TEMA 5 SISTEMAS DE N GRADOS DE LIBERTAD. Sistemas de N Grados de Libertad

Transcripción

1 Sstemas de N Gados de Lbetad ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

2 ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

3 5. Plateameto matcal Se va a extede los esultados de gdl al caso geeal de N gdl. El estudo geeal de los sstemas co N gdl, o obstate, o es posble s echa mao de la fomulacó matcal y del uso tesvo de esultados y popedades del Álgeba Leal. Po ello, sólo se llevaá a cabo u tatameto beve y smplfcado del poblema; cetádose la atecó e aquellos aspectos coceptuales que añad a lo vsto e sstemas de y gdl. Así, o se aboda el plateameto del sstema de ecuacoes dfeecales del movmeto, so que se pate ya de dcho sstema. Paa aalza este plateameto hay que utlza algú método de dscetzacó del cotuo tal como el Método de las Dfeecas Ftas o el Método de los Elemetos Ftos (MEF), cuya teoía o coespode desaolla aquí. Po oto lado, e este estudo de los sstemas co N gados de lbetad, sí se va a pesta ua especal atecó al poblema del desacoplameto de las ecuacoes dfeecales del movmeto po medo del Aálss Modal. MATRICES DE RIGIDEZ, INERCIA Y AMORTIGUAMIENTO U sstema co N gdl es aquél que pecsa de N paámetos o coodeadas paa que su poscó y cofguacó defomada quede defda. Po egla geeal, auque o sempe, se suele toma como coodeadas del sstema los desplazametos de u cojuto de putos llamados NUDOS. La hpótess de dscetzacó ealzada paa pasa del sstema cotuo a uo de N gdl mplca que el desplazameto de u puto cualquea puede se calculado a pat de los desplazametos de dchos udos. Ua vez elegdos los gados de lbetad del sstema, puede defse los coefcetes de gdez, eca y amotguameto del modo sguete: Coefcete de gdez k j : fueza que hay que aplca segú el gdl paa poduc u desplazameto udad segú el gdl j, y ceo segú todos los demás gdl. Coefcete de eca m j : fueza que hay que aplca segú el gdl paa poduc ua aceleacó udad segú el gdl j y ceo segú todos los demás gdl. ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

4 Coefcete de amotguameto c j : fueza que hay que aplca segú el gdl paa que apaezca ua velocdad udad segú el gdl j y ceo segú todos los demás gdl. El modo de calcula los coefcetes k j, m j y c j es popo del método de dscetzacó que se adopte; e este caso, se supodá coocdos. A su vez, los coefcetes k j, m j y c j se puede agupa fomado matces llamadas matz de gdez [K], matz de eca [M] y matz de amotguameto [C]. Puestos a calcula las ecuacoes dfeecales del movmeto de u sstema de N gdl, s el sstema es leal, se podá aplca el Pcpo de Supeposcó: la fueza exteo que actúa sobe u gado de lbetad debe esta e equlbo co las fuezas que poduce el desplazameto, velocdad y aceleacó, e ese gado de lbetad y e todos los demás. Utlzado los coefcetes defdos, esta codcó puede establecese aalítcamete: j= kj x j + cj x j + mj x j = f j= j= () t =,,..., sstema de N ecuacoes dfeecales odaas de segudo ode, que puede establecese co otacó matcal e la foma: [ M ] {} x + [ C] {} x + [ K] {} x = { f() t } Estas so las ecuacoes dfeecales del movmeto buscadas. Obsévese la aalogía exstete co la ecuacó del sstema de gdl o la del sstema de gdl. ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

5 5. Vbacoes lbes de sstemas o amotguados Supoedo que o actúa cagas exteoes y que o hay témos dspatvos, las ecuacoes dfeecales de equlbo se educe a: [ M ] { x () t } + [ K] { x() t } = { 0}, co las codcoes cales x () 0 = x, { x 0 } = { } { } { } () 0 x 0 APÉNDICE DE ALGEBRA LINEAL. PROBLEMA DE VVPP S se aalza el tabajo de las fuezas elástcas e u sstema mecáco, éste es gual a la eegía elástca almaceada po el sstema y sólo puede toma valoes postvos o ulos (cuado los desplazametos {x} coespoda a desplazametos de u sóldo ígdo y, po tato, o compote defomacó elástca). De aquí se deduce que [K] es ua matz postvo-defda (s o so posbles movmetos de sóldo ígdo) o postvasemdefda (cuado sí lo so). Aálogamete, puede estudase el tabajo ealzado cota las fuezas de eca, que seá gual a la eegía cétca del sstema. Puesto que ua eegía cétca egatva o ula o tee setdo cuado las velocdades so dsttas de ceo, la matz de eca [M] seá postvo-defda. Estas popedades de [K] y [M] pemte deduc mpotates cosecuecas, aplcado el Álgeba al sguete poblema de valoes y vectoes popos (VVPP) geealzado: [ K] { X } =λ [ M] { X } dode λ es el ésmo valo popo y { X } el coespodete vecto popo asocado, que se supodá omalzado especto a la matz [M]; esto es: T { X } [ M] { X } = S las matces [K] y [M] so ambas postvo-defdas, los valoes popos λ so todos postvos. A su vez, s [K] es postvo-semdefda habá uo o más valoes popos guales ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

6 a ceo. Po lo tato, e gú caso habá valoes popos egatvos y, po lo tato, se podá hace: λ = ω, sedo ω ω +. De esta foma, el poblema de VVPP geealzado podá expesase paa todos los vectoes popos a la vez: [ K] [ X] = [ M] [ X] [ ω ] dode [ X ] es ua matz cuyas columas so los vectoes popos omalzados especto a la matz de eca, y [ω ] es ua matz dagoal cuyos elemetos so los valoes popos ω. Los vectoes popos tee la popedad de se otogoales especto a las matces [K] y [M]. Como además está omalzados, se dce que so otoomales. Las ecuacoes de omalzacó, jutamete co las de otogoaldad, puede escbse paa todos los vectoes popos: [ X] T [ M][ X] = [] I T [ X] [ K][ X] = [ ω ] Co la matz [ X ], cuyas columas so los vectoes popos omalzados especto a la matz de eca, se lleva a cabo el cambo de vaable {} x = [ X] {} x e el sstema [ M ] {} x + [ K] {} x = {} 0 Pemultplcado po [ ] T X y cosdeado la otoomaldad de los vectoes popos co especto a [M] y [K], esulta: [] { I x} + [ ω ] {} x = {} 0 Sstema de ecuacoes desacopladas; es dec, e la ecuacó : o tevee más que la vaable x. x + ω x = 0 ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

7 , llamadas COORDENADAS NATURALES, el sstema de N ecuacoes dfeecales co N cógtas se tasfoma e N ecuacoes de ua cógta, cuya solucó ya se abodó al estuda los sstemas de gdl. Del msmo modo, a los vectoes popos { X } se les llama MODOS NATURALES DE VIBRACIÓN, y sus valoes popos o so ota cosa so los cuadados de las FRECUENCIAS NATURALES asocadas al vecto popo (modo atual) coespodete. Al gual que lo vsto e sstemas de gdl, e las coodeadas {} x VIBRACIÓN DEL SISTEMA SEGÚN UN MODO DE VIBRACIÓN Veamos qué ocue s se esuelve el sguete poblema: todas las codcoes cales de velocdad y desplazameto so ulas excepto las coespodetes a la coodeada atual, de foma que La ecuacó dfeecal coespodete: tee po solucó x () 0 = 0 x () 0 = x 0 x + ω x = x = x o cos ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES ( ω t) sedo todas las demás x j détcamete ulas paa j. E tal caso, la solucó e las coodeadas ogales {x} es: {} x = [ X] {} x = { X } x + { X } x { X } x { X } x = { X } x = { X } x cos( ω t) La solucó esulta se ua fucó amóca e la que todos los putos del sstema oscla alededo de la poscó de equlbo co la msma fecueca. Po lo tato, s se desplaza el sstema especto de su poscó de equlbo estátco e la foma de u modo atual o vecto popo { X }, el sstema comeza a oscla amócamete alededo de dcha poscó de equlbo, sedo la poscó adoptada po el sstema e cualque state de tempo el esultado de multplca el modo atual coespodete po u detemado valo escala. Estas osclacoes se poduce a la fecueca popa de ese modo atual (ω ). S el desplazameto del sstema especto de la poscó de equlbo se hace o segú u detemado modo atual, so segú ua combacó de modos, la solucó es asmsmo ua combacó de vaos movmetos amócos de dstta fecueca. El esultado fal de tal combacó o es - e geeal - amóco, peódco. o

8 5.3 Vbacoes fozadas e sstemas o amotguados El tatameto de las vbacoes fozadas e sstemas s amotguameto es aálogo al ealzado paa las vbacoes lbes. La ecuacó matcal de equlbo es e este caso: [ M ] { x () t } + [ K] { x() t } = { f( t) } Realzado el cambo { x} = [ X] {} x y pemultplcado po [ ] T ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES X : T [ ] [ ] [ ] { T } [ ] [ ] [ ] {} T X M X x + X K X x = [ X] {} f Itoducedo las codcoes de otoomaldad de los modos co especto a [M] y [K], el sstema se educe a { } [ ] () dode f () t = X T { f t }. { x() t } + [ ω ] { x() t } = f () t { } Las ecuacoes dfeecales del sstema esultate está també desacopladas y puede esolvese po los métodos vstos e sstemas co gdl. EXCITACIÓN DE UN SOLO MODO DE VIBRACIÓN DEL SISTEMA Se pate del plateameto de la peguta sguete: cómo tedía que se las fuezas toducdas al sstema, {f(t)}, s se qusea que sólo la compoete de { f () t } fuea dstta de ceo? Recodado que [ X] T [ M][ X] = [] I y pemultplcado la expesó po [ X] T [ X] = [ M] [ X] T esulta:

9 { } [ ] () {()} [ ] [ ] { f t = M X f () t } = [ M] { X } f () t lo que os pemte despeja el vecto {f(t)} de f () t = X T { f t } : j = paa todo j dode f () t 0 El vecto {f(t)} de fuezas actuates sobe el sstema e estas codcoes se caacteza po: j T j T { X } { f() t } = { X } [ M] { X } f () t = δ f () t sedo δ j la fucó δ de Dac. Es dec, este vecto {f(t)} patcula es u vecto otogoal a todos los estates modos; o lo que es lo msmo, o da tabajo co gú oto modo atual que o sea el. Además, el tabajo que da co el modo es pecsamete gual (umécamete) a la fueza f () t que se tata de stetza. Sólo el modo se actva, poque sólo al modo se le tasfee eegía, y los modos o puede tasmtísela de uos a otos. El movmeto esultate e tal caso seá la vbacó del sstema segú el modo atual de vbacó. j ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

10 5.4 Vbacoes e sstemas amotguados La peseca de amotguameto complca cosdeablemete la esolucó del poblema, tato e su fomulacó aalítca como e las mplcacoes coceptuales que colleva. Así, e ocasoes, el método más efcaz de esolve las ecuacoes dfeecales del movmeto seá el de tegalas umécamete paso a paso. La ecuacó dfeecal matcal que gobea el movmeto de u sstema de N gdl co amotguameto vscoso leal tee la foma: [ M ] { x() t } + [ C] { x () t } + [ K] { x() t } = { f( t) } A dfeeca de los vsto hasta ahoa e los poblemas de vbacoes mecácas de sstemas co N gdl, la tasfomacó de coodeadas: { x() t } = [ X] { x() t } empleada e los casos de vbacoes s amotguameto paa dagoalza las matces [K] y [M] y desacopla los gados de lbetad o tee poqué dagoalza també la matz [C]. De hecho, e geeal la matz [C] o podá se dagoalzada y, po tato, las ecuacoes del movmeto o podá se desacopladas. Esta lmtacó e la aplcacó de las téccas del aálss modal covecoal a los poblemas co amotguameto, es esposable de las especales dfcultades que peseta estos poblemas. De cualque foma, las codcoes e las que actúa el amotguameto e los sstemas eales o suele se coocdas, lo que oblga a ealza hpótess smplfcatvas sobe el valo y la foma que adopta el amotguameto. E tal caso, se puede, a veces s dfcultades adcoales, adopta paa el amotguameto u modelo matemátco que pemta dagoalza la matz [C], al msmo tempo que las matces [K] y [M]. De esta maea, el aálss modal seguá sedo la heameta óptma paa la esolucó del poblema. Se llama AMORTIGUAMIENTO PROPORCIONAL a aquella hpótess de modelzacó del amotguameto que pemte desacopla las ecuacoes del movmeto. E el caso más geeal, cuado o es posble esta dagoalzacó de la matz [C], se dce que se está e el caso de AMORTIGUAMIENTO NO PROPORCIONAL. ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

11 SISTEMAS CON AMORTIGUAMIENTO PROPORCIONAL S la matz [C] debe se dagoalzada juto co [K] y [M], e la expesó que se adopte paa [C] lógcamete debeá teve las matces [K] y [M]. Así, la matz [C] es dagoalzable cuado puede se expesada como combacó leal de las matces de gdez e eca. Sea la expesó [ ] = α [ M] + α [ K] C 0 aplcado la tasfomacó [ X ]: T T T [ X] [ C][ X] = α [ X] [ M][ X] + α [ X] [ K] [ X] = α [] I + α [ ω ] 0 De esta maea, la matz [C] dagoalzada es ua matz cuyos elemetos puede adopta la foma: α ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES ω α = ξ ω Los témos de la dagoal de la matz [C] se hace gual a (ξ ω ) paa matee la aalogía co los sstemas de gdl, pemtedo detema el valo del amotguameto elatvo coespodete al modo : α0 ξ = ω αω + Exste otas fomas más geeales de la matz [C] que també se dagoalza co la matz de modos atuales [ X ] y que o se va a ve aquí, peo puede ecotase e la bblogafía especalzada. Supoedo pues que la matz [C] sea dagoalzable y aplcado la cosguete tasfomacó que pasa a las coodeadas atuales, se llega a u sstema de ecuacoes desacopladas: { x() t } + [ ξω] x () t { } + [ ω ] x() t que costa de N ecuacoes dfeecales de la foma: x 0 { } { } = f () t () t + ξ ω x () t + ω x () t f() t = Cada ecuacó habá de se complemetada co sus coespodetes codcoes cales. N e la ecuacó, e sus codcoes cales tevee paa ada las estates coodeadas y fuezas modales. Dos so las cosecuecas que puede deducse y que caacteza a estos sstemas dstguédolos de los sstemas co amotguameto o popocoal:

12 Como la ecuacó es détca a la del sstema básco co u gdl, s se desplaza el sstema de la poscó de equlbo segú la coodeada atual x y se deja lbe, comezaá u movmeto amóco (paa amotguameto subcítco) cuya ampltud dececeá expoecalmete. Cosdeado este movmeto del sstema segú el modo atual, esulta que todos los putos del sstema vba e fase, esto es, todos pasa al msmo tempo po la poscó de equlbo y todos alcaza al msmo tempo sus valoes máxmos y mímos. Co u desplazameto cal segú u detemado modo (todas las codcoes cales de velocdad y desplazameto ulas excepto las coespodetes a la coodeada atual : x () 0 = 0, x() 0 = x 0 ) e las vbacoes lbes subsguetes o se ca gú movmeto segú las estates coodeadas atuales, debdo a que los modos está completamete desacoplados. SISTEMAS CON AMORTIGUAMIENTO NO PROPORCIONAL: INTEGRACIÓN PASO A PASO El método más geeal de aálss de vbacoes es el método de tegacó paso a paso del sstema de ecuacoes dfeecales del movmeto. Exste vaos métodos umécos paa ealza esta tegacó. Teócamete muchos de ellos so semejates y e su aplcacó páctca se dfeeca ta sólo e el valo uméco de alguos coefcetes. Las caacteístcas deseables e estos métodos - y desde cuya pespectva uos métodos so supeoes a otos - so: establdad, pecsó y ecoomía. El fudameto de muchos de estos métodos de tegacó paso a paso es el msmo: dado el valo del desplazameto, velocdad y aceleacó e el state t = t (y e states ateoes segú alguos métodos), detema el desplazameto, velocdad y aceleacó e el state t + = t+ t. No obstate, el aálss co detalle de los dfeetes métodos de tegacó costtuye u campo que se apata de los objetvos pesegudos e esta asgatua de Teoía y Cálculo de Vbacoes. S embago, y a modo de efeeca, se va a descb a cotuacó bevemete ua de las más coocdas y utlzadas famlas de métodos de tegacó paso a paso: el MÉTODO DE NEWMARK. Este método pate de la ecuacó de equlbo dámco patculazada paa el state t +: [ ] { x } + [ C] { x } + [ K] { x } { f } M = + E esta expesó los vectoes desplazameto, velocdad y aceleacó so descoocdos, peo bajo detemadas hpótess el desplazameto y la velocdad puede poese e y de los esultados de la etapa ateo, co lo que queda fucó de la aceleacó { } x + ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

13 u úco vecto cógta. Paa expesa la velocdad y el desplazameto e fucó de la aceleacó Newmak utlza las sguetes expesoes: { } = { x } + t ( ( γ) { x } + γ { x }) x + + t x + + { } = { x } + t { x } + ( ) ( ( β) { x } + β { x }) Sedo γ y β dos paámetos cuyos valoes caacteza a los dsttos métodos de la famla. La pmea expesó puede tepetase como ua coeccó de la velocdad x obteda medate tegacó de ua aceleacó tepolada lealmete e u puto { } detemado po el paámeto γ, y puede hacese ua tepetacó aáloga paa la seguda expesó. Susttuyedo ambas expesoes e la ecuacó de equlbo se obtee: ([ M] γ t [ C] + β ( t) [ K] ) { x } = { f } [ K] { x } ([ C] + t [ K] ) { x } ( γ) t [ C] + ( β) ( ) [ K] { x } E ua pmea, peo ateta, obsevacó de la expesó se apeca que s - como es habtual e muchas ocasoes - las matces [M] y [C] se toma como matces dagoales, el sstema de ecuacoes esultate es patculamete fácl de esolve cuado se toma β=0, ya que o hay que tagulaza gua matz. Los métodos que posee esta caacteístca se deoma explíctos, e mplíctos aquéllos que o la posee. Los métodos explíctos equee muchas meos opeacoes atmétcas po etapa que los mplíctos, peo so codcoalmete estables, el hecho de que coveja o o a ua solucó depede del tamaño de etapa t de tegacó. E geeal, sus campos de aplcacó so dfeetes: los métodos mplíctos so pefebles e poblemas cuya espuesta está gobeada po los modos de fecuecas más bajas. A estos poblemas se les llama poblemas de tpo sísmco, pues el cálculo de la espuesta a teemotos es uo de sus ejemplos mas sgfcatvos. E ellos es coveete utlza matces de eca y amotguameto cosstetes (o dagoales) y el tamaño de etapa t vee detemado exclusvamete po cosdeacoes de pecsó. Cuado la espuesta vee gobeada po los modos de fecuecas más altas se dce que está e u poblema de popagacó de odas. Los poblemas de mpacto y odas elástcas so ejemplos sgfcatvos de esta clase de poblemas. E los poblemas de popagacó de odas suele se coveete el utlza métodos explíctos co matces de eca y amotguameto dagoales, pues esto además de faclta los cálculos mejoa las t ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

14 codcoes de establdad. E estos poblemas, el tamaño de etapa t se detema po cosdeacoes de pecsó y de establdad. E ocasoes, puede utlzase métodos dsttos e dfeetes states del aálss. Po ejemplo, e los poblemas de mpacto pedoma los modos altos e los pmeos mometos después del choque, peo poco a poco va cecedo la flueca de los modos bajos hasta llega a se a su vez pedomates. Se ha desaollado també métodos mxtos que utlza smultáeamete, métodos dfeetes e dsttas pates del sstema. Así po ejemplo, e u poblema de teaccó teeo-estuctua puede utlzase u método paa el teeo y oto dfeete paa la estuctua, o be u msmo método peo co tamaños de etapa dfeetes. Los métodos mxtos tata de apovecha al máxmo las caacteístcas del poblema y de los dsttos métodos, co objeto de mmza el tabajo ecesao paa ealza la tegacó. VIBRACIONES FORZADAS EN SISTEMAS CON AMORTIGUAMIENTO NO PROPORCIONAL: MATRIZ DE TRANSFERENCIA E el caso geeal de sstemas co N gdl, el sstema de ecuacoes dfeecales del movmeto que hay tega se educe a: [ M ] { x() t } + [ C] { x () t } + [ K] { x() t } = { f( t) } Aálogamete a como se plateó el poblema de vbacoes fozadas e sstemas de gdl, supógase ua exctacó amóca e la foma ωt { f() t } = { f 0 } e Se va a busca solucoes amócas estacoaas e la foma Itoducedo estas expesoes esulta: ωt { x() t } = { X} e ωt ωt ( ω [ M] + ω [ C] + [ K] ) {} X e = {} f e Llamado matz de mpedaca mecáca a la matz [Z(ω)] = -ω [M]+ω [C]+[K] y defedo su vesa [H(ω)]=[Z(ω)] -, la solucó de la ecuacó dfeecal seá: ωt ωt { x() t } = { X} e = [ H( ω) ] {} f e 0 0 ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

15 La matz [H(ω)] juega e los sstemas co N gdl el msmo papel que la fucó de tasfeeca jugaba e los sstemas co gado de lbetad. Po esto, a dcha matz se le llama MATRIZ DE TRANSFERENCIA: la espuesta de u sstema co N gados de lbetad ate ua exctacó amóca se obtee multplcado el vecto de ampltudes de las fuezas exctadoas po la matz de tasfeeca [H(ω)]. ANÁLISIS DE FOURIER (ve ANEXO) S las fuezas toducdas e el sstema {f(t)} o so amócas, peo admte tasfomada de Foue (TDF), el vecto {f(t)} podá expesase como suma de ftas compoetes amócas de fecuecas dsttas, medate las be coocdas expesoes de la TDF y la TDFI (tasfomada de Foue Ivesa), espectvamete: π ωt { F( ω) } = { f() t } e dt ωt { f() t } = { F( ω) } e dω E tal caso, s el sstema es leal, su espuesta ate la fueza {f(t)} seá la suma de las espuestas paa cada ua de sus compoetes e fecueca, es dec: ωt ( e ) dω { x() t } = [ H( ω) ] { F( ω) } Peo esta expesó cocde co la de la TDFI, luego: { X( ω) } = [ H( ω) ] { F( ω) } Expesó que elacoa la TDF de la exctacó y de la espuesta a tavés de la matz de tasfeeca [H(ω)]. La expesó es epesetatva de todo u método de esolucó de la ecuacó del movmeto paa sstemas co N gdl. Exste també el método de la Itegal de Covolucó aálogo al vsto paa sstemas de gdl, y e el que la espuesta del sstema se calculaba medate la expesó del tpo: () t = f( t τ) h( τ) dτ sedo h(t) la espuesta ate u mpulso utao. x ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

16 Paa geealza este método a sstemas de N gdl se defe la fucó h j(t), que es la espuesta segú el gado de lbetad a u mpulso utao segú el gado de lbetad j. E tal caso, la espuesta eal del sstema segú el gado de lbetad seá la suma de las tegales de Covolucó ete este gado de lbetad y todos los demás: o be matcalmete: x () t = f ( t τ) h ( τ) j j= j dτ { x() t } = [ h( τ) ] { f( t τ) } dτ Paa ve la elacó exstete ete [H(ω)] y [h(t)], supógase ua exctacó mpulso segú el gado de lbetad j y gua exctacó segú los demás gados de lbetad. Aplcado la TDF: y paa k j: F k ( ω) = 0 F π ( ω) = δ() t Recodado que { X ( ω) } = [ H( ω) ] { F( ω) } j ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES e ωt, e este caso: { } dt = π { X( ω) } = Hj( ω) π dode {H j(ω)} es la columa j de la matz [H(ω)]. Po ota pate, teedo e cueta la defcó de TDF, el vecto {X(ω)} seá: π { X( ω) } = { x() t } Cosdeado las dos últmas expesoes y teedo e cueta que, po defcó de h j(t), {x(t)} es la columa j de [h(t)]: { H ( ω) } = h () t j { } y como la columa j es ua columa cualquea: [ H( ω) ] = [ h() t ] expesó que dca que la matz de tasfeeca [H(ω)] es (π) po la TDF de la matz de espuestas a mpulsos utaos [h(t)]. j e e e ωt ωt ωt dt dt dt

17 5.5 Aálss modal CONCEPTO El Aálss Modal es el poceso de detemacó de las caacteístcas dámcas heetes a u sstema mecáco y ecesaas paa la posteo fomulacó de u modelo matemátco del compotameto dámco de dcho sstema. Esta modelzacó dámca se lleva a cabo e base a los paámetos modales (fecuecas atuales, modos de vbacó y elacoes de amotguameto) popos del sstema, y que depede de la dstbucó de sus caacteístcas de masa, gdez y amotguameto. El Aálss Modal pate de la hpótess leal de cosdea que la espuesta e vbacó de u sstema puede se expesada como ua combacó de ua see de movmetos amócos smples llamados modos atuales de vbacó, tísecos al sstema y detemados po el valo y dstbucó de su masa, gdez y amotguameto. Cada modo se defe a pat de sus paámetos modales: fecueca atual, amotguameto modal y foma caacteístca de desplazameto. El gado de patcpacó de cada modo e el total de la vbacó vee detemado po las caacteístcas de la exctacó que actúa sobe el sstema y po las fomas de las modos. Po egla geeal, o es ecesao tee e cueta u ga úmeo de modos y fecuecas atuales, so que basta cosdea los modos asocados a las fecuecas compeddas e u detemado ago de teés. Así, cabe espea u bue compotameto dámco del sstema s sus fecuecas atuales está sufcetemete alejadas de las velocdades de fucoameto. No obstate, e muchas ocasoes, estas velocdades vee pefjadas, lo que oblga a dseña co estccoes sobe las fecuecas atuales. El Aálss Modal ayuda a ealza coectamete este dseño: Se platea u dseño pevo y se detema - aalítca o expemetalmete - las fecuecas y modos atuales de vbacó. A la vsta de las fecuecas, es posble que teese aumeta o dsmu alguo de dchos valoes. El coespodete modo popocoa la fomacó aceca de qué hace: paa aumeta ua fecueca atual basta gdza el sstema de foma que se obstaculce la defomacó del modo coespodete, o be dsmu la masa de las pates del sstema que tee los desplazametos de mayo ampltud. ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

18 El Aálss Modal cluye téccas tato de caácte teóco, como expemetal. Desde el puto de vsta teóco, se basa e el establecmeto de u modelo físco del sstema dámco a estudo que cluya sus popedades de masa, gdez y amotguameto. U modelo ealsta debeá clu asmsmo la dstbucó espacal de esas popedades lo que da luga a la defcó de las llamadas matces de eca, gdez y amotguameto; que debeá se copoadas al sstema de ecuacoes dfeecales del movmeto del sstema. La aplcacó del Pcpo de Supeposcó pemte tasfoma ese sstema de ecuacoes dfeecales e u poblema típco de valoes y vectoes popos, cuya esolucó popocoaá los paámetos modales del sstema, tal y como se ha descto al aalza los sstemas de N gados de lbetad. FUNDAMENTOS TEÓRICOS El fudameto teóco de la aplcacó del método de Aálss Modal estba e la elacó exstete ete la matz de tasfeeca [H(ω)] y las fecuecas y modos atuales de vbacó. Dado el caácte toductoo de la pesete documetacó, sólo se cluye a cotuacó el desaollo coespodete al caso co amotguameto ulo, ya que su secllez pemtá toduc coceptualmete el poblema. Paa u sstema de N gdl s amotguameto sometdo a la accó de uas accoes exteas {f(t)}, la ecuacó de equlbo dámco ea: [ M ]{ x() t } + [ K] { x() t } = { f( t) } Paa el desaollo que aquí se petede, se va a busca los desplazametos amócos que esulta cuado las fuezas de exctacó so també amócas. Es dec: {()} { } ω f t F e t, { x( t) } { X} e ω = = t dode {X}, vecto ampltud de la espuesta, es pecsamete la cógta del poblema. Devado {x(t)} especto al tempo, susttuyedo y elmado el témo expoecal, se obtee la expesó que elacoa las ampltudes de la espuesta y la exctacó: ( ω [ M] + [ K] ) {} X = {} F La solucó {X} de la ecuacó se expesaá e fucó de los modos atuales de vbacó del sstema. E ealdad, dchos modos o so ota cosa so los posbles movmetos amócos que puede tee luga e el sstema e codcoes de exctacó ula; es dec, que vedá dados po la esolucó de: ( ω [ M] + [ K] ) {} X = {} 0 ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

19 E témos algebacos, (tal y como se ecoge e este msmo apatado de sstemas de N gdl al aalza las vbacoes lbes s amotguameto), éste es u poblema de valoes y vectoes popos geealzado. Sea dchos valoes popos ω, ω,..., ω,..., ω y los vectoes popos asocados { }{ } { } { X, X,..., X,..., X } que cocde espectvamete co las fecuecas y modos atuales de vbacó. Además, los modos de vbacó so otogoales especto a [M] y [K]; es dec: s T s T { X } [ M]{ X } = mδs { X } [ K]{ X } = kδs dode m, y k, so las llamadas eca y gdez modal. Patculazado la ecuacó paa el valo y vecto popo : y pemultplcado po { X } T ω esulta: [ M]{ X } + [ K]{ X } {} 0 = ω m + k = 0 Ecuacó que dca como cada fecueca atual es el cocete ete la gdez modal y la eca modal coespodete, es dec: ω = k m Expesó totalmete smla a la empleada paa def la fecueca atual de u sstema de gado de lbetad. Po oto lado, los vectoes popos { X } foma u sstema de N vectoes lealmete depedetes que puede foma ua base e u espaco vectoal de dmesó N. Po tato, el vecto cógta {X} se podá expesa como ua combacó leal - co coefcetes de valo descoocdo γ - de los vectoes de la base: Susttuyedo esta expesó de {X} e pemultplcado po el vecto { X se llega a la expesó: {} X = γ { X } = ( ω [ M] + [ K] ) {} X = {} F } T ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES y teedo e cueta las codcoes de otogoaldad,

20 De dode se puede despeja el coefcete Co lo que el vecto {X} esulta: T ( ω m + k ) γ = { X } {} F γ = T {} { X } {}{ F X } X = ( ω m + k ) ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES T { X } {}( F ω m + k ) = T { X } {} F { X } = = ω k ω Expesó muy mpotate ya que, ete otas cosas: Establece que cuado la fecueca de exctacó ω cocde co ua de las fecuecas atuales ω, la ampltud de la espuesta segú el coespodete modo atual se hace fta, pues hay u deomado gual a ceo. Es dec, tee luga u feómeo de RESONANCIA (Fg. 7). Pemte també detema fáclmete la expesó de la MATRIZ DE TRANSFERENCIA [H(ω)]. Po u lado, sabemos que la matz de tasfeeca elacoa la ampltud del desplazameto y la fueza e la foma: {} X = [ H( ω) ] {} F. Po oto, el umeado de la faccó es u escala, y po tato su poducto po el vecto popo es comutatvo. Luego, eodeado la expesó, {} { X }{ X } X = {} F = k ω ω y compaado se cocluye que la MATRIZ DE TRANSFERENCIA puede expesase e fucó de los modos y fecuecas de vbacó (e el caso e que o exsta amotguameto) e la foma: T [ ( )] { X }{ X } H ω = = ω k ω El poblema veso, es dec, la detemacó de las fecuecas y modos atuales a pat del coocmeto de la matz de tasfeeca costtuye el úcleo del Aálss Modal Expemetal. La heameta matemátca usada paa esolvelo es u ajuste de fucoes basado e la ecuacó ateo y e la que los paámetos a detema so los modos y fecuecas atuales. T

21 EJEMPLO DE RESONANCIA: PUENTE DE TACOMA La mpotaca de u dseño dámco adecuado que evte la apacó de esoacas queda eflejada de foma explícta e u ejemplo ta coocdo como el del Puete de Tacoma, pequeña cudad del estado de Washgto de ceca de habtates. De caa a salva las dfcultades oogáfcas de la zoa, ya e 98 la Cámaa de Comeco de Tacoma có las cosultas co vstas a la posble costuccó de u puete colgate. Falmete, e 938 se có la costuccó del puete adoptado ua solucó basada e u puete colgate co dos plaes. El poyecto del puete, e su mometo el teceo del mudo e cuato a sus dmesoes, o cosdeó la hpótess de veto como potecal causate de establdades estuctuales pese a que ya paa aquél etoces exstía casos documetados e tal setdo. La apetua al táfco se podujo el de Julo de 940 y ya desde u pcpo se detectó la tedeca de la estuctua a oscla tasvesalmete debdo a la accó de vetos de ua detemada gama de tesdades. Auque se esayao dfeetes métodos paa educ estas vbacoes, guo de ellos llegó a se ealmete efcaz. Las vbacoes ea sempe tasvesales (vetcales), dádose ete 0 y 8 odos e el tableo ete plaes y povocadas po el veto a pat de 7 km/h. U modo típco co dos odos ete plaes pesetaba ua ampltud de.5 m a ua fecueca de 0. Hz. El 7 de ovembe, de 940, e plea madugada, los vetos alcazao ua velocdad de 70 km/h (la máxma desde su apetua) hacedo oscla el puete de maea mpotate y oblgado a la polca a cota el táfco. A las 9:30 AM el puete osclaba co ua ampltud de 0.9m y ua fecueca de 0.6 Hz. A las 0:00 AM ua otua de uo de los amaes del cable de suspesó del tableo e la caa ote del puete todujo e el sstema u modo de vbacó a tosó a 0.3 Hz cuyos odos estaba stuados e la mtad del puete y e los plaes (Fg. 7.a). Fgua 7.a Vbacó a tosó Este fue el pme (y últmo) caso de u modo a tosó e el puete. E uos states, la osclacó agula alcazaba los 35º (Fg. 7.b) y los plaes sufía deflexoes de ceca de 3.6 m e su extemo supeo, veces los paámetos utlzados e su dmesoameto. ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

22 A pat de aquí, la stuacó se matuvo alteable duate ceca de ua hoa hasta que a las :00 AM se despedó e pme pedazo de pavmeto. Falmete, el puete temó ompédose po completo a las :0 AM cayedo al ío (Fg. 7.c). Fgua 7.b Desvel e ceto del vao Fgua 7.c Rotua del puete ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

23 5.6 Métodos apoxmados A la hoa de estuda la dámca de los sstemas co N gados de lbetad, el cálculo de la espuesta dámca del sstema e el tempo ate la accó de detemadas fuezas exctadoas, cuado el sstema es o leal, o cuado e la espuesta del msmo tevee sgfcatvamete u úmeo muy alto de modos (po ejemplo, e poblemas de popagacó de odas), los métodos de tegacó paso a paso de las ecuacoes dfeecales globales del movmeto so la úca o la más favoable alteatva dspoble. E los estates casos, dcha tegacó uméca esulta u poceso excesvamete cao computacoalmete hablado, y cas sempe es más vetajoso desacopla las ecuacoes del movmeto o detema la Matz de Tasfeeca medate u cálculo pevo de las fecuecas atuales de vbacó cotedas e u detemado ago de fecuecas y de los modos atuales de vbacó asocados. Es éste u poblema que aboda la Teoía del Aálss Modal. E muchos poblemas páctcos, s embago, el úmeo de gados de lbetad del sstema es ta elevado, que los métodos habtuales esulta asmsmo pohbtvos. Co el objeto de esolve esta dfcultad, se ha desaollado métodos apoxmados paa el cálculo de fecuecas y modos atuales de vbacó que, s afecta sgfcatvamete a la pecsó de los esultados obtedos, pemte educ e cas u ode de magtud los tempos de cálculo ecesaos paa esolve el poblema. Alguos de estos métodos apoxmados, como los métodos de codesacó, so smples camos paa educ el úmeo de gados de lbetad; otos, como los métodos de sítess de compoetes, tee ua mayo mpotaca físca, pues so vedadeos métodos de subestuctuas, que pemte estuda el compotameto dámco de sstemas más complejos a pat del compotameto de sus compoetes, estudados tato teóca como expemetalmete. E los subapatados sguetes, se lleva a cabo ua míma toduccó al fudameto de alguos de estos métodos. MÉTODOS DE CONDENSACIÓN E vaos de los métodos geeales de aálss dámco ctados ateomete apaece el poblema de VVPP geealzado: [ K] { X } = ω [ M] { X } ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

24 La esolucó de este poblema puede se muy laboosa cuado su tamaño N es muy gade, como ocue co fecueca e la páctca del aálss dámco de sstemas eales. Los métodos de codesacó (CONDENSACIÓN ESTÁTICA y CONDENSACIÓN DINÁMICA O DE GUYAN) pemte esolve este poblema de u modo apoxmado, efectuado u úmeo muy feo de opeacoes atmétcas, sobe la base de utlza u sstema educdo o codesado, de tamaño muy feo al cal. El fudameto de los métodos de codesacó esta e el hecho, demostado matemátcamete, de que el poblema de valoes y vectoes popos geealzado es mucho meos sesble a los eoes o petubacoes e la matz de eca, que a los eoes o petubacoes e la matz de gdez. E cosecueca, se tata de apovecha el hecho de que modfcado la matz de eca, puede llegase a u poblema de valoes y vectoes popos mucho más fácl de esolve. Paa la aplcacó de los métodos de codesacó, se sepaaa los gados de lbetad del sstema e "gados de lbetad cosevados" ( c) y "gados de lbetad elmados" ( e) (sedo c <<< e), y se tataá de tasfoma el poblema de VVPP cal e oto de tamaño c, cuya solucó sea ua apoxmacó sufcetemete buea de la solucó exacta. Los métodos de codesacó so muy utlzados e el aálss dámco de sstemas complejos po su secllez de mplemetacó y de uso. No obstate, covee advet que ua utlzacó coecta de ellos puede da luga a esultados eóeos, y que el poblema fudametal paa su aplcacó está e la seleccó de los gados de lbetad a coseva e el modelo codesado, tato e el úmeo de los msmos, como e su dstbucó. Se puede dec, de maea geeal, que se elmaá aquellos gados de lbetad e los que exsta aplcada poca masa y ga gdez. Esto es lo msmo que dec que se seleccoaá como ecuacoes a coseva e el poblema codesado aquéllas e las que haya la mayo popocó de masa fete a gdez. Esta seleccó debe hacese a cteo del aalsta, e fucó de la dstbucó de masa y gdez del poblema coceto. S embago, exste métodos paa la seleccó automátca de las ecuacoes a coseva. Ete ellos el más secllo es el de seleccoa aquellas ecuacoes cuya elacó ete los témos de la dagoal de las matces de gdez e eca (m /k ) sea máxma. Este método puede da muy bueos esultados e muchos casos, peo puede poduc asmsmo esultados eóeos cuado el sstema pesete zoas de gdez y masa muy dfeetes uas de otas, peo de azó masa/gdez smla. ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

25 MÉTODOS DE SÍNTESIS DE COMPONENTES Los métodos de sítess (CON FRONTERAS FIJAS, CON FRONTERAS MÓVILES) costtuye ua teesate alteatva a los métodos de codesacó, co mpotates vetajas páctcas. El fudameto de estos métodos está e cosdea que el sstema estudado está dvdda e vaos compoetes o subestuctuas dsttos. Esta dvsó puede esta basada o o e las caacteístcas físcas del sstema a aalza. Los métodos de sítess se basa e el estudo dámco de cada compoete po sepaado, e ua pmea etapa, paa estuda segudamete el compotameto dámco del cojuto, e u poceso de sítess de los dsttos compoetes dvduales. Ua mpotate vetaja páctca de alguos de los métodos de sítess, está e el hecho de que pemte estuda alguos de los compoetes teócamete y otos expemetalmete, segú sea más coveete uo u oto método. El objetvo de los métodos de sítess de compoetes es el cálculo apoxmado de las fecuecas y modos atuales de vbacó del sstema completo, paa luego aplca cualquea de los métodos de aálss que hace uso de estas caacteístcas dámcas. ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES