Técnicas Cuantitativas para el Management y los Negocios

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1 Segundo cuatrimestre - 4 Técnicas Cuantitativas para el Management y los Negocios Mag. María del Carmen Romero 4 romero@econ.unicen.edu.ar Módulo III: APLICACIONES Contenidos Módulo III Unidad 9. Análisis de regresión lineal simple Modelo Lineal General. Lineal Simple. Estimación de los parámetros. El método de los mínimos cuadrados. Principales supuestos. Interpretación de la ecuación de regresión. Pruebas de hipótesis referidas a los parámetros del modelo. Test T. Análisis de varianza. El test F referido a la bondad del modelo. Predicción en el modelo lineal. Validación de supuestos. Multicolinealidad. Mag. María del Carmen Romero

2 Segundo cuatrimestre - 4 Aplicaciones Contenidos Unidad 9. Análisis de regresión lineal simple Modelo Lineal General. Lineal Simple. Estimación de los parámetros. El método de los mínimos cuadrados. Principales supuestos. Interpretación de la ecuación de regresión. Pruebas de hipótesis referidas a los parámetros del modelo. Test T. Análisis de varianza. El test F referido a la bondad del modelo. Predicción en el modelo lineal. Validación de supuestos. Multicolinealidad. Análisis de Regresión Mag. María del Carmen Romero

3 Segundo cuatrimestre - 4 Ejemplos Fuente: Anderson, David R. y Sweeney, Dennis J. Estadística para administración y economía. Cengage Learning Editores, páginas. Ejemplos Fuente: Anderson, David R. y Sweeney, Dennis J. Estadística para administración y economía. Cengage Learning Editores, páginas. Mag. María del Carmen Romero 3

4 Segundo cuatrimestre - 4 Ejemplos Fuente: Anderson, David R. y Sweeney, Dennis J. Estadística para administración y economía. Cengage Learning Editores, páginas. Ejemplos Semana Gastos en publicidad semanales (en miles de pesos) Ventassemanales (en miles de pesos) Se desea pronosticar las ventas anuales para todas las sucursales nuevas tomando como base la cantidad de empleados del establecimiento. Mag. María del Carmen Romero 4

5 Segundo cuatrimestre - 4 Diagrama de dispersión Ventas 8 6 4,6,7,8,9,,,,4,5,6,7,8,9, Publicidad Objetivos Representar la dependencia lineal de una variable respuesta (dependiente), respecto a una o más variables explicativas (independientes). Hacer inferencias acerca de la relación lineal entre las variables de la población y predecir los valores de la variable respuesta. DES CRIP TIVO INFE REN CIAL Modelos: Regresión Lineal Simple y Múltiple Regresión Logística Otros modelos Mag. María del Carmen Romero 5

6 Segundo cuatrimestre - 4 Lineal Simple general: donde Y y = β + βx + ε i = + βx i β + ε X: variable independiente Y: variable dependiente β y β son los parámetros de regresión β : valor promedio de Y cuando X = β : cambio esperado en Y por unidad de cambio en X ε : término de error aleatorio i En una muestra, la línea de predicción: Yˆ = b + bx b y b se denominan coeficientes de regresión Si se cumplen algunos supuestos, b y b serán estimadores de los verdaderos parámetros poblacionales β y β Mag. María del Carmen Romero 6

7 Segundo cuatrimestre - 4 Cómo se estiman los parámetros? Método de Mínimos Cuadrados Salida InfoStat Mag. María del Carmen Romero 7

8 Segundo cuatrimestre - 4 Salida Minitab Regression Analysis The regression equation is Ventas = -7,5 + 5 Publicidad Predictor Coef StDev T P Constant -7,5,5 -,99,5 Publicidad 5,,64 9,7 <, R-Sq = 9% R-Sq(adj) = 89% Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression 47,5 47,5 84,6 <, Publicidad 47,5 47,5 84,6 <, Residual Error 9 6,5,94 Total 74, Regression Analysis The regression equation is Ventas = -7,5 + 5 Publicidad Coeficientes de Regresión Predictor Coef StDev T P Constant -7,5,5 -,99,5 Publicidad 5,,64 9,7 <, R-Sq = 9% R-Sq(adj) = 89% b : estimación del valor promedio para Y (Ventas) cuando X (Publicidad) = b : estimación del incremento del valor promedio de Y (Ventas) por un incremento en unidad en X (Publicidad) Mag. María del Carmen Romero 8

9 Segundo cuatrimestre Ventas ,9,,,,3,4,5,6,7,8,9, Publicidad Ventas PRED_Ventas Ventas = -7,5 + 5 Publicidad Medidas de Variación Sumas de Cuadrados SST: Suma Total de Cuadrados SST = ( Y Y) SSR: Suma de Cuadrados de la Regresión o Variación explicada SSR SSE: Suma de Cuadrados del Error o Variación no explicada SSE SST = SSR + SSE Cuadrado medio = Suma cuadrados / gl = ( Yˆ Y) = ( Y Ŷ) Mag. María del Carmen Romero 9

10 Segundo cuatrimestre - 4 Analysis of Variance Medidas de Variación Sumas de Cuadrados Source DF SS MS F P Regression 47,5 47,5 84,6 <, Publicidad 47,5 47,5 84,6 <, Residual Error 9 6,5,94 Total 74, SST: Suma Total de Cuadrados SST SSR: Suma de Cuadrados de la Regresión o Variación explicada SSE: Suma de Cuadrados del Error o Variación no explicada SST = SSR + SSE SSR SSE = ( Y Y) = ( Yˆ Y) = ( Y Ŷ) Medidas de Variación Coeficiente de determinación r r Variación explicada (SSR) = = Variación total (SST) Variación no explicada (SSE) = = Variación total (SST) ( Yˆ Y) ( Y Y) ( Y Yˆ ) ( Y Y) Mide la proporción de la variación en Y que se explica por la variable independiente X en el modelo de regresión (porcentaje de la variación de Y que se explica por la variabilidad en X). Mag. María del Carmen Romero

11 Segundo cuatrimestre - 4 Medidas de Variación Coeficiente de determinación Regression Analysis The regression equation is Ventas = -7,5 + 5 Publicidad Predictor Coef StDev T P Constant -7,5,5 -,99,5 Publicidad 5,,64 9,7 <, R-Sq = 9% R-Sq(adj) = 89% El 89% de la variación en las Ventas se explica por la variabilidad en la Publicidad. El % de la variación restante se debe a factores diferentes a los que se contabilizan con el modelo de regresión lineal. Objetivos Representar la dependencia lineal de una variable respuesta (dependiente), respecto a una o más variables explicativas (independientes). Hacer inferencias acerca de la relación lineal entre las variables de la población y predecir los valores de la variable respuesta. DES CRIP TIVO INFE REN CIAL Para hacer inferencias es necesario verificar supuestos Mag. María del Carmen Romero

12 Segundo cuatrimestre - 4 Algunos ejemplos de inferencias : Pronosticar las Ventas en función de los gastos en Publicidad teniendo en cuenta la confiabilidad en los pronósticos. Probar si los coeficientes de la regresión son significativos. Realizar inferencias acerca de la relación lineal entre las variables. Inferencias Prueba t para la pendiente: ˆ β β t= S( ˆ β ) Se utiliza para probar la Hipótesis de que la pendiente de la línea de regresión es significativamente y poder determinar, de esta manera, la existencia de una relación lineal significativa entre las variables X e Y. The regression equation is Ventas = -7,5 + 5 Publicidad Predictor Coef StDev T P Constant -7,5,5 -,99,5 Publicidad 5,,64 9,7 <, Mag. María del Carmen Romero

13 Segundo cuatrimestre - 4 Inferencias Prueba F: Varianza explicada F f Varianza no explicada F = MSR MSE = ( Yˆ Y) /( k ) ( Y Yˆ ) /( n k) Donde k es el número de variables independientes y n es el tamaño de la muestra. Se utiliza para probar la Hipótesis de que el modelo planteado es bueno. Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression 47,5 47,5 84,6 <, Publicidad 47,5 47,5 84,6 <, Residual Error 9 6,5,94 Total 74, Inferencias Estimación del intervalo de confianza para β : b ± t n Sb Donde S b es el desvío estándar. Además, pueden realizarse las siguientes estimaciones: Intervalo de confianza para la media Y (dado un valor de X) Intervalo de predicción (para una respuesta individual) Existe una mayor variación al predecir un valor individual que al estimar el valor de la media. Mag. María del Carmen Romero 3

14 Segundo cuatrimestre - 4 Supuestos = β + βx + ε Y LINEALIDAD La relación entre las variables es lineal. INDEPENDENCIA DE ERRORES Los términos de error son independientes entre sí. NORMALIDAD Los errores presentan una distribución normal para cada valor de X. IGUAL VARIANZA (HOMOCEDASTICIDAD) La varianza de los errores es constante para todos los valores de X. Supuestos Análisis Residual Se definen dos tipos de residuos: Residuos respecto a la media Y Y Residuos respecto a los valores ajustados e i = Y i Yˆ i Mag. María del Carmen Romero 4

15 Segundo cuatrimestre - 4 Supuestos - LINEALIDAD Gráfico: Residuos vs. X Si el modelo lineal es apropiado un patrón Si el modelo lineal no es apropiado patrón (relación) no existe existe Supuestos - LINEALIDAD 4 3 RES Precio. Mag. María del Carmen Romero 5

16 Segundo cuatrimestre - 4 Supuestos - INDEPENDENCIA DE ERRORES Herramientas para detectar autocorrelación: Gráfico: Residuos en el orden o secuencia en la cual se recolectaron los datos. Estadístico de Durbin-Watson Supuestos - INDEPENDENCIA DE ERRORES Residuals Versus the Order of the Data (response is Ventas) 4 3 Residual Observation Order Mag. María del Carmen Romero 6

17 Segundo cuatrimestre - 4 Supuestos - NORMALIDAD Gráfico: Residuos vs. Valores teóricos normales El análisis de regresión es robusto a la falta de normalidad Normal Probability Plot of the Residuals (response is Ventas) Normal Score Residual Supuestos - HOMOCEDASTICIDAD Gráfico: Residuos vs. Predichos Permite observar si hay diferencias en la variabilidad de los residuos para los diferentes valores de X. Residuals Versus the Fitted Values (response is Ventas Y) 4 3 Residual Fitted Value Mag. María del Carmen Romero 7

18 Segundo cuatrimestre - 4 Supuestos Residual Model Diagnostics Normal Plot of Residuals I Chart of Residuals Residual Residual - 3.SL=9.4 X=-5.7E-5-3.SL= Normal Score Observation Number Histogram of Residuals Residuals vs. Fits Frequency Residual Residual Fit lineal múltiple Y β + β X + β X β + ε = X k k donde X, X,, X k : variables independientes Y: variable dependiente β, β,, β k son los parámetros de regresión β : valor promedio de Y cuando X i = β : cambio esperado en Y por unidad de cambio en X manteniendo constantes las demás variables independientes. β k : cambio esperado en Y por unidad de cambio en X k manteniendo constantes las demás variables independientes. ε : término de error aleatorio Mag. María del Carmen Romero 8

19 Segundo cuatrimestre - 4 En una muestra, la línea de predicción: ˆ Y = b + bx + b X b X k k b, b, b,, b k se denominan coeficientes de regresión Si se cumplen algunos supuestos serán estimadores de los verdaderos parámetros poblacionales β, β, β,, β k Supuestos: Se agrega el supuesto de no multicolinealidad Situaciones en las cuales algunas de las variables independientes tienen una alta correlación entre sí. Incluir en el modelo aquellas variables que tengan una alta correlación con la variable respuesta y una baja correlación con las variables ya incluidas en el modelo. Mag. María del Carmen Romero 9

20 Segundo cuatrimestre - 4 Consideraciones Finales: En todos los casos, concluir sobre la bondad de ajuste del modelo (cuán bien el modelo describe la variabilidad de la variable dependiente. Si se realizan inferencias, no olvidar validar los supuestos. Mag. María del Carmen Romero

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