A2.2 Ecuación de equilibrio dinámico para un sólido discreto

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Montserrat Padilla Montero
hace 7 años
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1 A2 Ecuacón Equlbo sczaa paa Elnos Fnos A2. Inouccón. Paa aboa l suo la olzacón nuéca l copoano aals copusos s ncsao consa al aal no solo coo un aal so, sno coo una sucua. Esa sucua s sua a avés la cánca los os connuos y la oía lnos nos paa conpla los nónos no lnala qu pun apac ya qu l ssa qu conoa sa sucua s no consvavo. La náca sucuas sua l qulbo sucual a lo lago l po n las accons xnas, las uzas láscas, las uzas áscas y las uzas aoguano, paa un ssa sucual sco n oa punos vnculaos nnan n sí y oos llos a un ssa nca o. Exsn vaas azons po las qu l copoano l ssa punos pu s no lnal. los vínculos qu xsn n los punos qu conoan al ssa no son láscos la sucua ná un copoano no lnal spavo. los vínculos qu xsn n los punos son caác vscoso y an luga a uzas aoguano pnns la vloca l ssa, l copoano s no lnal spavo po nlunca la vscosa. xsn gans ovnos y l ssa abaa ua su conguacón goéca s aá luga a un copoano cnáco no lnal y s pounza n l caso qu ocuan abén gans oacons. planaá la cuacón qulbo náco paa un sólo y s sczaá paa su solucón an Elnos Fnos. A2.2 Ecuacón qulbo náco paa un sólo sco La cuacón qulbo náco un sólo sco soo a accons xnas vaabls a lo lago l po pu obns a pa la pa ly la onáca 2 y conocnos lnos nos.. Oll (22). Dnáca o-lnal. onogaía CIE 2 Anxos

2 72 ODELIZACIÓ ÉRICA DE AERIALE COPEO La pa ly la onáca s pu xpsa n uncón la cana ngía global nna, la ponca oava y la ponca calóca: sno: ρω Q W W P pop W Qpop P (A E o! o s ncu na l ogn la n ca..) El cabo ngía nna qu xpna l cupo La ponca cánca oava La ponca no-cánca o cana calo popo o pu xpsas n uncón la ponca nouca, la ponca cnéca y la ponca oava: sno: Pu scbs noncs: ρω Q P P n K P P n K pop La ponca cánca oava La ponca nouca La ponca cnéca P P n K (A E o! o s ncu na l ogn la n ca..2) (A E o! o s ncu na l ogn la n ca..3) Dsaollano los énos pu scbs la ly la consvacón la sgun ana:

3 Anxo A2- Ecuacón Equlbo sczaa paa Elnos Fnos 73 K u ρω ρ qn D u ρbu ρu Po. cánca ρω Q pop P P Po. Doava n Po. Inouca Po. Cnéca (A2.4) Don la vloca oacón, ahoa ncno poal oacón, pu scbs coo D { L } { } { } u F F, qu susua n la ano, sula l qulbo poncas n un sólo connuo, u u ρb u ρu u (A2.5) A connuacón s ulza l concpo apoxacón polnóca l capo connuo splazanos u ( x, o vlocas u ( x,, an una uncón polnóca noalzaa u ( x, sopo local qu cb l nob uncón oa. ( x, y, ( x, y, z ( ) u x z ( x, ), (A2.6) Esa uncón ( x,, qu acúa sob un ono acoao nonao lno no, p apoxa no cho ono los capos splazanos u ( x,, vlocas u ( x, y aclacons u ( x, an la valoacón sus spcvas agnus,, n un núo no punos, nonao noos, pncns al ono l lno no. D sa oa pu sablcs los capos vaos l splazano, coo lo s n oos la oacón Alans u. Eso s, u ( x y, ( x, y, z, ) u (A2.7) nona éoo los lnos nos 5 al pocno nuéco qu sug ulza sa apoxacón polnóca paa las uncons capo. Esa apoxacón uc las nnas ncógnas la uncón capo a un núo no ncógnas, nas n cos punos psablcos coo noos l lno no. usuyno la apoxacón (A2.6) y (A2.7) n la cuacón (A2.5), pu scbs la cuacón qulbo poncas a pa la sgun apoxacón ρb Po sa cuacón s cupl paa cualqu vloca ρ (A2.8), po lo ano la guala sablca n la cuacón (A2.8) s npnn sa vloca, obnénos aquí la sgun cuacón qulbo náco paa l sólo sco

4 74 ODELIZACIÓ ÉRICA DE AERIALE COPEO ρb ρ B (A2.9) x as n sno n as, y x los conunos onaos, n oa acs coluna, las uzas nna, ásca y xna qu s saollan n caa puno l ssa sco qu apoxa l connuo, la aclacón n chos punos, la asa lnal y B l nso copabla oacons o gan séco la uncón oa. La cuacón (A2.9) psna la cuacón lnal qulbo náco n la conguacón acualzaa, qu xpsaa n la conguacón nca aqu la sgun oa, ρ b ρ (A2.) n x sno la az asa, la nsón Pola Kcho, ρ, y la nsa, l volun y la supc l sólo n la conguacón ncal (v Eo! o s ncuna l ogn la nca.). Ds un puno vsa cánco-nuéco, la no lnala n la cuacón (A2.9) o (A2.) pu sa ognaa po snos nónos, - o lnala consuva, qu sula la péa lnala n l capo nsons y oacons - (o - E paa la conguacón nca), al coo ocu n la plasca, año c. Esa no lnala ocu bo al cabo popas qu su l aal uan su copoano cánco y s la n su nso consuvo C l. - o lnala po gans oacons, qu s ba a la nlunca no lnal qu n l cabo conguacón l sólo n l capo oacons,. Es cabo conguacón abén ala l nso consuvo, y po llo sablc una lacón no lnal n nsons y oacons. Aás, sos cabos conguacón son poucos po gans ovnos, aslacons y oacons, qu abén poucn cabos n l ssa nca local n los punos l sólo, acano po llo al nso copabla oacons B. - o lnala po gans splazanos, qu a nca las gans oacons, sólo aca al nso copabla oacons B, C l

5 Anxo A2- Ecuacón Equlbo sczaa paa Elnos Fnos 75 poqu n s caso sólo ocun cabos n l ssa nca local los punos l sólo coo conscunca gans ovnos. Esas posbls no lnalas qu pun ocu oas unas o po spaao, s sun n la oa qu s usa n l sgun cuao scpvo, - Gans B - Dpnnc a los splaza nos. Dpnnc a o lnalas posbls n: o Lnala Consu va : Dpnnc a no lnal n nsons y oaco ns, bo a cabos n l nso consu vo Doaco ns : no lnal n nsons y oaco ns bo a cabos n l nso consu vo o lnala po cabos n la conguac ón goéca sólo, qu s la n l nso B l. l no lnal n las oaco ns C C o, po cabos E y conguac ón. Gans Dsplazanos : ólo psna una pa l pobla n gans oacons, poqu sólo aca al nso copabla oacons l B. La cuacón (A2.9) (o la (A2.) paa la conguacón nca) psna l qulbo n l ono lnal, y su pacpacón n ono global s alza a avés l nsabla sa cuacón qulbo, ulzano l opao lnal qu psna la sua n las coponns la uza, sgún cospona a la poscón y ccón las conbucons locals 5. A2.2. Equlbo. Pobla o-lnal Lnalzacón la Ecuacón En l caso qu haya lnala n l copoano l sólo, s cupl la sgun lacón qulbo global, cuya xpsón sula l nsabla las cuacons qulbo local psnaas n la cuacón (A2.9) (o la (A2.) as n x [ ] (A2.) La no lnala n l copoano global l sólo s ansa coo una uza n sual, povocaa po l squlbo n las uzas nos, las uzas áscas as y las xos x. Es squlbo, n un co nsan po l pocso náco, pu lnas an la lnalzacón sa uza sual (A2.), n la vcna l sao qulbo acual (). Paa llo s

6 ODELIZACIÓ ÉRICA DE AERIALE COPEO 76 ncsao oza l qulbo n l sao acual () y xpsa cha concón an una xpansón n s aylo uncaa n su pa vaacón, [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] x n n ) ( (A2.2) on la aclacón y la vloca bn xpsas an una apoxacón lnal n ncas nas, v ás alan, n l apaao (B3.3.2), l éoo wa coo un plo sa apoxacón. usuyno n sa cuacón las uzas nnas y áscas xpsaas n la cuacón (A2.9) (En oa análoga pu pocs con la cuacón (A2.) ), s n, [ ] ρ x x [ ] s s s s D D ρ x x al qu paculazano sa cuacón qulbo náco paa un aal cuya ly consuva vsco laso-plásca s l po ) ) /, ( ( p Ψ ρ l l l l D : : ξ C paa una lacón cnáca l po, y, sula, u u D

7 Anxo A2- Ecuacón Equlbo sczaa paa Elnos Fnos 77 ( ) C ( ) ( ) ξ ( ) [ ] [ ] [ J ] [ ] s s x s s ρ x (A2.3) on ξs ξ s l nso vscosa angn y J J s l opao acobano angn. Esa cuacón pu abén psnas n la sgun oa acal, on s allan los opaos qu conbuyn a la ncón l acobano, x J [ ] [ ] K D [ ] (A2.4) no sa úla la cuacón qulbo lnalzaa, on [ K ] ( ) : C : ( ) psna la az gz angn, [ ] : s la az asa, [ ] ( ) : ξ : ( ) ρ D s la az aoguacón angn, oas llas nas n oo l ono, l nso angn cosponn a la ly consuva ulzaa n caa puno l sólo y x : ρ : b s la uza xo qu s xpsa coo. La uza [ ] squlbaa n l sólo [ ] s lna sguno una solucón po won- Raphson 5 hasa qu s suo sul spcabl, suacón qu s conoc coo convgnca l pocso lnalzao haca la solucón xaca. C s A2.3 Dsnos pos Poblas Dnácos o-lnals. A connuacón s hac una bv psnacón los snos pos copoano qu noucn no-lnala n l pobla náco. En pncpo y n conscunca con l alcanc és lbo náca no lnal, s suaán poblas lasca aaa y laacón nsons, qu an luga al nonao aoguano vscoso pnn la vloca, plasca y año, qu conbuyn a la spacón la ngía npnn la vloca. Aunqu las gans oacons abén nucn no-lnala n l pobla náco no sá aaa con la sa pouna qu los oos nónos no lnals. consaán poblas n pquñas oacons, n los cuals l acobano, cupl con la sgun concón,

8 78 ODELIZACIÓ ÉRICA DE AERIALE COPEO J J F (A2.5) Rsulano aquí la concnca n las nsons Cauchy y Pola Kcho, n la vloca oacón n la conguacón acualzaa y la cosponn agnu nnsal D ε y n la nsa n las snas conguacons ρ ρ. Con sas concons paculas los splazanos y oacons son spcabls n a las nsons l sólo y po lo ano pu scbs la a oacón la sgun oa, u u ε ( F F I) u (A2.6) 2 2 x x Aás, paa un aal pacula cuyo copoano s lásco y n pquñas oacons, ocu la sgun concnca n la ncón las oacons ( E ε ), y la ngía lb s scb n la sgun oa splcaa, Ψ ( ε : C : ε) (A2.7) 2 ρ al qu susua n la cuacons consuvas las conguacons lagangana y acualzaa, sula la sgun ly consuva, Ψ ρ C : ε (A2.8) ε on l nso consuvo C conc xacan con l obno an la ly Hoo gnalzaa, y cuya xpsón canónca s la sgun, l l ( δ δ δ δ ) C λ δ δ µ (A2.9) Don λ y µ son las consans Laé y δ s l nso Kon. El nso lasca Hoo sula no posvo y pos las sguns sías l l l l l l C C C C (A2.2) Cauchy nía cupo lásco coo aqul n l cual las oacons n cualqu puno l sólo quan naas po su sao nsón y paua. En conas con sa ncón, s ná un aal con copoano nlásco, cuano s ncsao sablc unas ncons aconals a las popas la oía la lasca clásca, cuya oulacón sá laconaa con la hsoa l copoano l aal. Esa suacón hac qu no pua gaanzas una lacón bunívoca n l nso nsons y l oacons, o cho oa oa, qu no son lacons nvbls una oa. A2.3. o lnala n los aals. La nlunca l po pouc n algunos sólos copoanos cupabls. Báscan pun sablcs s pos copoanos no lnals pnns l po: - Elasca aaa o cp, on ocun ccno oacón a nsón aplcaa consan.

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