6 Cinemática de rotaciones finitas

Transcripción

1 6 Cmátca d otacos ftas 6. Momto sféco Dfcó: Cpo ígdo: s sstma d patíclas tal q las dstacas t las dsttas patíclas o aía sta codcó s dal, po la mayoía d los casos los sóldos pd dspcas los pqños cambos d dstacas q xst y cosda las lys dl momto dl cpo como todo. aa smplfca, cosdamos al cpo como coto dscto d patíclas. S s q pasa al cotío, s dbá mplaza la masa d cada patícla po ρ.dv, dod ρ s la dsdad, tga l olm dl cpo. Momto sféco: s aql q dscb cpo ígdo q ga co spcto a pto fo l spaco (o). l pto p ptc al cpo. o l momto p pasa a ocpa la poscó dfda po. st momto s caactza po dos popdads. Sa [,, ] fca, y [,, ] () La logtd d o camba (8) () Como l cpo s ígdo, l áglo lato t dos ctos abtaos fos al cpo o camba. ctos otoomals fos al cpo la cofgacó d, los msmos ctos dspés d la tasfomacó. d dmostas q st momto d otacó s a tasfomacó. tocs, admt a pstacó matcal: lal ( ) O p (9) aa s a tasfomacó lal, dbía s dt. A s z, sá: () Gstao C. Balbasto ága 4 /8/6

2 o la pma popdad (8), pd scbs: () ( )( ) (4) o s abtao s otogoal ( ) dt( ) dt( ) dt( ) dt( ) dt ± La xpsó ato dca q o hay xpasó, po lo q s mat la oma. cato al sgo, s db t cta q l cambo db s d sstma dxtógo o d mao dcha a oto sstma dxtógo. [( ) ] [( ) ] Dfmos: A [,, ] ; B [,, ] ˆ ˆ gla d la mao dcha (4) o las popdads atos, s fca dt A ; dt B. Admás B A, po lo tato, dt B dt dt A. lo q dca q dt ( ) + S fa dt( ), la tasfomacó sía a flxó. sto dca q la matz d otacó s a matz otogoal popa, po s s dtmat gal a. Aalzamos l spcto d, s dc, como so ss alos y ctos popos. x λ x (4) o s dt ( ) + ( ) λ λ dt λ + (4) xpaddo la bas d atoctos omalzados: x λ x X X [ λ] [ x, x, x], λ λ x x (44) λ λ ; [λ] s a matz dagoal x taspsto cogado, ya q pd hab complos. l podcto colma po fla da a matz cadada Gstao C. Balbasto ága 4 /8/6

3 stado los atoctos omalzados: X X X X [ ] X λ X (45) o lo tato, (44) y (45) so gals. Sdo al, sá [ ] X λ X X [ ] X X [ ] X λ λ (46) t( ) t( X [ λ ][ λ] X ) t( [ λ ][ λ] ) (47) Lgo, s pd scb l sstma q daá los atoalos d la matz como: λ + λ + λ λ λ λ (48) d fcas q sstma. λ ( φ ) λ ±, co φ abtao, s a solcó dl ;, Nota q s a matz otogoal popa, t atocto tal q, y admás o també α α. o lo tato, s l d la otacó. odo pto q sté sob l d otacó o slta afctado po la msma. Los atoctos asocados a λ y λ so complos cogados. odmos X ; + ;. Lgo: xpsa [ ] + X [ ] X X (49) Lgo, y so otogoals a. Admás,, po lo q y so otogoals t sí. ambé, + ;. tocs, + ; ;. Lgo: Gstao C. Balbasto ága 4 /8/6

4 O φ φ l plao a Admás: φ ( + ) ( + ) φ ( ) ( ) + ( cosφ sφ ) + ( sφ + cosφ ) ( cosφ sφ ) ( sφ + cosφ ) cosφ sφ sφ + cosφ (5) odmos po,, co módlo tao, y así foma a bas. stos ctos,, foma tdo dcho. l cto dtma l sgo d φ. La poyccó d sob o aía, sólo ota la poyccó omal a. stas otacos o so comtatas. o mplo, s al cpo d la fga s lo somt a dos otacos cosctas aplcadas dstto od, sá: oma d l Gstao C. Balbasto ága 4 /8/6

5 x φ9 φ9 x x φ9 x x x x φ9 x x S s t l od d las otacos, sá: x φ9 φ9 x x φ9 x x x x φ9 x x Lgo: Sólo so comtatas las otacos ftsmals. Nota q xst ss lacos d stccó. S scbmos: [,, ] (, α α ), ;, δ ;,, α s a lo smo fcó d paámtos dpdts Gstao C. Balbasto ága 44 /8/6

6 Gstao C. Balbasto ága 45 /8/6 o lo tato, a otacó mplca GL. La otacó pd xpsas d dsttas fomas, a sab: () odcto xto d los ctos d bas (5) ' dod s l cto otado. () Cosos dctos S tmos Lgo: matz d cosos dctos (5) La matz d cosos dctos o s smétca, y los lmtos dagoals o so. () xpsos témos d aats lals Nota q s tao, lgo ˆ s opado d poyccó sob l plao omal a ( ) ( ) stá cotdo l plao Usamos paa dscompo y compots y. ( ) Y + (5) ( ) y + (5) Nota q ( ) ( ) ( ) φ Y ( ) y

7 Lgo: ( ) ( ) + + (54) y y o lo tato, ambos ctos t la msma compot. l plao sá: Y y Y y Y y sφ Y sφ (55) Dfmos opadoy ~ tal q: Y y Y y cosφ Y cosφ (56) Y Y Y ~ ˆ Y Y (57) Y Y La matzy ~ s atsmétca (skw), sgla. Lgo: Y y Y ~ y (58) Lgo, las xpsos (55) y (56) costty sstma d cacos: Y ~ sφ y Y (59) Y cosφ l sstma d la (59) s d 4 cacos co cógtas, po la matz s d ago, po lo q s solcó úca s: y [ ~ sφ + ( ) cosφ] (6) tocs, (,φ ) ( ) y ( ) + cos + cosφ + ~ s φ φ (6) fcó d(, φ) s la otacó d áglo φ too a. l opado ~ sá: Gstao C. Balbasto ága 46 /8/6

8 ~ Y ~ (6) Gstao C. Balbasto ága 47 /8/6

9 ofso: D. Albto Cadoa Bblogafía: Mchacs. d d. L. Lada,. Lfchtz, gamo Classcal Mchacs. Goldst, Addso Wsly Flxbl Mltbody Dyamcs Gstao C. Balbasto ága 48 /8/6