las combinaciones que están señaladas por las filas no sombreadas es que, a pesar de que todos los factores se estudian cuatro veces a nivel bajo ( -) y 4 veces a nivel alto ( +), los efectos de los factores A y B (estarían) "confundidos" debido a que tendrían los mismo signos y con esto no sería posible saber si un efecto observado se debe a uno u otro (o, incluso, si ambos fueran igual de importantes, pero de signo contrario en el experimento no se detectaría efecto alguno). Si sucede esto significa que el diseño no es ortogonal. Una solución de seleccionar las 8 combinaciones se puede ver en la tabla 7.3, nótese que si se seleccionan las pruebas 1, 4, 6, 7, 10, 11, 13 y 16 todos los efectos simples son ortogonales entre si y ortogonales además a las interacciones dobles. La forma o el procedimiento con que se seleccionaron las 8 combinaciones es como se describe en la sesión

3 Prueba A B C D Tabla 7.1 Combinaciones de un diseño Metidos de construcción de un diseño fraccionado un medio Primer Método Construir el plan completo asociado a k-1 de los factores (que tendrá 2 k-1 pruebas) y asociar el factor restante a la interacción entre los k-1 primeros. En el caso de 4 factores se genera un diseño completo 2 3 como se muestra en la tabla 7.4. Posteriormente el factor D es generado por los signos de la multiplicación de los factores A, B Y C, como se muestra en la tabla

4 Prueba Código A B C D 1 (1) a b ab c ac bc abc d ad bd abd cd acd bcd abcd Tabla 7.2 Los efectos de los factores A y B están confundidos Método Dos Construir un plan 2 k y seleccionar solo las pruebas que correspondan al signo positivo ( o al signo negativo) de la interacción de orden más elevado. En el caso de 4 factores, la interacción de orden mayor es la interacción cuádruple, así que las combinaciones de un diseño completo 2 4 se pueden ver en la tabla 7.6. Los signos de la interacción del orden cuádruple se pueden ver en la tabla 7.7. En esta tabla las combinaciones que están sombreadas corresponden a las combinaciones seleccionadas 102

5 Prueba Código A B C D 1 (1) a b ab c ac bc abc d ad bd abd cd acd bcd abad Tabla 7.3 Las ocho combinaciones adecuadas para un diseño fraccionado. para la construcción de un diseño fracción un medio para 4 factores, misma en la que la Interaccion ABCD esta en nivel alto (+). Nótese que las ocho combinaciones seleccionadas en la tabla 7.7 son las mismas que las seleccionadas en la tabla

6 Prueba A B C Tabla 7.4 Generando un diseño completo 2 3 Prueba A B C D=ABC Tabla /.5 Combinaciones de un diseño Una consecuencia de hacer D=ABC o de seleccionar las combinaciones donde la interacción ABCD es solo positiva, es que la interacción ABCD no podrá ser estudiada en el análisis. En este caso la interacción cuádruplo ABCD se convierte en el generador del diseño fraccionado. Por construcción el factor D esta confundido con la interacción ABC. Igualmente cada uno de los restantes efectos simples estará confundido con la interacción triple entre los otros tres factores. 104

7 Prueba A B C D Tabla 7. 6 Combinaciones de un diseño 2 4 Prueba A B C D ABCD Tabla 7. 7 Combinaciones de un diseño Análogamente la interacción doble entre cada par de factores estará confundida con la existente entre la otra pareja de factores. Al efecto utilizado para construir la fracción (es decir, al que tiene el mismo signo en todas las pruebas, en el ejemplo ABCD) se denomina generador de la fracción. El número de letras del generador se denomina resolución de la fracción expresándose en números romanos, en el ejemplo el diseño es de resolución IV. 105

8 REQUISITOS PARA UN FRACCION ADECUADA Una fracción factorial permite estudiar el efecto de k factores con el menor número de pruebas que el que exigiría un plan factorial completo (la reducción en el número de pruebas puede ser muy importante) A cambio de: 1.- No poder estudiar ciertos efectos (los generadores de la fracción que son en general interacciones de orden elevado). 2.-Confundir entre si algunos efectos de los que se pueden estudiar (por ejemplo, el efecto simple de A con la interacción BCD o la interacción AB con la CD). Una "buena" fracción factorial debe: 1.- No confundir nunca efectos simples entre si 2.-Procurar no confundir efectos simples con interacciones dobles. 3.-De ser posible, no confundir tampoco interacciones dobles entre si. Regla practica para estudiar la confusión de efectos. 1.-Al efecto utilizado para construir la fracción (es decir, al que tiene el mismo signo en todas las pruebas) se denomina generador de la fracción. El número de letras del generador se denomina resolución de la fracción expresándose en números romanos. 2.-Los planes 2 k-1 tiene un sólo generador que normalmente es la interacción de orden más elevado. Los planes 2 k-p, cuyo número de pruebas es menor que la mitad del plan completo (por ejemplo la cuarta o la octava parte), tiene varios generadores. 106

9 3.-El efecto asociado al generador no puede estudiarse. 4.-Cualquier otro efecto esta confundido con el que resulta de multiplicar las letras del efecto por las del generador y tachar los cuadrados. En ejemplo: generador ABCD (resolución IV) A se confunde con: A*ABCD=A 2 BCD=BCD AB con: AB*ABCD = A 2 B 2 CD = CD De acuerdo con esta regla: En las fracciones de resolución III por lo menos un efecto simple estará confundido con alguna interacción doble. En las fracciones de resolución IV los efectos simples no estarán confundidos con interacciones dobles. En las fracciones de resolución V (generadores de cinco letras) las interacciones dobles no estarán confundidas entre sí. 7.4 EJEMPLO DE UN DISEÑO FRACCION UN MEDIO Con el objetivo de mejorar el rendimiento de un proceso de manufactura de un circuito integrado, se investigaron 5 factores un diseño Los cinco factores fueron A=apertura del diafragma (pequeña, grande), B=tiempo de exposición (20% abajo y arriba del nominal), C=tiempo de revelado (30,45 seg), D= Dimensión de la pantalla (pequeña, grande), E=tiempo de corrosión selectiva (14.5 y 15.5 seg). A continuación se presenta la construcción del diseño, los resultados del diseño de experimentos se pueden ver en la tabla

10 corrida A B C D E RENDIMIENTO Tabla 7.8 Resultados del diseño para el rendimiento de un proceso SOLUCION ESTADISTICA DEL DISEÑO FRACCION UN MEDIO Primeramente se obtienen los efectos promedios hasta el segundo orden, a partir de estos diseños ya no se estudiaran las interacciones triples hacia adelante (ver tabla 7.9), los cuales son graficados en el diagrama de Pareto Normal de la figura 7.1. Al igual como se vio en los diseños no replicados, no hay suficientes grados de libertad para estimar el error y por consecuencia no es posible saber cuales efectos son significativos. Pero siguiendo las mismas indicaciones como se vio en los diseños no replicados encontramos que el mejor anova o mejor Pareto estandarizado del diseño son los que se encuentran en la tabla 7.9 y en la figura 7.2, respectivamente. 108

11 Efectos estimados para Rendimiento Efecto Estimado promedio A:Aper Diafragma B:T exposicion C:T revelado D:Dim pantalla E:T corrosion AB AC AD AE BC BD BE CD CE DE Tabla 7.9 Efectos promedios Diagrama de Pareto para Rendimiento B:T exposicion A:Aper Diafragma C:T revelado AB DE CD AD AE D:Dim pantalla BC E:T corrosion CE AC BD BE Efecto Figura 7.1 Diagrama de Pareto Normal 109

12 Diagrama de Pareto Estandarizada para Rendimiento B:T exposicion + - A:Aper Diafragma C:T revelado AB Efecto estandarizado Figura 7.2 El mejor Pareto estandarizado Análisis de Varianza para Rendimiento Fuente Suma de Cuadrados Gl Cuadrado Medio Razón-F Valor-P A:Aper Diafragma B:T exposicion C:T revelado AB Error total Total (corr.) R-cuadrada = porciento R-cuadrada (ajustada por g.l.) = porciento Tabla 7.9 El mejor anova para rendimiento Para un α=0.05, los efectos significativos son los efectos simples de Apertura de Diafragma, el Tiempo de Exposición y El tempo de revelado. Además, también es significativa la interacción de la Apertura de Diafragma y Tiempo de Exposición (ver tabla 7.9) 110

13 Rendimiento Rendimiento Rendimiento ANALISIS COMPLEMENTARIOS DEL DISEÑO FRACCION UN MEDIO GRAFICAS DE LOS EFECTOS PROMEDIO E INTERACCIONES SIGNIFICATIVAS Gráfica de Efectos Principales para Rendimiento Gráfica de Efectos Principales para Rendimiento Aper Diafragma T exposicion 1.0 Figura 7.3 Grafica de efectos promedio para Apertura del Diafragma Figura 7.4 Grafica de efectos promedio para Tiempo de Exposición Gráfica de Efectos Principales para Rendimiento T revelado 1.0 Figura 7.5 Grafica de efectos promedio para Tiempo de Revelado 111

14 Rendimiento Con base a las graficas de efectos promedio de las figuras 7.3, 7.4, y 7.5, se puede concluir que para maximizar el rendimiento se debe trabajar el proceso en un nivel alto (+) de la Apertura del Diafragma, en un nivel alto (+) del Tiempo de Exposición y un nivel alto (+) para el Tiempo de revelado. Gráfica de Interacción para Rendimiento T exposicion= T exposicion= T exposicion=-1.0 T exposicion= Aper Diafragma 1.0 Figura 7.6 Grafica de interacción de Apertura de Diafragma y Tiempo de Exposición Con base a la grafica de interacción de la Apertura del Diafragma y el Tiempo de Exposición, para maximizar el rendimiento se recomienda usar un nivel alto (+) de Apertura del Diafragma y un nivel alto (+) de Tiempo de Exposición. Con base a las recomendaciones de los efectos promedio y las recomendaciones de la grafica de interacción, se puede concluir que para maximizar el rendimiento de un proceso, se debe trabajar la Apertura de Diafragma en el nivel alto (+), el Tiempo de Exposición en el nivel alto (+) y un Tiempo de Revelado en nivel alto (+). 112

15 T revelado MODELO DE REGRESION Y GRAFICA DE RESPUESTA La expresión 7.1 corresponde al modelo de regresión para el rendimiento del proceso. En la figura 7.7 esta la grafica de respuesta para el rendimiento. Sustituyendo los valores de la Apertura de Diafragma en el nivel alto (+), el Tiempo de Exposición en el nivel alto (+) y un Tiempo de Revelado en nivel alto (+) en la expresión 7.1, encontramos el promedio de máximo rendimiento que se ilustra en la figura 7.7. Rendimiento = *Aper Diafragma *T exposición *T revelado *Aper Diafragma*T exposición (7.1) Gráfica de Cubo para Rendimiento Dim pantalla=0.0,t corrosion= Aper Diafragma T exposicion Figura 7.7 Grafica de Respuesta para Rendimiento de un proceso 113

16 residuo residuo residuo SUPUESTOS DEL DISEÑO SUPUESTO DE VARIANZA CONSTANTE En las figuras 7.8, 7.9, 7.10, están las gráficas de verificación de la varianza constante de los efectos Apertura de Diafragma, Tiempo de Exposición y Tiempo de Revelado, respectivamente. Nótese que en ninguna grafica se presenta algún patrón inusual, por lo que podemos concluir que se cumple el supuesto de varianza constante. Gráfica de Residuos para Rendimiento Gráfica de Residuos para Rendimiento Aper Diafragma T exposicion Figura 7.8 Varianza constante de Apertura de Diafragma Figura 7.9 Varianza constante de Tiempo de Exposición Gráfica de Residuos para Rendimiento T revelado Figura 7.10 Varianza constante de Tiempo de Revelado 114

17 residuo porcentaje SUPUESTO DE INDEPENDECIA Y NORMALIDAD DE RESIDIOS En la gráfica de la figura 7.11 se puede ver la grafica de independência de residuos, en la cual se pude ver que no hay ningún problema. Tampoco se presenta ningún patrón inusual en la normalidad de los resíduos (ver figura 7.12). Gráfica de Residuos para Rendimiento Gráfico de Probabilidad Normal para Residuos número de corrida residuos Figura 7.11 Independencia de Residuos Figura 7.12 Normalidad de los Residuos 115