Diseños factoriales fraccionarios

Transcripción

1 etapas iniciales de una investigación: interesa estudiar muchos factores Diseños 2 k cuando crece el número factores (k) aumenta rápidamente el número de experimentos (N) estrategia: reducir N perdiendo un mínimo de información valiosa

2 una parte de los diseños factoriales completos basados en la jerarquización de los efectos: efectos más importantes: efectos principales seguidos por interacciones dobles, triples, cuádruples, etc.

3 Número de efectos potencialmente de mayor interés para diseños factoriales 2 k diseño 2 k total de efectos efectos no ignorables efectos ignorables

4 Diseños factoriales fraccionarios k < 5: los efectos potencialmente importantes superan en número a los efectos ignorables a priori si se fraccionan estos diseños se pierde información que puede ser relevante

5 Diseños factoriales fraccionarios k 5: el número de efectos ignorables supera al número de efectos potencialmente importantes se pueden fraccionar sin perder información valiosa

6 al fraccionar un diseño factorial completo: se pierde información (se espera no poder estimar efectos que se puedan ignorar, como interacciones de alto orden) se tienen menos grados de libertad disponibles para el error

7 Diseños factoriales fraccionarios al fraccionar un diseño factorial completo: los efectos que se pueden estimar tienen al menos un alias efectos alias: son dos o más efectos con nombres distintos que comparten el mismo contraste (cuando se estima uno de ellos se estima el otro) por lo que no se pueden separar

8 k variables (factores) a 2 niveles r número de parámetros (coeficientes b) a estimar p generadores independientes matriz: 2 k - p = N = r (2 r -1) generadores N coeficientes alias (l) calcular los valores de los l: vector de coeficientes alias

9 Diseños factoriales fraccionarios I: efecto generador (neutro multiplicativo) llamado identidad cualquier columna multiplicada por sí misma da I A 2 identidad I la relación de definición define la estructura alias

10 por ejemplo, para un diseño : el efecto menos importante a priori es la interacción ABC sacrificable I = ABC

11 multiplicando cualquier columna por la relación de definición da los alias para esa columna A. I = A.ABC = A 2 BC dado que el cuadrado de cualquier columna es I: A = BC los alias para B y C B. I = B.ABC = AB 2 C B = AC C. I = C.ABC = ABC 2 C = AB

12 Diseños factoriales fraccionarios resolución igual al número de elementos del menor generador resolución II: algunos efectos principales se calculan como alias (b i + b j ) resolución III: ningún efecto principal es alias de otro efectos principales como alias con las interacciones de 1º orden (b i + b jk )

13 resolución IV: ningún efecto principal es alias de otro, ni de interacción 1º orden efectos principales como alias con interacciones de 2º orden (b i + b jkl ) algunas interacciones de primer orden como alias (b ij + b kl )

14 resolución V: ningún efecto principal o interacción de 1º orden es alias de otro efectos principales como alias con interacciones de 3 orden (b i + b jklm ) interacciones de 1º orden como alias con las interacciones de 2º orden (b ij + b klm ) a > resolución > información

15 para una matriz: 2 3-1

16 no se puede estimar el efecto X 1 X 2 X 3 : no tiene contraste (todos signos positivos) 4 experimentos 4 coeficientes l coeficientes alias: l 0 = b 0 + b 123 l 1 = b 1 + b 23 l 2 = b 2 + b 13 l 3 = b 3 + b 12

17 matriz: vector de coeficientes alias L y = X L L = X T N y

18 vector de coeficientes alias L l 0 = ¼ (y 1 + y 2 + y 3 + y 4 ) l 1 = ¼ (y 1 - y 2 - y 3 - y 4 ) l 2 = ¼ (- y 1 + y 2 - y 3 + y 4 ) l 3 = ¼ (-y 1 - y 2 + y 3 + y 4 )

19 Diseños de Plackett y Burman (2º guerra mundial) el número de puntos del diseño no es necesariamente potencia de 2, pero sí es múltiplo de 4 matrices de Hadamard matrices cuadradas X N : (N x N) N es múltiplo de 4, si N es potencia de 2, son diseños 2k-p

20 Diseños factoriales fraccionarios Matrices de Hadamard matrices cuadradas X N : (N x N) la inversa de la matriz es la matriz transpuesta/número de experimentos X T X = N x I N (X T X) -1 = 1/N x I N X -1 = X T N

21 Matrices de Hadamard número de experimentos: N = múltiplo de 4, N 2 q (q > 3) N= 12, 20, 24, 28, 36, N= (11 signos) N= (19 signos) N=

22 Matrices de Hadamard columna de +

23 efecto de (N-1) factores con N experimentos, p parámetros a determinar N p factores, U j : variables naturales cuyos valores se pueden controlar (cualitativos o cuantitativos) variables codificadas (reducidas y centradas) efecto, b j : cambio en la respuesta ocasionado por un cambio en el nivel del factor nivel: categoría de un factor

24 Un ejemplo: experimento exploratorio Estudiar el efecto de 10 factores sobre la reacción:

25 Factores: U 1 : porcentaje de NaOH 40% 50% U 2 : temperatura 80 C 110 C U 3 : catalizador TBAB cetil-tmab U 4 : agitación sin con U 5 : tiempo 90 min 3430 min U 6 : volumen de solvente orgánico 100 ml 200 ml U 7 : volumen de agua 30 ml 60 ml U 8 : relación S/NaOH 1 2 U 9 : relación k/s 0,25 4 U 10 : relación R/S

26 Diseño X ij U ij Se pueden hacer todos los experimentos? Hacer los experimentos al azar Obtener y i (respuesta): % de rendimiento Calcular b j (efecto sobre la variable i) Control

27 matriz experimental promedio de las medidas matriz del modelo (Hadamard 12x12): X error vector de respuestas

28 efecto de (N-1) factores notación vectorial: B = p: número de coeficientes (efectos) incluyendo b 0 p = N

29 modelo: y = X B B = X -1 y X -1 = X T N B = 1 N X T y y = ,3 x 1 2,3x 2 + 0,5x 3 + 8,8x 4 8,2x 5 2,2x 6 + 1,3 x 7 + 4,2x 8 + 7,7x 9 + 9,0x ,8 x 11

30 y = ,3 x 1 2,3x 2 + 0,5x 3 + 8,8x 4 8,2x 5 2,2x 6 + 1,3 x 7 + 4,2x 8 + 7,7x 9 + 9,0x ,8 x 11 b 0 = 47 promedio b 11 (factor dummy) error = 4,8 b 2 (T), b 3 (catalizador), b 6 (V sol ), b 7 (V agua ), b 8 (S/OH - ) < 4,8 despreciables < T, catalizador más barato, menores V

31 y = ,3 x 1 2,3x 2 + 0,5x 3 + 8,8x 4 8,2x 5 2,2x 6 + 1,3 x 7 + 4,2x 8 + 7,7x 9 + 9,0x ,8 x 11 b 10 = relación R/S (5) es el factor más importante b 1 = % NaOH (50%) b 4 = agitación (con) b 5 = tiempo (90 min) b 9 = relación k/s (4)