UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICA INSTITUTO DE INVESTIGACIÓN

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1 UNIERSIDD NCIONL DEL CLLO FCULTD DE CIENCIS NTURLES Y MTEMÁTIC INSTITUTO DE INESTIGCIÓN TEXTO: TEORÍ CLÁSIC DE CMPOS D. Jo bl Espchán Callo Rsolucón Rcoal Nº 6--R l al 3-8-

2 ÍNDICE Pána ÍNDICE RESUMEN 3 INTRODUCCIÓN 4 MRCO TEÓRICO 6 MTERILES Y MÉTODOS 7 RESULTDOS 8 Capíulo. GENERLIDDES 9.. Toía Clásca Campos 9.. Campo Físco 9.3. Rlacón la Toía Clásca Campos con oas amas la Físca 9.4. Fomulacón Laanana.5. Laanana paa ssmas connuos 4 Capíulo. FORMLISMO LGRNGINO DE L TEORÍ CLÁSIC DE CMPOS 7.. Fomulacón Laanana paa campos 7 Capíulo 3. TEOREM DE NOETHER 9 Capíulo 4. TENSOR ENERGÍ-MOMENTO Y MOMENTO NGULR Capíulo 5. SIMETRÍS INTERNS Campo Escala Compljo 7 Capíulo 6. LGRNGINO Y TENSOR ENERGÍ-MOMENTO DEL CMPO ELECTROMGNÉTICO 33 Capíulo 7. TRNSFORMCIÓN DE GUGE LOCL 37 Capíulo 8. EL PRINCIPIO DE EQUILENCI DE EINSTEIN 45 Capíulo 9. EL ESPCIO-TIEMPO DE L RELTIIDD GENERL 5 Capíulo. GEOMETRÍ RIEMNNIN. GEODÉSICS 5. Goéscas 58 Capíulo. EL PRINCIPIO DE CORINCI GENERL 63

3 Capíulo. DERIDS CORINTES. TENSOR DE CURTUR 65. Tnso Cuvaua 69 Capíulo 3. ECUCIONES DE EINSTEIN Y PLICCIONES plcacón: La Méca Schwazschl 76 DISCUSIÓN 9 REFERENCILES 9 PÉNDICE 93 Cuao: Rsulao la Invsacón 94 Sílabo la asnaua Toía Clásca Campos. 95

4 RESUMEN En l psn abajo nvsacón s ha laboao un o naualza ócopácco acao n lnuaj smpl qu pon los concpos lys y popa los campos cláscos foma ssmáca y conca qu pm l cao la asnaua TEORÍ CLÁSIC DE CMPOS cosponn al sémo cclo acaémco la cuícula suos la Escula Pofsonal Físca la Facula Cncas Nauals y Mamáca nusa Unvsa. Espcífcamn s pocua nouc n foma claa y pcsa los concpos funamnals paa la compnsón la asnaua n fnca psnano su aplcacón n avacón cuyo sulao fu obno una nvsacón la méca Schwazschl consano un fluo pfco smécamn sféco sáco qu obc una cuacón sao Polópca y asmsmo s pn ppaa al suan paa qu mpna con éo l suo oas asnauas laconaas a ésa a nvl p-ao y pos-ao. Es o sá basao n su plan nal y n alunas nsons su conno n los os mnconaos n la fnca sn mbao aquí la poscón los concpos s más ca y s ncluyn las mosacons n foma allaa qu a su vz sv como jcco. Los sulaos musan qu a fnca oos los auos mnconaos n la fnca l psn abajo hac más námco y fácl l pocso nsñanza y apnzaj sa asnaua. 3

5 INTRODUCCION La Toía Clásca Campos sua la námca los fnómnos físcos macoscópcos ca po un campo físco. Un campo físco s pu pnsa como la asnacón una cana físca n caa puno l spaco-mpo nalmn una mana connua. Ellos amás volucona mpoalmn o vaa n l mpo psnan vaacón n l spaco. Esa caacísca hac qu los campos físcos s consn como ssmas con un númo nfno aos lba. Las pculaa los campos hacn qu sus cuacons movmno san aas po cuacons n vaas pacals n lua cuacons fncals onaas. Comúnmn l émno oía clásca campos s omao n cuna paa cb las oías físcas como lcomansmo y avacón os las fuzas funamnals la naualza. Las cpcons campos físcos fuon conocas ans la oía la lava y luo fuon omaos a la luz sa oía. Dbo a so las oías cláscas los campos pun s consas como no-lavsa y lavsa. En la Escula Pofsonal Físca s ca la asnaua Toía Clásca Campos como pa la fomacón pofsonal los suans po s una cplna básca mpscnbl n la fomacón un físco cao al áa la físca paículas lmnals oía cuánca campos avacón y maa connsaa. En l suo los campos cláscos sn os qu aollan mana muy nsa los concpos y lys lo qu hac fícl su uso n una snaua a nvl noucoo con pocas hoas asnaas paa su cao. La mayoía os n Toía Clásca Campos s ncunan scos n oos omas pncpalmn l oma nlés lo qu fcula su nnmno po pa l suanao qu conoc oos omas. 4

6 Po oo lao los lbos aos n Toía Clásca Campos psnan muchos jccos cuyas solucons n la mayoía llos lo hacn muy supfcal sno so una fcula paa nusos suans qu cén s ncan n sos ópcos la físca conmpoána. En s sno l poblma la nvsacón conssó n laboa un o n casllano naualza óco-pácco qu on acuaamn l aollo ssmáco y conco la asnaua TEORÍ CLÁSIC DE CMPOS qu amás pm la compnsón los funamnos y lys ncluya mosacons allaas con la fnala qu s nna la mooloía usaa y sa mana puan s usaas n la solucón poblmas laconaos con l cuso. Los pncpals objvos planaos paa la nvsacón consan nouc n foma claa y pcsa los concpos ócos funamnals paa la compnsón la Toía Clásca Campos mosano su aplcacón al suo los campos lcomanéco y avaconal ncano sa mana a los suans n l méoo cnífco compobacón hpóss y ofc a los alumnos la mjo ppaacón acualzaa n ésos ópcos a fn qu s ncunn capacaos paa mpn con éo suos n físca paículas lmnals oía cuánca campos y oas áas como físca nucla físca saísca y maa connsaa y oos cusos smlas pos-ao. La mpoanca l psn abajo aca n l hcho qu s o: TEORÍ CLÁSIC DE CMPOS consuy un nsumno paa facla l pocso nsñanzaapnzaj acuo con los objvos y connos l poama ofcal la asnaua l msmo nomb qu s ca n la Escula Pofsonal Físca la Facula Cncas Nauals y Mamáca la Unvsa l Callao. 5

7 MRCO TEÓRICO La Toía Clásca Campos sua l compoamno y caacíscas los campos cláscos como los campos lcomanéco y avaconal. Mas spcífcamn la Toía Clásca Campos sua la smía qu psnan los campos fn alún po ansfomacons como pun s spaco-mpo o nnas sob l popo campo; las cuals llvan a lys consvacón y n conscunca a cana consvaas alunas llas análoas con la Mcánca clásca como son la consvacón l momno la nía y l momno anula; y oa como la consvacón l caa. Muchos auos; Sop 975 Bau 965 Ry 988 Douhy 996 n oos han sco os laconaos oía clásca campos cuyos connos son masao nsos n la psnacón los concpos y lman la poscón jccos aplcacón. Las fns scuncas n la nouccón los concpos la nomnclaua y noacón vsa qu usan los fns auos caos y lo lmao l mpo paa l cao la snaua a nvl noucoo n un sms acaémco hacn qu su poscón sa un poblma ácco fícl; n s cono paa la laboacón l o TEORÍ CLÁSIC DE CMPOS s ha consao nfaza las mosacons n foma allaa con la fnala facla l manjo la hamna mamáca qu s usa n sos ópcos la físca acual. 6

8 MTERILES Y MÉTODOS El psn abajo s ha aollao sob la bas os mnconaos n los fncals y pncas popas acuánolos a nusas ncsa. Toa la nfomacón ha so pocsaa n un compuao psonal usano Mcosof Mcosof Wo fo Wnows 3 n concoanca con las cvas vns man l cual s han sco oos los os ao oo l fomulsmo mamáco laconaos a los vsos mas aollaos. La mooloía qu s ha mplao s la la uccón lóca o nfoqu nucvo así como l ucvo po s s úlmo más concso y lóco y qu pm aolla l suo la Toía Clásca Campos n foma conca y onaa. El méoo nucvo-ucvo ha hcho posbl mosa l aollo l fomulsmo qu cbn los concpos cos así como ambén l análss las mosacons aollaas. 7

9 RESULTDOS El sulao l psn abajo nvsacón s l o: TEORÍ CLÁSIC DE CMPOS cuyo conno s pon n c capíulos buos n l on sñalao n l ínc y qu s psna n las pánas suns. En caa capíulo s ponn mana claa ca y concsa a mana paso los pncpals concpos lys y fómulas asocaos a los mas aaos a fn qu l suan pua n una buna fnca paa compn las mosacons psnaas. El uso l o: TEORÍ CLÁSIC DE CMPOS pm unfca los concpos ócos y favoc l pocso nsñanza-apnzaj la asnaua Toía Clásca Campos acuo a la popusa slábca paa su cao. más pm afanza n l suan los concpos laconaos con las popa los campos cláscos paa su poso uso n l suo los campos cuáncos con su aplcacón n Físca Paículas Elmnals. 8

10 CPÍTULO.. TEORÍ CLÁSIC DE CMPOS GENERLIDDES La Toía Clásca Campos s una oía físca qu aa sob l suo la naccón uno o más campos cláscos con la maa. Las amas la físca on sán psns los campos cláscos son po jmplo: Rlava Gnal; Elcomansmo; oía Yan- Mlls y maa connsaa; n conscunca la oía clásca campos consa los casos no lavísco así como ambén l lavísco. La námca los fnómnos físcos asocaos con campos cláscos s ca po un campo físco... CMPO FÍSICO La a un campo físco s asnal a una cana físca una funcón n caa puno l spaco-mpo nalmn una mana connua. E s c amás volucona mpoalmn n l mpo psnan vaacón n l spaco. Esas caacíscas hacn qu los campos físcos san consaos como ssmas con un númo nfno aos lba. Las pculaa qu psnan sos campos hacn qu sus cuacons movmno san aas n émnos vaas pacals n lua las cuacons fncals onaas. El émno oía clásca campos s comúnmn svao paa cb las oías físcas como lcomansmo y avacón os las fuzas funamnals la naualza. Los jmplos más noabls los campos cláscos son los campos fuzas las oías los fnómnos avaconal y lcomanéco. Esos campos son causaos po la psnca masa y caa lécca spcvamn..3. RELCIÓN DE L TEORÍ CLÁSIC DE CMPOS CON OTRS RMS DE L FÍSIC En la acuala n la físca mona s mpsonan l an númo fns pos paículas funamnals obsvaas nfcaas. Es c amás los lcons poons nuons y foons sn muchas oas paículas. Dos caacíscas muy pculas psnan las paículas a sab n alunos aspcos llas s compoan como paículas n l sno clásco y s como s suvan asocaas con aluna foma movmno onulaoo. l spco s conoco hsócamn qu los aspcos copusculas la maa onaa fuon suaas n pm lua; y las popa ona ca po la oía cuánca fuon consaas mucho más a. Sn mbao paa l caso los foons l aollo fu n on nvso. Cuano la oía l campo lcomanéco saba aollaa s compnó qu cas popa las onas lcomanécas pun s plcaas posulano la snca cas na cas po paículas llamaas foons. Es c sa uala ona-paícula ncalmn acpaa paa los foons s acualmn acpaa como una caacísca nal l compoamno oos los pos paículas funamnals. 9

11 Po oo lao l suo óco s nalmn más acuao aolla n pm lua la cpcón onulaoa y luo amna l compoamno como paícula. La cpcón onulaoa l aollo una oía campos n émnos cláscos. Luo son ncopoaas las las cuáncas n la cpcón y noncs s posbl npa alunas las uccons n émnos los concpos paículas. El suo la oía campos fu aollao como una nsón lóca la oía los ssmas maals connuos. El jmplo más conoco s l campo lcomanéco. Es campo pu s co n émnos los campos léccos y manécos o n émnos las funcons poncal scala y vcoal. En los os casos las cana qu nvnn son funcons vaabls connuas l spaco-mpo. Esa foma cpcón sá basaa sob obsvacons los movmnos paículas maals onaas qu posulamos anspoan caas léccas. La a un campo connuo s nouca con l fn va l concpo ccón a Dsanca n las paículas. Las funs los campos son las caas qu nn las paículas. La a s apolaa hasa l puno consa qu l campo s sob aluna foma msmo n ausnca paículas. Las popa l campo lcomanéco son sumas n l ssma cuacons fncals conocas como las cuacons Mawll. Son nomalmn llamaas cuacons campos. Suponmos qu los campos sán asocaos a oos pos paículas funamnals la msma mana qu l campo lcomanéco sá asocao a los foons. Esos campos no nn ncsaamn l msmo ao complja qu l campo lcomanéco; alunos son mucho más smpls. La hpóss funamnal s qu l compoamno onulaoo cualqu po paícula pu s sumo n un ssma cuacons campos con una o más vaabl campo. Suponmos ambén qu las cuacons bn s nvaans n las ansfomacons Lonz obcno sa mana l quso lavsa qu oas las lys la naualza psnan la msma foma n oos los ssmas fnca. Las vaabls campo no son accsbls a la obsvacón ca po sus valos como n l caso lcomanéco pun s ucos obsvacons sob ssmas maals. La compnsón s hcho b va uas spco la naualza sas vaabls. Ellas psnan mucha o poca ala como suc spcvamn n los casos los vcos campo lécco y manéco o n l caso las funcons poncal la mcánca clásca. Es mjo consalas como ns mamácos cuyo snfcao s ncuna n la posbla llas s mplaas paa cb y pc mofcacons obsvabls n l compoamno los ssmas maals. Ejmplos campos cláscos son los campos qu nconamos n la oía avaconal y lcomanéca. Son causaas po la psnca masa y caa spcvamn..4. FORMULCIÓN LGRNGIN Paa aolla la oía campos la fomulacón laanana s consaa. En sa fomulacón la námca l ssma s co po una funcón la laanana. Luo usano l pncpo vaaconal la laanana s obnn las cuacons movmno l cual obna la volucón l ssma.

12 El uso l pncpo vaaconal paa obn las cuacons movmno n l caso la físca clásca s muy conoco. Tnmos como jmplos l pncpo Fma n ópca 657 y l pncpo Maupus n mcánca 744. Po oo lao sn os azons mpoans paa consa la fomulacón laanana n oía clásca campos:. La laanana o la nal la nsa laanana sob l spaco-mpo b s nvaan fn a oas las smías la oía n suo. Es aspco la fomulacón laanana s más acpao po las oías lavsas bo a qu pm aa l spaco y l mpo la msma mana n conas a oas apomacons on la cpcón s paa una volucón mpoal.. Mnconaa po Dac y laboaa po Fynman; pm la fomulacón nals camno la mcánca cuánca. D al foma qu l opao volucón paa una funcón ona la mcánca cuánca pua s psao como una suma sob oos los camnos. Paa nouc los concpos báscos la fomulacón laanana s convnn consa la mcánca clásca. Paa so vamos a supon qu s n un ssma fomao po n paículas oas con la msma masa. Su movmno clásco s co n émnos las coonaas q 3...n. Esas 3 n coonaas cbn una aycoa n l spaco-mpo. D acuo a la ly Nwon nmos mq F. En l caso fuzas consvavas s n qu F q con psnano l poncal on s ncunan las paículas. Como s conoco s l valo las coonaas q y las vloca q n un mpo ncal son sablcos las lys Nwon pmn consu la aycoa compla n émnos las funcons coonaas. lnavamn s pu mna una q aycoa spcfcano l valo las coonaas q n os mpos fns s c q q y q q. D sa mana la nfna vaa manas n la cual l ssma físco pu volucona q hasa q la cuacón Nwon consa úncamn una aycoa pacula. hoa supona qu asnamos un númo al a caa posbl aycoa n q y q. Un objo qu asna un númo a una funcón s llamao: una Funconal y s noa po S q.

13 Es posbl fn una funconal llamaa la CCIÓN al qu l númo asnao al camno físco n q y q s pcho po la ly Nwon cosponn a un valo saconao sa funconal. D sa mana sn os apomacons alnavas al poblma l cual nn sulaos quvalns s c:. Solucona las cuacons Nwon o. Encona la aycoa paa l cual la funconal accón n un mínmo. Con la fnala aolla la suna alnava vamos a fn la funconal accón S q como la nal mpoal la laanana L q q s c q S L q q.. Obsv qu. s una funconal bo a qu asna un númo a caa aycoa aa co po. smsmo l pncpo vaaconal c qu la volucón aycoa q sua po un ssma físco s aqulla paa l cual la accón q q S n un mo S. paa oas las aycoas q qu nn los punos mos n y. Es pncpo vaaconal s conoco como PRINCIPIO DE HMILTON. Inpnnmn la foma pcsa la laanana s pu mosa qu las solucons l pncpo Hamlon sasfac la llamaa cuacón Eul-Laan ambén conoca como cuacón movmno aa po L L q q..3 Paa mosa.3 vamos a consa cambos nfnsmals sob una aycoa aa y sua la vaacón la accón. D sa mana paa ansfomacons nfnsmals abaa la aycoa s c q q q al qu y s n q q q q q q Sq q Sq S S L q q q q q L..4

14 3 Sn mbao como q q L q q L q q L noncs q q L q q L q q L así.4 s ao po q q L q q L q q L q S q q L q q L q L q S y como q q y q s abao s obn consano.: q L q L. Po ano l movmno clásco un ssma paículas s obn l pncpo Hamlon nvsamn cualqu solucón las cuacons Eul-Laan cospon a un puno saconao la funconal accón. Una vz qu la laanana s conoca l sun paso s consu consans movmno s c cana qu pmancn nvaans n l mpo. Po jmplo cuano L no pn plícamn q caso n l cual s n qu q L l momno nalzao p fno como q L p s una consan. Es sulao s nmao.3. Esas consans son llamaas las nals momno las cuacons movmno. La vnaja la fomulacón laanana sá basaa sob una funcón scala la laanana la cual pu s fna paa cualqu conjuno coonaas nalzaas q. S la oía n suo n smía noncs la accón b s nvaan sob sa smía. En s caso s pu mosa qu las cosponns cuacons Eul- Laan son nvaans n l sno qu las ansfomacons smía aplcaa a una solucón aa sas cuacons llvaan a oas solucons. La popa nvaanca s alunas vcs oo lo qu s ncsa mana uc la accón aa un ssma ao.

15 .5 L LGRNGIN PR SISTEMS CONTINUOS Hasa aquí hmos aao con un ssma fno aos lba. Sn mbao s ncsao la anscón a un númo nfno aos lba bo al aamno ssmas connuos al como un sólo vbano qu su movmno s co spcfcano las coonaas poscón oos los punos. El caso connuo pu s apomao consano l lím apopao un ssma con un númo fno coonaas cas. Paa lusa s pocmno vamos a consa una baa lásca lonu qu suf pquñas vbacons lonunals. La baa connua pu s apomaa po un conjuno coonaas cas psnano una cana n paículas ual masa spaaas una anca a y unas po sos sn masa consan k. D sa mana la lonu oal l ssma s n a. S l plazamno la -ésma paícula su poscón qulbo s ma po la cana noncs la nía cnéca sa unmnsonal s T n m..5 La nía poncal s la suma las n nías poncals caa so como spusa sa sno sao o compmo su lonu qulbo s c n más la fuza sob la -ésma paícula s obn k..6 F noncs F k k k. D sa mana.5 y.6 pomos obn la laanana s c L T k..7 n n m Usano la cuacón Eul-Laan.3 obnmos la cuacón movmno aa po m. F connuacón con la fnala pasa al lím connuo vamos a ncmna l númo paículas al nfno n con las concons mann la lonu oal n a y la masa po una lonu m a fjos. Po ano Y ka b ambén s manno fjo. Rcoano la ly Hook l samno una baa po una lonu s camn popoconal a la fuza jca sob la baa on l moulo Youn s una consan popoconala. Tnmos paa nuso caso co qu la fuza n os 4

16 paículas s F k y amás como l spaco n os paículas po una lonu s / a s n qu Y ka s l moulo Youn l cual b pmanc consan n l lím connuo. D sa mana scbmos.7 como n n m a a ka. a a L Consano l lím a y n con n a m y Y ka a n s caso qu la coonaa poscón connua mplaza al ínc y fjos s n s una funcón s c. D sa mana la laanana s aa po una nal sob la lonu la baa: L Y..8 Como s una coonaa nalzaa paa caa s una coonaa nalzaa paa caa s c l númo fno coonaas ha so mplazao po una funcón. D hcho ambén pn l mpo así nmos una funcón os vaabls llamaa l campo plazao y y son sus vaas pacals con spco a y spcvamn. La laanana.8 s una nal sob l Y.9 llamaa la nsa laanana. En s caso s una funcón y sus vaas pacals y po pu s fáclmn nalzaa. Una lacón mpoan s la accón la cual pu s sca como: l S. Las cuacons Hamlon paa s obnn l pncpo Hamlon. Paa las ansfomacons nfnsmals: s n S S S 5

17 6 l l l S po como l l l v l l l noncs l l l S así la uala a co ba a. sa psón s obn: l l l qu s la cuacón Eul-Laan paa un ssma connuo. La nalzacón paa ssmas connuos n más mnsons s ahoa obvo y s pu n smplmn las fncons la nsa laanana y las cuacons Eullaan.

18 CPÍTULO FORMLISMO LGRNGINO DE L TEORÍ CLÁSIC DE CMPOS. FORMULCIÓN LGRNGIN PR CMPOS En s capíulo noucmos los campos paa m los plazamnos una poscón qulbo. Paa so vamos a consa campos abaos sn spcfca los aos lba qu llos cbn. Esos campos sán funcons l 4-vco l spaco- c y z 3 c y z. mpo 3 o Po jmplo una nsa laanana pu pn los campos y sus pmas vaas s c. Tambén s pu consa qu l campo nacúa con una fun na s c cb un ssma no cao. sí cuano s qu sua los campos léccos y manécos poucos po una bucón con lécca s posbl cb s caso consano una fun na cuya pnnca n la nsa laanana s. Po oo lao vamos a fn la funconal accón paa un campo qu nacúa con una fun na y ahí su pnnca n como 4 S. on consamos qu l campo s ncuna n una ón R l spaco-mpo con fona R. S a connuacón hacmos las vaacons n las coonaas vaacons sas qu s anulan n la fona R s c y y n l campo..3 y fnmos la vaacón oal como on n pma on s la vaacón la accón s aa po on 4 4 S 4 4 J y J s l Jacobano la ansfomacón. 7

19 8 D. s n J. Consano sólo émnos hasa suna on nmos S 4 4 S 4.4 on..5 más la cuacón.3 s n..6 Susuyno las lacons.5.6 n.4 y colocano obnmos la sun psón: R S 4..7 Obsv qu l c émno s una vnca oal. El suno émno pu s sco como on l pm émno ambén s una vnca oal. Pomos scb las vncas oals como las nals sob la fona R Toma Gauss. D sa mana.7 s scb como R R S 4..8 Como po hpóss consamos qu y sob R noncs l suno émno n.8 s anula y la concón qu la accón sa saconaa S mplca las cuacons Eul-Laan:.

20 9 CPÍTULO 3 TEOREM DE NOETHER En s capíulo vamos a sua oas conscuncas l uso l pncpo vaaconal. Es c usano las smías la accón s llaán a pncpos consvacón. Po jmplo coano qu n mcánca clásca s l hamlonano s npnn l mpo noncs la nía s consvaa. D la msma mana s l hamlonano s nvaan fn a ansfomacons aslacón noncs l momno s consvao. Inpnnca Tmpoal mplca consvacón la nía. Inpnnca aslacón mplca consvacón l momno. Inpnnca oaconal mplca consvacón l momno anula obal. En oía campos y n físca paículas un oma mpoan s l Toma Noh l cual c: s la accón s nvaan po una paamzacón una ansfomacón n y n oas palabas s la accón s nvaan sob alún upo ansfomacón n y noncs s una o más cana consvaas s c combnacons campos y sus vaas son nvaans sob las ansfomacons. El Toma Noh consa las consvacons nía momno momno anula y oos númos cuáncos como caa sospín colo c. qu pos la paícula. Paa ncona las cana consvaas pamos consano la psón.8 s c R R l S 4 R R l 4 R S 4 R. 3. más como

21 pomos fn una vaacón oal n po. D sa mana s n. Po lo ano. sí mplazano n 3. obnmos R R S 4 3. on. 3.3 connuacón vamos a consa qu la accón S s nvaan sob un upo ansfomacons nfnsmals n y aas po on s un paámo nfnsmal. D sa mana l suno mno 3. nmos R y como s abao noncs s obn

22 on R J J. Po oo lao usano l Toma Gn paa pasa la nal supfc a una nal volumn s n po lo ano R 4 J J R Es c nmos una con J J. 3.6 consvaa. La snca sa con s obuvo la nvaanca la accón sob las ansfomacons 3.4 y 3.5. más 3.6 s n paa un nsan mpo qu 3 3 J J y usano l Toma Gauss n l suno mno la psón ano nmos J J 3 sob la consacón qu los campos s anulan n la supfc. D sa mana 3.6 s uc a S ahoa fnmos paa consan J 3. noncs s n s c s n una caa consvaa. Q 3 J Q Rsumno la smía la accón mplca la consvacón una con l cual llva a un pncpo consvacón.

23 TENSOR ENERGÍ-MOMENTO Y MOMENTO NGULR CPÍTULO 4 En s capíulo connuano con l suo alzao fn al Tnso níamomno s ncsao sua sus componns así s n: y 4. amás como y noncs H s una nsa nía y paa. p n. p q. q. y.. Po oo lao paa l caso una anslacón nfnsmal spco l on l spacompo s c 4. así noncs D la msma mana

24 nmos qu y como la con s aa po noncs así paa l caso y obnmos qu 4.5. J J s n qu J J 3 3. y como D sa mana s una cana qu s consva y n analoía con la mcánca clásca sá l 4-momno o nía-momno l campo. Po lo ano 4. pu s llamao un nso nía momno. Po jmplo s consamos la sun nsa laanana: s n qu m 4.6 así n 4. nmos. Po ano s nso s sméco n y. D sa mana paa l campo scala l nso nía-momno s sméco. Sn mbao n nal no s clao qu 4. sa 3

25 sméco. más no s únco s c s posbl acona un émno la foma on f f noncs luo s hacmos s n f f f f f f. 4.7 D sa mana fnmos un nuvo nso la foma: al qu usano 4.7 s obn T f 4.8 y como T J y J noncs así T s c s nuvo nso nía-momno s consvao como l ano la acón un nso a al nso nía-momno no afca la nía y l momno los cuals son cana mbls. Es nso T s llamao nso nía-momno canónco. Es oa azón paa qu T sa sméco l cual su cuano consamos l momno anula. En s caso s qu la accón sa nvaan fn a oacons spacals s c j j 4.9 on j 3 y j j j 4. s una maz ansméca qu cb las oacons. Como l upo oacón s un subupo l upo Lonz s posbl nalza 4.9: con. D sa mana 4. pu s sco como: 4. on c. más 4. s n qu s ansméco n s. En s caso paa ncona la con Noh consvaa usamos l cual paa y susuyno J T po s n qu 4

26 Sn mbao n s caso J T. no s os íncs s no s s c J T. Po oo lao como s ansméco n y solamn la pa ansméca n sus íncs nfos conbuyn n 4. así pomos n : hacno luo sumano sas psons s obn: sa mana s fnmos noncs y s usamos J nmos qu J J T T T T T T. 4.3 Es posbl mosa qu la componn sa con s a mnos un faco numéco la nsa l momno anula l campo s c paa n 4.3 s n qu: J T T. más anomn nconamos qu T s l 4-momno l campo noncs pomos fn la nsa momno anula l campo como: y l momno anula s ao po T T o pomos scblo la foma: M 3 T T 3 M. smsmo paa sua s s una cana consvaa hacmos 5

27 T T T T T T T T T T s c paa qu la nsa l momno anula l campo qu T T. s consv s b n Po ano la consvacón l momno anula qu l nso nía-momno sa sméco. más s n paa un nsan l mpo qu y como n las fonas l campo s nulo noncs l suno émno l lao zquo s nulo así nmos qu 3. S fnmos paa consan 3 Q noncs s n Q El cual nca qu nconamos una caa consvaa. Po ano sn s componns l momno anula l campo qu son 3 3 componns spacals M s c M M y M. Ts componns po spacompo M M y M qu sán laconaos con l cno masa l ssma y son 3 consvaas n vu la nvaanca puamn las ansfomacons Lonz. 6

28 CPÍTULO 5 SIMETRÍS INTERNS En l capíulo ano complamos l suo sob l on las lys consvacón paa la nía momno y momno anula oos llos obnas la smías l spacompo vía l Toma Noh. Sn mbao n la naualza s oa cana consvaa la caa lécca. La cusón s s so s bo a una smía la accón cuál s sa smía?. Lócamn no pu nvoluca qu sas smías ya fuon suaas. Es c la smía máma qu pomos n n l spaco Mnkowsk s smía sob aslacons plazamnos mpoals y ansfomacons Lonz los cuals ya fuon consaas oos llos. Po lo ano cualqu smía aconal b povn n oas palabas l campo scala b n más una componn. En nuso suo no vamos a consa l caso spnos o campos vcoals; n sos casos las fns componns sán laconaas po ansfomacons spaco-mpo con la conscunca qu l nso momno anula consvao conn un émno aconal npao como l spín nínsco l cual no n lacón con la caa l campo Dac s consao n s caso. La posbla más smpl s qu na os componns; y un campo os componns als s mamácamn quvaln a un campo compljo l cual vamos a consa. 5. CMPO ESCLR COMPLEJO S l campo scala n os componns als y pomos scblo como: on los campos y son npnns. D sa mana la nsa laanana ; m 5. s al lo cual pu s vfcao s hacmos 7

29 8 asmsmo m m m m m m m así nmos qu ; m m s c la nsa laanana s una suma nsa laananas los campos scalas als. Paa mna la cuacón movmno l campo y usamos Eul-Laan. Po jmplo paa consamos y 5. nmos m y la cuacón movmno paa sá: m. 5. D la msma mana s pu obn la cuacón movmno paa l campo aa po: m. 5.3

30 9 Rconocmos qu sas son las cuacons movmno po Kln-Goon paa los campos npnns y. Po oo lao s posbl mosa qu la nsa laanana s nvaan sob las ansfomacón au aa po on s una consan al. Las lacons 5.4 y 5.5 son llamaas Tansfomacón Gau Global o pm po. Es posbl mosa qu 5. s nvaan sob sas ansfomacons paa so hacmos: ; m ; m ; m ; ; s c la nsa laanana 5. s nvaan sob las ansfomacons au lobal. más paa l caso pquño paámo ansfomacón nfnsmal la ansfomacón s su foma nfnsmal s aa po: 3!! 3 3!! 3 y como s pquño pomos pca émnos l po 3 fn a sa mana las psons anos s ucn a la foma: más como noncs compaano 5.6 con 5.8 y 5.7 con 5.9 s obn qu:

31 D la msma mana nmos:. Dbmos obsva qu como las ansfomacons 5.6 y 5.7 no consan l spaco - mpo nmos qu s solamn nno s c ansfomacons solo sob l popo. S ahoa consamos l upo ansfomacons nfnsmals n y l cual paa ansfomacons nfnsmals son la foma v cuacons 3.4 y on s un paámo nfnsmal s n qu y n conscunca. Sn mbao paa las ansfomacons nfnsmals n y aas po 5. y 5. spcvamn s n qu al compaa con 5. y 5.3 l paámo nfnsmal y Po oo lao consano l Toma Noh s n qu la con consvaa l cual s aa po: J y como noncs J. Po como n s caso los íncs nnos n qu s sumaos sa mana s n conbucons y y usano 5.4 y 5.5 obnmos J s c: s 3

32 3 J 5.6 más aun ; m nmos qu así 5.6 s scb como: J. 5.7 hoa paa sua s sa psón pomos obn cana consvaas hacmos: J J y usano 5. y 5.3 nmos qu J s c la 4-vnca J s nula. En s caso la cana consvaa paa un nsan l mpo vn aa po 3 3 J J y usano l Toma Gauss n l suno mno la psón ano s c 3 J J 5.8 amás sob la consacón qu los campos s anulan n la supfc. D sa mana 5.8 s uc a: 3 J. S ahoa fnmos paa consan J Q 3 noncs s n

33 on Q Q s la cana consvaa y s nfcaa con la caa lécca. Dbmos mncona qu sa cana nfcaa con la caa lécca no conn la caa l lcón. Es una psón clásca bo a qu no conn. No sá cuanzao s c no s ncuna acuo con l hcho qu las caas léccas al oas pacn s múlplos una cana básca. más obsv qu s l campo fua al Q s nulo y no s cana consvaa. Po ano nfcamos una cana consvaa Q como sulao la nvaanca la accón sob una ansfomacón au y. En s caso como s una consan sas ansfomacons bn s las msmas n oos los punos l spaco-mpo s una ansfomacón lobal. Sn mbao s qumno no s posbl bo a qu acuo con la lava b s un mpo mínmo ual al mpo vaj la luz s c la ansfomacón au lobal conac la lava. Po sa azón la consacón qu sa una consan b s mofcaa. En l sun capíulo vmos las conscuncas consa como una funcón l spaco-mpo. 3

34 33 CPÍTULO 6 LGRNGINO Y TENSOR ENERGÍ-MOMENTO DEL CMPO ELECTROMGNÉTICO Como mnconamos n l capíulo ano cuano hacmos una ansfomacón Gau Global n l spaco nno s ncsao hac la msma ansfomacón o oacón n oos los oos punos al msmo mpo. Sn mbao so s lavscamn mposbl qu conac l Pncpo la Rlava: nnuna sñal o nfomacón pu s nsanáno. El mpo mínmo n un puno y oo s l mpo qu la luz vaja n llos. Una mana va s poblma s ja lao l qumno qu s una consan y scbmos como una funcón las coonaas l spaco-mpo. Esas ansfomacons son conocas como Tansfomacons Gau Local o suno po. En s caso s n: con lo cual ; m ; m ; m ; m J on J s la con l campo aa po 5.7. Obsv qu n s caso la nsa laanana no s nvaan sob una Tansfomacón Gau Local s c ; ;. D sa mana la sun aa sá mna una nsa laanaana qu sa nvaan sob una Tansfomacón Gau Local. Paa lo cual consamos las ansfomacons nfnsmals :

35 más como noncs compaano sas psons con 6. y 6. spcvamn s obn qu: D la msma mana nmos: Compaano sas psons con l caso l capíulo ano obsvamos qu nmos émnos as y spcvamn. Dbo a sos émnos as po jmplo compaano 6.3 y 6.5 conclumos qu no s ansfoma covaanmn s c no s ansfoma como l popo campo. más bo a s émno la ccón no s más nvaan sob ansfomacons aus locals. Lo cual s musa a connuacón. La vaacón la nsa laanana s:. 6.7 S susumos las cuacons y 6.6 n 6.7 obnmos: J. 6.8 D sa mana compobamos qu la ccón no s nvaan sob ansfomacons aus locals. Paa hac qu cha ccón sa nvaan noucmos un nuvo cuavco qu s acopla camn con la con J l cual pouc un émno a a la nsa laanana : J. 6.9

36 35 Más aun mponmos qu sob las ansfomacons aus locals l campo s ansfom como:. 6. hoa la vaacón s J J J J J J. 6. Po lo ano l émno J n 6. cancla n 6.8 sn mbao ahoa bmos cancla l pm émno 6.. Paa so consamos la fncón la con 5.7 y usano las ansfomacons nmos qu: J J J J. 6. D 6. y 6. nmos qu. 6.3 D sa mana bmos acona un émno paa cancla 6.3. Es émno s ao po:. Nuvamn aquí bmos calcula la vaacón nno n cuna la ansfomacón 6.:. 6.4 Obsvmos qu s émno s 6.3 po con l sn o cambao así 6.3 y 6.4 nmos qu:. Po lo ano la nsa laanana oal s ahoa nvaan sob ansfomacons aus locals.

37 Como noucmos un campo qu s acopla a la con una nsa laanana qu conna solo al campo au nvaan au s c sn acoplamnos con los campos y fnmos l oaconal l campo como: F J ncsamos n y qu amás sa. Paa lo cual. 6.5 Es nmao vfca qu sa psón s nvaan sob 6. s c F F F F. F D 6.5 fnmos la nsa laanana l campo como: F F on l faco s ncsao paa obn las cuacons Mawll no homoénas a 4 pa las cuacons Eul-Laan. D sa mana sumano oas las nsa laananas obnmos la nsa laanana oal aa po: m J F F 4 qu s pu scb como: m F F 4. Po lo ano mosamos qu l campo lcomanéco s un campo au s c l apac naualmn po nca qu la ccón sa nvaan sob ansfomacons aus locals. El campo s nomnao poncal au s acopla lnalmn con la con J con una consan acoplamno qu s la caa l campo. D sa mana nconamos qu la nsa laanana l campo lcomanéco s aa po: F 4 F y usano la fncón l nso nía-momno l campo lcomanéco s n qu: T. 36

38 37 CPÍTULO 7 TRNSFORMCIÓN DE GUGE LOCL En l capíulo ano paa mna l Tnso nía-momno l campo lcomanéco s conso la ansfomacón au local n lua la ansfomacón au lobal bo a qu sa úlma no cumpl con l pncpo la lava. En l psn capíulo vamos a consa la ansfomacón au local con la fnala sua qu suc con la nsa laanana. sí ncamos nuso suo consano un campo scala compljo aos po y y amás omano n cuna qu la ansfomacón au local s on s una funcón las coonaas l spaco-mpo. Las lacons 7. y 7. son llamaas Tansfomacón Gau Local o suno po. Sob sa ansfomacón la nsa laanana ; m s ansfoma la sun mana: ; m ; m ; m ; m ; ; y como y luo hacno s n:

39 38 ; ; J ; ; on J s la con l campo. Obsv qu n s caso la nsa laanana no s nvaan sob las ansfomacons au local. D sa mana la sun aa s obn una nsa laanana qu sa nvaan fn a ansfomacón au local. Con s popóso paa l caso pquño paámo ansfomac ón nfnsmal consamos la ansfomacón s su foma nfnsmal aa po: 3!! 3 3!! 3 y como s pquño pomos pca émnos l po 3 fn a sa mana las psons anos s ucn a la foma: más como noncs compaano 7.3 con 7.5 y 7.4 con 7.6 s obn qu: y amás 7.5 y 7.7 s obn 7.9 asmsmo 7.5 nmos

40 39 7. y usano 7.9 así como l hcho qu pmua con la vaacón la psón ano s sca la sun foma:. 7. Smlamn consano 7.6 y 7.8 s n:. 7. Obsvamos qu las psons 7. y 7. nn émnos as y spcvamn. Esos émnos as hacn qu la ccón no sa nvaan sob ansfomacons au local como mosamos a connuacón. La vaacón la nsa laanana s ahoa usano las cuacons Eul-Laan paa los campos y s c n l pm y c émno l lao cho la psón ano spcvamn s n. Luo consano los émnos vaacons paa y aas po así como sus vaas spcvas 7. y 7. s obn

41 4 los émnos y son vncas oals y paa la vaacón la accón no conbuyn s c sos émnos pun s noaos. más como noncs J 7.3 on J s la con l campo scala compljo fna n l Capíulo 5. D sa mana la accón no s nvaan sob ansfomacón au local. Paa hac qu cha ccón sa nvaan vamos a noucmos un nuvo cuavco qu s acoplaá con la con J así la nsa laanana ná un émno a ao po: J. 7.4 Más aún vamos a mpon qu sob la ansfomacón au local l campo s ansfom como: 7.5 llamaa ansfomacón au.

42 4 hoa la vaacón s J J J J J J. 7.6 D sa psón obsvamos qu l émno J pm qu n 7.3 sa nula sn mbao ahoa nmos un nuvo émno a ao po J l cual s b anula. Con s popóso y consano la con J así como las ansfomacons y 7. obnmos J J J J. 7.7 D sa mana consano y 7.7 nmos qu. 7.8 Como ocuó anomn obsvamos qu s un émno a n la vaacón la nsa laanana así con l objvo qu 7.8 sa nula vamos acona un émno qu pma cancla 7.8. Es émno s ao po:. Nuvamn aquí bmos calcula la vaacón nno n cuna la ansfomacón au paa aa po 7.5 así como 7.7 y 7.8 s n qu

43 Obsvmos qu s émno s ual a 7.8 po con l sno cambao así 7.8 y 7.9 nmos qu:. Po lo ano la nuva nsa laanana oal aa po s ahoa nvaan sob ansfomacón au local. hoa como noucmos un campo a l cual s acopla a la con J ncsamos n n la nsa laanana oal una qu conna sólo al campo au y qu amás sa nvaan au s c sn acoplamnos con los campos y. D sa mana fnmos l oaconal l campo como: F. 7. Es nmao vfca qu sa psón s nvaan sob 7.5 s c F F F F F. Consano la fncón 7. consumos la nsa laanana asocaa al campo como: F F 4 7. on l faco 4 s ncsao poqu pm obn las cuacons Mawll no homoénas a pa las cuacons Eul-Laan.

44 43 D sa mana sumano oas las nsa laananas obnmos la nsa laanana oal aa po: F F J m 4 qu s pu scb como m F F 4 m F F 4 m F F 4 F F m 4. Paa qu la nsa laanana sa más nal posbl vamos a consa funs nas j y j acoplaas a los campos y spcvamn y l campo au acoplao a j po lo ano s n F F m 4 j j j. 7. Po oo lao s consamos la nsa laanana onal s c ; m con 7. obsvamos qu s mplazao po así pomos fn: D y la msma mana D. Esas psons son conocas como l coplamno mínmo o Dvaa covaan los campos y spcvamn. Dbmos mncona qu fn y D y D s ansfoman n foma covaan sob una ansfomacón au local s c

45 44 D D D D. D sa mana la nsa laanana oal nvaan fn a ansfomacón au local s aa po: 4 j j j F F m D D.

46 CPÍTULO 8 EL PRINCIPIO DE EQUILENCI DE EINSTEIN En s capíulo suamos l on l Pncpo Equvalnca n la Rlava Gnal. Como s conoco paa cb l movmno un cupo s qu ncsaamn un ssma coonaas spacals qu pman nfca unívocamn caa puno l spaco físco nés y una coonaa mpoal qu pma mna l on conolóco vnos n cualqu puno l spaco. s conjuno coonaas spaco-mpo s lo nomna ssma fnca. El númo coonaas spacals ncsaas pná los vínculos l ssma físco. Hasa la apacón la Toía Rlava Espcal la comuna cnífca acpó qu la coonaa mpoal a la msma paa oos los ssmas fnca posbls s c a npnn la poscón y l sao movmno lavo n fns ssmas fnca. smsmo paa cb los fnómnos y obn los valos las manu nvolucaas sas sulaban fns pnno l ssma fnca lo lo cual naba poblmas. Sn mbao Gallo sablcó un upo pacula ssmas fnca llamaos ncals o allanos n los qu los fnómnos mcáncos ocun la msma mana y las lys son psaas n foma mamáca smpl. Posomn Isaac Nwon a avés l Pncpo Inca posula la quvalnca n ssmas ncals. Dos fncons ssmas ncals son acpaas. La pma llas nca qu cualqu ssma fnca qu sé n poso spco las sllas fjas s un ssma ncal. La suna posula qu un ssma ncal s aqul n l cual las lys la físca aopan la foma más smpl posbl. La fncón qu s más spcífca c: ssma fnca ncal s oo ssma qu sé n poso o con movmno clíno unfom spco un objo maal sob l cual no acúa fuza aluna cualqua sa su poscón n l spaco. cualmn l Pncpo Inca n una snfcacón más nal. En pm lua Ensn lo nó a oos los fnómnos s c qu oas las lys la físca nn la msma foma n los ssmas ncals. más con la consacón la accón a avés campos ba a Mawll y l hcho qu la vloca la luz n l vacío sa consan paa oos los ssmas ncals s mofcó la lacón n sos ssmas y ahoa s ncunan laconaas po las Tansfomacons Lonz. En 95 lb Ensn publcó n una vsa cnífca almana l abajo nomnao Sob la lconámca los cupos n movmno. En s aículo él plana la nconssnca sulaos obnos con las cuacons Mawll n la solucón conocos poblmas lcomanécos paa cupos n movmno. Paa lla a la solucón popusa s alza una vsón compla y la mofcacón pofuna los concpos más báscos l conocmno l spaco y l mpo l cual suló la fomulacón ncal la Toía Rlava Espcal. 45

47 Esos cambos concpuals son conscunca l aollo la Toía consao paa ssmas ncals a pa os Posulaos basaos n hchos pmnals. El pmo llos nca qu cualqu fnómno naual spon a la msma ly n oos los ssmas ncals y l suno posula qu la vloca la luz n l vacío s consan paa oos los obsvaos. El pm posulao sablc la mposbla nu n l poso y l movmno clíno unfom n l sno qu son saos movmno nauals quvalns hacno nconssn la snca un ssma fnca absoluo y amás popocona la hamna funamnal paa ncona y vala oas las lys lavsas. El suno posulao s ncuna laconao con la Toía Rlava Gallo publcaa n 637 la cual a acpaa como una fomulacón valz unvsal con conscuncas cas n la mcánca Nwon. Po oo lao s la Toía fomulaa n s abajo cnífco Rlava Espcal pmn una cpcón compla los fnómnos físcos b naualmn consa l campo avaconal. Rcoano qu la avacón Nwonana fu l spíu la Rlava Espcal n os aspcos báscos: Invaans po las ansfomacons Gallo. loca popaacón nfna. En 97 scbno un aículo vsón sob Rlava Espcal y pnsano sob l poblma la avacón Ensn uvo lo qu llamo l pnsamno más flz su va. S una psona ca lbmn no sn su popo pso Es smpl pnsamno lo llvo a la Toía la Rlava Gnal s c la oía la avacón. Paa so él obsvo qu l campo avaconal n una snca lava alún moo smjan al campo lécco nao po nuccón mano-lécco. Paa un obsvao qu ca lbmn no s campo avaconal po lo mnos n su nono nmao. S l obsvao ja ca alunos cupos sos pmancn n sao poso o movmno lavo clíno y unfom n lacón a él. Es hcho pmnal s ncuna camn laconao con la uala la masa ncal m qu s una ma la nca l cupo y la masa avaconal m. La suna ly Nwon sablc qu F m a on m s ma námcamn po vaazón nvsa n las aclacons paa una fuza aa. La ly la avacón qu F m con un campo qu pn la poscón y las oas masas. D sa mana la aclacón n un puno ao s 46

48 m a m m y bn s fns paa cupos con valos fns paa la azón. Es c los m cupos qu nn fns azons can foma fn n un campo avaconal. Nwon saba conscn sa fcula hzo pncas con pénulos uals lonu paa fns composcons. Un sulao nulo fu obno n als pmnos s c nnuna fnca n los poos fu obsvaa. Esas pncas fuon pas po Fch Wlhlm Bssl 83 y confmaas a avés un méoo fn po Rolan on Eövös n 89. S sablcó qu no sía fnca paa la azón m. Ea npnn los cupos s c la azón s la msma sn nsa l cupo. m Po lo ano m m paa cualqu cupo s su la ly la caía lb los cupos. Toos los cupos can con a. Dbmos nca qu la uala la masa ncal y la masa avaconal no n plcacón n l omno la mcánca. El hcho qu m m s s y solo s s un campo fcco. El hcho qu un campo avaconal homoéno na una snca lava n l sno qu n l fncal n caía lb pu s pobao paa un ssma N paículas movénos con vloca no lavscas sob la nflunca un campo homoéno y una fuza no avaconal F funcón la spaacón n las paículas s c noncs F F N M N m N mn F N M. 8. Supona qu hacmos una ansfomacón coonaas no allana: M así N M N M 47

49 sa mana s n qu 8. s N M N M N M N M m N N m N N m N N m N m N F M N M N m N F N M. M Po lo ano obsvamos qu y no can fncas n las lys la mcánca cpo qu l obsvao n caía lb á qu no sn la psnca l campo avaconal. S concluy qu la fuza avaconal s una fuza fcca n l sno las fuzas no ncals qu sólo sn cuano samos n un fncal aclao. Es c s una quvalnca físca n fcos avaconals y aclaos. D sa mana l poblma la avacón sá ca foma laconao con aclacons. Como conscunca s hcho su la puna sá posbl qu l pncpo la lava sa válo pa ssmas aclaos una n lacón con oas? l spco n la confnca Quoo n 9 Esnn manfsó: n 97 compní qu oos los fnómnos nauals poían s cuos n émnos la Rlava Espcal cpo la avacón. Sía muy aaabl qu a psa la lacón n nca y nía ucbl la Rlava Espcal no sa una lacón n la nca y l pso. Sospch qu sa lacón a nplcabl po la Rlava Espcal Dos años pués la cacón la Rlava Espcal y l concpo nvaanca po las ansfomacons Lonz la avacón ía una vsón la Rlava Espcal n su núclo s c n su hamna más mpoan. S llama Pncpo Equvalnca a la na físca n los fcos avaconals y aclaos l cual sá vnmn laconao con l pncpo uala las masas ncals y avaconals m m. Tal pncpo pm compn la una la naualza n nca y avacón y ca foma plca la uala numéca n las os masas po la na sus naualzas. Posbla no consaa n l cono la Mcánca Clásca la cual pac chaza l pvlo conco a los ssmas ncals. El Pncpo Equvalnca c: En oo puno l spaco n la psnca un campo avaconal abao s smp posbl sco un ssma coonaas localmn ncal caía lb al qu no una vcna sufcnmn pquño l puno n cusón las lys la naualza oman la msma foma qu n ssmas ncals n la ausnca avacón 48

50 Po lo ano n s caso l lmno lína s on son las coonaas locals y y z

51 EL ESPCIO-TIEMPO DE L RELTIIDD GENERL CPÍTULO 9 En l capíulo ano s suo la quvalnca físca n los fcos avaconals y aclaos. En s capíulo vamos a sua l spaco-mpo laconao n la psnca l campo avaconal. Con s popóso manmos os ssmas fncas n l cual s ncunan os cos n caa uno llos n l plano y y qu uno los co sá ano con una vloca anula w y l oo s ncuna n poso. Sob sas concons s ncuna c qu n l pm caso on c s la lonu l co y D su ámo spcvo. D Paa l suno caso s n qu c D. D los sulaos obnos s concluy qu la lonu una cuva plana oos los punos l cual son quans l puno cnal l co no s ao po la fómula conoca paa l cículo. Es c la omía Euclana no s vála n l ssma l co oano paa mas lonu hcha n una foma naual. más s po jmplo s colocan os lojs uno n la pfa y l oo n l cno l co oan sas van a sa fua fas spco al ssma l co no oan. El loj la pfa pacá más lno. Po lo ano l spaco-mpo l ssma fncas on s ncuna l co oan no pu s fno al como a fno n la Rlava Espcal. Conclusón: El campo avaconal jc una nflunca sob las lys las mécas l connuo spaco-mpo. El spaco y l mpo no son absoluos como suponía Nwon y n l connuo spaco-mpo s absoluo como suponía Mnkowsk. En al psnca un campo avaconal las mas lonu son mofcaas foma al qu la omía l spaco s no Euclana. El pocnaj avanc ambén pn a poscón noncs l spaco-mpo s conv n un mo maal cuvo. Sob sos sulaos suamos a connuacón l lmno lína n un fncal oan. Con s objvo ncamos consano l lmno lína un ssma ncal: o ambén c y z 9. on y z. Una ansfomacón coonaas paa un fncal oano n ono al j z s c y z y z s cos ysn 5

52 y sn ycos z z on s la vloca anula a a lo lao l j mplazano n 9. nmos z z. Calculano los fncals y cos sn ysn y cos y n cos ycos ysn z z c y z y y y y c y z y y c. Po lo ano n un ssma fnca no ncal l cuaao l nvalo apac como una foma cuaáca qu no s uc a una suma cuaaos las fncals. El nvalo s ahoa psnao po una psón más nal l po: on los son n nal funcons las coonaas y l mpo s c. Po l Pncpo Equvalnca las cana bn psna la méca l spaco-mpo n la psnca un campo avaconal abao. Tal como n l caso la Rlava Espcal con l nso méco s sméco s c amás n nal las componns npnns no son ucbls a los valos la Rlava Espcal. 33 D sa mana pomos conclu qu l campo avaconal mofca la méca l spaco-mpo. sí las popa omécas l spaco-mpo son mnaas po los fnómnos físcos y no fjaas a po como n l caso la Rlava Espcal. En l jmplo l fncal oan la méca fu obna a pa la Rlava Espcal así po la ansfomacón nvsa s pu nuvamn ucla paa los valos la Rlava Espcal paa oo l spaco. l spco bmos nca qu als fomas no son muy spcals. En s caso la naualza l spaco-mpo s mnskonana y no s mnao po l fncal aclao. En nal los campos avaconals als como vmos no pun s lmnaos po ansfomacons coonaas. El spacompo s c qu s cuvo y la uccón sólo s posbl localmn. 5

53 CPÍTULO GEOMETRÍ RIEMNNIN. GEODÉSICS En l capíulo ano s suo la nflunca l campo avaconal sob las lys las mécas l connuo spaco-mpo. S llo a la conclusón qu l spaco y l mpo no son absoluos como suponía Nwon y n l connuo spaco-mpo s absoluo como suponía Mnkowsk. D sa mana s n qu l campo avaconal mofca la méca l spaco-mpo. sí las popa omécas l spaco-mpo son mnaas po los fnómnos físcos y no fjaas a po como n l caso la Rlava Espcal. En s capíulo vamos a sua la omía l spaco-mpo n la psnca l campo avaconal conoca como la omía Rmannana. Psnamos los concpos pncpals sas as como son: vaa fncabls aplcacons fncabls n vaa fncabls y los spacos anns a sas vaa ambén fnmos méca mannana oésca cuvaua y an. Basános n las as y sulaos Rmann Ensn haca 9 consa n su Toía la Rlava Gnal la cusón la sucua oméca l Unvso. En lla musa cómo la omía l spaco-mpo n cuvaua qu s pcsamn lo qu s obsva bajo la accón l campo avaconal los cupos sun las línas más cas posbls no cha omía línas qu s nomnan oéscas. más la Ecuacón Ensn nca qu paa caa obsvao la cuvaua ma l spaco conc salvo un faco consan con la nsa obsvaa lo cual sá acuo vsón Gauss: la omía aollaa po los os s la sucua nfnsmal l spaco; al nalza cha sucua oméca n cuvaua. Las nocons omía mannana fuon noucas po Bnha Rmann un Juno 854 a avés una confnca n la Unvsa Gona ulaa: Sob las hpóss qu sán n los funamnos la omía. La confnca pasa po s una las más clbaas la hsoa la Mamáca y uno los mayos loos cnífcos la humana. D n los psns s c qu sólo Gauss fu capaz compn su conno y hay qu c qu l nusasmó. En la pma pa la confnca Rmann s puna qué poblma hay n aumna l númo mnsons l spaco. Rmann usano aun un lnuaj nuvo y sn hac mosacons nouc pmo l concpo vaa fncabl nalzacón l concpo supfc a cualqu númo no posvo abao mnsons. D hcho l nomb vaa hac fnca a las fns coonaas qu camban paa obnno los punos l objo. Las supfcs sían las vaa mnsón mnas qu las cuvas sían las vaa mnsón y los punos las mnsón. D oas fomas sa apomacón al concpo s masao mpcsa pus l puno clav la fncón fomal una vaa fncabl fncón no pusa cocamn hasa 93 po Hmann Wyl s qu so s co localmn s c caa puno la n vaa n alún nono homomofo a un abo l spaco uclío R mana qu cuano l nvso uno sos homomofsmos s compon con oo sos n n homomofsmo s obn una funcón fncabl un abo R n oo abo R. Po como ncamos hcon fala cas 6 años paa qu la fncón mnaa s conclua. No a la pma vz qu s spculaba con la posbla la snca 5

54 spacos mnsón supo a 3. D hcho s ma ha so aao n la Hsoa n vaas ocasons po smp un puno vsa la ala snsbl paa na su snca o mafísco. Es Cayly qun n 843 aa plícamn l ma po pma vz y volvá a él nuvamn n pas ocasons. L suán Sylvs Clffo Gassmann y Schläfl n oos aunqu hay qu c qu la vsón oos llos s mucho más albaca qu oméca. Paa nclu la naccón avaconal las oías la físca bn s covaans sob ansfomacons coonaas po jmplo. Paa aolla los concpos pncpals la omía mannana vamos a consa un ssma fnca no ncal on l cuaao l nvalo apac n una foma cuaáca qu no s uc a una suma cuaaos las fncals. El nvalo s ahoa psnao po una psón más nal l po: on los son las componns covaans l nso méco funcons las coonaas y l mpo s c Equvalnca las cana psnca un campo avaconal abao. Tal como n l caso la Rlava Espcal con sméco s c y fncabls. más po l Pncpo bn psna la méca l spaco-mpo n la l nso méco asmsmo n nal las componns npnns no son ucbls a los valos la Rlava Espcal s c. 33 s Po oo lao los nsos al ual qu oos objos mamácos ambén pun s fncaos con las hamnas l cálculo nfnsmal. Sn mbao hay qu oma aquí un nso covaan la cas pcaucons. S consamos las componns vaa paa qu s bn fno no basa con qu s aplqu las las l cálculo nfnsmal conocas paa obn alo qu poíamos llama la vaa un nso. Es ncsao qu l sulao obno ambén s compo como un nso s c ambén b ansfomas acuo con la fncón l nso sob un cambo coonaas. S so no ocu la opacón no s acuaa poqu al no po ansfoma la vaa l nso como un nso sob un cambo coonaas noncs una cuacón nsoal qu nvoluc vaas los msmos no sá npnn un cambo coonaas conavnno la pncpal azón paa cu al uso nsos qu s paa po scb lacons mamácas como las qu ocun n la Rlava Gnal npnns l ssma coonaas ulzao. Y sula qu la fncacón onaa un nso no pouc un nso. Esumos pmo la ansfomacón la conón fna po 53

55 54 on o. La conón s ansfomaa como. Po l sulao obno s obsva qu no s un nso. Po oo lao la na s n qu así nmos qu

56 55. D sa mana conclumos qu s un nso sólo paa ansfomacons lnals caso n l cual l suno émno l lao cho la psón ano s anula. hoa consmos un campo nsoal n una ón l spaco-mpo po jmplo co po coonaas cuvlínas. La cusón s ao un nso s posbl obn un nuvo nso po fncacón? Paa spon sa noan sumos los suns casos: Campo Escala En s caso s n qu. sí su vaa s aa po l cual s un vco covaan poqu s un scala y un vco conavaan abao. El msmo sulao s obn po vacón lmnal: qu s la ly ansfomacón un vco covaan. co Conavaan Sa un vco conavaan cuya ly ansfomacón s. Su vaa s obna la sun mana:.

57 56 on l suno émno l lao cho s no homoéno. Po lo ano na un nso s y sólo s las ansfomacons son lnals. Po oo lao como. así sumano. y. nmos fnno.3 noncs.4 l cual psna la vaa covaan un vco conavaan. La fncón.4 ambén pu s sco como ;. OBSERCIONES: Paa un scala bo a qu la vaa un scala s un vco. S la vaa covaan s uc a la vaa pacal. co Covaan

58 57 En s caso sa un vco covaan cuya ly ansfomacón s. Su vaa s obna la sun mana:.5 y usano la lacón.6 así hacno n.6 y sano con.5 obnmos fnno.7 noncs.8 l cual psna la vaa covaan un vco covaan. Como n l caso ano la fncón.7 ambén pu s sco como ;.

59 Tnsos Suno On En s caso sa ansfomacón s T un nso conavaan suno on cuya ly T T. Suno la msma mooloía los casos anos s n qu la vaa covaan s aa po T T T T. En l caso un nso covaan suno on T cuya ly ansfomacón s T T. quí su vaa covaan s T T T T. D sa mana s pun n las suns popa mpoans n la omía mannana:. B B B c la vaa covaan l nso méco s nulo. 5. B ; B ;. Po oo lao l oaconal s aa po mnas qu la vnca covaan s ; ; ;.. GEODÉSICS Una oésca pu s fna como la cuva mínma. La mno anca n os punos n un spaco-mpo cuvo. 58

60 Paa mosa so consmos una paícula qu va un puno a uno n B s spaco cuvo. más las coonaas pnn un paámo abao p s c p. Sa una anca nfnsmal aa po noncs la anca s L B B..9 Como n l caso la mcánca clásca paa halla la mno anca n y B s n qu L y qu las vaacons n los punos y B son nulos y B. sí s n qu L B B L p p p p p p p B p p p p p p p B L p p p p p p p p y como p p p p p p p p p p noncs B L más como p p p p p p p.. 59

61 p. p p p p p y p usano. nmos p p p p p p p así. pu s sco como: p p L B p p p p p p p B L p p p B L.. Inano po pas: paa l suno émno L B así. s sco como B B B L 6

62 6 L B L B L B L B L B po como u noncs u u L B amás obsvano qu u u u u y usano la noacón / s n qu / / / u u L B y consano qu / / / u u L B / / / u u L B fnalmn como / / / noncs

63 B L y paa valos abaos la vaacón u u obnmos lacón conoca como la cuacón la oésca. Po lo ano la aycoa n l spaco-mpo sua po una paícula n la psnca un campo avaconal s la cuva qu ma la lonu l nvalo. 6

64 CPÍTULO EL PRINCIPIO DE CORINCI GENERL En s capíulo psnamos l Pncpo la covaanca nal n la Rlava Gnal. El pncpo covaanca s una las movacons pncpals qu llvaon a Ensn a nalza la oía la lava spcal. Dcho pncpo afma qu las lys funamnals la físca bn n la msma foma paa cualqu obsvao sa cual sa l sao movmno s. Puso qu las mas hchas po vsos obsvaos pun nconas laconaas man lys ansfomacón fjas. Mamácamn l pncpo covaanca mplcaba qu las lys la físca bn s lys nsoals n l qu las manu mas po fns obsvaos s ncunn laconaas acuo a la ansfomacón coonaas caa obsvao. Físcamn l pncpo covaanca pn la obsvacón qu paa fns ssmas coonaas fnca no s pocmno físco paa nu n llos. Influo po l pncpo quvalnca y oas obsvacons Ensn y oos llaon a oza qu a posbl consu una oía on oas las cuacons puan s scas n una foma sufcnmn nal como paa n la msma foma n cualqu ssma coonaas. Un jmplo so a l quvaln lavsa la suna ly Nwon qu s scb paa cualqu ssma coonaas n émnos l mpo popo los símbolos Chsoffl l ssma coonaas y las componns la cuafuza. sí la fnca apan n ssmas ncals y no ncals la mcánca nwonana a lusoa ya qu sos no son más qu ssmas n los qu los símbolos Chsoffl qu apacn n la psons s anulan y po ano los ssmas ncals son sólo un caso pacula ssma fnca po no un po pvlao o nnún moo acao ssma fnca un vz qu las lys s fomuln n la foma covaan acuaa. El pncpo nal covaanca las lys la físca bn oma la msma foma n oos los ssmas coonaas. El movmno ncal s alza a avés aycoas oéscas. El pncpo nvaanca local Lonz las lys la lava spcal s aplcan localmn paa oos los obsvaos ncals. Cuvaua l spaco-mpo pm plca los fcos avaconals como movmnos ncals n un spaco-mpo cuvao. La cuvaua l spaco-mpo sá caa po la nsón qu la masa y la nía jcn sob l msmo. El ssma fnca scoo s fno po lccón pacula. Po lo ano oo movmno s fno y cuanfcao lavamn a oo cupo. En la oía spcal la lava s asum qu los ssmas fnca pun s nos nfnamn n oas las ccons n l spaco-mpo. Po n la oía nal s conoc qu sólo s posbl la fncón ssmas apomaos foma local y uan un mpo fno paa ons fnas l spaco. En lava nal las lys Nwon son asumas sólo n lacón a ssmas fnca locals. Las paículas lbs vajan azano línas cas n ssmas ncals locals Lonz. Cuano sas línas s nn no apacn como cas sno llamaas oéscas. Enoncs la pma ly Nwon s v mplazaa po la ly l movmno oésco. Dsnumos ssmas ncals fnca n los qu los cupos mannn un movmno unfom sn la acuacón o sob oos cupos los ssmas fnca no ncals n los qu los cupos qu s 63