Diseño de experimentos Hugo Alexer Pérez Vicente

Transcripción

1 Diseño de experimentos Hugo Alexer Pérez Vicente

2 Experimentos factoriales

3 Introducción Los diseños factoriales se utilizan para estudiar los efectos en una respuesta o salida de al menos dos variables o factores cuando éstos cambian de valor simultáneamente. Si tenemos k factores se eligen variar cada uno a m k niveles, el número de combinaciones experimentales es de m 1 *m *m 3 * *m k

4 Introducción Para estudiar el efecto de factores en la variable de respuesta es necesario elegir al menos dos niveles de prueba para cada uno de ellos. Uno de sus objetivos es determinar una combinación de niveles de los factores en la que el desempeño del proceso sea mejor.

5 Introducción Con el diseño factorial completo se corren aleatoriamente todas las posibles combinaciones que pueden formarse con los niveles de los factores a investigar. La matriz de diseño o arreglo factorial es el conjunto de puntos experimentales o tratamientos que pueden formarse considerando todas las posibles combinaciones de los niveles de los factores.

6 Temperatura del horno Temperatura del horno El concepto de factorial factores con niveles 3 factores con niveles 850ºC 850ºC 800ºC Agua Aceite 800ºC Agua Aceite Método de enfriamiento Método de enfriamiento Diseño factorial ² Diseño factorial ³

7 Conceptos básicos En general, la familia de diseños factoriales k consiste en k factores, todos con dos niveles de prueba la familia de diseños factoriales 3 k consiste en k factores, cada uno con tres niveles de prueba. Es claro que si los k factores no tienen la misma cantidad de niveles, debe escribirse el producto de manera explícita. Los factores pueden ser de tipo cualitativo (máquinas, tipo de material, operador, etcétera) o de tipo cuantitativo (temperatura, humedad, etcétera).

8 Concepto de factorial factores a 3 5 niveles cada uno 3 factores a 3, 4 5 niveles cada uno

9 Conceptos básicos Los diseños factoriales son los más eficientes para analizar los posibles efectos combinados de dos o más factores sobre la variable de respuesta. Es un diseño experimental que sirve para estudiar el efecto individual de interacción de varios factores sobre una o varias respuestas.

10 Ventajas desventajas Ventajas Se pueden estimar interacciones se pueden obtener efectos de un factor con varios niveles de los factores restantes. Guardan mucha información. Desventajas Se pueden volver imprácticos si no ha pocos recursos experimentales (incluendo tiempo). Si los recursos la aplicación lo permiten no se rompan más la cabeza utilicen un diseño factorial.

11 Efecto de un factor El efecto de un factor se define como el cambio en la respuesta, producido por un cambio en el nivel del factor. Consideremos el ejemplo de un experimento de dos factores con dos niveles en cada factor:

12 Efecto de un factor El efecto principal del factor A puede visualizarse como la diferencia entre la respuesta promedio con el nivel bajo de A la respuesta promedio del nivel alto de A. Numéricamente esto es: A

13 Efecto de un factor Es decir, cuando el factor A se incrementa del nivel bajo al nivel alto se produce un incremento en la respuesta promedio de 1. De manera similar, el efecto principal de B es: B

14 Concepto de interacción Una interacción ocurre cuando la diferencia en la respuesta entre los niveles de un factor no es la misma para todos los niveles de los otros factores. Considere el ejemplo anterior: No se observa una interacción entre el factor A B.

15 Concepto de interacción Una interacción ocurre cuando la diferencia en la respuesta entre los niveles de un factor no es la misma para todos los niveles de los otros factores. Considere el ejemplo anterior: No se observa una interacción entre el factor A B.

16 Concepto de interacción Ahora considere el siguiente experimento factorial ²: Con B el efecto del factor A es: A = 50 0 = 30, con B + el efecto de A es: A = 1 40 = 8. La magnitud del efecto de la interacción es: AB = ( 8 30)/ = 9.

17 Concepto de interacción En general, cuando una interacción es grande, los efectos principales correspondientes tienen escaso significado práctico. En el experimento anterior, la estimación del efecto de A sería: A

18 Concepto de interacción El cual es mu pequeño se llegaría a concluir que no ha un efecto debido a A. Sin embargo, el factor A tiene en realidad un efecto que depende del nivel del factor B. Es decir, el conocimiento de la interacción AB es mas útil que el conocimiento del efecto principal. Una interacción significativa suele enmascarar la significación de los efectos principales.

19 Concepto de interacción El efecto principal de una variable debe ser interpretado individualmente sólo cuando no ha evidencia de que esa variable interactúa con otras. Cuando ha evidencia de interacción, las variables que interaccionan se deben interpretar conjuntamente. Una auda para esto son las gráficas de factores contra la variable de respuesta..

20 Días de asistencia Calificación Concepto de interacción Una interacción también puede presentarse como una diferencia en la magnitud de la respuesta; por ejemplo, medimos la calificación final de una asignatura en base a dos factores: las horas de estudio los días de asistencia. Los resultados se muestran en las siguientes gráficas: Horas de 40 estudio Horas de 40 estudio 30 3

21 Tipos de interacción

22 Ventajas de los diseños factoriales Permiten estudiar el efecto individual de interacción de los distintos factores. Son diseños que se pueden aumentar para formar diseños compuestos en caso que se requiera una exploración más completa. Se pueden correr fracciones de diseños factoriales. Pueden utilizarse en combinación con diseños en bloques en situaciones en las que no puede correrse todo el diseño factorial bajo las mismas condiciones. Son más eficientes que el tradicional experimento de mover un factor a la vez.

23 Factor A Diseño factorial con dos factores Consta de a niveles del factor A b niveles del factor B, los cuales se disponen en un diseño factorial con n réplicas; es decir, cada réplica del experimento contiene todas las ab combinaciones de los tratamientos. Factor B 1 b 1 111, 11,..., 11n b1, 1b,..., 1bn 11, 1,..., 1n b1, b,..., bn a a11, a1,..., a1n ab1, ab,..., abn El orden en que se hacen las abn observaciones es aleatorio.

24 Ejemplo de un experimento factorial Un ingeniero está diseñando una batería que se usará en un dispositivo que se someterá a variaciones de temperaturas extremas. El único parámetro del diseño que puede seleccionar en este punto es el material de la placa o ánodo de la batería, tiene tres elecciones posibles.

25 Ejemplo de un experimento factorial Cuando el dispositivo esté fabricado se envíe al campo, el ingeniero no tendrá control sobre las temperaturas extremas en las que operará el dispositivo pero sabe, por experiencia, que la temperatura probablemente afectará la vida efectiva de la batería. Sin embargo, la temperatura puede controlarse en el laboratorio donde se desarrolla el producto para fines de prueba.

26 Ejemplo ilustrativo El ingeniero decide probar los tres materiales de la placa con tres niveles de temperatura, por ser consistentes con el medio ambiente donde se usará finalmente el producto. Se prueban cuatro baterías con cada combinación del material de la placa, la temperatura las 36 pruebas se corren de manera aleatoria. a. Qué efectos tienen el tipo de material la temperatura sobre la vida de la batería? b. Existe alguna elección del material que produzca de manera regular una vida larga de la batería independientemente de la temperatura?

27 Ejemplo ilustrativo Factores: tipo de material las temperaturas con tres niveles cada una. Variable de respuesta: vida efectiva de las baterías (en horas). Entonces a = 3, b = 3, n = 4 N = abn = 36.. Tipo de material 1 3 Temperatura (ºF) , 155, 34, 40, 0, 70, 74, , 75 8, , 188, 136, 1, 5, 70, 159, , , , 110, 174, 10, 96, 104, 168, , 139 8, 60

28 Hipótesis del modelo factorial Normalidad: ε ijk ~ N(0, σ²) e independientes entre sí Puede haber interacción entre los factores Los factores sus interacciones son fijos Ha n réplicas para cada combinación ab de tratamientos El orden de las observaciones se determina al azar

29 Modelo de los efectos observación ijk-ésima media global error aleatorio tal que εijk ~ N(0, σ²) ijk i j ( ) ij ijk i 1,,..., a j 1,,..., b k 1,,..., n efecto del nivel i-ésimo del factor A (renglones) efecto del nivel j-ésimo del factor B (columnas) efecto de la interacción entre α i β j

30 Observemos que: Modelos de los efectos E ( ) ( ) ijk Por otro lado, los efectos de los tratamientos de las interacciones entre factores se consideran como desviaciones respecto a la media global, por lo que: a i1 i 0, b j1 j 0 i a i1 j ( ) ij ij b j1 ( ) ij 0

31 Prueba de hipótesis de un diseño de dos factores Las hipótesis de ambos factores son de interés, así que: H H 1 : 0 1 : i 0... a 0 paraal menosuna i H H : : j 0... b 0 para al menos una j

32 Prueba de hipótesis de un diseño de dos factores También existe interés en determinar si los tratamientos de los renglones las columnas interactúan, por lo que: H H 0 1 : ( ) ij 0 para todaslas i, : al menosuna ( ) ij 0 j

33 Análisis estadístico del modelo con efectos fijos Definamos lo siguiente: i j ij b j1 k 1 a i1 k 1 n k 1 a n ijk b n ijk n ijk i1 j1 k 1 ijk i j ij bn n N i j an ij i 1,,..., a j 1,,..., b i 1,,..., a j 1,,..., b N abn

34 Descomposición de la suma de cuadrados total La suma de cuadrados total corregida puede expresarse como: i1 j1 k 1 i1 j1 k 1 a SCT a bn a i1 a b b ( b n n i ( [( n i1 j1 k 1 ijk i ) (...) ) ( an ijk b j1 ij ) j ( j ) ( ) ij n a i b i1 j1 j ( ij ) ( i ijk j ij ) )]

35 Descomposición de la suma de cuadrados total La ecuación anterior representa una partición de la suma de cuadrados total, la cual puede escribirse como: SCT SCA SCB SCAB SCE Donde SCA es la suma de cuadrados debida a los renglones o factor A, SCB es la suma de cuadrados debida a las columnas o factor B, SCAB es la suma de cuadrados debida a la interacción entre A B; SCE es la suma de cuadrados debida al error. 35

36 Descomposición de la suma de cuadrados total Donde los respectivos grados de libertad de cada una de ellas son: nab 1 ( a 1) ( b 1) ( a 1)( b 1) ab( n 1) Es importante observar que para el factor n-1 en los grados de libertad de SCE señala que se necesitan al menos dos réplicas del experimento para calcular este componente. 36

37 Tabla ANOVA para un diseño factorial de dos factores El procedimiento de prueba se resume mediante la siguiente tabla: Fuente de variación Suma de cuadrados Grados de libertad Cuadrado medio Efecto A SCA a 1 CMA Efecto B SCB b 1 CMB Interacción AB SCAB (a 1)(b 1) CMB Error SCE ab(n 1) CME Total SCT abn 1 F F F F 0 CMA CME CMB CME CMAB CME

38 Criterio de decisión valor-p = P(F g.l.n, ab(n 1) F 0 ) Si el valor-p es menor que el nivel de significancia prefijado se rechaza la hipótesis nula se conclue que el correspondiente efecto es significativo o influe en la variable de respuesta. 38

39 Ejemplo ilustrativo Consideremos un experimento en el que se quiere estudiar el efecto de los factores A: profundidad de corte sobre el acabado de un metal B: velocidad de alimentación. Al aleatorizar las 36 pruebas se obtienen los datos de la siguiente tabla. El acabado (Y) está en unidades de gramos e interesa minimizar su valor. 39

40 Ejemplo ilustrativo Debido a que el valor-p es menor que un nivel de significancia de 0.05, se rechaza la hipótesis nula se conclue que son significativos los efectos principales la interacción doble de los factores que por tanto influen en la variable de respuesta.

41 Interpretación La significancia de la interacción detectada por el ANOVA se observa en el hecho de que las líneas tienen pendientes relativamente diferentes. Como lo que interesa es minimizar la variable de respuesta, se observa que a maor velocidad profundidad ha una tendencia a obtener peores acabados.

42 Comparación de medias El ANOVA sólo indica que al menos un par de niveles del factor significativo son diferentes entre sí pero no dice cuáles son. Puede utilizarse cualquiera de los métodos para comparar las medias de los tratamientos vistos anteriormente.

43 Comparación de medias Cuando existe una interacción significativa las comparaciones entre las medias de uno de los factores (por ejemplo, A) pueden ser oscurecidas por la interacción AB. Una forma de abordar esta cuestión consiste en fijar el factor B en un nivel específico de interés aplicar las pruebas correspondientes a las medias del factor A con ese nivel.

44 Comparación de medias La estimación del error estándar para las medias de cualquier tratamiento (combinación de un nivel del factor A con un nivel del factor B) es de: (CME/n) ½. Cuando no ha interacción entre los tratamientos, se puede estimar el error estándar para la media de cualquier nivel de uno solo de los factores. En este caso, el error estándar para el factor A sería (CME/bn) ½ para el factor B sería (CME/an) ½.

45 Intervalos de confianza para tratamientos Un intervalo de confianza al 100(1 α)% para la media µ ij del nivel i-ésimo del factor A con el nivel j-ésimo del factor B es: ij t CME n /, ab( n1) /, ab( n1) ij ij t CME n

46 Intervalos de confianza para tratamientos Un intervalo de confianza al 100(1 α)% para la diferencia entre las medias de dos tratamientos cualesquiera µ ij µ kl es: ij kl t CME n ij t /, ab( n1) kl kl /, ab( n1) ij CME n

47 Intervalos de confianza cuando no ha interacción Un intervalo de confianza al 100(1 α)% para la media µ i del nivel i-ésimo del factor A es: i t CME bn /, ab( n1) /, ab( n1) i i t CME bn

48 Intervalos de confianza cuando no ha interacción Un intervalo de confianza al 100(1 α)% para la diferencia entre las medias de dos niveles distintos del factor A: µ i µ l es: i l t CME bn i t /, ab( n1) l l /, ab( n1) i CME bn

49 Intervalos de confianza cuando no ha interacción Un intervalo de confianza al 100(1 α)% para la media µ j del nivel j-ésimo del factor B es: j t CME an /, ab( n1) j j /, ab( n1) t CME an

50 Intervalos de confianza cuando no ha interacción Un intervalo de confianza al 100(1 α)% para la diferencia entre las medias de dos niveles distintos del factor B: µ j µ l es: j l t CME an t /, ab( n1) j l j l /, ab( n1) CME an

51 R² R² Ajustada del modelo La R² del modelo se obtiene mediante: R SCA SCB SCT SCAB 1 SCE SCT, 0 R 1 La R² Ajustada de nuestro diseño factorial se obtiene con: R Ajustada 1 SCT MCE gl Total

52 Estimación de los parámetros del modelo Pueden estimarse los parámetros μ, α i, β j (αβ) ij por el método de los mínimos cuadrados. ijk ( ) i j ij ij ˆ... ˆ i ˆ j i j i 1,,..., a j 1,,..., b ( ) ij ij i j

53 Podemos también encontrar el valor estimado o ajustado de ijk mediante: ˆ Estimación de los parámetros del ijk ˆ ˆ ˆ ij i ( i j ) modelo ( ) ij ( j Es decir, la observación k-ésima de la celda ij-ésima se estima con el promedio de las n observaciones de esa celda. ) ( ij i j )

54 Verificación de la adecuación del modelo Puede verificarse la adecuación del modelo factorial de dos factores mediante el análisis de residuales. e ijk ijk ˆ ijk ijk ij Residual de la observación k-ésima de la celda ij-ésima

55 Verificación de la adecuación del modelo Los residuales se utilizan para verificar la igualdad de la varianza contra cada uno de los factores. Tampoco deberá haber relación entre el tamaño de los residuales los valores ajustados ŷ ijk = ӯ ij.. En tales casos, podríamos usar alguna transformación para estabilizar la varianza. También podemos usar los residuales estandarizados d ijk = e ijk /(CME) ½ para verificar que no existan puntos atípicos.

56 Observaciones Siempre trataremos de buscar el modelo más sencillo que explique bien la variable de respuesta. Por ejemplo, si aceptamos H 0 : (αβ) 11 = = (αβ) ab = 0, concluimos que la interacción no influe de manera apreciable en la respuesta, entonces pasaríamos a considerar un modelo con dos factores sin interacción calcularíamos de nuevo la tabla ANOVA. Si además, aceptamos que uno de los factores no influe en la respuesta, lo eliminaríamos del modelo trabajaríamos con un modelo de un solo factor.

57 Metodología de los diseños factoriales 1. Identificar los factores que pueden influir en la variable respuesta proponer un modelo.. Establecer los niveles de los factores la cantidad de réplicas necesarias (n). 3. Realizar el experimento, tomando las observaciones necesarias. 4. Estimar los parámetros del modelo. 5. Contrastar si los factores influen en la respuesta detectar dónde radican las diferencias. 6. Si algún factor o interacción no influe, tratar de eliminarlo simplificando el modelo repitiendo los pasos anteriores. 7. Realizar la diagnosis del modelo mediante el análisis de los residuales.

58 Ejemplo del experimento del diseño de la batería Considere el experimento del diseño de la batería. Los números encerrados en un círculo son los totales de las celdas: Tipo de material 1 3 Temperatura (ºF) i.. 130,155, 34, 40, 0, 70, , , 75 8, ,188, 136, 1, 5, 70, , ,115 58, , 110, 174, 10, 96, 104, , , 139 8, 60.j =

59 Hipótesis del experimento del diseño de la batería

60 Ejemplo del experimento del diseño de la batería Las sumas de cuadrados requeridas se calculan como sigue: SCT 1 SCA bn 1 SCB an 1 SCAB n a b n 3799 ijk , N 36 i1 j1 k a i ( ) 10,683.7 N (3)(4) 36 i1 b j ( ) 39,118.7 N (3)(4) 36 j1 a b ij N i1 j SCA SCB ( ) SCE SCT SCA SCB SCAB 77, , ,118.79, ,30.75

61 ANOVA del experimento del diseño Fuente de variación Suma de cuadrados de la batería Grados de libertad Cuadrado medio Puesto que F 0AB (= 3.56) > F 0.05, 4, 7 (=.73), se conclue que ha una interacción significativa entre los factores. Además, F 0.05,, 7 = 3.35, por lo que los efectos del tipo de material la temperatura también son significativos. F 0 Valor P Tipos de material 10, , Temperatura 39, , E 7 Interacción 9, , Error 18, Total 77,

62 Gráfica del experimento del diseño de la batería Gráfica de las respuestas promedio para cada combinación de tratamientos. Observe la interacción entre los factores. Note que el Material tipo 3 parece producir los mejores resultados..

63 R² del experimento del diseño de la batería La R² del modelo es de Esto significa que el 76.5% de la variabilidad de la vida de la batería es explicada por el material de la placa de la batería, la temperatura la interacción entre el tipo de material la temperatura. R 1 SCE SCT 1 18, ,

64 Ejemplo del experimento de diseño de la batería Si quisiéramos un intervalo de confianza de 95% para la vida promedio de la batería (en horas) utilizando un material tipo 3 para el ánodo a una temperatura constante de 15ºF, éste sería:. ij t /, ab( n1) MCE t0.05, (1.99) n ij 33 3,15 F 3,15 F ij t 85.5 t /, ab( n1) 0.05,7 MCE n (1.99)

65 Diseño factorial sin interacción Puede haber ocasiones en que el experimentador considere que la interacción entre los factores sea despreciable. Para estos casos, podemos eliminar el efecto de la interacción en nuestro modelo de datos. ijk i j ijk i 1,,..., a j 1,,..., b k 1,,..., n

66 Diseño factorial sin interacción Antes de eliminar el efecto de interacción, es conveniente evaluar la presencia o no de este efecto mediante un ANOVA para experimentos con más de una réplica o mediante la prueba de interacción de Tuke para experimentos con una sola réplica.

67 Diseño factorial sin interacción El análisis estadístico de un modelo factorial de dos factores sin interacción es directo, con SCE = SCT SCA SCB. Note que la SCAB queda ahora absorbida por la SCE. En la siguiente tabla se presenta el análisis de los datos del ejemplo de la vida de la batería, suponiendo que no ha interacción. Fuente de variación. Suma de cuadrados Grados de libertad Cuadrado medio F 0 Valor P Tipos de material 10, , Temperatura 39, , E 6 Error 7, Total 77,

68 Diseño factorial sin interacción Al realizar un análisis de residuales del experimento de la vida de la batería se pone de manifiesto que el modelo sin interacción es inadecuado. Para el modelo de dos factores sin interacción los valores ajustados son ŷ ijk = ӯ i + ӯ j ӯ los cuales se grafican a continuación contra ӯ ij ŷ ijk..

69 Análisis de residuos Realizarlo en Minitab 17

70 Formación de bloques en un diseño factorial En ocasiones no es factible o práctico hacer la aleatorización completa de todas las corridas de un diseño factorial. La presencia de un factor perturbador puede hacer necesario que el experimento se corra en bloques. Los conceptos básicos de la formación de bloques pueden incorporarse en un diseño factorial. En el caso de tener dos factores perturbadores o de bloqueo, cada uno con p = ab niveles, entonces el diseño factorial puede hacerse en un cuadrado latino p p.

71 Ejemplo de formación de bloques Suponga que para realizar un experimento factorial se necesita una materia prima particular. Esta materia prima está disponible en lotes cuo tamaño no es suficiente para permitir que se corran todas las abn combinaciones de los tratamientos con el mismo lote; sin embargo, si un lote contiene material suficiente para hacer ab observaciones, entonces un diseño alternativo es correr cada una de las n réplicas utilizando un lote separado de materia prima. Por consiguiente, los lotes de materia prima representan una restricción sobre la aleatorización o un bloque, se corre una sola réplica completa dentro de cada bloque.

72 Hipótesis del modelo factorial con bloques Normalidad: ε ij ~ N(0, σ²) e independientes entre sí Puede haber interacción entre los factores de interés La interacción entre los bloques los tratamientos es insignificante Cada bloque contiene una réplica completa de los ab tratamientos Dentro de cada bloque las observaciones se determinan al azar

73 Modelo de datos del diseño factorial con bloques ijk i j ( ) ij k ijk i 1,,..., a j 1,,..., b k 1,,..., n

74 Modelo de datos del diseño factorial con bloques observación ijk-ésima media global error aleatorio tal que εijk ~ N(0, σ²) ijk i j ( ) ij k ijk i 1,,..., a j 1,,..., b k 1,,..., n efecto del nivel i-ésimo del factor A (renglones) efecto del nivel j-ésimo del factor B (columnas) efecto de la interacción entre α i β j efecto del bloque k- ésimo

75 Fórmulas para calcular las sumas de cuadrados SCT 1 SCA bn 1 SCB an SCAB SCBloques 1 n a i1 j1 k 1 1 ab i1 b j1 a a n b k 1 b i1 j1 n i j k ij ijk abn abn abn abn SCE SCT SCA SCB SCAB SCBloques SCA SCB abn

76 Grados de libertad Efecto Grados de libertad A a 1 B b 1 Interacción AB (a 1)(b 1) Bloques n 1 Error (ab 1) (n 1) Total abn 1

77 Análisis estadístico Las pruebas de hipótesis de los dos efectos principales su interacción son iguales que para los diseños factoriales: F MCA MCB, F0 F B 0 MCE MCE 0 A MCAB MCE Si las tres hipótesis nulas son ciertas, cada uno de estos cocientes se distribue como F con a 1, b 1 (a 1)(b 1) grados de libertad en el numerador, respectivamente (ab 1)(n 1) grados de libertad en el denominador. Cada H 0 se rechazaría si F 0 > F crítica. El valor P = P(F g.l.n, (ab 1)(n 1) > F 0 ) AB

78 ANOVA de un diseño de dos factores Fuente de variación Suma de cuadrados en bloques Grados de libertad Cuadrado medio Factor A SCA a 1 MCA Factor B SCB b 1 MCB Interacción SCAB (a 1)(b 1) MCAB Bloques SCBloque n 1 MCBloque Error SCE (ab 1)(n 1) MCE Total SCT abn 1 F F F F 0 MCA MCE MCB MCE MCAB MCE

79 Ejemplo del acabado en piezas metálicas Un ingeniero realiza un experimento para medir el acabado superficial de una pieza metálica utilizando tres velocidades de alimentación dos niveles de profundidad de corte. Como ha sólo cuatro operadores disponibles con diferente nivel de destreza parece lógico usar los operadores como bloques. Por lo tanto, cada operador realiza una corrida del experimento factorial 3 en un bloque completo aleatorio.

80 Ejemplo del acabado en piezas metálicas Los datos son los siguientes: Operadores (bloques) Profundidad de corte (mm) Velocidad de alimentación Baja Media Alta

81 Ejemplo del acabado en piezas metálicas Las hipótesis de interés son:

82 Ejemplo del acabado en piezas metálicas La suma de cuadrados de la velocidades de alimentación, de la profundidad de corte de su interacción se calculan de la manera usual. La suma de cuadrados debida a los bloques se encuentra a partir de los totales de los operadores ( k ) de la siguiente manera: n SCBloque 1 ab 1 k 1 (3)() k (57 abn ) 78 (3)()(4)

83 Fuente de variación ANOVA del acabado en piezas Suma de cuadrados metálicas Grados de libertad Cuadrado medio Total Tanto la velocidad de alimentación como la profundidad de corte son significativos en el nivel de 1%, mientras que su interacción sólo lo es en el nivel de 10%. El valor elevado del MCBloque indica que resultó útil el bloqueo del experimento. F 0 Valor P Velocidad Profundidad E 8 Interacción Bloques Error

84 Diseño factorial general Los resultados del diseño factorial de dos factores pueden ampliarse para el caso de tres o más factores de interés. Si todas las interacciones posible están incluidas en el modelo, se requiere de un mínimo de dos réplicas (n ) para estimar la SCE. Las hipótesis del modelo son las mismas que para el diseño factorial de dos factores. Los estadísticos de prueba para cada efecto principal e interacción se obtienen dividiendo el cuadrado medio correspondiente entre el cuadrado medio del error.

85 Modelo de datos del diseño factorial de tres factores ijkl i j k ( ) ij ( ) ik ( ) jk ( ) ijk ijkl i 1,,..., a j 1,,..., b k 1,,..., c l 1,,..., n

86 Pruebas de hipótesis para diseños de tres factores H H 1 : 0 1 : i 0... a 0 paraal menosuna i H H 0 1 : ( ) ij 0 para todaslas i, : al menosuna ( ) ij 0 j H H : : j 0... b 0 para al menos una j H H 0 1 : ( ) ik : al menos 0 una para todas ( ) ik 0 las i, k H H : : k 0... c 0 paraal menosuna k H H 0 1 : ( ) jk 0 para todaslas : al menosuna ( ) jk 0 j, k H H 0 1 : ( ) ijk 0 para todaslasi, : al menosuna ( ) ijk 0 j, k

87 Fórmulas para calcular las SC de tres factores SCT SCA SCB a 1 bcn 1 acn 1 SCC abn b i1 j1 k 1 l1 a i1 b j1 c k 1 c i j k n abcn abcn ijkl abcn abcn

88 Fórmulas para calcular las SC de tres 1 SCAB cn 1 SCAC bn 1 SCBC an 1 SCABC n i1 k 1 b c j1 k 1 a a i1 j1 a b b c c ij ik i1 j1 k 1 jk ijk factores SCA SCB abcn SCA SCC abcn SCB SCC abcn SCA SCB SCC SCAB SCAC SCBC abcn SCE SCT SCA SCB SCC SCAB SCAC SCBC SCABC

89 Grados de libertad para diseños de tres factores Efecto Grados de libertad A a 1 B b 1 C c 1 Interacción AB (a 1)(b 1) Interacción AC (a 1)(c 1) Interacción BC (b 1)(c 1) Interacción ABC (a 1)(b 1)(c 1) Error abc(n 1) Total abcn 1

90 ANOVA de un diseño factorial de tres Fuente de variación Suma de cuadrados factores Grados de libertad Cuadrado medio Factor A SCA a 1 MCA Factor B SCB b 1 MCB Factor C SCC c 1 MCC Interacción AB SCAB (a 1)(b 1) MCAB Interacción AC SCAC (a 1)(c 1) MCAC Interacción BC SCBC (b 1)(c 1) MCBC Interacción ABC SCABC (a 1)(b 1)(c 1) MCABC Error SCE abc(n 1) MCE Total SCT abcn 1 F F F F F F F F 0 MCA MCE MCB MCE MCC MCE MCAB MCE MCAC MCE MCBC MCE MCABC MCE

91 Análisis estadístico de un diseño con tres factores Cada H 0 se rechazaría si F 0 > F α, g.l.n, abc(n 1). El valor P para cada prueba se calcula mediante: valor P = P(F g.l.n, abc(n 1) > F 0 ) La R² del modelo se obtiene mediante: R 1 SCE, 0 R SCT 1

92 Análisis estadístico de un diseño con tres factores Por el método de los mínimos cuadrados obtenemos: ˆ ˆ i ˆ ˆ k j ( ) ( ) ( ) ij ik i jk ( ) j k ijk ij i k jk ijk i i j ij j k k i k jk i j k i 1,,..., a j 1,,..., b k 1,,..., c

93 Estimación de parámetros de un diseño con tres factores Podemos también encontrar el valor estimado o ajustado de ijkl mediante: ˆ ijkl ˆ ˆ ˆ ijk i j ˆ ( ) ( ) Es decir, la observación l-ésima de la celda ijk-ésima se estima con el promedio de las n observaciones de esa celda. Los residuales se obtienen mediante: k ij ik ( ) jk ( ) eijkl ijkl ˆ ijkl Residual de la observación l-ésima de la celda ijk-ésima ijkl ijk ijk

94 Ejemplo de un experimento con tres factores En una empresa embotelladora, un ingeniero de proceso desea reducir la variabilidad de las alturas de llenado de las botellas mediante el control de tres variables: 1) El porcentaje de carbonatación (A) ) La presión de operación en el llenador (B) 3) La rapidez de línea o botellas por minuto (C)

95 Ejemplo de un experimento con tres factores Se eligen tres niveles para la carbonatación: 10%, 1% 14%, dos niveles para la presión (5 30 psi) dos niveles para la rapidez de línea (00 50 bpm). El ingeniero decide correr dos réplicas de un diseño factorial con estos tres factores haciendo las 4 corridas de manera aleatoria. Los resultados se muestran en la siguiente lámina.

96 Ejemplo de un experimento con tres factores Los círculos contienen los totales de las celdas ijk.

97 Ejemplo de un experimento con tres factores Los cálculos de las sumas de cuadrados totales de los factores son: SCT 1 SCA bcn SCB SCC a i1 j1 k 1 l1 1 acn 1 abn b a i1 b j1 c k 1 c i j k n ijkl abcn 571 abcn 1 [( 4) 8 1 [1 abcn 1 1 [6 abcn ] 4 ] ]

98 Ejemplo de un experimento con tres factores Los cálculos de las sumas de cuadrados de las interacciones son: a b 1 SCAB cn 1 75 [( 5) ] 4 4 a c 1 SCAC SCA SCC bn i k abcn i1 k [( 5) ] 4 4 b c 1 SCBC SCB SCC an jk abcn j1 k 1 1 [6 6 i1 j1 15 ij 0 SCA SCB abcn 34 ]

99 Ejemplo de un experimento con tres factores Las sumas de cuadrados de la interacción de los tres factores del error son: 1 SCABC n a 1 75 [( 4) ( 1) 16 1 ] b c i1 j1 k 1 ijk SCA SCB SCC SCAB SCAC SCBC abcn SCE SCT SCA SCB SCC SCAB SCAC SCBC SCABC

100 ANOVA del experimento con tres factores Tabla ANOVA del experimento del nivel de llenado de botellas: Se observa que el porcentaje de carbonatación, la presión de operación la rapidez de línea afectan significativamente el volumen de llenado. El valor P para la interacción carbonatación-presión indica cierta interacción entre estos factores.

101 Gráficas de los efectos principales Gráficas de la desviación promedio del nivel de llenado de botellas para los niveles de los factores:

102 Gráficas de los efectos principales Gráficas de la desviación promedio de llenado de botellas para los niveles del factor rapidez de línea para la interacción carbonatación-presión:

103 Gráficas de los efectos principales Gráficas de la desviación promedio de la altura de llenado con rapidez alta presión baja para diferentes niveles de carbonatación:

104 Referencias Gutiérrez, H. de la Vara, R. (01). Análisis diseño de experimentos. México: McGraw Hill. Minitab 17 Statistical Software (010). [Computer software]. State College, PA: Minitab, Inc. ( Montgomer, D. (007). Design and analsis of experiments. EUA: Limusa Wile.