LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
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- Alberto Márquez Moya
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1 l blog d mt d id: Límits y cotiuidd. M I pág. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO c sigiic qu tom vlors cd vz más próimos c. S l tid c. Por jmplo: ;,9;,;,;,8;,;,9;,;,999; Es u scuci d úmros cd vz más próimos. Escribimos. c sigiic qu tom vlors cd vz más próimos c, pro mors qu c. S l tid c por l izquird. Por jmplo, l scuci: ;,;,8;,9;,99; Está ormd por úmros mors qu y cd vz más próimos. Escribimos. c sigiic qu tom vlors cd vz más próimos c, pro myors qu c. S l tid c por l drch. Por jmplo, l scuci: ;,;,;,;,; Escribirmos. Si c, tocs tom vlors vribls. Como coscuci l ució tmbié tom vlors vribls. El comportmito d cudo c, s prs sí: límit d cudo tid c por l izquird c c culquir vlor, por grd qu s. Cudo c, tom vlors cd vz más grds, llgdo suprr,9,99 c Cudo c, tom vlors cd vz más gtivos.,9, L Cudo c, tom vlors cd vz más próimos l úmro L. c,9,99,8,98
2 l blog d mt d id: Límits y cotiuidd. M I pág. límit d cudo tid c por l drch c El sigiicdo s similr l dl y los comportmitos qu pud drs so idéticos los qu hmos visto pr c. c límit d cudo tid c c Es l comportmito d l ució cudo s proim c, si importr si s por l drch o por l izquird. Si L, dcimos qu L. c c Aálogmt, cudo los dos límits ltrls so + ó -. Si los dos límits ltrls o tom l mismo vlor, s dic qu o ist l. c c LÍMITES EN EL INFINITO Pr prsr qu tom vlors cd vz más grds, pomos +. S l tid más iiito. Por jmplo, si tom los vlors,,,,, dcimos qu +. límit d cudo tid más-iiito Cudo +, los vlors d crc cd vz más. Cudo +, los vlors d so cd vz más gtivos. L Cudo +, los vlors d so cd vz más próimos u úmro L.,87,9987, o ist Cudo +, los vlors d i crc i dcrc idiidmt, i s crc cd vz más igú úmro. Ls ucios trigoométrics prst st comportmito.
3 l blog d mt d id: Límits y cotiuidd. M I pág. límit d cudo tid mos-iiito El sigiicdo s similr l dl qu hmos visto pr +. y los comportmitos qu pud drs so idéticos los LÍMITES: CASOS POSIBLES Límits iiitos cudo tid u úmro iito : Límits iitos l iiito: L L
4 l blog d mt d id: Límits y cotiuidd. M I pág. Límits iiitos l iiito: OPERACIONES CON LÍMITES DE FUNCIONES S y g dos ucios tls qu ist vlor rl o, tocs: y g y c u úmro rl, pud sr u PROPIEDADES FUNCIÓN OPERACIONES g g Sum Adició Opust g g Dirci g g Producto Multiplicció g g c g c g c c g Ivrs Cocit Producto por u úmro g g Costt Multiplicció por u úmro Compust Composició g Idtidd Potci Potcició
5 l blog d mt d id: Límits y cotiuidd. M I pág. Ests rlcios so cirts simpr qu tg stido ls oprcios diids co úmros rls o ls diids l ñdir los lmtos + y -. E cso cotrrio o s posibl obtr l límit dl primr mimbro prtir d los límits dl sgudo. Cudo sto ocurr s dic qu l cálculo dl límit o stá dtrmido o s idtrmido. Est prsió, o sigiic qu l límit o ist o o s pud dtrmir, sio qu l plicció dirct d los torms tl y como stá ucidos s imposibl. Los csos d idtrmició so los siguits: Rciols k/, /,, -, / Epocils,, Si l clculr u límit s prst lguo d stos csos, covi trsormr l prsió d l ució otr quivlt l qu sí pud plicrs los torms d los límits. CÁLCULO DE LÍMITES A trvés d ls corrspodits gráics, rsult ácil comprdr los límits más scillos: FUNCIÓN CONSTANTE: =K FUNCIÓN IDENTIDAD: = K K ; K K ; K K ; ; FUNCIÓN POTENCIAL DE EXPONENTE NATURAL, є N, ; ; ; FUNCIÓN POTENCIAL DE EXPONENTE ENTERO NEGATIVO, - є Z, co ; ; co ; ; ;
6 l blog d mt d id: Límits y cotiuidd. M I pág. FUNCIÓN EXPONENCIAL, >,, >, < < ; ; ; ; FUNCIÓN LOGARÍTMICA log, > log, >, log, < < log log co ; log ; log log log co ; log ; log Cálculo d límits d u ució u puto. El límit d u costt, culquir puto, s ll mism: k k. El límit d u ució poliómic, =P, cudo, coicid co P. P P 8. El límit d u cocit d poliomios, =P/Q, cudo, coicid P/Q si P y Q. P P Q Q
7 l blog d mt d id: Límits y cotiuidd. M I pág.7. Idtrmició L idtrmició / d ucios rciols dsprc dscompoido ctors l umrdor y l domidor y simpliicdo. b L idtrmició / d ucios co rdicls dsprc multiplicdo y dividido l ució por l prsió rdicl cojugd.. Idtrmició k/ El cso k/, k, o sul tomrs como idtrmido y qu l límit, si ist, s simpr + ó -. S clcul los límits ltrls; si so iguls, l ució ti límit + ó -; cso cotrrio o ist l límit. límit l ist No K. L idtrmició - d ucios rciols dsprc ctudo l oprció y rducido l dirci u úic prsió. 7. L idtrmició s rsulv trsormádols ls d tipo /. Ejmplos: 7 9 it l ist No K lím
8 l blog d mt d id: Límits y cotiuidd. M I pág.8 Cálculo d límits l iiito. El límit d u poliomio cudo s ó - sgú qu l sigo dl coicit dl térmio d myor grdo s positivo o gtivo. Ejmplos: b c d 8 o ist Ejrcicios: d g b h c. Idtrmició L idtrmició dsprc dividido umrdor y domidor por l myor potci d. Podmos dr l siguit rgl pr hllr límits + d ucios rciols: P Q b m P Q b si si si gr do gr do gr do d d d P P P gr do gr do gr do d d d Q Q Q Tmbié podmos rsolvrlos tomdo úicmt los térmios d myor grdo tto dl umrdor como dl domidor. b m b m
9 l blog d mt d id: Límits y cotiuidd. M I pág.9 Ejmplos 7. L idtrmició - L idtrmició - d ucios co rdicls dsprc multiplicdo y dividido l ució por l prsió rdicl cojugd. b L idtrmició - d ucios rciols dsprc ctudo l oprció y rducido l dirci u úic prsió.. L idtrmició s rsulv trsormádol u dl tipo.. Límits cudo - S clculrá l límit cudo d l prsió qu rsult d cmbir por l ució. Ejmplos:
10 l blog d mt d id: Límits y cotiuidd. M I pág. El úmro S. Cuál s l límit d st ució cudo? Clculrmos lguos térmios: X,,78,79,7887,7889 Auqu cd térmio clculdo s myor qu los triors, l crcimito s t lto qu s rzobl psr qu s covrgt. Su límit s u úmro irrciol y s l ombr co l ltr : =,788 L prsió dl prétsis tid y l pot tid. Es dcir: Utilizdo st límit, podmos rsolvr idtrmicios d l orm: si y g, tocs: g, d l siguit mr: Fórmul obtid por l procdimito trior: Si y g, tocs: g g, tto si s u úmro rl como si s.
11 l blog d mt d id: Límits y cotiuidd. M I pág. EJERCICIOS PROPUESTOS 8.- Clcul los siguits límits: SOLUCIONES: - / - -/ /9 / + 7 ¼ 8 9 LÍMITES CON FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Clcul los siguits límits: º cos º tg s cos º s º cos s cos s cos s tg tg
12 l blog d mt d id: Límits y cotiuidd. M I pág. ASÍNTOTAS Si, R, l rct =, s u sítot vrticl. Pr dtrmir si tid más o mos iiiito, =, hbrí qu clculr los límits ltrls y sí dtrmimos l posició d l curv rspcto l sítot. E ls ucios rciols s busc los vlors d qu so rícs dl domidor. Si b, br, l rct y = b s u sítot horizotl. Cálculo d sítots oblicus: Por sr u sítot oblícu tdrá por cució y = m +, dod m idic l pdit d l rct y l ordd l orig. m y m,. Los vlors d m y s obti clculdo los siguits límits: m y m Pr studir l posició d l gráic rspcto d ls sítots oblicus y horizotls clculmos los límits cudo d l dirci tr l ució y l sítot. Si l rsultdo s positivo, l ució stá cim d l sítot, y si s gtivo, stá dbjo. Si u ució ti u sítot horizotl, tocs o ti sítot oblicu. Ejmplos: L sítot vrticl d l ució s l rct =
13 l blog d mt d id: Límits y cotiuidd. M I pág. L sítot horizotl d l ució s l rct y Posició d l gráic rspcto d l sítot: L gráic stá dbjo L gráic stá cim L sítot oblicu d l ució 8 s l rct y = m 8 Posició d l gráic rspcto d l sítot: 8 L gráic stá dbjo 8 L gráic stá cim Obsrvcios práctics crc d ls sítots horizotls y vrticls: - Ls ucios poliómics ti rms iiits, pro o ti sítots horizotls y tmpoco vrticls. - Ls rccios lgbrics ti sítot horizotl si l umrdor y l domidor ti l mismo grdo. E s cso, s l mism sítot por l izquird qu por l drch. - Ls rccios lgbrics ti tts sítots vrticls como rícs tg l domidor, slvo qu l umrdor tg lgu d ss rícs; tl cso covi, prvimt, simpliicr l rcció. - Ls prsios co rdicls pud tr dos sítots horizotls. - E grl, ls sítots vrticls so propis d prsios qu «s hc iiits» pr vlors iitos d.
14 l blog d mt d id: Límits y cotiuidd. M I pág. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Cotiuidd d u ució u puto: L id ituitiv d cotiuidd implic u vrició suv d l ució, si sltos bruscos qu romp l gráic d l mism. U ució y = s cotiu u puto = si s cumpl ls trs codicios siguits: L ució stá diid = ; s dcir, ist. b Eist l límit d l ució =. c Los dos vlors triors coicid, s dcir,. Si u ució o s cotiu u puto =, s dic qu s discotiu dicho puto. Algus rzos por ls qu u ució pud sr discotiu u puto so ls siguits: L cotiuidd o discotiuidd d u ució u puto ig str diid l ució él. Por jmplo, l ució = / o s cotiu o discotiu = y qu o stá diid. Si mbrgo, vmos hblr d discotiuidd s puto. Si os rstrigimos los vlors qu tom u ució l drch dl puto = o l izquird, s hbl d cotiuidd por l drch o cotiuidd por l izquird. Discotiuidds U ució ti u discotiuidd vitbl u puto cudo ist límit él y o coicid co l vlor d l ució l mismo o o stá diid. El vlor qu dbrímos dr l ució dicho puto pr qu ur cotiu él, s llm vrddro vlor d l ució l mismo. U ució ti u discotiuidd ivitbl u puto cudo ist los límits ltrls él y so distitos. El vlor s llm slto d l ució s puto, y pud sr iito, si s u úmro rl, o iiito. Ejmplos: si Qué sucd =? si
15 l blog d mt d id: Límits y cotiuidd. M I pág. b = ; lugo l ució stá diid =. c Los dos vlors triors o coicid. ; lugo ist. Por tto, l ució ti u discotiuidd vitbl =. Pr qu l ució ur cotiu =, dbrí sr =. Podmos rdiir l ució ddo l ució l vlor =. Qué vlor dbmos dr l ució = pr qu s cotiu? L ució o stá diid =. Vmos cuál s l límit d l ució = : dbrí sr =. Pr qu l ució ur cotiu =, Cosidrmos l ució sigo d diid por: si sig si si Qué sucd =? sig y sig. Los límits ltrls o coicid. Lugo l ució ti u discotiuidd ivitbl l puto = d slto. Fucios cotius U ució s cotiu u itrvlo cudo lo s todos y cd uo d los putos dl itrvlo. S dic qu u ució s cotiu cudo lo s todos y cd uo d los putos d su domiio d diició. Ls oprcios co ucios cotius = d como rsultdo otr ució cotiu él, simpr qu tg stido l oprció. Etocs: tods ls ucios lmtls poliómics, rciols, pocils y trigoométrics so cotius todos los putos dod stá diids. Ls ucios diids trozos srá cotius si los putos d uió lo so, y cd ució s cotiu su trozo corrspodit.
f cuando x toma valores cercanos a 2. Si x se aproxima a 2, la función toma valores cercanos a 5. Se escribe: ( ) 5
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TRILE pítulo MD Y MM DE POLINOMIOS FRAIONES ALGEBRAIAS Rgl pr lulr l MM y MD Poliomios :. S ftoriz los poliomios os.. El MD strá formo por l multipliió toos los ftors primos omus los poliomios os, osiros
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Algunas funciones elementales
Apédice B Algus fucioes eleetles B Fució poteci -ési U fució poteci -ési es u fució de l for f ( ) dode l se es u vrile y el epoete u úero turl Es l for ás secill de ls fucioes polióics f ( ) Ls fucioes
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26 EJERCICIOS de LOGARITMOS
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APUNTE: Introducción a las Sucesiones y Series Numéricas
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SUCESIONES DE NÚMEROS REALES
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Función exponencial y logarítmica:
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Potencias y radicales
Potecis y rdicles Ojetivos E est quice prederás : Clculr y operr co potecis de epoete etero. Recoocer ls prtes de u rdicl y su sigificdo. Oteer rdicles equivletes uo ddo. Epresr u rdicl como poteci de
PAIEP. Sumas de Riemann
Progrm de Acceso Iclusivo, Equidd y Permeci PAIEP Uiversidd de Stigo de Chile Sums de Riem Ddo u itervlo de l form [, b], co y b e R, < b, u prtició del itervlo [, b] es u colecció de putos P = {x, x,...,
CAPITULO 17 FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS
Capítlo 17. Drivada d las Fcios Epocial, Logarítmica. CAPITULO 17 FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS Ejrcicio. Dibja la gráfica d la fció =, para sto lla la sigit tabla: 0 1 3 4-1 - -3-4 Vamos l sigit
1 sen. f Solución: 3 ; 1. sen. 2 sen. f Solución: ; Solución: CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD
Frnndo Frnádz-Rmos Mrín º.- Clcul l continuidd d ls guints uncions. ) 8 7 ) 8 6 c) d) sn ) º.- Dtrminr l vlor d los prámtros d ls uncions pr qu sn continus n todo ) sn Solución: ) Solución: c) cos sn sn
Proyecciones ortogonales (diédricas y triédricas)
Proyccions ortogonls (diédrics y triédrics) Pro. Rúl F. ongiorno S dnominn proyccions ortogonls l sistm d rprsntción qu nos prmit diujr n dirnts plnos un ojto situdo n l spcio. undo hlmos d sistms d rprsntción
Tema 4: Regresiones lineales y no lineales TEMA 4. REGRESIONES LINEALES LINEALES Y NO. 1. 2. 3. Introducción 4. Nomenclatura
T 4: grsos lls o lls TEMA 4. EGEIONE LINEALE LINEALE Y NO.. 3. Itroduccó 4. Nocltur 5. Llzcó Ajust grsó ll ll d últpl cucos 6. 7. 8. grsos EUMEN Progrcó o lls Mtlb Cálculo uérco Igrí T 4: grsos lls o lls.
Construyendo la función exponencial
Costrdo l ció ocil Cr SÁNCHZ DÍZ Pd costrirs l ció ocil ri o trl coo l ció ivrs d l ció logrito trl r d idtiicrs co l ocil d s úro rl os d ror tl coicidci l cso d ot tro tié rciol l cso d ot rl d diirs
Matemáticas 1 1 EJERCICIOS RESUELTOS: Sucesiones numéricas. Elena Álvarez Sáiz. Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación. Universidad de Cantabria
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EXPONENTES Y POTENCIAS Muchos números se expresan en forma más conveniente como potencias de 10. Por ejemplo: m n n 0,2 3 3
Rpaso d Matmáticas E st apédic s hará u brv rpaso d las cuacios y fórmulas básicas d utilidad Química Física gral y Trmodiámica Química particular. EXPONENTES Y POTENCIAS Muchos úmros s xprsa forma más
LÍMITES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS MATEMÁTICAS I 1º Bach 1
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CÁLCULO DE DETERMINANTES DE SEGUNDO Y TERCER ORDEN. REGLA DE SARRUS
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COTAS Y EXTREMOS DE CONJUNTOS DE NUMEROS REALES
VALORES ABSOLUTOS Defiició: si 0 =, si < 0 = Por lo tto 0 R Teorem 2 = 2 Demostrció: si 0 2 = 2, si < 0 2 = ( ) 2 = 2 PROPIEDADES. =. = + + (desiguldd trigulr) = Teorem x x Demostrció: x x 2 2 x 2 2 x
Límite de una función en un punto
Límite de ua ució e u puto Para apreder bie el cocepto de límite comezaremos co amiliarizaros co la siguiete termiología. c ( tiede a c por la izquierda ): toma valores cada vez más cercaos a c, pero meores
Aproximación al área bajo una curva.
Aproimció l áre jo u curv. Por: Miguel Solís Esquic Profesor de tiempo completo Uiversidd Autóom de Cips Clculr cd u de ls áres de los rectágulos que lle l regió cotd pr lczr el vlor del áre ecesrimete
Análisis del caso promedio El plan:
Aálisis dl caso promdio El pla: Probabilidad Aálisis probabilista Árbols biarios d búsquda costruidos alatoriamt Tris, árbols digitals d búsquda y Patricia Listas sip Árbols alatorizados Técicas Avazadas
Sucesiones de números reales
Apédice A Sucesioes de úmeros reles Ejercicios resueltos. Está l sucesió de térmio geerl U cot iferior es pues 5 cotd? 5 5 4 4 lo cul se cumple culquier que se el úmero turl. U cot superior es pues 5 5
Logaritmos y exponenciales:
Logrimos ponncils: L rsolución d cucions ponncils s s n l siguin propidd d ls poncis : Dos poncis con un mism s posiiv disin d l unidd son iguls, si sólo si son iguls sus ponns. Es dcir, p. j. Si = noncs
Polinomios de Taylor
Poliomios de Tylor Itroducció Los poliomios so de ls ucioes más bues que hemos usdo lo lrgo de uestros cursos de álisis. Este cliictivo reside e el hecho de que so ucioes cotius co iiits derivds cotius;
TEMA 5 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS
Tem 5 Límites de funciones, continuidd y síntots Mtemátics CCSSII º Bch 1 TEMA 5 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS 5.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 5.1.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Límite de
Enteros (Z):..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... Números enteros (positivos o negativos), sin decimales. Incluye a los naturales y a los enteros negativos.
Tem 1: Números Reles 1.0 Símbolos Mtemáticos Distito Aproximdo Meor o igul Myor o igul Uió Itersecció Cojuto vcío Existe No existe Perteece No perteece Subcojuto Implic Equivlete 1.1 Cojuto de los úmeros
SISTEMAS DE ECUACIONES
. Sistems de ecucioes lieles SISTEAS DE ECUACIONES Se deomi ecució liel quell que tiee l form de u poliomio de primer grdo, es decir, ls icógits o está elevds potecis, i multiplicds etre sí, i e el deomidor.
TEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
TEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 5.1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. LÍMITES LATERALES 5.1.1. Concepto de tendenci Decimos que " tiende " si tom los vlores de un sucesión que se proim. Se
Unidad didáctica 3 Las potencias
Uidd didáctic Ls potecis 1.- Qué es u poteci? U poteci, es u producto de fctores igules que se repite vris veces. veces El fctor que se repite se llm bse,. El úmero de veces que se repite l bse es el expoete,.
1. Discutir según los valores del parámetro k el sistema
. Discutir segú los vlores del práetro el siste C Si, el (º de icógits) S. C. D. Teiedo e cut lo terior se discute el tipo de solució del siste pr los vlores del práetro que ulr el deterite de l tri de
Resumen: Límites de funciones. Asíntotas
Resue: Líites de ucioes. Asítots epre que se pued sustituir probles e l epreó de Los csos e los que o se pued sustituir es: k cudo tegos Es ideterido el go del y depede de l regl de los gos. Ejeplos: *?