Departamento de Economía Aplicada I ESCUELA UNIVERSITARIA DE ESTUDIOS EMPRESARIALES DIPLOMATURA EN CIENCIAS EMPRESARIALES ESTADÍSTICA

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1 ESCUELA UIVERSITARIA DE ESTUDIOS EMPRESARIALES DIPLOMATURA E CIECIAS EMPRESARIALES ESTADÍSTICA Ejercicios Resueltos AÁLISIS ESTADÍSTICO DE DOS VARIABLES Y RE- GRESIÓ LIEAL SIMPLE Curso 6-7

2 Curso 6-7 1) A partir de una muestra de 1 familias se desea hacer un estudio sobre la relación entre el ingresos (X) los ahorro (Y). Los datos obtenidos se recogen en la siguiente tabla, epresados en miles euros anuales: X Y a) Obtener las distribuciones marginales. b) Calcular el ingreso anual medio, el ahorro anual medio medir la representatividad de ambos valores medios. c) Cuál es el valor más frecuente del ahorro para un ingreso comprendido entre 8 15 euros? d) Calcular el valor del ingreso anual mínimo de una familia para encontrarse entre el 5% de las familias con maores ingresos. e) Cuál sería el grado de relación lineal entre estas dos variables? f) Son independientes las variables? g) Si el ahorro puede relacionarse con los ingresos mediante un modelo lineal, estime dicha función e interprete el significado de cada uno de los coeficientes. h) Qué porcentaje de variación del ahorro queda eplicado por el modelo lineal del apartado anterior? i) Utilizando el modelo lineal obtenido anteriormente Cuál será el ahorro estimado para una familia que tiene unos ingresos anuales de 1 euros? SOLUCIÓ: a) Las frecuencias de la distribución marginal de X las obtenemos sumando las frecuencias conjuntas de las filas correspondientes a cada uno de los intervalos de la variable X, mientras que las frecuencias de la distribución marginal de Y las obtenemos sumando las frecuencias conjuntas de las columnas correspondientes a cada uno de los intervalos de la variable Y. Así, la frecuencia marginal del intervalo (4, 8] de la distribución marginal de X será: n. = = 35 la frecuencia marginal del intervalo (1, 5] de la distribución marginal de Y será: n 1. = = 33 Por tanto, las distribuciones marginales son:

3 Curso 6-7 X Y n i n j b) Tenemos que calcular las medias de las distribuciones marginales de X e Y. X ni. i n i i. n i. i. Y n. j j n j. j n. j. j ,5 16,5 8, ,5 4,5 468, ,5 6,5 4593, ,5 14,5 1394, , , = = = k m n i i. 9,65. i = n j j 1 1 j = = = = 3,33 1 Luego, el ingreso anual medio es 9,65 miles de euros el ahorro anual medio es 3,33 miles de euros. La representatividad de estos valores medios la medimos mediante el coeficiente de variación. 1 11,5 4,1355 S = n = 9, 65 = 17,15 S = 4,1355 CV = =, , 65 k i. i. i = ,5, 4487 S = n = 3, 33 = 5,9961 S =, 4487 CV = =, ,33 m. j. j j = 1 c) Tenemos que calcular la moda de la distribución de Y condicionada a que (8,15]. Dicha distribución condicionada viene dada por: Y n X = 11,5 j a j d j , { d j } ma = 6 Mo (5, 8] 6 3,5 Mo = = 5,884 (6 3,5) + (6 ) d) Tenemos que calcular la mediana de la distribución marginal de X. 3

4 Curso 6-7 X ni. i = = 5 Me = 8 miles de euros e) El grado de relación lineal entre las variables viene dado por el coeficiente de correlación. S r = SS i j ij i = 1 j = 1 Calculemos la covarianza entre las dos variables: k m 1 S = n = 6, ,5, , ,5 6, ,5 6,5 15 = 9,65 3,33 = 7, Así, r S 7,8855 = = =,7787 SS 4,1355, 4487 f) Las variables no son independientes, a que si lo fueran tendrían que ser incorreladas, r. g) Tenemos que calcular la recta de regresión de Y sobre X: S 7,8855 b = = =, 4611 a = b = 3,33, ,65 = 1,1196 S 17,15 Luego, la recta de regresión de Y sobre X es: * = 1,1196 +, 4611 h) El porcentaje de variación del ahorro queda eplicado por el modelo lineal del apartado anterior lo obtenemos a partir del coeficiente de determinación: R = r =,7787 =,664 Así, el porcentaje de variación del ahorro que queda eplicado por la recta de regresión es del 6,64%. i) La predicción del ahorro para una familia con unos ingresos anuales de 1 euros que proporciona la recta de regresión sería: 4

5 Curso 6-7 * = 1,1196 +, = 4, 4136 miles de euros ) La evolución trimestral de los depósitos a la vista los depósitos a plazo, epresados en miles de millones de euros, en Andalucía, es la que aparece recogida en la siguiente tabla: Año Trimestre 1º º 3º 4º 1º º 3º 4º 1º Depósitos a la vista 15,1 16,6 16,8 17,3 18, 19,6 19,4 19,8,6 Depósitos a plazo 8,9 9,1 8,9 3,3 31,4 3,4 3,7 34,9 36,9 Fuente: Banco de España a) Representar gráficamente la nube de puntos. Cuantifique el grado de relación lineal entre las variables. b) Obtener la recta de regresión que eplique los depósitos a plazo a partir de los depósitos a la vista. Interprete los coeficientes de dicha recta. c) Qué porcentaje de variación de los depósitos a plazo queda eplicado por los depósitos a la vista? d) Si para el segundo trimestre del año 5 se esperan 1,4 miles de millones de euros en depósitos a la vista, cuál sería la predicción de los depósitos a plazo, utilizando el modelo lineal calculado? e) Si los depósitos a la vista se incrementan un 1% a partir del valor del primer trimestre de 5, en qué porcentaje se incrementan los depósitos a plazo? f) Determine la recta de regresión que eplique los depósitos a la vista a partir de los depósitos a plazo. Qué porcentaje de variación de los depósitos a la vista eplica dicha recta? g) Según el modelo obtenido en el apartado anterior, cuál sería la estimación de los depósitos a la vista, si los depósitos a plazo fueran 38 mil millones de euros? h) Representar gráficamente las dos rectas de regresión junto con la nube de puntos. SOLUCIÓ: a) Llamemos X: depósitos a la vista en miles de millones de euros, e Y: depósitos a plazo en miles de millones de euros. La nube de puntos, o diagrama de dispersión, la obtendremos representando los puntos (, ): i i 5

6 Curso ,9 34,9 3,4 31,4 3,3 8,9 15,1 16,6 17,3 18, 19,4,6 Para cuantificar el grado de relación lineal entre las variables, calculamos el coeficiente de correlación lineal: r = S SS i i i i i i 15,1 8,9 8,1 835,1 436,39 16,6 9,1 75,56 846,81 483,6 16,8 8,9 8,4 835,1 485,5 17,3 3,3 99,9 918,9 54,19 18, 31,4 331,4 985,96 571,48 19,6 3,4 384,16 149,76 635,4 19,4 3,7 376,36 169,9 634,38 19,8 34,9 39,4 118,1 691,,6 36,9 44, ,61 76,14 163,4 85,5 993,6 9119,95 51, 1 163, , 6 = = = S = = = i 18,1556 i 18,1556, 9586 i= 1 9 i= , ,95 = = = S = = = i 31,7 i 31,7 7,98 i= 1 9 i= , S = ii = 18, ,7 = 4, i= 1 9 Por tanto, el coeficiente de correlación vale: 6

7 Curso 6-7 4, r = =,99,9586 7, 98 lo que indica que eiste el grado de relación lineal entre las variables es alto,, por ser positivo, que al aumentar el depósito a la vista también aumenta el depósito a plazo, viceversa. b) Tenemos que determinar la recta de regresión de Y sobre X: * = a + b S 4, b = = = 1,4196 S,9586 a = b = 31, 7 1, ,1556 = 5,9485 Luego, la recta de regresión que eplica los depósitos a plazo a partir de los depósitos a la vista es: * = 5, , El coeficiente b = 1,4196 indica que por cada unidad que aumentan los depósitos a la vista, los depósitos a plazo aumentan 1,4196 unidades, es decir, por cada 1... de euros de aumento en los depósitos a la vista, los depósitos a plazo aumentan euros. El coeficiente a = 5,9485 indica que si los depósitos a la vista valen cero, el valor de los depósitos a plazo sería euros. c) El porcentaje de variación de los depósitos a plazo que queda eplicado por los depósitos a la vista nos lo proporciona el coeficiente de determinación: R = r =,99 =,8481 Por tanto, el 84,81% de las variaciones de los depósitos a plazo están eplicados por los depósitos a la vista. d) Para obtener la predicción de los depósitos a plazo para un valor de los depósitos a la vista de 1,4 miles de millones de euros, sustituimos este valor en la ecuación de la recta de regresión: * = 5, , , 4 = 36,379 miles de millones de euros e) El porcentaje de incremento de los depósitos a plazo para un incremento del 1% a partir del valor del primer trimestre de 5 nos lo proporciona la elasticidad en el punto =,6: b 1, 4196,6 E = E,6 = =,831 = a + b = 5, , 4196, 6 Por tanto, si los depósitos a la vista se incrementan un 1% a partir del valor,6, los depósitos a plazo se incrementan un,831%. 7

8 Curso 6-7 f) Tenemos que calcular la recta de regresión de X sobre Y: * = a' + b ' S 4, b' = = =,5975 S 7,98 a' = b ' = 18,1556, , 7 =, 7984 Luego, la recta de regresión que eplica los depósitos a la vista a partir de los depósitos a plazo es: * =,7984 +,5975. El porcentaje de variación de los depósitos a la vista eplicado por los depósitos a plazo es el 84,81%, a que el coeficiente de determinación es el mismo para las dos rectas de regresión. Como puede comprobarse, se verifica que b b' = R g) Utilizando el modelo obtenido en el apartado anterior, la estimación de los depósitos a la vista para unos depósitos a plazo de 38 mil millones de euros sería: * =,7984 +, = 1,966 miles de millones de euros h) La representación gráfica de la nube de puntos las dos rectas de regresión es: 36,9 * =, ,5975 * = 5, , ,9 3,7 31,4 3,3 8,9 (, ) 15,1 16,6 17,3 18, 19,4,6 Observemos que las dos rectas de regresión se cortan en le punto (, ) que, por ser el valor absoluto del coeficiente de correlación próimo a 1, el ángulo que forman las dos rectas es pequeño. 3) Cierta empresa ha analizado estadísticamente la relación eistente entre dos de las magnitudes que más le preocupan: los costes totales (Y) los costes variables (X) todos ellos 8

9 Curso 6-7 a corto plazo. Analizados los datos se comprueba que: Si se construeran las rectas de regresión de Y sobre X de X sobre Y ambas rectas se cortarían en el punto de coordenadas (6, 4) Si para un coste variable de 1 unidades monetarias se incrementa el mismo en un 1%, el incremento que eperimentarían los costes totales, bajo el modelo lineal de Y sobre X, sería del,8% Si se incrementan en una unidad monetaria los costes totales, los costes variables aumentarían 1,85 unidades monetarias bajo el modelo lineal de X sobre Y. Bajo estos supuestos se pide hallar la recta de regresión de Y sobre X de X sobre Y, medir las bondades de ambos ajustes. SOLUCIÓ: Tenemos que calcular las dos rectas de regresión: * = a + b * = a' + b '. Como las rectas de regresión se cortan en el punto (6, 4) = 6 = 4 Si = 1 se incrementa en un 1%, Y se incrementa en un,8% 1 =,8: E = E b 1b a+ b a+ 1b = =,8 = Si Y aumenta una unidad, X aumenta 1,85 unidades b ' = 1,85 Como la recta de regresión de Y sobre X pasa por el punto (, ): 4= a+ 6b. Así, el sistema de ecuaciones: 1b,8 = a+ 1b 4= a+ 6b proporciona los valores de a b. Resolviendo este sistema de ecuaciones, obtenemos que: a = 1,3336 b =, 4444 * = 1,3336 +, 4444 Como la recta de regresión de X sobre Y pasa por el punto (, ): 6 = a' + 4 b', como b ' = 1,85, se tiene que: a ' = 6 4 1,85 = 1, 9. Por tanto, * = 1, 9 + 1,85 La bondad de ajuste de ambas rectas de regresión es la misma, viene dada por el coeficiente de determinación. 9

10 Curso 6-7 R = bb ' =, ,85 =,899 Por tanto, el 8,99% de la varianza de una de las variables está eplicada por un función lineal de la otra. 1