Folleto de Estadísticas. Teoría del 2do Parcial

Transcripción

1 Folleto de Estadísticas Teoría del 2do Parcial 2012

2 Variables aleatorias conjuntas continuas: Sean X y Y dos variables aleatorias continuas con ellas se asocia una función denominada función de densidad conjunta entre X y Y la misma que cumple con: 1) 2) 3) 4) Distribuciones Marginales: Sean X y Y dos variables aleatorias conjuntas continuas con función de densidad conjunta. La densidad marginal se define como: Marginal de X Marginal de Y X y Y son independientes si y solo si Valor esperado: Sean X y Y dos variables aleatorias conjuntas continuas con función de densidad conjunta. El valor esperado de es: Teorema: Sean n variables aleatorias y m variables aleatorias, si decimos que entonces:

3 Método de acumulada: Si entonces la distribución acumulada de es: Derivando con respecto a se obtiene Método de la función generadora de momentos: Si X es una variable aleatoria y generadora de momentos, y decimos que entonces: su Si son n variables aleatorias independientes y entonces la generadora de momentos de Y es: Si son n variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con media y varianza entonces:

4 Población infinita Población finita ; se debe multiplicar por el factor de corrección Estadístico muestral: Una función definida en términos de las varibales aleatorias que componen una muestra se denomina estadístico muestral si y solo si T no depende de algún parámetro poblacional. Estimador muestral: Se llama estimador muestral a un estadístico muestral si la razón para construir dicha función es estimar un parámetro muestral. Estimador incesgado: Sea un parámetro poblacional que deseamos estimar utilizando el estimador muestral, diremos que es un estimador incesgado de si y solo si Error cuadrático medio: Si es un estimador incesgado de ( ) entonces se puede concluir que: Eficiencia de un estimador: Sean y dos estimadores de un parámetro poblacional, es más eficiente que si y solo si ECM ( ) ECM ( ) Convergencia en distribución: (Vamos a considerar una sucesión de variables aleatorias tales como representadas sintéticamente como { } donde el subíndice n es un parámetro entero positivo y deseamos conocer el comportamiento de la sucesión cuando n es grande, formalmente ). Diremos que la sucesión de variables aleatorias { } cuya sucesión de distribuciones acumuladas es { } converge en distribución a la variable aleatoria X si y solo si: Para todo x donde es continua. Ó

5 Teorema de continuidad: Sea { } una sucesión de variables aleatorias cuya correspondiente sucesión de funciones generadoras de momentos es { } suponiendo que { } existe para un intervalo, entonces si existe una variable aleatoria X con función generadora de momentos la cual existe para y además entonces decimos que. Teorema del límite central: Sea { } una sucesión de variables aleatorias que son independientes e idénticamente distribuidas, cuyas funciones generadoras de momentos existen para todo i en un intervalo que incluye t=0, como consecuencia de lo anterior y existen y se exige que ambas sean finitas. Defínase también y bajo estas condiciones. Z es una normal estándar. Si se desea realizar una estimación con un error máximo admitido de a con b% de confianza se interpreta como siendo, de esto se obtiene que para poblaciones infinitas, para población finita se tiene que: y Sean Z y variables aleatorias independientes con distribución normal estándar y Ji- Cuadrado con grados de libertad respectivamente. Se define la distribución de Student con grados de libertad como: Cuando Sean, variables aleatorias independientes cada una con distribución Ji-Cuadrado con grados de libertad respectivamente, se define la distribución de Fisher con grados de libertad en el numerador y grados de libertad en el denominador como:

6 Teorema: Sea una muestra aleatoria de tamaño n tomada de una población normal con media y varianza y sean y la media y varianza de la muestra respectivamente, bajo estas condiciones: Distribución para diferencias de medias para muestras tomadas de poblaciones independientes CASO 1:, conocidos; CASO 2: Muestra tomada de población normal independiente con, desconocidos pero iguales CASO 3: Muestra tomada de población normal independiente con diferentes, desconocidos pero Distribución para razón de varianzas para muestras tomadas de poblaciones independientes Distribución para la proporción

7 Distribución para diferencia de medias para muestras tomadas de poblaciones dependientes (con observaciones pareadas) Estimación por intervalos de confianza Estimación por intervalos: Es una estimación de parámetros poblacionales en la que utilizando una muestra aleatoria se infiere acerca de pero en lugar de un solo punto se define un conjunto de puntos cuyas cotas superior e inferior vienen dadas en términos de la información contenida en la muestra. Intervalos de confianza: lo más común es denominar al intervalo de estimación para conjuntamente con el valor de su medida de confianza como un intervalo de confianza para. Intervalos con de confianza para la MEDIA CASO 1: bajo condiciones del límite central CASO 2: Muestra tomada de población normal y desconocido

8 Intervalo de confianza para la VARIANZA para muestras tomadas de poblaciones normales Intervalo de confianza para la PROPORCIÓN Intervalo de confianza para DIFERENCIAS DE MEDIAS para muestras tomadas de POBLACIONES INDEPENDIENTES CASO 1: conocidos y

9 CASO 2: Muestra tomada de población normal independiente con desconocidos e iguales. CASO 3: Muestra tomada de población normal independiente con desconocidos y diferentes Intervalo de confianza para DIFERENCIAS DE MEDIAS para muestras tomadas de POBLACIÓN DEPENDIENTE (CON OBSERVACIONES PAREADAS)

10 Fundamentos de pruebas de hipótesis Hipótesis: Es un supuesto o conjetura que se plantea tratando de explicar un proceso o fenómeno. Hipótesis científica: Es un supuesto respecto al resultado de un experimento y una hipótesis estadística es un supuesto que se plantea respecto a los parámetros o respecto a la distribución de probabilidades de una población. Prueba o ensayo de hipótesis: La idea central de la técnica de inferencia estadística que estamos denominando prueba o ensayo o hipótesis es decidir en base a la información obtenida de la muestra aleatoria, cual de 2 hipótesis estadísticas, que no pueden cumplirse simultáneamente debe ser rechazada a favor de la otra. Donde, siendo un espacio de parámetros y no es conjunto vacío además está constituido por al menos 2 elementos. Hipótesis nula: Se denomina hipótesis nula a una hipótesis estadística que postula que, siendo y además debe cumplirse que. La hipótesis nula se denota. Hipótesis alterna: Es el supuesto que proclama que se denota. Contraste de hipótesis: La contraposición de la hipótesis nula con la hipótesis alterna la llamaremos contraste de hipótesis. Bajo las condiciones que se han planteado solo es posible tomar dos decisiones. 1. es verdadera 2. es verdadera Región crítica de la prueba: Dado un contraste de hipótesis, para efectos de decidir si la hipótesis nula debe ser o no rechazada, es necesario particionar al subconjunto A no vacío de en dos regiones. Una C a la que llamaremos región critica de la prueba definida como: C( )={( ) debe ser rechazada} y otra que es el complemento de C en A que llamaremos región de aceptación de la prueba. Estadístico de prueba: Denotado por T es un estadístico cuya regla de correspondencia permite decidir si debe ser rechazada o no. Error tipo I: Dado un contraste de hipótesis se denomina error tipo I al evento en que se rechaza siendo verdadero. Error tipo II: Dado un contraste de hipótesis se denomina error tipo II al evento en que no se rechaza siendo falso.

11 Probabilidad de error tipo I: Se denota por Probabilidad de error tipo II: Se denota por y es igual a y es igual a Potencia de prueba: La función cuya definición es es definida como la función potencia de la prueba. Valor P: El valor P o de la prueba es un estadístico de prueba que es igual al más pequeño nivel de significancia a partir del cual un investigador que está utilizando el estadístico de prueba T rechaza basado en los datos de la muestra observada X. Valor p <Valor p<0.1 Valor p 0.1 Se elige la opción más cercana. Pero lo ideal sería tomar otra muestra. Pruebas de hipótesis para la MEDIA CASO 1: conocido; (bajo el teorema de limite central)

12 CASO 2: desconocido; Muestra tomada de población normal. Prueba de hipótesis para la VARIANZA Prueba de hipótesis para DIFERENCIAS DE MEDIAS para muestras tomadas de POBLACIÓN INDEPENDIENTE

13 CASO 1:, conocidos; CASO 2 :, desconocidos pero iguales. Muestra tomada de población normal CASO 3:, desconocidos y diferentes. Muestra tomada de población normal

14 Prueba de hipótesis para RAZÓN DE VARIANZAS Prueba de hipótesis para DIFERENCIA DE MEDIA tomada de población DEPENDIENTE CON OBSERVACIONES PAREADAS Prueba de hipótesis para la PROPORCIÓN

15 Bondad de ajuste 1. Método de Kolmogorov-Smirnov ; 2. Método de la Ji-Cuadrado Clases Oi Ei Oi: Número de observaciones en la clase i. Ei: Número de observaciones esperadas en la clase i si = es verdadero K: Número de clases. P: Número de parámetros que se estiman

16 Tablas de contingencia o pruebas de independencia X\Y Nivel 1 Nivel 2 Nivel c Nivel 1 = Nivel 2 = Nivel r = = = = n ; ; Por lo tanto se necesitan mínimo 20 observaciones : Número de observaciones en el i-esimo nivel de X y j-esimo nivel de Y : Número de observaciones esperadas en el el i-esimo nivel de X y j-esimo nivel de Y si es verdadero.

17 Desigualdad de Markov: Sea una función que toma valores no negativos y que esta definida en términos de la variable aleatoria X cuya densidad o dist. De probabilidades es. Si el existe entonces para cualquier constante positiva se cumple que: Teorema de Chebyshev: Sea X una variable aleatoria con media y varianza ambas finitas. Sea k > 1 entonces: ó Normal Bivariada Si entonces:

18 Regresión lineal Suma cuadrática del error Regresión lineal simple Datos para para la función es constante ; ; para minimizar el error ; Datos para el estimador de la funcion ; son estimadores propios de

19 Ecuaciones normales: son estimadores incesgados de (Demuestre). = + Suma cuadrática total Suma cuadrática de regresión Suma cuadrática del error Coeficiente de correlación del modelo: Poder de explicación del modelo: (100%) Solamente en regresión lineal simple

20 Regresión lineal múltiple

21 Tabla Anova Fuente de Grados de Medias Sumas cuadráticas Variación libertad Cuadráticas Regresión p-1 SCR MCR=SCR/p-1 Error n-p SCE MCE=SCE/n-p Total n-1 SCT F p: # de estimadores (en el caso matricial es el # de empleados para formar la regresion)