8 Límites de sucesiones y de funciones

Transcripción

1 8 Límits d sucsions y d funcions ACTIVIDADES INICIALES 8.I. Calcula l término gnral, l término qu ocupa l octavo lugar y la suma d los ocho primros términos para las sucsions siguints., 6, 0, 4,..., 6, 8, 54,...,,, 4,... 8.II. En una rgión, la población crc anualmnt n un %. Escrib la sucsión dl númro d habitants sgún l númro d años transcurridos dsd 008, sabindo qu n s año ran Calcula n qué año s alcanzará una población d d habitants. Calcula n qué año s doblará la población inicial. EJERCICIS PRPUESTS n 8.. Dada la sucsión d término gnral a n = : n Calcula sus trs primros términos. 5 Halla l lugar qu ocupa l término a s =. 7 Dmustra qu s crcint. Halla, si s qu istn, una cota suprior y una cota infrior. 4

2 8.. S considra la siguint sucsión dfinida por rcurrncia: a = ; a n = an. Calcula sus cuatro primros términos y di d qué tipo s. Halla su término gnral. Dmustra qu s monótona crcint. Dmustra qu no stá acotada supriormnt. 8.. Dmustra qu los términos d la siguint sucsión tindn a. a n = n n Calcula l límit d las siguints sucsions. (7 n ) n n n n (TIC) Calcula los límits: n n 8n (n n 5)(n 5n 6) n(5n n) 8.6. (TIC) Halla los límits siguints. (n n )(n 6 6n n ) n n n n 5

3 8.7. (PAU)(TIC) Estudia l dominio d las siguints funcions: 4 6 f ( ) = 8 f ( ) = ) f ( ) = log ( 4) ln 6 f ( ) = f ( ) = f) f ( ) = (TIC) Estudia l dominio d las funcions siguints: f ( ) = f ( ) = cos f ( ) = f ( ) = sn 8.9. (TIC) Encuntra l dominio y l rcorrido d las funcions: f ( ) = f ( ) = 8.0. Dada la gráfica d f(): Calcula: f ( ), f ( ), f ( ), f ( ), 5 f ( ), f ( ), f ( ), f ( ), f ( ) f 8.. Dada la gráfica d g(): Calcula: g( ), g( ), g( ), g( ), g( ), g( ), g( ), g( ), g( ) g 6

4 8.. Dada la grafica d f(), calcula: f ( ) f f ( ) Dada la grafica d g(), calcula: g( ) g( ) g 8.4. Dibuja la función f() = ln y calcula sus límits n l infinito Dada la grafica d f(), calcula: f ( ) f ( ) f π π π π π 8.6. Dada la grafica d g(), halla los siguints límits: g( ) g g( ) 7

5 8.7. (TIC) Calcula l valor d los siguints límits ) 0 ( ) Sabindo qu f ( ) =, g( ) = y h( ) =, calcula los siguints límits. a ( f( ) g( ) h( ) ) a a a a f ( ) g( ) ( f( ) ) ( g( ) ) a f( ) f( ) g( ) g ( ) h ( ) 8.9. (PAU)(TIC) Halla l valor d los siguints límits. ( 4 5 ) ( 4 ) f) ) 0 9 g) h) 8

6 8.0. (TIC) Calcula los siguints límits: ( ) sn( 8) tg cos 0 sn tg5 ) 0 0 tg sn( ) f) 0 EJERCICIS Sucsions. Límits d sucsions 8.. Halla l término gnral d las siguints sucsions. 0, 7, 4,,,..., 8, 7, 64, 5, ,,,,,... ) 0, 7, 6, 6, 4, ,,,, Halla l lugar qu ocupa l término qu val n la sucsión,,,,,

7 8.. (PAU) Estudia la monotonía y la acotación d las siguints sucsions: n n n a n =, b n =, c n = n n n 8.4. Dada la sucsión a n = : n Dmustra qu s dcrcint y acotada infriormnt. Calcula su límit. Avrigua a partir d qué término los siguints s aproiman a, con un rror mnor d ε = 0, Calcula los límits d las siguints sucsions. n n n n n ( n )( n ) n n 7 g) ( 8n )( n ) n n 6 n n n n n n ) n 5 h) n n n 5 n 7 n n n n 5 f) n 4n i) n n n n n 0

8 8.6. Calcula los límits d las siguints sucsions. n n n n 4 n n n 8.7. Halla los límits d las sucsions siguints. n n n n n n n n n n n n n 8.8. Escrib una sucsión monótona crcint, acotada supriormnt, con todos sus términos ngativos. Escrib una sucsión qu no sa crcint ni dcrcint, y qu sa acotada supriormnt y acotada infriormnt. Escrib una sucsión qu sa crcint y dcrcint a la vz. Escrib una sucsión acotada supriormnt, dcrcint y no convrgnt.

9 Dominio y rcorrido d una función 8.9. Halla l dominio y rcorrido d las funcions cuyas gráficas s mustran a continuación. f g h π π π π 8.0. (PAU)(TIC) Halla l dominio d las siguints funcions. ) = 0 f ) f ( ) = ln( ) ( f ( ) = f) sn f ( ) = cos log f ( ) = g) f ( ) = tg 4 f ( ) = 8.. Halla l dominio y l rcorrido d las siguints funcions. f ( ) = f ( ) =

10 8.. (TIC) Halla l dominio d las funcions siguints. f ( ) = f ( ) = f ( ) = f ( ) = Límits d funcions 8.. Dada la gráfica d la función y = f(), indica, si istn, los valors d los siguints límits. En caso d qu no istan, indica los valors d los límits latrals. f f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) ) f ( ) Dada la gráfica d la función y = f(), indica, si istn, los valors d los siguints límits. En caso d qu no istan, indica los valors d los límits latrals. f f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 0 ) f ( ) 8.5. Dada la gráfica d la función y = f(), indica, si istn, los valors d los siguints límits. En caso d qu no istan, indica los valors d los límits latrals. f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 0 ) f ( ) f

11 8.6. Dada la gráfica d las siguints funcions halla, si istn, los valors d los límits qu s indican a continuación. En caso d qu no istan, indica los valors d los límits latrals. f ( ) f ( ) f ( ) 0 f f 8.7. Calcula los límits siguints Halla los siguints límits (TIC) Halla los límits siguints. 0 ln 0 ln 0 ln ln 0 ) ln 0 f) ln (TIC) Calcula los siguints límits: tg cos π tg cos π tg π cos 4

12 8.4. (TIC) Halla los límits qu s indican a continuación. 5 4 ) i) 4 5 m) 5 4 f) j) ( ) n) ( ) g) k) h) 4 5 l) 8.4. Calcula los límits: ( 4 5 ) ( ) 4 ) ( ) g) ( 5) 5 ( 5 6) f) ( ) 4 h) 8.4. Halla los límits: 4 4 g) j) ) h) 4 5 k) 4 f) i) 5 5 l) 6 Solucionario 5

13 8.44. (TIC) Dtrmina los siguints límits d funcions g) i) ) 5 h) 4 6 j) 6 f) (PAU)(TIC) Halla los límits: (PAU)(TIC) Calcula los siguints límits. ( ) ( ) 5 5 ( ) 5 6

14 8.47. (TIC) Calcula los siguints límits d funcions distinguindo, si s ncsario, los dos límits latrals. f) g) h) i) a ) a a a j) a a 7

15 8.48. (PAU)(TIC) Calcula los siguints límits ) 4 g) ( ) f) ( ) h) (TIC) Calcula: 4 5 ) f) a a a, a > 0 a 8

16 8.50. (TIC) Halla los límits siguints. f) 4 4 g) 5 h) 4 ) sn 0 sn ln ln j) i) cos 0 cos cos 0 cos 9

17 8.5. (PAU)(TIC) Halla los límits siguints. 4 ) 4 4 g) 5 0 f) h) (TIC) Halla los siguints límits. sn 0 4 ln( 0 ) ) ( sn ) 0 g) 0 cotg i) cos 0 tg 0 5 sn 0 cos f) 0 h) 0 ln( ) ( ) j) ( cos ) 0 0

18 PRBLEMAS n 8.5. Dada la sucsión a n = : n Compruba qu su límit s. Encuntra un término a partir dl cual todos los siguints prtnzcan al intrvalo d cntro y radio ε = 0,0. Encuntra un término a partir dl cual todos los siguints prtnzcan al intrvalo d cntro y radio ε = 0, (PAU) Calcula l valor d a para qu l límit d la sucsión d término gnral a n n an = n n n sa.

19 8.55. En l año 008, y n una cirta zona d bosqu mditrráno, hay 000 unidads d árbols d una dtrminada spci. Si s supon qu cada año la cantidad d árbols crc n un 4%: Escrib los primros términos d la sucsión qu indica l númro d árbols qu habrá sgún los años transcurridos. Escrib l término gnral d dicha sucsión. Cuántos árbols habría n l año 06 si s siguiran dando stas mismas condicions? A partir dl año 06, y dbido a un plan d rgnración, s spra qu l crciminto s modifiqu 69 ( n 7) sgún l modlo b n =, dond n s l númro d años transcurridos dsd 008. n 6 En qué porcntaj crcrá l númro d unidads n 07 rspcto d 06? ) Raliza un gráfico qu rprsnt l númro d árbols ntr los años 008 y 00. f) S stabilizará l númro d árbols? En qué cantidad? (PAU) Calcula los valors d a y b para qu s vrifiqun las siguints igualdads. n an b 0 = n n n an b 0 = n

20 8.57. S forma un cubo d lado n con cubos d lado unidad, y s pintan las caras dl cubo grand. Dspués, s cuntan los cubos pquños qu tinn trs caras pintadas, los qu tinn dos y los qu tinn una. Forma la sucsión dl númro d cubos con trs caras pintadas, sgún qu l lado dl cubo grand sa,,, tc., unidads. Escrib l término gnral. Forma la sucsión dl númro d cubos con dos caras pintadas, sgún qu l lado dl cubo grand sa,,, tc., unidads. Escrib l término gnral. Forma la sucsión dl númro d cubos con una cara pintada, sgún qu l lado dl cubo grand sa,,, tc., unidads. Escrib l término gnral Un cuadrado tin 0 cm d lado. En él s inscrib una circunfrncia, dntro d lla otro cuadrado, dspués otra circunfrncia, y así sucsivamnt. Halla los primros términos corrspondints a las sucsions d los prímtros y d las áras d los cuadrados, por un lado, y d las circunfrncias, por otro. Calcula los términos gnrals d las sucsions antriors. Calcula l límit, si s qu ist, d las sucsions antriors (PAU) Calcula l valor d k para qu s vrifiqu qu: k = = 5 ( k 5 )

21 8.60. Una mprsa prsta srvicios d assoraminto informático para corrgir rrors habituals n los PC mdiant consultas tlfónicas. La siguint función prsa l cost total anual, n uros, d prstar consultas tlfónicas, tnindo n cunta los gastos d salarios, local, conions y quipos: f ( ) = 7, Escrib la prsión d la función qu facilita l cost unitario d cada assoraminto cuando s han contstado consultas tlfónicas. Suponindo qu la ly s vrifica indfinidamnt, halla l cost aproimado d cada srvicio tlfónico cuando s prsta una gran cantidad d llos. Si s dcid cobrar por cada srvicio prstado un 5% más dl cost hallado n l apartado antrior, cuál s l bnficio obtnido al rsolvr 8000 consultas? 8.6. La población d insctos n una laguna cntroamricana voluciona con l paso d días sgún la siguint función: f ( ) = Indica la población qu ist al cominzo dl príodo considrado. Indica la población cuando han pasado 5, 7 y 0 días. Si la población siguis la ly indicada d forma indfinida, n qué valor aproimado s stabilizaría? 8.6. Una mprsa qu fabrica discos duros trnos para ordnadors prsonals s planta fabricar un mínimo d 00 unidads n un dtrminado príodo d timpo y stima qu: Si fabrica sas 00 unidads mínimas, los costs totals d producción ascindn a Por cada 0 unidads qu fabriqu qu suprn sas 00 y simpr qu no pasn d 900, los costs disminuyn n 5 céntimos por unidad fabricada. A partir d sas 900 unidads, los costs por unidad producida vinn dados por la prsión: f ( ) = 0,0054 Escrib las prsions d las funcions qu dtrminan los costs totals y por unidad, sgún l númro d unidads vndidas. Indica l dominio d las antriors funcions. Estudia la tndncia d las antriors funcions cuando l númro d unidads producidas s muy grand. 4

22 8.6. El timpo, n sgundos, qu tarda un atlta n corrr 00 mtros lisos vin dado por la función: f ( ) = 9 dond s l númro d días qu ha ntrnado prviamnt. Calcula l timpo qu tardará n ralizar la carrra tras un largo príodo d ntrnaminto. PRFUNDIZACIÓN Da una plicación d por qué no istn los siguints límits: sn cos 0 sn ) tg 0 cos f) tg Pon un jmplo d dos funcions f() y g() tals qu ista ( f( ) g( ) ) ni g( ). 0 0, pro qu no ista f ( ) (TIC) Calcula los siguints límits. 5

23 (TIC) Calcula los límits siguints. ) f) (TIC) Calcula los siguints límits (TIC) Calcula l siguint límit, studiando prviamnt los límits latrals: 0

24 8.70. S considra la sucsión 5, 6, 8,, 5, 0, 6,... Cuando una sucsión vrifica qu la sucsión formada por los númros qu s obtinn al rstar a cada término l antrior, mpzando por l sgundo, s una progrsión aritmética, s dic qu la sucsión inicial s una progrsión aritmética d sgundo grado. Compruba qu la sucsión dada s d st tipo. Las progrsions aritméticas d sgundo grado tinn por término gnral un polinomio n n d sgundo grado. Halla l término gnral d la sucsión dada S considra la sucsión,, 6,,, 4,... Cómo dfinirías qué s una progrsión aritmética d trcr grado? Compruba qu la sucsión dada s d st tipo. Qué forma tinn los términos gnrals d las progrsions aritméticas d trcr grado? Halla l término gnral d la sucsión dada Dada la sucsión dfinida por rcurrncia: a =, an = a Calcula sus primros términos. Sabindo qu s convrgnt, calcula su límit. n 7

25 8.7. Dada la sucsión dfinida por rcurrncia: Calcula sus primros términos. Sabindo qu s convrgnt, calcula su límit. a =, a n = an Calcula los siguints límits.... n n n n n... n n n n n n n n Halla los siguints límits: n... n n n n 4 n

26 Elig la única rspusta corrcta n cada caso: RELACINA CNTESTA 8.. El valor d log val: A) D) 0 B) E) El límit no ist. C) 8.. El valor d a s: A) D) a B) E) a C) Los valors d A = y B = son: A) A = y B = 0 D) A = y B = B) A = y B = E) A = y B = 0 C) A = y B = 9

27 8.4. La función y = f () vrifica qu: f ( ) = f ( ) = f ( ) = 5 f ( ) = f ( ) = 0 f ( ) = 5 En stas condicions, su gráfica pud sr: A) B) C) D) f f f f E) Ninguna d las gráficas antriors pud rprsntar a la función y = f(). a b 8.5. Los valors d a y b qu hacn qu: = 5 son: 7 6 A) a = 8, b = C) a = 8, b = E) Ninguna d las antriors opcions s cirta. B) a = 8, b = D) a = 8, b = Sñala, n cada caso, las rspustas corrctas: 8.6. Dada la grafica d f(): f A) f ( ) = D) f ( ) = B) f ( ) = 6 E) f ( ) = 0 C) f ( ) = 0

28 8.7. La sucsión a n s convrgnt y vrifica qu: a n = an A) Si a = ntoncs la sucsión s monótona dcrcint. D) El límit d la sucsión s. 5 B) Si a = ntoncs la sucsión s monótona crcint. E) El límit d la sucsión s 5 C) El límit d la sucsión s. si a > y si a <. Elig la rlación ntr las dos afirmacions dadas: 8.8. Dadas las sucsions d términos gnrals rspctivos a n y b n : Las dos son convrgnts. La sucsión d término gnral c n = a n b n s convrgnt. A) a b D) a y b no s pudn dar a la vz. B) a b, pro b / a E) Ninguna d las dos afirmacions s pud vrificar. C) b a, pro a / b Sñala l dato inncsario para contstar: 8.9. S quir obtnr l límit datos: P( ) Q( ) dond P() y Q() son funcions polinómicas. S dan los siguints P(0) = Q(0) = 0 El rsto d dividir Q() ntr s 0. El rsto d dividir P() ntr s. El rsto d dividir Q() ntr ( ) s. A) Pud inars l dato a. D) Pud inars l dato d. B) Pud inars l dato b. E) Los datos no son suficints para podr calcular l límit. C) Pud inars l dato c. Analiza si la información suministrada s suficint para contstar la custión: 8.0. S quir obtnr l límit n l orign d coordnadas d la función f() continua n R. S sab qu: La función vrifica qu f () = f () para cualquir. f ( ) = A) Cada dato s suficint por sí solo para hallar l límit. D) Son ncsarios los dos datos juntos. B) a s suficint por sí solo, pro b no. E) Hacn falta más datos. C) b s suficint por sí solo, pro a no. 0