CAPÍTULO7: LÍMITES Y CONTINUIDAD 1. IDEA INTUITIVA DE LÍMITE Actividades de introducción

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1 CAPÍTULO7: LÍMITES Y CONTINUIDAD. IDEA INTUITIVA DE LÍMITE Actividds d introducción Vmos studir l comportminto d l unción pr vlors próimos. En l tbl uint obsrvmos qu, cundo dmos vlors próimos pro inriors qu, l unción s proim o tind 8:.,,9,99,999,9999., 7, 7,9 7,99 7,999 Dcimos qu cundo tind por l izquird, tind 8, y scribimos: Si 8 En l tbl qu iur continución obsrvmos qu, cundo dmos vlors próimos y supriors, l unción s proim o tind 8: Dcimos qu cundo tind por l drch, tind 8, y scribimos: Si 8 En st jmplo los dos vlors qu obtnmos l crcrnos = por l drch y por l izquird coincidn, y podmos dcir qu, cundo tind, tind 8 y podmos scribir: Si 8 Estudimos hor l comportminto d l unción E n =, dond E s l unción prt ntr d qu dvulv l myor ntro mnor o iul qu. L tbl uint nos mustr l tndnci por l izquird: Dcimos qu cundo tind por l izquird, tind y scribimos:. L tbl uint nos mustr l tndnci por l drch:,9,,,,,,9,,,,, Dcimos qu cundo tind por l drch, tind y scribimos: º d Bchillrto d Cincis. Mtmátics II. Cpítulo 7: Límits y continuidd Autor: Ltici Gonzálz Pscul Los vlors no coincidn, y podmos dcir qu cundo tind, no tind ninún vlor.. DEFINICIÓN DE LÍMITE En l prtdo ntrior hn prcido plbrs o prons tls como tind o s proim. Vmos ormlizr mtmáticmnt l niicdo d sts prons... Dinición mtmátic d it S din ntorno d cntro y rdio, y s rprsnt por E,, l intrvlo birto, : E, R ; S din ntorno rducido d cntro y rdio, y s rprsnt por E *,, l ntorno E, cpto l propio punto * : E, R ; Hmos visto qu l unción tind 8 o tin por it 8, cundo tind. L id d tndnci o proimción s trduc mdint los ntornos como: 8, E,, d modo qu pr culquir dl ntorno rducido Pr culquir E, podmos ncontrr un ntorno * E,, s cumpl qu su imn stá n l ntorno 8, E.

2 Sin mbro, E no tin it n = porqu no s pobl dinir un ntorno único n l qu culquir * dl ntorno rducido E,, su imn sté n un ntorno ijo, y qu podrímos dinir E, o, izquird y drch, rspctivmnt. Podmos dinir l it d un unción n un punto d l uint orm: Un unción tin por it L cundo tind, y s rprsnt como L L, E,, d modo qu pr pr todo ntorno E ist un ntorno todo prtncint l ntorno rducido E *, s cumpl qu ntorno E L, : L EL,, E, ; E, EL, o tmbién: L, ; qu cumpl st dinición dcimos qu s convrnt n prtnc l L E Un unción. Obsrvmos qu pr qu un unción tn it n o s convrnt, no s ncsrio qu l unción sté dinid n, pus n l dinición s hbl d un ntorno rducido d. Ejmplo Hll l it n l orin d l unción Obsrvmos qu l unción no ist n l orin, pro sí podmos hllr:.. Límits ltrls Ejmplos En l primr prtdo hmos visto qu l unción tind 8 cundo tind por l izquird. Podmos scribir: 8 Amismo, l unción E tind cundo tind por l izquird. Podmos scribir: E L id d tndnci por l izquird qud rcoid mdint los ntornos ltrls l izquird d : E,, Un unción tin por it L cundo tind por l izquird, y s rprsnt como todo ntorno L, L pr E ist un ntorno ltrl l izquird d, E,,, d modo qu pr todo prtncint st ntorno ltrl, s vriic qu prtnc l ntorno E L, : L EL,, E, ; E, EL, o tmbién: L, ; Ejmplos En l mismo pír hmos visto qu l unción L tind 8 cundo tind por l drch. Podmos scribir: 8 Amismo, l unción E tind cundo tind uno por l drch. Podmos scribir: E L id d tndnci por l drch qud rcoid mdint los ntornos ltrls l drch d : E,, º d Bchillrto d Cincis. Mtmátics II. Cpítulo 7: Límits y continuidd Autor: Ltici Gonzálz Pscul

3 Un unción todo ntorno L, tin por it L cundo tind por l drch, y s rprsnt como L pr E ist un ntorno ltrl l drch d, E,,, d modo qu pr todo prtncint st ntorno ltrl, s vriic qu prtnc l ntorno E L, : L EL,, E, ; E, EL, o tmbién L, ; L Es intrsnt notr qu pr qu un unción tn its ltrls n no s ncsrio qu l unción sté dinid n s punto. L condición ncsri y suicint pr qu un unción izquird y it ltrl por l drch, ndo mbos coincidnts. L L Ejmplos tn it n un punto s qu tn it ltrl por l Obsrvmos qu l unción tin it ltrl por l izquird y it ltrl por l drch cundo tind, ndo mbos iuls 8, por lo qu l it d l unción, cundo tind, ist y vl 8: 8 Sin mbro, l unción E no tin it cundo tind, pusto qu unqu istn los its ltrls cundo tind, no son coincidnts. E E E Si un unción tin it n un punto, ést s único. Ejmplo Dd l unción Hll los its ltrls n =, n = y n =. Anlizmos l punto = : Los vlors n torno = no prsntn problm luno, s vlún con l primr trozo d l unción, y s suro qu: Por tnto, ist l it n = : Anlizmos l orin utilizndo n cd cso l trozo d unción dcudo: y tnto, ist l it n l orin: orin. Anlizmos l punto = :. OPERACIONES CON LÍMITES Si y y Por unqu l unción no ist n l. Por tnto, no ist l it n = : unqu l unción sí ist n l punto =. son dos uncions convrnts n l punto, cuyos its son: L y M S tin: L M k k k L k R L M L M º d Bchillrto d Cincis. Mtmátics II. Cpítulo 7: Límits y continuidd Autor: Ltici Gonzálz Pscul

4 6 n L n L º d Bchillrto d Cincis. Mtmátics II. Cpítulo 7: Límits y continuidd Autor: Ltici Gonzálz Pscul Ests prons son válids tmbién n l cso d its n l ininito, por tnto: k y k k R n n M y En l cálculo d its, s ncsrio oprr con prons dond prc ininito. Ests son luns prons cuyos rsultdos son conocidos: SUMA Y RESTA PRODUCTO COCIENTE POTENCIA k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k Es importnt ntndr qu l álbr dl ininito s dirnt l d los númros rls y mintrs trbjmos con ininitos ls coss no suln sr cómo prcn.. LÍMITES INFINITOS.. Límits ininitos n un punto inito Obsrvmos n l iur djunt qu, mdid qu nos proimmos por l izquird, los vlors corrspondints qu tom l unción son cd vz myors. Airmmos qu cundo tind por l izquird, tind +: tin por it + cundo tind por l izquird pr todo númro rl K ist un ntorno Un unción ltrl l izquird d, E,,, d modo qu, pr todo qu prtnc st ntorno, s vriic qu s myor qu K. K R, ; E K, o En st iur obsrvmos qu, mdid qu nos proimmos por l drch, los vlors corrspondints qu tom l unción son cd vz myors. Airmmos qu cundo tind por l drch, tind +: tin por it + cundo tind por l drch pr todo númro rl K ist un ntorno Un unción ltrl l drch d, E,,, d modo qu, pr todo qu prtnc st ntorno, s vriic o o

5 7 qu s myor qu K. K R, ; E K, o En l iur d l drch vmos qu mdid qu nos proimmos los vlors corrspondints qu tom l unción son cd vz myors. Airmmos qu cundo tind, Un unción tind +: tin por it + cundo tind pr todo númro rl K ist un ntorno rducido d, * E,, d modo qu, pr todo qu prtnc st ntorno, s vriic qu s myor qu K. * K R, ; E, K En l cso d qu l proimrnos l unción tom vlors cd vz mnors, tnto nos proimmos por l izquird, por l drch o por los dos ldos l vz, dcimos qu l unción tind. En st cso, ls iurs y dinicions corrspondints stos trs csos son: M R, ; E M, M ; E, R, M M ; E, M Cundo ist luno d los sis its qu iurn n st prtdo, dcimos qu l unción vrticl d cución. Aluns uncions qu nrn síntots vrticls son:. El cocint d uncions: n ls qu s incluyn ls trionométrics como t, sc, cosc, y cot, y qu son cocints por dinición. ln. L unción lorítmic: º d Bchillrto d Cincis. Mtmátics II. Cpítulo 7: Límits y continuidd Autor: Ltici Gonzálz Pscul R, * tin un síntot OJO: No ist ni l divión ntr cro ni l loritmo d cro. Hblmos d qu l it cundo l dnomindor o l rumnto tindn cro s ininito. Ejmplo Hll ls síntots vrticls d l unción ln Como s plicó, l unción lorítmic tin un síntot vrticl cundo su rumnto s nulo, por tnto: ln s un síntot vrticl.. Límits initos n l ininito Obsrvmos n l iur d l drch qu, pr vlors potivos muy rnds d, los corrspondints vlors qu tom l unción s proimn cd vz más hci un vlor L. Airmmos qu, cundo tind +, tind L. Un unción tin por it un númro rl L, cundo tind +, y s scrib L, pr todo ε potivo, ist un númro rl K, d modo qu, pr culquir vlor d myor qu K, s vriic qu L, L, K ; K E L, ntorno E : R stá n l

6 8 En l iur d l drch obsrvmos qu, pr vlors ntivos muy rnds n vlor bsoluto d, los corrspondints vlors qu tom l unción s proimn cd vz más hci un vlor L. Airmmos qu, cundo tind, Un unción tind L. tin por it un númro rl L, cundo tind, y s scrib L, pr todo ε º d Bchillrto d Cincis. Mtmátics II. Cpítulo 7: Límits y continuidd Autor: Ltici Gonzálz Pscul potivo, ist un númro rl M, d modo qu, pr culquir vlor d mnor qu M, s vriic qu L, L, M M E L, ntorno E : R; stá n l tin un síntot horizontl d cución Cundo ist luno d los its ntriors dcimos qu l unción y L. Ejmplo ln Hll ls síntots horizontls, istn, d l unción Sbmos qu l dominio d l unción lorítmic son únicmnt los rls potivos, sí qu l unción sólo pud tnr síntot horizontl n +. Admás, n l ráic djunt: Vmos qu l unción polinómic dl dnomindor crc mucho más rápidmnt qu l lorítmic, d modo qu cundo tind ininito, l cocint tind cro: ln Asíntot horizontl y En l prto uint vrmos cómo hllr its como l ntrior d orm más mpl... Límits ininitos n l ininito Cundo hblmos d its ininitos n l ininito nos ncontrmos con cutro pobilidds:, l unción tind más ininito cundo tind más ininito. Un unción tind + cundo tind + pr todo númro rl K, ist un númro rl M, tl qu, pr culquir myor qu M, s vriic qu s myor qu K. K M ; M K R,, l unción tind mnos ininito cundo tind más ininito. Un unción tind cundo tind + pr todo númro rl K, ist un númro rl M, tl qu, pr culquir myor qu M, s vriic qu R s mnor qu K. K R, M R; M K, l unción tind más ininito cundo tind mnos ininito. Un unción tind + cundo tind pr todo númro rl K, ist un númro rl M, tl qu, pr culquir mnor qu M, s vriic qu s myor qu K. K M ; M K R., l unción tind mnos ininito cundo tind mnos ininito. Un unción tind cundo tind pr todo númro rl K, ist un númro rl M, tl qu, pr culquir mnor qu M, s vriic qu s mnor qu K. K M ; M K R, R R. CÁLCULO DE LÍMITES.. Límits sncillos El procso d cálculo d un it prtir d l dinición s muy compljo, sí qu n l práctic bstrá con sustituir l vribl por l vlor l qu tind y oprr, obtnindo un rsultdo qu podrá sr un vlor inito, ininito o indtrmindo. Ejmplos Clcul los uints its:

7 9 ln ln ln cos cos ; ; ln ln ln Sin mbro, istn csos n los qu dbmos tnr cuiddo... Límits n los qu s nul l dnomindor Y vimos ntriormnt qu st tipo d it nr un ininito, pro no sbmos srá potivo o ntivo. Dbmos, por tnto, studir los its ltrls ijándonos sobr todo n los nos. Si los its ltrls son distintos, dirmos qu no ist l it pdido. Ejmplos Clcul los uints its: Dbmos hllr los its ltrls pr vr ist l it d l unción n s punto. Límit por l drch: Tommos vlors próimos, pro myors qu. dond por + rprsntmos un númro potivo muy crcno cro +. Límit por l izquird: Tommos vlors próimos, pro mnors qu. rprsntmos un númro ntivo muy crcno cro. Como los its ltrls no coincidn, dirmos qu no ist. Est cso s dirnt l ntrior, sbmos qu s un unción mpr potiv, sí qu: dond por.. Límits n l ininito Pr rsolvr its n l ininito s ncsrio conocr cómo s comportn ls uncions más comuns pr vlors muy rnds d l vribl. Muchs d lls y s plicron n cursos ntriors l studir l comportminto d sts uncions. Funcions potncils: n Llmmos uncions potncils qulls d l orm, ndo n un númro rl. Pr lls: Ejmplos Funcions ponncils: n n n n n n y n pr n y n impr n n porqu n = > b porqu n = > y pr c porqu n = > d porqu n = > impr porqu n = < porqu n = < porqu n = < h Llmmos uncions potncils qulls d l orm, ndo un númro rl. Pr lls: no ist no ist Ejmplos porqu = > b porqu = > º d Bchillrto d Cincis. Mtmátics II. Cpítulo 7: Límits y continuidd Autor: Ltici Gonzálz Pscul

8 c porqu =, d no ist Función lorítmic: D l unción lorítmic s imprscindibl conocr los uints its: no ist porqu =, lo lo Funcions trionométrics: Ninun d ls uncions trionométrics tin it dinido n l ininito por su cráctr oscilnt. No podmos comtr l rror d pnsr qu todos los ininitos qu nos prcn l clculr un it son iuls. Si un unción vin prsd mdint oprcions lmntls d uncions d dirnts tipos, dbmos sbr cuál s l término dominnt dl it plntdo, s dcir, qué término crc más rápidmnt qu los dmás y dtrmin l vlor dl it: Eponncil > Polinómic > Lorítmic > Constnts Est rlción s prci n l ráic dl mrn n l qu vmos cómo pr vlors rnds d l ponncil domin rnt l potncil n st cso,. Ejmplos porqu l término dominnt n un polinomio s l d myor rdo:, s dcir, los términos d mnor rdo son dsprcibls y, por tnto: ponncil. Entoncs: c b porqu unqu l y, s vriic qu: y l término potncil s dsprcibl rnt l porqu los términos dominnts dl numrdor y dnomindor son y, rspctivmnt, y los dmás son dsprcibls rnt llos. Entoncs: d sn sn númro cotdo porqu unqu no ist l it d l unción sno, sbmos qu s un númro comprndido ntr cro y uno y l término dl dnomindor tind ininito: En l ráic s prci lo qu hmos dmostrdo lbricmnt. En l primr ráic l scl s l mism, y n l sund, l scl dl j d ordnds s l intrvlo,, y cundo > l vlor d los máimos d l unción s muy próimo cro, por jmplo: sn,,, 7, d º d Bchillrto d Cincis. Mtmátics II. Cpítulo 7: Límits y continuidd Autor: Ltici Gonzálz Pscul porqu rscribindo l it como:

9 , l término ponncil crc mucho más rápidmnt qu l potncil. Entoncs: débil urt. urt A l invrs, tndrmos qu: débil En otros csos, los rsultdos qu obtnmos no nos prmitn dtrminr un it ist y cuál s su rsultdo, o no ist. Estos csos s dnominn indtrmincions. 6. INDETERMINACIONES Eistn t indtrmincions bács:,,,,, y En st scción vrmos luns técnics d rsolución, pro istn csos pr los qu nctrmos hrrmints qu studirmos n l cpítulo uint. 6.. Indtrmincions dl tipo Rsolvrmos sts indtrmincions nlizndo los términos dominnts tnto dl numrdor como dl dnomindor. Ejmplos El numrdor tin rdo, y l dnomindor tin rdo ½, por tnto: b Como nts: 6.. Indtrmincions dl tipo Aprcn l clculr its d uncions con dirnci d cocint d polinomios o dirnci d rdicls, y pudn rsolvrs dsrrollndo l rst convnintmnt o multiplicndo numrdor y dnomindor por l prón conjud, rspctivmnt. Ejmplos lim Obsrvmos qué tipo d indtrminción prc: lim Dsrrollmos l rst: b Obsrvmos qué tipo d indtrminción prc: Multiplicmos y dividimos por l conjudo: º d Bchillrto d Cincis. Mtmátics II. Cpítulo 7: Límits y continuidd Autor: Ltici Gonzálz Pscul

10 º d Bchillrto d Cincis. Mtmátics II. Cpítulo 7: Límits y continuidd Autor: Ltici Gonzálz Pscul Indtrmincions dl tipo En s tm sólo rsolvrmos qulls qu prcn l clculr its con uncions polinómics o uncions irrcionls. En mbos csos s intntrá mpliicr l rcción, normlmnt ctorizndo l numrdor y l dnomindor mdint l Rl d Ruini o usndo iuldds notbls. Ejmplos En primr lur, vmos ist lun indtrminción: Fctorizmos los polinomios dl numrdor y l dnomindor y mpliicmos: Clculmos l it d l prón rsultnt: b 9 En primr lur, vmos ist lun indtrminción: 9 9 Rlizmos ls uints trnsormcions: 9 Clculmos l it d l prón rsultnt: Indtrmincions dl tipo S rsulvn trnsormándols n ls dl tipo o n ls dl tipo. Ejmplo Rscribindo l it como: y vimos qu l término ponncil s dominnt rnt l potncil. Entoncs: 6.. Indtrmincions dl tipo Aprcn l unción s d l orm: y tls qu y. En st cso, s vriic qu: Dmostrción En cto, sbmos qu l númro s din como: n n n S trt d rproducir l orm dl it con nustro it oriinl, sí qu oprmos ñdindo los términos ncsrios:

11 º d Bchillrto d Cincis. Mtmátics II. Cpítulo 7: Límits y continuidd Autor: Ltici Gonzálz Pscul Y sólo nos qud rstructurr l ponnt: El it ntr prénts s l númro, por tnto: A l hor d rsolvr l indtrminción podmos rproducir stos psos o utilizr dirctmnt l órmul. Ejmplos Obsrvmos qué tipo d indtrminción prc: Aplicndo l órmul: Clculmos : Clculmos : 7 6 D quí: 7 b Obsrvmos qué tipo d indtrminción prc: Aplicndo l órmul d nuvo: Clculmos : Clculmos : D quí: Sin mbro: c 7, no s un indtrminción. d, no s un indtrminción.

12 7. CONTINUIDAD Y prció vris vcs lo lro d l ESO l id intuitiv d continuidd: L unción s pud dibujr, n l ntorno d, n lvntr l lápiz dl ppl. D mnr más orml, obsrvmos qu l unción ist n l punto, tin it cundo tind, y qu l vlor d st it coincid con l vlor d l unción n. Si s cumpln sts trs condicions, irmmos qu st unción s continu n. Anlicmos hor lunos contrjmplos: L unción no s pud dibujr n un ntorno d n lvntr l lápiz dl ppl. Est unción no tin it inito n y tmpoco stá dinid n s punto. Airmmos qu no s continu n. L unción h no s continu n, pus L unción t no s continu n, pus, unqu no ist l it cundo tind, unqu sí istn l it y l vlor d l unción, mbos no coincidn. stá dinid n. L id d podr dibujr l ráic d un unción n un ntorno d un punto n lvntr l lápiz dl ppl, o l d un unción continu n s punto s mtmtiz trvés dl concpto d it. Un unción y s continu n un punto s cumpln ls trs condicions uints:. Eist, s dcir, Dom. Eist, s dcir,. Los dos vlors ntriors coincidn. 7.. Oprcions con uncions continus Si y son dos uncions continus n, s vriic: s continu n s continu n k s continu n, k R s continu n s continu n, mpr qu 7.. Continuidd ltrl L unción y no s continu n, n mbro, tin it inito cundo tind por l izquird y coincid con l vlor qu tom l unción n. Por st rzón, irmmos qu st unción s continu por l izquird n. Un unción s continu por l izquird n un punto d bscis ist it por l izquird n s punto y coincid con l vlor d l unción n : D l mism mnr, s dic qu un unción s continu por l drch n un punto d bscis ist it por l º d Bchillrto d Cincis. Mtmátics II. Cpítulo 7: Límits y continuidd Autor: Ltici Gonzálz Pscul

13 drch n s punto y coincid con l vlor d l unción n 7.. Continuidd n un intrvlo Un unción intrvlo Un unción : º d Bchillrto d Cincis. Mtmátics II. Cpítulo 7: Límits y continuidd Autor: Ltici Gonzálz Pscul y s continu n un intrvlo birto b y s continu n un intrvlo crrdo b s continu n l intrvlo birto, b, y sólo s continu n todos los puntos d dicho, y sólo s cumpln ls uints condicions: s continu por l drch n s continu por l izquird n b Ejmplo L unción l drch s continu n l intrvlo, trmo d color zul. Vmos qu s discontinu n, qu continú cundo lín nr y qu no ist n R. Ls uncions lmntls son continus n sus rspctivos dominios d dinición: - Ls uncions polinómics son continus n todo R. - Ls uncions rcionls no son continus n los puntos qu nuln l dnomindor. - Ls uncions con rdicls con índic pr no istn n los vlors qu hcn l rdicndo ntivo. Si l índic s impr, son continus n todo R. - Ls uncions ponncils son continus n todo R. - Ls uncions lorítmics no son continus n los puntos n los qu l prón d l qu qurmos hllr l loritmo s convirt n cro o n un númro ntivo. - D ls uncions trionométrics no son continus qulls qu implicn un cocint, s dcir: L tnnt y scnt, qu no son continus n los puntos n los qu s nul l cosno k, con k Z, L coscnt y cotnnt, qu no son continus n los puntos n los qu s nul l sno k, con k Z. 7.. Tipos d discontinuidd Un unción qu no s continu n un punto d bscis, dcimos qu s discontinu n s punto. Dpndindo d l condición o condicions d continuidd qu lln, podmos clicr ls discontinuidds n:. Discontinuidd vitbl Un unción prsnt un discontinuidd vitbl n un punto d bscis cundo s produc un d sts tucions: - El it d l unción n ist y s inito pro no coincid con l vlor d l unción n. - L unción no stá dinid n. Est discontinuidd s vit rdinindo l unción n, hcindo qu n st punto tom l vlor dl it. Ejmplo sn Y vimos cómo s comport l unción n l ininito. Anlicmos hor qué ocurr n l punto. Vmos n l ráic, o bin dndo vlors crcnos, qu l unción tind cundo tind. sn Por tnto, ist l it: y podmos rdinir l unción como: sn pr convrtirl n continu.. Discontinuidd no vitbl Un unción prsnt un discontinuidd no vitbl n un punto cundo no ist l it n s punto. Podmos distinuir dos csos: - Discontinuidd d primr spci: cundo istn los its ltrls pro son distintos, por lo qu no ist l it d l unción. Los its ltrls pudn sr mbos initos y s trtrá d un discontinuidd d primr spci d slto inito, o pud sr qu uno o los dos its ltrls sn ininitos, trtándos d un discontinuidd d primr spci d slto ininito.

14 6 - Discontinuidd d sund spci: s d cundo uno o los dos its ltrls no istn. Podmos rsumir los tipos d discontinuidd con l uint tbl: DISCONTINUIDAD NO EVITABLE DISCONTINUIDAD EVITABLE Slto inito ª ESPECIE Slto ininito ª ESPECIE 7.. Torms d ls uncions continus D orm intuitiv s ácil comprobr qu s vriicn los uints torms, pro su dmostrción pud sr muy complicd: Torm d l consrvción dl no Si un unción y s continu n y, ntoncs ist un ntorno d, n l cul l unción tin l mismo no qu. Torm d l cotción Si un unción y s continu n, ntoncs ist un ntorno d, n l cul l unción stá cotd. Torm d Bolzno Si un unción s continu n un intrvlo crrdo, b y n los trmos dl mismo tom vlors d no contrrio, ntoncs ist un punto n l intrior d dicho intrvlo n l cul l unción s nul. Torm d Drbou Si un unción y s continu n un intrvlo, b y n s un vlor comprndido ntr y b, ntoncs ist un punto c dl intrior dl intrvlo n l qu c n. Torm d Wirstrss Si un unción y s continu n un intrvlo, b ntoncs lcnz un máimo y un mínimo n dicho intrvlo. Actividds rsults Dtrmin, n ls uints uncions, los dtos pdidos: 6 Rspusts: º d Bchillrto d Cincis. Mtmátics II. Cpítulo 7: Límits y continuidd Autor: Ltici Gonzálz Pscul 6,

15 7 Utiliz l dinición d it pr dmostrr: b 6 8 Rspusts: L dinición d it s: L / trt d trbjr con duldds intntndo cotr L por tnto, hcindo s vriic l dinición. 7 c L prtir d. 6 b 6 8 L L, sí qu s Es ácil vr qu l trinomio s un cudrdo prcto, por tnto: L, por tnto, hcindo s vriic l dinición c L Como s trt d crcrs lo más pobl, db sr un vlor pquño. Por mplicidd hmos qu. S vriic qu 6 8. D st modo: 8 6 Buscmos un it suprior pr L, por tnto limos l sund duldd: L, por tnto, hcindo s vriic l dinición. 6 - Clcul ls síntots d l unción: Rspust: Es un unción rcionl. Los vlors qu nuln l dnomindor son: = y =, por tnto tin dos síntots vrticls qu son ls rcts vrticls: = y = Pr dtrminr l comportminto n l ininito s clcul l it cundo tind. Tnto tind como tind + l it s : Por tnto tin un síntot horizontl qu s l rct y =..- Estudi l continuidd y discontinuidd d: sn Rspust: L unción sno s un unción continu n tod l rct rl, y no stá dinido n, luo hy un único punto d discontinuidd n =. Pr nlizr l tipo d discontinuidd podrímos mplir l scl pr vlors próimos, y vrímos qu, por ls luctucions dl sno, no ist l it. Es un discontinuidd d sund spci. º d Bchillrto d Cincis. Mtmátics II. Cpítulo 7: Límits y continuidd Autor: Ltici Gonzálz Pscul

16 8 Entorno d un punto Límit d un unción n un punto Límit ltrl d un unción n un punto Oprcions con its RESUMEN Entorno d cntro y rdio, E,, s l intrvlo birto E, R; o tmbién:, : L,, E, ; E, EL, L E L, ; Límit por l izquird: Límit por l drch: L L, ; L, ; L M L M L n n L L k k k L k R L M L M y Indtrmincions Continuidd DISCONTINUIDAD EVITABLE Un it indtrmindo s quél qu implic oprcions cuyo rsultdo no s pud prcisr. Un unción y s continu n un punto :, s dcir, Dom. Eist. Eist, s dcir,. Los dos vlors ntriors coincidn. Slto inito Tipos d discontinuidd DISCONTINUIDAD NO EVITABLE ª ESPECIE,,,,, y Slto ininito ª ESPECIE. Clcul los uints its: b h EJERCICIOS Y PROBLEMAS. c i d j 6 7 k l 6 º d Bchillrto d Cincis. Mtmátics II. Cpítulo 7: Límits y continuidd Autor: Ltici Gonzálz Pscul

17 9. Hll los uints its: 7 b 7 c 7 i 7 7 d j h k 7 l 7 m n ñ o p q r s t u v w. Hll los uints its: b c d h 6 i j k l. Dtrmin l it d sts uncions: b c 6 d h i j k m n ñ o 7. Dtrmin los its d sts uncions: 9 b c d 7 6. Clcul los uints its: b c 6 d l h 6 h i j k l 7. Rsulv los uints its: 6 6 b : c 8. Hll los uints its d uncions: b c d h º d Bchillrto d Cincis. Mtmátics II. Cpítulo 7: Límits y continuidd Autor: Ltici Gonzálz Pscul

18 9. Clcul los uints its: 7 d j 7. Clcul los uints its: 9 7 d. Clcul los uints its: b b h k b 6. Clcul los uints its: 7 b 9. Clcul los uints its: b. Clcul los uints its: 6 c c 7 º d Bchillrto d Cincis. Mtmátics II. Cpítulo 7: Límits y continuidd Autor: Ltici Gonzálz Pscul c c 7 i l c d b 9 d h d c 6 d. Rsulv los uints its: 8 b c d 9 6. Clcul los uints its: 6 6 b c d Clcul stos its: b c d 6 6 h 8 8

19 8. Clcul los uints its: b c sn 9. Clcul los uints its: 9 b c 6 i 9 9 m n 6. Clcul los uints its: 7 b 9. Clcul los uints its: b i j. Clcul los uints its: d j k l 8 º d Bchillrto d Cincis. Mtmátics II. Cpítulo 7: Límits y continuidd Autor: Ltici Gonzálz Pscul o 7 c c 6 k sn d h d lim d h ln b ln. Clcul los its ltrls y l it, cundo ist, d ls uints uncions n los puntos qu s indicn: n b n. Hll l vlor d los uints its: b c d. Clcul l vlor d los uints its: 7 b 6. Dd l unción clcul: b c d. Tin lun discontinuidd? 7. Estudi l continuidd d ls uints uncions: b

20 º d Bchillrto d Cincis. Mtmátics II. Cpítulo 7: Límits y continuidd Autor: Ltici Gonzálz Pscul 8. Clic ls discontinuidds qu prsnt l uint unción: 9. Estudi l continuidd d ls uints uncions: b. Estudi l continuidd d ls uncions: b Z Z c d * R. Estudi l continuidd d l unción n l intrvlo,.. Estudi l continuidd d ls uncions: b c d h ln. Dtrmin l vlor d pr qu st unción s continu n todo R:. Dtrmin l vlor dl prámtro b pr qu l unción b s continu n todo su dominio.

21 . Hll l vlor d k pr qu l unción s continu n. k 6. Clcul m, n y p pr qu l uint unción s continu n todo R: 8 m 8 n p 7. Clcul k, n cd cso, d modo qu ls uints uncions sn continus n todo R. k b k 8. El spcio rcorrido por un móvil n unción dl timpo vin ddo por l uint unción: t t t t t t t b t Dtrmin los vlors d y b, pr qu l unción s continu n t y t. 9. Un comrcint quir vndr un dtrmindo producto, y pr llo cobr 6 por cd unidd. No obstnt, s l ncrn más d unidds, disminuy l prcio por unidd, y por cd unidds cobr: 6 C 6 Hll l vlor d d orm qu l prcio vrí d orm continu l vrir l númro d unidds qu s comprn. b A cuánto tind l prcio d un unidd cundo s comprn muchíms unidds?. Dd l unción: b Hll y b pr qu l unción s continu. b Clcul:, y. c Si y, b, studi ls discontinuidds. 8. L unción tom vlors d no contrrio n los trmos dl intrvlo, y, n mbro, no tin ninun ríz n dicho intrvlo. Contrdic sto l torm d Bolzno?. Comprub qu l unción tin l mnos un ríz n l intrvlo,.. Dmustr qu l unción 8 cort l j d bsciss n l intrvlo,. S podrí dcir lo mismo d l unción?. Si s continu n l intrvlo,, dond y. S pud surr qu l unción,? tin l mnos un cro n l intrvlo º d Bchillrto d Cincis. Mtmátics II. Cpítulo 7: Límits y continuidd Autor: Ltici Gonzálz Pscul

22 . Dibuj l ráic d un unción qu s just ls uints condicions: R,,,7 Continu n,, Discontinuidd d slto inito n y d slto ininito n 7 tl qu: 6. Dibuj l ráic d un unción Dom R /,,, 7 7 AUTOEVALUACIÓN. Los its d l unción l izquird d y l drch d vln: 7, b, 7 c, d No istn pus no stá dinid n. El it vl: b c + d. El it vl: b c d / vl:. El it b c d 7. El it vl: b c d / 6. Pr qu l unción s continu db vlr: b c 7 d / 7. Indic cuál d ls uints uncions tin un síntot vrticl n =. lo b c d sncos 8. Indic cuál d ls uints uncions tin un síntot horizontl y =. lo b c d tcos 9. Indic cuál d los uints its NO vl. 7 b c d. Los puntos d discontinuidd d l unción 9 son: y b y c Ninuno d, y 9 º d Bchillrto d Cincis. Mtmátics II. Cpítulo 7: Límits y continuidd Autor: Ltici Gonzálz Pscul

23 Apéndic: Problms d its n ls P.A.A.U..- Clcul: n n n Ddo R, s condr l unción Dtrmin los vlors d pr los qu l unción s continu..- Dd l unción F, rspond rzondmnt ls uints custions. Pr qué vlors d l unción F s continu n =? b Si F s continu cundo ntoncs no ist F, s cirto?.- S h invstido l timpo T, n minutos qu s trd n rlizr cirt prub d tltismo n unción dl timpo d ntrnminto d los dportists, n dís, obtniéndos qu: T Justiic qu l unción T s continu n todo su dominio. b Por mucho qu s ntrn un dportist, srá cpz d hcr l prub n mnos d minuto? y n mnos d?.- El rndiminto d un studint n un mn d un hor d durción vin ddo por l uint prón rprsnt l rndiminto, n tnto por cinto, n l instnt, mdido n hors:, 6 8,6 Es l rndiminto un unción continu dl timpo? b En qué momntos umnt y n qué momntos disminuy l rndiminto? Cuándo obtin l myor rndiminto y cuál s s rndiminto? 6.- L nrí qu produc un plc solr vin dscrit por l uint curv n unción dl timpo trnscurrido dsd qu mnc s l nrí producid ls hors d hbr mncido: Estudi l continuidd d l unción n su dominio. º d Bchillrto d Cincis. Mtmátics II. Cpítulo 7: Límits y continuidd Autor: Ltici Gonzálz Pscul b En qué momnto dl dí l plc produc más nrí? Cuánto produc n s momnto? 7.- El timpo qu un mpldo trd n rlizr un tr vrí durnt los cutro primros mss d contrto sún su princi. Así, l unción qu rlcion l timpo mpldo n rlizr l tr con l princi dl oprrio s rprsnt l timpo, n hors, qu trd n rlizr l tr un mpldo qu llv contrtdo un timpo, mdido n mss:. Rprsnt ráicmnt l unción. Es l timpo ncsrio pr rlizr l tr un unción continu dl timpo d princi? b En qué momnto l timpo ncsrio pr rlizr l tr s mínimo? Cuánto timpo l llv inlizr l tr n s instnt? Conu l mpldo inlizr l tr n mnos d hors n lún momnto durnt los primros cutro mss d contrto? 8.- Un provdor cobr l cit sún l volumn dl pdido. Así, l unción qu rlcion l import dl pdido con l volumn dl mismo s n uros, d un pdido d litros d cit:. Es l import un unción continu dl volumn dl pdido? b Estudi los intrvlos d crciminto y dcrciminto d l unción y rprséntl ráicmnt L vlocidd d un coch d crrrs vin dd por l uint prón: dond rprsnt l timpo, n sundos, y rprsnt l vlocidd dl coch, n km/h. Es l vlocidd un unción continu dl timpo? b Disminuy l vlocidd dl coch n lún instnt?, s podrín lcnzr los km/h d vlocidd con st coch?