CAPITULO 6 DISEÑOS FACTORIALES 2 K

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1 CAPITULO 6 DISEÑOS FACTORIALES 2 K 6.1 Generalidades Los diseños factoriales 2 K son una clase especial de los diseños factoriales en los que se tienen k factores de interés a dos niveles cada uno. Son especialmente útiles en las etapas iniciales de la investigación para determinar, de un gran número de factores candidatos, cuales son los que realmente influyen sobre la variable respuesta. Se llaman diseños factoriales 2 k porque se quiere investigar la forma como influyen k factores sobre una variable respuesta y en cada factor se consideran dos niveles solamente. La réplica completa de un diseño de este tipo requiere 2 x 2 x x 2 2 k observaciones y recibe el nombre de diseño factorial 2 k. El diseño 2 k son muy útiles en las primeras etapas del trabajo experimental, cuando se investiguen muchos factores pero, probablemente todos ellos no influyen realmente sobre la variable respuesta. Esto diseño proporciona el número más pequeño de corridas para estudiar simultáneamente k factores en un diseño factorial completo. Dado que sólo existen dos niveles para cada factor, es necesario suponer que la respuesta es aproximadamente lineal sobre el rango de los niveles seleccionados para el factor. Así, este tipo de diseño experimental es la forma más económica de estudiar el efecto combinado de k factores. Los niveles de cada factor pueden ser cualitativos o cuantitativos y se denotan como Alto y Bajo o mas (+) y menos (-). A continuación se enumeran algunas de las razones por las cuales se estudian los diseños factoriales 2 k por separado: Es la forma más económica y barata de estudiar el efecto de k factores de interés sobre una variable respuesta. Existen procedimientos especiales que simplifican los cálculos matemáticos en los diseños 2 k Los diseños 2 k se pueden fraccionar. Esta característica permite correr solo una fracción (la mitad, la cuarta parte, etc) del diseño completo y responder algunas inquietudes del fenómeno que se estudia. Constituyen la base de otros diseños más complejos que se verán más adelante en el curso. El modelo de regresión lineal para un diseño 2 k es muy fácil de obtener a partir del ANOVA. Esto se verá detalladamente más adelante.

2 6.1.1 Definiciones y diseño 2 2 Es el tipo más sencillo de diseño experimental 2 k. En este diseño se tienen dos factores A y B, cada uno con dos niveles. Lo usual es considerar estos niveles como los niveles bajo y alto del factor. El diseño 2 2 se suele representar por un cuadrado como el que se ilustra en la Figura 6.1 Alto (+) b ab Bajo (-) (1) a Bajo (-) Alto (+) Figura 6.1 Representación geométrica del diseño 2 2 A esta representación se le conoce como representación geométrica del diseño 2 2. Es esta representación, cada vértice del cuadrado corresponde a una combinación diferente de tratamientos (niveles) en el diseño factorial. En la Figura 6.1 se aprecia una notación especial para etiquetar las combinaciones de tratamiento en el diseño 2 2. Esta notación de letras minúsculas se utiliza, en general, para todos los diseños 2 k y se conoce como notación de Yates. Si una letra está presente, el factor correspondiente se corre con el nivel alto en dicha combinación de tratamiento; si está ausente, el factor se corre con su nivel bajo. Por ejemplo, la combinación de tratamiento a indica que el factor A está en el nivel alto, y el factor B en el nivel bajo. La combinación de tratamiento donde ambos factores tienen el nivel bajo está representado por (1). Esta notación se emplea en todas las series de diseños 2 k. Por ejemplo, la combinación de tratamiento en un diseño 2 4 con A y C en el nivel alto, y B y D en el nivel bajo, se denota por ac. Los efectos de interés en el diseño 2 2 son los efectos principales A y B, y la interacción entre los dos factores AB. Si suponemos que las letras (1), a, b y ab representan los totales de todas las n observaciones tomadas en los puntos de diseño, es sencillo estimar los efectos de estos factores. Para estimar el efecto principal de A, se promedian las observaciones del lado derecho del cuadrado de la Figura 6.1, donde A

3 tiene el nivel alto, y se resta de éste el promedio de las observaciones que están en el lado izquierdo del cuadrado, donde A tiene el nivel bajo, o A a + ab b + (1) 1 y A + y A [ a + ab b ( 1) ] (6-1) 2n 2n 2n De igual forma, el efecto principal de B se obtiene al promediar las observaciones de la parte superior del cuadrado, donde B tiene el nivel alto, y se resta de éste el promedio de las observaciones que están en la parte inferior del cuadrado, donde B tiene el nivel bajo: B b + ab a + (1) 1 y B + y B [ b + ab a ( 1) ] (6-2) 2n 2n 2n Finalmente, la interacción AB se estima tomando la diferencia en los promedios de la diagonal de la Figura 6.1, o ( 1) ab + a + b) 1 AB 1 2n 2n 2n [ ab + ( ) a b] (6-3) Debido a que la cantidad dentro de corchetes cuadrados en las ecuaciones (6-1), (6-2) y (6-3) aparece con frecuencia en los diseños 2 2, resulta conveniente hacer las siguientes definiciones: [ a + ab ( 1) ] Contraste A b (6-4) [ b + ab ( 1) ] Contraste B a (6-5) [ ab + ( ) a b] Contraste AB 1 (6-6) La manera practica de calcular los contrastes de cualquier efecto (principal o de interacción) es a partir de la tabla de signos. Esta tabla, para el diseño 2 2 se muestra a continuación:

4 A B AB Notación de Yates (1) a b ab Tabla 6.1 Tabla de signos para el diseño 2 2 y notación de Yates Observe que la tabla de signos (Tabla 6.1) que la interacción AB se obtiene multiplicando la columna con los signos de A por la columna con los signos de B y, el resultado son los signos del contraste AB [ver ecuación (6-6)]. Para generar un contraste a partir de esta tabla, se multiplican los signos de la columna apropiada de la Tabla 6.1 por las combinaciones de tratamientos que aparecen en la columna de notación de Yates, y luego se suma. Por ejemplo, contraste AB [(1)] + [-a] + [-b] ab + (1) a b. Los contrastes se emplean en el cálculo de las estimaciones de los efectos y en las sumas de cuadrados de A, B y la interacción AB. Las fórmulas para las sumas de cuadrados son SC SC SC [ a + ab b ( 1) ] [ Contraste ] 2 2 A 4n 4 A (6-7) n [ b + ab a ( 1) ] [ Contraste ] 2 2 B 4n 4 B (6-8) n [ ab + ( 1) a b] [ Contraste ] 2 2 AB 4n 4 AB (6-9) n Para los diseños 2 2, tal vez no se ve muy útil la tabla de signos. Sin embargo, en la medida que aumenta la cantidad de factores en el diseño 2 k, la utilidad de la tabla de signos se hace más evidente. El Análisis de Varianza para el diseño 2 2 totales: se completa con la suma de cuadrados 2 2 n 2 2 y SC T yijk (6-10) 4n i 1 j 1 k 1 Y la suma de cuadrados de los errores que se obtiene por diferencia:

5 SC E SC SC SC SC (6-11) T AB A B El ANOVA completo para el diseño 2 2 se muestra en la Tabla 6.2 a continuación: Fuente de Variación Suma de Cuadrados Grados de libertad Media de cuadrados F 0 Valor P [ a + ab b ( 1) ] [ Contraste ] 2 Factor A A SC 2 A 4n 4 1 n MC A SC 1 A MC A F 0 Probabilidad MC E [ b + ab a ( 1) ] [ Contraste ] 2 Factor B B Interacción AB SC SC 2 B 4n 4 1 n [ ab + ( 1) a b] [ Contraste ] 2 2 AB 4n 4 AB 1 n SC MC B 1 B SC MC AB 1 AB MC B F 0 Probabilidad MC E MC AB F 0 Probabilidad MC E Error SC E SCT SCAB SCA SC 4(n-1) B MC E SC E 4( n 1) Total 2 2 n 2 2 SC T yijk 4n-1 i 1 j 1 k 1 4n y Tabla 6.2 Tabla ANOVA para un diseño factorial Diseño 2 3 En los diseños factoriales 2 3 se tienen tres factores de interés A, B y C a dos niveles cada uno. Las ocho corridas o tratamientos del diseño 2 3 se pueden representar geométricamente como un cubo similar al que se muestra en la figura siguiente:

6 bc abc Alto + c ac Factor C b ab Alto + Bajo (1) a Bajo Factor B Bajo Factor A + Alto Figura 6.2 Representación geométrica del diseño 2 3 Cada arista del cubo corresponde a una corrida o combinación de tratamientos diferente. En la Figura 6.2 también se puede apreciar la notación de Yates para los diseños 2 3, en esta notación las ocho corridas se representan por (1), a, b, ab, c, ac, bc y abc. Al igual que el los diseños 2 2, el efecto principal A puede estimarse promediando las cuatro combinaciones de tratamiento de la cara derecha del cubo, donde el nivel A es alto, y después restando de esta cantidad el promedio de las cuatro combinaciones de tratamientos que están en la cara izquierda del cubo, donde A tiene el nivel bajo. Al hacer esto se tiene: A y A+ y A a + ab + ac + abc 4n 1 4n ( 1) + b + c + bc 4n [ a + ab + ac + abc (1) b c bc] (6-12) De manera similar, el efecto de B se puede determinar como la diferencia en promedios entre las cuatro combinaciones de tratamientos de la cara posterior del cubo (Figura 6.2) y las cuatro combinaciones de la cara anterior. Con esto se tiene que B y B y B 1 4n [ b + ab + bc + abc ( ) a c ac] + 1 (6-13)

7 El efecto de C es la diferencia en la respuesta promedio entre las cuatro combinaciones de tratamientos de la cara superior del cubo (Figura 6.2) y las cuatro de la cara inferior, esto es, C y C y C 1 4n [ c + ac + bc + abc (1 a b ab] + ) (6-14) Los efectos de interacción también se pueden obtener con facilidad. La interacción entre A y B se puede obtener como la diferencia entre los promedios de los efectos de A en los dos niveles de B. Es decir: B alto (+) B bajo (-) EfectoA EfectoA Efecto de A promedio Para B+ Para B [( abc bc) + ( ab b) ] 2n {( ac c) + [ a ( 1) ]} 2n Luego la interacción entre A y B es: AB EfectoA EfectoA 2 Para B+ Para B [ abc bc + ab b ac + c a + ( 1) ] 4n (6-15) De manera analoga se pueden obtener la interacción AC y BC AC BC EfectoA EfectoA 2 Para C+ Para C EfectoB EfectoB 2 Para C+ Para C [(1) a + b ab + c ac + bc abc] 4n [(1) + a b ab c ac + bc + abc] 4n (6-16) (6-17) En la Figura 6.3 se ilustra gráficamente los terminos involucrados en el cálculo de los efectos principales y de interacción en un diseño factorial 2 3.

8 c bc bc abc b ac + c ab b ac + abc c ab bc (1) a (1) a (1) a Efectos principales A, B y C bc bc abc abc c ac c ac + c + + b b ab ab b + bc b ac + ac abc ab abc ab (1) a (1) a (1) a Interacciones de dos factores: AB, AC y BC c bc b ac abc ab Corridas Corridas + (1) a Interacción de tres factores Figura 6.3 Calculo de los efectos principales y de interacción en un diseño 2 3 La Figura 6.3 muestra los vértices del cubo (tratamientos) que deben ir positivos y/o negativos para el cálculo de cada efecto. Estos signos concuerdan con los obtenidos anteriormente en las ecuaciones de la (6-12) a la (6-17) y los que se verán más adelante en la tabla de signos que se verá más adelante (Tabla 6.4). Finalmente, la interacción ABC se obtiene como: ABC [ abc-bc -ac+c-ab+b+a-(1)] 4n (6-18) A pesar de que para los diseños factoriales 2 2 y 2 3 se puede representar geométricamente en un cuadrado y un cubo respectivamente, el cálculo de los contrastes y de los efectos se puede obtener más fácilmente a partir de la tabla de signos mostrada a continuación:

9 Tratamiento Yates A B C AB AC BC ABC 1 (1) a b ab c ac bc abc Tabla 6.3 Tabla de signos para el diseño 2 3 y notación de Yates En la tabla de signos (Tabla 6.4) se puede obtener con facilidad los signos para los contrastes de interacción, multiplicando las columnas adecuadas de los efectos principales. Así, por ejemplo, la columna con los signos de interacción AC se puede obtener multiplicando la columna de A con la columna C renglón a renglón. Y el contraste AC, resulta simplemente de multiplicar la columna de Yates en la Tabla 6.4 por la columna de signos AC: Contraste AC [ 1 a + b ab + c ac + bc abc] ( ) (6-19) La suma de cuadrados y efectos para la construcción del ANOVA se pueden obtener a partir de las formulas: Contraste Efecto (6-20) 4n ( Contraste) 2 SC (6-21) 8n Diseño 2 k Después de tratar los diseños 2 2 y 2 3 con cierto detalle, nos proponemos a explicar el caso general de los diseños 2 k. En estos diseños, tenemos k factores de interés. La tabla de signos (para k 6) se muestra a continuación:

10 Tratamiento Yates A B C D E F Tratamiento Yates A B C D E F 1 (1) f a af b bf ab abf c cf ac acf bc bcf abc abcf d df ad adf bd bdf abd abdf cd cdf acd acdf bcd bcdf abcd abcdf e ef ae aef be bef abe abef ce cef ace acef bce bcef abce abcef de def ade adef bde bdef abde abdef cde cdef acde acdef bcde bcdef abcde abcdef Tabla 6.4 Tabla de signos para el diseño 2 k k 6 y notación de Yates En la tabla de signos (Tabla 6.4 ) muestra un patrón de construcción bien definido: la columna del primer factor, A inicia alternando los signos más (+) y menos (-) iniciando con el signo menos; la segunda columna alterna dos signos menos con dos signos más, iniciando con dos signos menos; la tercera columna (la de C) alterna 4 signos menos con 4 signos más iniciando con 4 signos menos, y así sucesivamente. En general, el procedimiento para hallar un contraste es el mismo que se empleo para los diseños 2 2 y 2 3. Por ejemplo, si se tienen 4 factores de interés en un diseño 2 4 se toman las 6 primeras columnas de la Tabla 6.4 para obtener la siguiente tabla:

11 Tratamiento Yates A B C D AB 1 (1) a b ab c ac bc abc d ad bd abd cd acd bcd abcd Tabla 6.5 Tabla de signos para el diseño 2 4 Si se desea el contraste AB, simplemente se multiplican los signos de la columna A por los signos de la B renglón a renglón y posteriormente el resultado de esta columna se multiplica por la columna de Yates. El resultado final es el siguiente: Contraste AB [(1) a b + ab + c ac bc + abc + d ad bd + abd + cd acd bcd + abcd] (6-22) De la misma forma se pueden obtener los demás contrastes para el cálculo de efectos [Ecuación (6-23)] y la suma de cuadrados [Ecuación (6-24)] para el Análisis de Varianza. Contraste Efecto (6-23) k n2 1 ( Contraste) 2 SC (6-24) k n Modelo de Superficie de Respuesta para un diseño 2 k Un aspecto interesante de los diseños factoriales 2 k es que si se codifican las variables al intervalo [-1,1] entonces, se puede obtener el modelo de regresión correspondiente con relativa facilidad. Consideremos por ejemplo el diseño 2 2. En este diseño se tienen

12 dos efectos principales, A y B correspondiste es: y la interacción AB. El modelo de regresión y β + (6-25) 0 + β1x1 + β2x2 β12x1x2 Donde x 1 representa el factor A, x 2 representa el factor B, y el producto entre x 1 y x 2 representa la interacción entre A y B. Los parámetros del modelo de regresión, β 1, β 2, β 12 se pueden demostrar que son iguales a la mitad de las estimaciones de los efectos correspondientes, mientras que β 0 es igual a la gran media. En general, se tiene que: Efecto en ANOVA Cualquier Parámetro en el modelo de Regresión (6-26) 2 Y β gran promedio promedio de todas las observaciones (6-27) 0 Se debe recordar que los valores de las variables en el modelo de regresión están codificadas al intervalo [-1, 1]. Esto quiere decir que si se quiere expresar el modelo en las unidades en las que realmente se mide la variable se debe hacer la transformación correspondiste. Esta transformación se ilustra en la figura siguiente: Factor en escala normalizada +1 Bajo Alto Factor en escala real -1 Figura 6.4 Transformación usada para encontrar el modelo de regresión en un diseño 2 k Esto nos lleva a la ecuación de transformación:

13 x cod xreal Bajo Alto 2. (6-28) Alto Bajo La cual se puede utilizar para obtener el modelo de regresión en las unidades originales en las que se miden los factores de interés. Esto transforma la ecuación (6-25) en el modelo: 2xA ABajo A y β + 0 β1 AAlto ABajo 2xA ABajo A + β 12 AAlto ABajo Alto Alto 2xB BBajo B + β 2 BAlto BBajo 2xB BBajo B BAlto BBajo Alto Alto + (6-29) Sin embargo, siempre se prefiere trabajar el modelo con las variables codificadas (en el intervalo [-1,1]) Si los factores son cuantitativos, el modelo de regresión, se puede utilizar, con toda confianza, para predecir el valor de la variable respuesta para cualquier punto entre -1 y 1 (si el factor o variable está codificado) o desde el valor bajo al alto si la variable o factor no está codificado. Es decir, el modelo de regresión se puede utilizar para interpolar cualquier valor intermedio de la variable respuesta sin problemas pero no se debe utilizar para extrapolar Proyección de diseños factoriales 2 k Cualquier diseño 2 k se contrae o se proyecta sobre cualquier otro diseño 2 k con menos variables si se omiten uno o más de los factores originales. En ocasiones, esto puede proporcionar un conocimiento adicional de los demás factores. Si algún factor en un diseño factorial 2 k no es significativo y todas sus interacciones son despreciables, entonces puede descartarse del experimento convirtiendo el diseño en un diseño 2 K 1. En este caso se dice que el diseño 2 k se ha proyectado en un diseño 2 k 1 con el doble de réplicas denominadas réplicas ocultas. En general, si se tiene una sola réplica en un diseño 2 K y si h (h<k) factores son insignificantes y pueden descartarse, entonces los datos originales corresponden a un diseño factorial completo con dos niveles en los h k factores restantes con 2h réplicas La figura siguiente ilustra la proyección de un diseño 2 4 en uno 2 3

14 Factor insignificante D + Figura 6.5 Proyección de un diseño 2 4 a un diseño El algoritmo de Yates Este procedimiento fue propuesto por Yates para obtener, de una manera sencilla, la tabla de ANOVA para un diseño factorial 2 k. Este procedimiento es una alternativa a la tabla de signos propuesta anteriormente. Para utilizar el algoritmo de Yates, primero se construye una tabla con las combinaciones de tratamientos y los correspondientes totales de tratamiento, en un orden estándar. Por orden estándar se entiende que cada factor se introduce uno a la vez combinándolo con todos los niveles de los factores que están por encima de él. Es así como el orden estándar de un diseño 2 2 es (1), a, b, ab, mientras que para un diseño 2 3 es (1), a, b, ab, c, ac, bc, abc, y para un diseño 2 4 es (1), a, b, ab, c, ac, bc, abc, d, ad, bd, abd, cd, acd, bcd, abad. Aquí se presenta el procedimiento siguiente de cuatro pasos: 1. Se etiqueta la columna adyacente (1). Las entradas en la mitad superior de esta columna se calculan sumando las respuestas en pares adyacentes de la columna anterior. Las entradas de la parte inferior de esta columna se calcula cambiando el signo de la primera entrada de cada par de las respuestas originales y luego sumando los pares adyacentes.

15 2. Se etiqueta la columna adyacente (2). La columna (2) se construye con las entradas de la columna (1), siguiendo el mismo procedimiento utilizado para generar la columna (1). El proceso continúa hasta que se han construido k columnas. La columna (k) contiene los contrastes designados en los renglones. 3. Se calcula la suma de cuadrados para los efectos elevando al cuadrado cada entrada de la columna k y dividiéndolo entre n2 k. 4. Se calcula las estimaciones de los efectos dividiendo cada entrada de la columna k entre n2 k Diseño 2 k sin réplica A medida que crece el número de factores de un experimento factorial, el número de efectos que pueden estimarse también aumenta. Por ejemplo, un experimento 2 4 tiene cuatro efectos principales, 6 interacciones entre dos factores, 4 interacciones entre tres factores y una interacción entre cuatro factores, mientras que un experimento 2 6 tiene 6 efectos principales, 15 interacciones entre dos factores, 20 interacciones entre tres factores, 15 interacciones entre cuatro factores, 6 interacciones entre cinco factores y una intersección entre 6 factores. En muchas situaciones se aplica el principio de dispersión de los efectos; esto es, usualmente el sistema está dominado por los efectos principales y las interacciones de orden inferior. En general, las interacciones entre tres factores y las de orden superior son despreciables. Por consiguiente, cuando el número de factores es moderadamente grande (por ejemplo, k 4 o 5), una práctica común es correr sólo una réplica del diseño 2 k y luego combinar las interacciones de orden superior como una estimación del error. En ocasiones, una única réplica de un diseño 2 k se conoce como diseño factorial 2 k sin réplica. Cuando se analizan datos que provienen de diseños factoriales sin réplica, en ocasiones se presentan interacciones reales de orden superior. En estos casos resulta inapropiado utilizar la media de cuadrados del error obtenida al combinar las interacciones de orden superior. Para resolver este problema puede emplearse un método de análisis más sencillo. Para ello se construye una gráfica de las estimaciones de los efectos sobre una escala de probabilidad normal. Los efectos que son despreciables tienen una distribución normal, con media cero y varianza σ 2, y tienden a caer a lo largo de una línea recta sobre esta gráfica, mientras que los efectos significativos tienen medias distintas de cero y no se alinean a los largo de la línea recta.

16 6.2 Adición de puntos centrales en un diseño 2 k Un aspecto muy importante en el empleo de diseños factoriales de dos niveles es la hipótesis de linealidad en los efectos de los factores. Claro está que la linealidad perfecta es innecesaria, y el sistema 2 k trabaja muy bien aun cuando la suposición de linealidad es sólo aproximada. Sin embargo, existe un método para replicar ciertos puntos en el diseño 2 k factorial que proporciona protección contra la curvatura y permite una estimación independiente del error que ha de obtenerse. El método consiste en añadir puntos centrales al diseño 2 k. Éstos coinciden de n C réplicas de las corridas en el punto x i 0 (i 1, 2,, k). Una razón importante para añadir réplicas de las corridas en el centro del diseño es que los puntos centrales no tienen impacto en las estimaciones usuales de los efectos en un diseño 2 k. Se supone que los k factores son cuantitativos. Alto (+) b ab Corrida Medio Central Bajo (-) Medio (1) a Bajo (-) Alto (+) Figura 6.6 Representación geométrica del diseño 2 2 con corridas centrales o puntos centrales Para ilustrar este enfoque, considérese un diseño 2 2 con una observación en cada uno de los puntos factoriales (-, -), (+, -), (-, +) y (+, +), y n C observaciones en los puntos centrales (0, 0). La Figura 6.6 ilustra esta situación. Sean y F y y C los promedios de las cuatro corridas en los cuatro puntos factoriales y el promedio de las n C corridas en el punto central, respectivamente. Si la diferencia y F - y C es pequeña, entonces los puntos centrales se encuentran sobre el plano que pasa por todos los puntos factoriales, o cerca de él, y no hay curvatura. Por otra parte, si y F - y C es grande, entonces la curvatura está presente. Una suma de cuadrados de un grado de libertad para la curvatura está dada por:

17 SS Curvatura n n n ( y y ) 2 F C F C (6-30) F + n C donde, en general, n F es el número de puntos en el diseño factorial. Esta cantidad puede ser comparada con el error cuadrático medio para probar la curvatura. De manera más específica, cuando se añaden puntos al centro del diseño 2 k, entonces el modelo que se considera es Y k k β j x j + βij xi x j + β jj x + ε j 1 i< j i< j j 1 β (6-31) donde las β jj son efectos cuadráticos puros. La prueba de curvatura consiste, en realidad, de la prueba de las hipótesis H H 0 1 : : k j 1 k j 1 β 0 jj β 0 jj (6-32) Por otra parte, si los puntos factoriales en el diseño no están replicados, entonces pueden emplearse los n C puntos centrales para construir una estimación del error con n C -1 grados de libertad. 6.3 Formación de bloques y confusión en diseños 2 k A menudo es imposible correr todas las observaciones en un diseño factorial 2 k bajo condiciones homogéneas. La técnica de diseño apropiada para esta situación general es la formación de bloques. Sin embargo, en muchas situaciones, el tamaño del bloque es más pequeño que el número de corridas en la réplica completa. En estos casos, la confusión es un procedimiento útil para correr el diseño 2 k en bloques 2 p, donde el número de corridas en un bloque es menor que el número de combinaciones de tratamientos en una réplica completa. La técnica provoca que ciertos efectos de interacción sean indistinguibles de los bloques, o que sean confundidos con bloques. A continuación se ilustra la confusión en el diseño factorial 2 k en bloques 2 p, con p < k. Considérese un diseño 2 2. Supóngase que cada una de las combinaciones de tratamientos requiere cuatro horas de análisis de laboratorio. Por tanto, se requieren dos días para efectuar el experimento. Si los días se consideran como bloques, entonces deben asignarse dos de las cuatro combinaciones de tratamientos a cada día.

18 Tratamiento A B AB (1) a b ab [(1 a b ab] Contraste AB ) + b ab Corridas Bloque 1 Corridas Bloque 2 (1) a (1) ab a b Bloque 1 Bloque 2 Figura 6.7 Formación de bloques en un diseño 2 2 Este diseño se muestra en la Figura 6.7. Nótese que el bloque 1 contiene las combinaciones de tratamientos (1) y ab, y que el bloque 2 contiene a a y b. Los contrastes para estimar los efectos principales de los factores A y B son Contraste A ab + a b (1) Contraste B ab + a b (1) Observe que estos contrastes no se ven afectados por la formación de bloques puesto que en cada uno de ellos existe sólo una combinación de tratamientos más y una menos de cada uno de los bloques. Esto es, cualquier diferencia entre el bloque 1 y el bloque 2 que aumente las lecturas en un bloque por una constante aditiva, será cancelada. El contraste para la interacción AB es Contraste AB ab + (1) a b Puesto que las dos combinaciones de tratamientos con los signos más, ab y (1), están en el bloque 1 y las dos con los signos menos, a y b, están en el bloque 2, los efectos del bloque y la interacción AB son idénticos. Esto es, la interacción AB queda confundida con bloques. La razón de esto es evidente en la tabla de signos más y menos del diseño 2 2 que aparece en la Figura 6.7. De ésta se observa que todas las combinaciones de tratamientos que tienen un signo más en AB están asignadas al bloque 1, mientras que todas las combinaciones de tratamientos que tienen un signo menos en AB están asignadas al bloque 2. Este esquema puede emplearse para confundir cualquier diseño 2 k en dos bloques. Como segundo ejemplo considérese un diseño 2 3, efectuado en dos bloques. De la tabla de signos más y menos (Figura 6.8), se asignan las combinaciones de

19 tratamientos que son menos en la columna ABC al bloque 1, y las que son más en la columna ABC al bloque 2. El diseño resultante se muestra en la Figura 6.8. Combinación de Efectos Factoriales Tratamientos I A B AB C AC BC ABC (1) a b ab c ac bc abc c (1) b bc a ac [ (1 + a + b ab + c ac bc abc] Contraste ABC ) + abc ab Corridas (Bloque 1) Corridas + (Bloque 2) (1) ab ac bc a b c abc Bloque 1 Bloque 2 Figura 6.8 Formación de bloques en un diseño 2 2 En general, lo que se busca es que el efecto de bloque se confunda con las interacciones de orden superior. La Figura 6.8 se observa que el efecto de bloque se confunde con el efecto de interacción ABC. El cual, por el principio de los efectos esparcidos se puede asumir despreciable. Sin embargo, si la interacción entre los tres factores llega a ser significativa entonces no podremos saber si realmente se debe a la interacción a al efecto de bloque. Existe un método más general para construir bloques. Ésta utiliza un contraste de definición, por ejemplo, L α 1 x 1 + α 2 x α k x k donde x i es el nivel del i-ésimo factor que aparece en una combinación de tratamientos y α i es el exponente que aparece sobre el i-ésimo factor en el efecto que va a confundirse con bloques. Para el sistema 2 k, se tiene que α i 0 o 1, y x i 0 (nivel bajo) o x i 1 (nivel alto). Las combinaciones de tratamientos que producen el mismo valor de L (mód. 2) son colocadas en el mismo bloque, Puesto que los únicos valores posibles de L (mód. 2) son 0 y 1, esto asigna las combinaciones de tratamientos 2 k exactamente en dos bloques. Como ejemplo, considérese el diseño 2 3 con ABC confundido con bloques. En este caso, x i corresponde a A, x 2 a B, x 3 a C, con α 1 α 2 α 3 1. Por tanto, el contraste de definición que se utilizará para confundir ABC con bloques es L x 1 + x 2 + x 3

20 Para asignar las combinaciones de tratamientos a los bloques, se sustituyen éstas en el contraste de definición, de la manera siguiente: (1): L 1(0) + 1(0) + 1(0) 0 0 (mód 2) a: L 1(1) + 1(0) + 1(0) 1 1 (mód 2) b: L 1(0) + 1(1) + 1(0) 1 1 (mód 2) ab: L 1(1) + 1(1) + 1(0) 2 0 (mód 2) c: L 1(0) + 1(0) + 1(1) 1 1 (mód 2) ac: L 1(1) + 1(0) + 1(1) 2 0 (mód 2) bc: L 1(0) + 1(1) + 1(1) 2 0 (mód 2) Es así como (1), ab, ac, y bc se corren en el bloque 1, y a, b, c y abc se corren en el bloque 2. Este mismo diseño se muestra en la figura Existe un útil método corto para construir estos diseños. El bloque que contiene la combinación de tratamientos (1) recibe el nombre de bloque principal. Cualquier elemento [con excepción de (1)] en el bloque principal puede generarse haciendo la multiplicación módulo 2 de los exponentes de cualquier par de elementos del bloque principal. Por ejemplo, considérese el bloque principal del diseño 2 3 con ABC confundido, el cual se muestra en la figura Nótese que ab ac a 2 bc bc ab bc ab 2 c ac ab bc abc 2 ab Las combinaciones de tratamientos del otro bloque (o bloques) pueden generarse al hacer la multiplicación módulo 2 de los exponentes de un elemento del bloque nuevo por cada elemento del bloque principal. Para el diseño 2 3 con ABC confundido, puesto que el bloque principal es (1), ab, ac y bc, se sabe que la combinación de tratamientos b está en el otro bloque. Por tanto, los elementos de este segundo bloque son b (1) b b ab ab 2 a b ac abc b bc b 2 c c

21 6.4 Diseños 2 k fraccionados A medida que aumenta el número de factores en un diseño factorial 2 k, el número de corridas requeridas se aumenta con rapidez. Por ejemplo, un diseño 2 5 requiere 32 corridas. En este diseño, sólo cinco grados de libertad corresponden a los efectos principales, y 10 a las interacciones entre dos factores. Dieciséis de los 31 grados de libertad se utilizan para estimar interacciones de orden superior esto es, interacciones entre tres factores y de orden superior-. A menudo existe poco interés en estas interacciones de orden superior, en particular cuando se comienza a estudiar por primera vez un proceso o sistema. Si es posible suponer que ciertas interacciones de orden superior son despreciables, entonces puede emplearse un diseño factorial fraccionaria con menos corridas que el conjunto completo de corridas 2 k, para obtener información sobre los efectos principales y las interacciones de orden inferior. Aquí se presentan las réplicas fraccionarias del diseño 2 k. Uno de los principales usos de los diseños fraccionarios se encuentran en experimentos de detección. Éstos son experimentos en los que se consideran muchos factores con la finalidad de identificar aquellos (si es que los hay) que tienen efectos grandes Normalmente los experimentos de detección se realizan en las primeras etapas de un proyecto, cuando es probable que muchos de los factores considerados al inicio tengan poco o ningún efecto sobre la respuesta. Los factores identificados como importantes son los que se investigan con más profundidad en experimentos subsecuentes Fracción un medio de un diseño 2 k La fracción un medio del diseño 2 k-1 corridas y a menudo se conoce como diseño factorial fraccionario 2 k-1. Como ejemplo considérese el diseño 2 3-1, la fracción un medio del diseño 2 3. Este diseño tiene sólo cuatro corridas, en contraste con el diseño completo que requiere ocho. Combinación de Efectos Factoriales Tratamientos I A B C AB AC BC ABC a b c abc ab ac bc (1) c (1) bc b a ac abc Fracción principal, IABC Fracción alterna, I ABC ab Relación de definición del diseño Figura 6.9 Diseño factorial 2 3 fraccionado a la mitad.

22 La Figura 6.9 presenta la tabla de signos más y menos para el diseño 2 3 fraccionado. Supóngase que se escogen las cuatro combinaciones de tratamientos a, b, c y abc como la fracción un medio. Estas combinaciones aparecen en la parte superior de la Figura 6.9 en color azul claro. Observe que la combinación de tratamientos escogida para esta fracción tiene signo mas para la interacción ABC, por lo tanto, el efecto ABC se conoce como generador de la fracción. Además, debido a que el signo es el mismo para la interacción ABC, esta interacción es indetectable usando esta fracción. Además observe que la combinación de signos utilizada para encontrar el efecto de cualquier factor principal se repite en una interacción doble. Para encontrar los efectos principales se usa: A ½ [a b c + abc] B ½ [-a + b c + abc] C ½ [-a b + c + abc] Los cuales se repiten en el cálculo de las interacciones dobles: BC ½ [a b c + abc] AC ½ [-a + b c + abc] AB ½ [-a b + c + abc] Estos resultados se aprecian en la Figura 6.9, donde se colocan con un recuadro del mismo color las parejas de efectos que son iguales. Por tanto, la combinación lineal de las observaciones en la columna A de la Figura 6.9 no solo estima el efecto principal de A sino la interacción BC. O mejor dicho, esta combinación estima la suma de los efectos A+BC. De la misma forma, la columna correspondiente a B no solo estima este efecto sino también la interacción AC o lo que se mejor, estima la suma B+AC. En la Tabla 6.6 se resumen las consecuencias del fraccionamiento a la mitad de un diseño 2 3 completo. Combinación Efecto Explicación ½ [a b c + abc] A+BC A se confunde con BC o es alias de él ½ [-a + b c + abc] B+AC B se confunde con AC o es alias de él ½ [-a b + c + abc] C+AB C se confunde con AB o es alias de él Tabla 6.6 Confusión en un diseño factorial 2 3 fraccionado a la mitad La consecuencia adicional de este fraccionamiento es que la interacción triple, ABC no se puede detectar. Es decir, con un diseño no se puede evaluar la posible

23 interacción ABC. Sin embargo, las interacciones de orden superior, usualmente, son despreciables en el mundo real. En general, la fracción a realizar se escoge de tal suerte que los efectos principales y las interacciones de orden inferior que son de interés formen alias sólo con interacciones de orden superior (las que probablemente son despreciables). La estructura de alias para este diseño puede encontrarse utilizando la relación de definición I ABC. La multiplicación de cualquier efecto por esta relación proporciona los alias para tal efecto. En el ejemplo, el alias de A es AA (ABC) A 2 BC BC. Note que se ha eliminado A 2 debido a que representa una columna de signos más que no altera el producto final. Es decir A 2 I, e I es la columna identidad. De la misma manera se pueden encontrar los alias de B y C. Supóngase que en lugar de escoger la mitad superior de la Figura 6.9 para fraccionar al diseño 2 3, se hubiera escogido la mita inferior. Es decir la combinación de tratamientos en los que ABC tiene signo negativo. Estas cuatro corridas se muestran en color amarillo en la Figura 6.9. La relación de definición para este diseño es I - ABC. Los alias son A -BC, B -AC, y C -AB. Por tanto, las estimaciones de A, B y C que se obtienen de esta fracción en realidad estiman A BC, - B AC y C AB. En la práctica, usualmente no es importante la fracción un medio que se escoja pues ambas son lleva a resultados equivalentes. La fracción con el signo más en la relación de definición se conoce como fracción principal, y la otra como fracción alternativa. Nótese que si se hubiera seleccionado AB como el generador del diseño factorial fraccionario (Buscando todos los más en la columna correspondiente de la Figura 6.9), entonces A sería alias de B, lo cual conlleva a una pérdida de información muy importante. Como regla general, se escoge la fracción en la que se confundan las interacciones de orden superior. Más adelante, se explica un procedimiento práctico para escoger la fracción más adecuada, en el caso general de los diseños 2 k-1 Un comentario final de los diseños factoriales fraccionados a la mitad es que combinando las estructuras de alias de ambas fracciones se pueden obtener los efectos principales y de interacción. Por ejemplo, el efecto A se obtiene: ( A + BC) fracción + ( A BC) fracción principal alternativa A (6-33) 2 Y la interacción doble BC se obtiene como:

24 ( A + BC) fracción ( A BC) fracción principal alternativa BC (6-34) 2 Una alternativa equivalente hubiera sido analizar el experimento como si se hubiera corrido completo desde el principio. Sin embargo, al correr la segunda fracción posteriormente, se debe tener mucho cuidado en que las condiciones bajo las cuales se realizan los experimentos sean las mismas de cuando se corrió la primera fracción. Si no se pudieron mantener las mismas condiciones se debe utilizar un efecto de bloque haciendo que el efecto de bloque se confunda con la interacción triple, ABC, y los efectos principales y de interacciones dobles se calculen sin ninguna confusión Resolución en un diseño fraccionado Al correr un diseño factorial fraccionado los efectos no pueden estimarse de manera individual, sino que se estiman sumas o restas de efectos que son alias entre sí. La interpretación de estas sumas o restas se hace sencilla si se supone que todos los términos, excepto uno, son despreciables. Por lo tanto el efecto de esta suma (o resta), se puede atribuir a un único factor. Por esta razón siempre se busca un diseño factorial fraccionado en el cual los efectos principales importantes sean alias de otros efectos que no son muy importantes. El supuesto lógico en este caso consiste en asumir que los efectos principales son más importantes que las interacciones de dos factores, y estas a su vez son más relevantes que los de tres factores, y así sucesivamente. Este concepto se maneja buscando un diseño factorial fraccionado que tenga la máxima resolución posible. Se dice que un diseño factorial fraccionado tiene resolución R si las interacciones de P factores no son alias de interacciones que tengan menos de R P factores. Cuan más alta sea la resolución de un diseño factorial fraccionado mejor se pueden apreciar los efectos potencialmente importantes. A continuación se dan las definiciones de los diseños con resolución III, IV y V. Diseños de Resolución III. En estos diseños los efectos principales no son alias entre sí, pero si pueden ser alias con alguna interacción doble. El diseño pertenece a esta clase. Lo usual es utilizar un número romano como subíndice para indicar la resolución III Diseños de Resolución IV. Son diseños en los que ningún efecto principal tiene alias con otro efecto principal o con interacciones entre dos factores, pero estas pueden

25 tener alias entre sí. El diseño con relación de definición I ABCD (o I - ABCD) es de resolución IV. Este diseño se denota como Diseños de Resolución V. En estos diseños los efectos principales y las interacciones dobles son alias con interacciones triples o de orden superior, es decir, los efectos principales y las interacciones dobles se pueden determinar limpiamente IV Un ejemplo de un diseño con esta resolución es el diseño ( definición I ABCDE (o I - ABCDE) V ) con relación de En general la resolución de un diseño factorial fraccionado esta dado por la longitud de la palabra en la relación de definición con el menor número de letras posible. Por esta razón los diseños factoriales fraccionados 2 3-1, y tienen resolución III, IV y V respectivamente, porque sus correspondientes generadores se componen de 3, 4 y 5 letras Construcción de fracciones 2 k-1 Una manera sencilla de construir diseños factoriales fraccionados 2 k-1 con la más alta resolución posible es la siguiente: 1. Se construye la tabla de signos para un diseño factorial completo con k-1 factores y de esta forma se tienen las primeras k-1 columnas de la fracción deseada. 2. La columna faltante (la k-ésima) se construye multiplicando entre sí las columnas anteriores. Si se desea la fracción complementaria o alternativa se cambian los signos de esta última columna. El diseño que resulta es un diseño factorial fraccionado, 2 k-1 con la máxima resolución posible, R k. Como ejemplo veamos la construcción de un diseño factorial fraccionado con resolución IV y con generador I ABCD. 1. Se parte del diseño factorial completo dado por: A B C D

26 La columna restante (la cual corresponde a D) se obtiene al multiplicar las columnas A, B y C A B C D ABC Si se desea la fracción alternativa, con generador I - ABC, se cambia el signo de la última columna en el segundo paso Diseños factoriales fraccionados 2 k-2 Un diseño factorial 2 k-2 representa la cuarta parte del diseño factorial completo. Para generar este diseño se necesitan dos efectos generadores, los cuales se toman de las interacciones de orden superior y que al mismo tiempo su producto sea también una interacción de orden superior. Estos diseños tendrán tres generadores: los dos primeros que se escogieron y el que resulta del producto entre ellos y ninguno de ellos se puede estimar. La estructura de alias se obtiene a partir de los dos generadores iniciales y su producto. Por lo tanto cada efecto tiene tres alias. En general, el número de palabras de la relación definidora indica el número de alias que tendrá cada efecto, y multiplicando un efecto cualquiera por esta relación se determinan sus alias. Una forma sencilla de construir un diseño factorial 2 k-2 es:

27 1. Se escribe el diseño 2 k-2 como si fuera un diseño factorial completo con k-2 factores y de esta forma se obtienen los primeros k-2 factores. 2. Los niveles que corresponden a los factores de las dos últimas columnas (factores k-1 y k) se obtienen multiplicando columnas previas de acuerdo a los generadores escogidos. Veamos este procedimiento de dos pasos para construir un diseño factorial : 1. Se parte del diseño factorial completo 2 3 para los tres factores A, B y C A B C D E Los niveles para los factores D y E se obtienen al seleccionar de manera adecuada los generadores. Una opción es tomar I ABD e I ACE, y el tercer generador es el producto ABD ACE A 2 BCDE BCDE. De esta manera se puede obtener que D AB y E AC. A B C D E La estructura de alias completo se puede obtener como se explico anteriormente. Por ejemplo, los alias de A se obtienen multiplicando este por los tres generadores así:

28 A A (Primer generador) A ABD BD A A (Segundo generador) A ACE CE A A (Tercer generador) A BCDE ABCDE El resto de alias para los demás factores se muestra en la siguiente tabla: A+BD+CE+ABCDE B+AD+ABCE+CDE C+ABCD+AE+BDE D+AB+ACDE+BCE E+ABDE+AC+BCD BC+ACD+ABE+DE BE+ADE+ABC+CD µ+abd+ace+bcde Tabla 6.7 Estructura de alias completa para un diseño III Se observa en la Tabla 6.7 que cada efecto principal tiene al menos una interacción doble como alias que es lo que conduce a un diseño de resolución III. De la Tabla 6.7 se puede asumir que las interacciones de orden superior son despreciables y por lo tanto eliminarlas del modelo para obtener una estructura de alias reducida (ver Tabla 6.8) A + BD + CE B + AD C + AE D + AB E + AC BC + DE BE + CD Tabla 6.8 Estructura de alias reducida para un diseño III Cuando se alían efectos con la misma jerarquía, como en el caso de BD + CE, debe decidirse con base en el conocimiento del proceso, a que interacción se atribuye el efecto observado en el caso que resulte significativo. Otra manera es fijarse en qué efectos principales resultan significativos ya que estos tienen más probabilidad de estar activos en sus interacciones.

29 6.4.5 Ejercicios propuestos. 1. A continuación se muestran los resultados de un diseño factorial. Conteste los siguientes incisos sin utilizar un software computacional, haga las operaciones que se le piden de manera manual. Réplica A B I II III Total (1) (a) (b) (ab) 270 a. Qué nombre recibe este diseño y por qué? b. Cuántos tratamientos tiene este diseño, cuántas réplicas? c. En total son 12 corridas experimentales las que se realizaron, señale en qué orden debieron correrse y explique por qué. d. Señale los efectos que se pueden estudiar a través de este diseño. e. Obtenga los contrastes para los efectos principales de A y B, y para la interacción. f. Calcule los efectos principales y el efecto de interacción. g. Haga las gráficas de los efectos principales de A y B, e interprételas. h. Realice la gráfica de la interacción entre los factores de A y B, e interprétela con detalle. i. Desde su punto de vista el factor B parece tener influencias sobre Y? Argumente. 2. Suponga un diseño factorial 2 3, y conteste las siguientes preguntas.utilizando la notación de (-, +) para los niveles de los factores, escriba todos los tratamientos que forman este diseño. a. Represente en forma geométrica este diseño y resalte la región de experimentación. b. Cuáles son todos los posibles efectos que se pueden estu diar con este diseño? c. Para cada uno de los efectos anteriores, obtenga su contraste.

30 d. Señale en forma específica cómo utilizaría los contrastes para calcular los efectos y la suma de los cuadrados. e. Cómo aplicaría los tres principios básicos del diseño de experimentos en este caso para cada uno de los efectos anteriores? 3. A continuación se muestran los resultados obtenidos en un diseño factorial 2 3 no replicado. Conteste los siguientes incisos sin utilizar un software computacional, es decir, haga las operaciones que se le piden de forma manual. Código? A B C Y a. En la primera columna de la matriz del diseño especifique el código de cada uno de los tratamientos, de acuerdo a la notación de Yates. b. Calcule los efectos principales de A y B. c. Haga la gráfica de los efectos principales de A y B, e interprételas. d. Calcule el efecto de la interacción AB. e. Realice la gráfica de la interacción entre los factores A y B; e interprétela con detalle. f. Qué tendría que hacer para saber si los efectos que cálculo en los incisos anteriores, afectan de manera significativa a la variable de respuesta? g. Calcule la suma de cuadrados para el efecto principal de A y para la interacción. 4. Suponga un diseño factorial 2 4, y conteste las siguientes preguntas. a. Anote la matriz de diseño, es decir, haga una lista de todos los tratamientos que forman este diseño. b. Por qué este diseño recibe tal nombre? c. Cuáles son todos los posibles efectos que se pueden estudiar con este diseño? d. Refiriéndose al análisis, en qué consiste y cuál es el objetivo de obtener el mejor ANOVA?

31 e. Cómo se calculan los coeficientes de determinación R 2 y R 2 AjS? f. Si después de obtener el mejor ANOVA, se obtiene que estos R 2 aj coeficientes tienen un valor de alrededor 90, qué significa esto? g. Si por el contrario, tales coeficientes tienen un valor de alrededor 20, qué significa esto? h. Obtenga el contraste para el efecto principal de D y para el efecto de interacción CD. i. Señale en forma específica cómo utilizaría los contrastes para calcular los efectos y la suma de los cuadrados. j. Puede darse el caso de que el efecto principal de A no sea significativo, y el efecto de la interacción AB si lo sea? 5. En una empresa lechera se ha tenido problemas con la viscosidad de cierta bebida de chocolate. Se cree que tres ingredientes que se agregan en pequeñas cantidades son con los que se puede resolver este problema, por lo que es necesario explorar la situación; para ello se corre un experimento 2 3 con dos réplicas. En seguida se aprecian los resultados obtenidos. Ingrediente A Ingrediente B Ingrediente C Viscosidad , , , , , , , , 19.0 a. Estime todos los posibles efectos y diga cuáles son significativos. b. Realice un análisis de varianza de estos datos y obtenga conclusiones generales. c. Hay un tratamiento ganador para minimizar? d. Verifique residuos, qué observa de destacado? 6. Se quiere aumentar el rendimiento de un proceso, y para ello se estudian tres factores con dos niveles cada uno. Se hacen tres repeticiones en cada tratamiento del diseño factorial 2 3 resultante. La variable de respuesta que se mide es rendimiento. Los datos son los siguientes:

32 Tratamiento Repetición (1) a b ab c ac bc abc a. Cuáles efectos están activos? b. Si obtuvo una interacción importante, interprétela con detalle. c. Determine las condiciones de operación que maximizan el rendimiento. d. Cuál es la respuesta esperada en el mejor tratamiento? e. Verifique los supuestos del modelo. 7. Se hace un experimento para mejorar el rendimiento de un proceso, controlando cuatro factores en dos niveles cada uno. Se corre una réplica de un diseño factorial 2 4, con los factores tiempo (A), concentración (B), presión (C) y temperatura (D), y los resultados son los siguientes: A 0 A 1 B 0 B 1 B 0 B 1 C 0 C 1 C 0 C 1 C 0 C 1 C 0 C 1 D D a. Analice estos datos con el uso de todos los criterios existentes para encontrar el mejor ANOVA. En las figuras considere de entrada los 15 efectos posibles. b. Cuáles efectos están activos? c. Determine el mejor tratamiento. d. Prediga el rendimiento esperado en el mejor tratamiento y dé un intervalo de confianza para el rendimiento futuro. e. Compruebe los supuestos del modelo. f. Puede este diseño colapsarse en uno 2 3 con dos réplicas? De ser posible, hágalo y repita los incisos anteriores para este nuevo diseño.