EXAMEN DE ESTADÍSTICA II Junio de 2002 SOLUCIÓN (tiempo:100 minutos)

Transcripción

1 EXAMEN DE ESTADÍSTICA II Junio de 2002 SOLUCIÓN (tiempo:100 minutos) PROBLEMA 1 Se quiere comparar la cantidad de energía necesaria para realizar 3 ejercicios o actividades: andar, correr y montar en bici. La variable de interés es el número de calorías consumido por kilómetro. Para controlar las diferencias metabólicas, se seleccionan 6 individuos y cada uno realiza una vez cada actividad. Los resultados son: ind. 1 ind. 2 ind. 3 ind. 4 ind. 5 ind. 6 y i. Correr Andar Bici y..j Obtener la tabla Adeva teniendo en cuenta tanto la actividad o ejercicio como el individuo. Es siginifcativo el tipo de ejercicio en el consumo de calorías?. Se sabe que V T (variabilidad total) = (y ij y.. ) 2 = i j Fuente S.C. g.l. C.M. F Actividad Individuo Residual Total Como F 2,10; 0.05 = 4, 10, luego > 4, 10 y por tanto rechazo H 0 = α i = 0 i = 1, 2, 3 siendo α i el efecto sobre el consumo de calorías del factor ejercicio o actividad. El tipo de ejercicio es significativo en el consumo de calorías. 2. Teniendo en cuenta los individuos, construir intervalos de confianza (Bonferroni) para averiguar si existen diferencias entre las medias del consumo de energía de cada ejercicio. Interpretar los resultados. (α T = 0.05).

2 c = 3, luego α = α T 3 = entonces α/2 = y 1 (α/2) = t 10; 0.99 = 2.76 IC(α i α j ) = ( y i. y j. ) ± t10; 0.99 Ŝ 2 R ( 2 J ) ( 2 IC(corre andar) = ( ) ± = 6) = 5.67 ± = (2.69, 8.65) luego existen diferencias significativas entre la energía media necesaria para correr y andar. IC(correr bici) = ( ) ± = = 1.34 ± 2.98 = ( 1.64, 4.32) luego no exiten diferencias siginficativas entre correr y montar en bici. IC(andar bici) = ( ) ± 2.98 = 4.33 ± 2.98 = ( 7.31, 1.35) luego hay diferencias en el consumo de calorías entre andar y montar en bici. 3. Obtener también la tabla Adeva sin tener en cuenta el efecto del individuo, qué ocurre ahora?. Qué influencia tiene excluir el efecto de los individuos?. Interpretar la variación y el por qué de la misma. Fuente S.C. g.l. C.M. F Actividad Residual Total Como F 2,15; 0.05 = 3.68 > 3.15, no puedo rechazar H 0 = α i = 0 i = 1, 2, 3. El tipo de ejercicio ya no es siginificativo en el consumo de calorías. Al

3 eliminar la variable bloque, no sólo he perdido el efecto incremental debido al mismo, sino que la variabilidad explicada por el bloque pasa a formar parte de la no explicada, lo que hará que la varianza residual sea mayor y el estadístico F calculado será menos. Luego tendré menos sensibilidad para detectar el efecto del factor ejercicio (o actividad). Luego se rechaza la H 0 de igualdad de medias entre actividades cuando hemos tenido en cuenta el efecto del individuo. Pero no hemos podido rechazar la H 0 cuando lo hemos excluido.

4 PROBLEMA 2 En un estudio realizado con 10 familias sobre el comportamiento de los gastos familiares en u.m. (Y,), en función del gasto en comida en u.m. (X 1 ) y la renta familiar en u.m. (X 2 ), se obtuvieron las siguientes estimaciones: Ŷ = X X 2 Además se dispone de la siguiente información. La suma de residuos al cuadrado 10 e 2 i = 1, 573 donde e i = y i ŷ i y la matriz de varianzas y i=1 covarianzas del estimador β viene dada por: V ar( β) = Se pide: 1. Interpretación de los coeficientes estimados. Explicar como se han calculado. (0.5) Si aumenta en una unidad monetaria el gasto en comida manteniendo la renta familiar constante los gastos medios familiares aumentan en 0.02 unidades monetarias. Si aumenta en una unidad monetaria la renta familiar manteniendo constante los gastos en comida, los gastos medios familiares aumentan en unidades monetarias. Si el gasto en comida es cero y la renta familiar es cero los gastos medios familiares son unidades monetarias. Cálculo: β = (X X) 1 X Y. Siendo X la matriz de diseño en el modelo de regresión múltiple matricial: Y = Xβ + U. La matriz X es de dimensión 10*3, y el vector Y tiene dimensión 10*1. 2. Construya un intervalo de confianza al 95% para el coeficiente del gasto en comida. Es esta variable significativa? (0.5) I.C.(β 1 ) : Luego el intervalo de confianza será: Nota: t 7; 0.05/2 = 2, 36 ( β 1 ± t n k 1; α/2 var ( β 1 ) ) 0.02 ± = ( 0.446; 0.486)

5 3. Contrastar la hipótesis: β 2 = con un nivel de siginificación α = (0.5) t = β var( β 2 ) = = 0.88 como t 7; = 2.36 luego no puedo rechazar H Obtener una medida de la bondad del ajuste (R 2 ), siendo V E = Se considera el modelo significativo?. Nivel de significación α = (0.5) R 2 = V E V T teniendo en cuenta que: V T = V E + V NE, se tiene V E = V NE = V T = = Luego: R 2 = = 0.12 El 12% de las variaciones de la variable endógena están explicadas por el modelo (variables x 1, x 2 ). Para hacer el contraste de regresión general: H 0 : β 1 = β 2 =... = β k = 0 F = R2 n k 1 1 R 2 k F k,n k 1 con lo que: F = = 0.477, teniendo en cuenta que F ,7;0.05 = 4.74 no se puede rechazar la hipótesis nula. 5. Sabiendo que los gastos en comida de una familia serán de 50 u.m. y que su renta familiar será de 350 u.m. Entre qué valores espera que se cifren los gastos de dicha familia a un 95% de confianza?. (0.5)

6 El intervalo de predicción es de la siguiente forma: ŷ h ± t n k 1; α/2 x hŝ2 R(X X) 1 x h + Ŝ2 R y sustituyendo los valores se obtiene, ± = ± , 8 = = ± = ( 19.85, 32.45) Con un 95% de confianza, la predicción para la variable dependiente se espera entre esos dos valores.