11 INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA NO LINEAL (BIFURCACIONES, CAOS)

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María Soledad Quintero Rojo
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1 INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA NO LINEAL (BIFURCACIONES, CAOS) Los sistmas o lials pud llgar a tr comportamitos ralmt sorprdts alguos casos: por u lado pud llgar a tr diámicas totalmt difrts sgú l valor qu tom los parámtros y por otro lado pud llgar a sr trmadamt ssibls a las codicios iicials. E st capítulo tratarmos d platar alguos jmplos scillos qu os prmita vislumbrar la compljidad dl tma. Comzarmos co u jmplo d u modlo discotiuo, u modlo d població. Supogamos qu a itrvalos dfiidos d timpo s cuta l úmro d idividuos d ua població. Dod = població al comizo dl príodo b = acimitos durat l príodo d = murts durat l príodo Pud asumirs qu los acimitos y las murts so proporcioals a la població b sustituydo d r b b d b d d b d r b r d b d El parámtro dtrmia l comportamito d la població: si < la població dismiuy si = la població prmac costat si > la població aumta Est squma o s muy ralista ya qu o toma cuta las rstriccios al crcimito (p.j. falta d alimtos). Para suprar s icovit pud supors otro factor qu dcrc cuado la població aumta (cuació logística ): E st squma, hacido tdr a ifiito podmos aalizar cuál s la solució d stado stacioario: ILM

2 s s s s s Cosidrmos por jmplo l valor =.95 Sgú lo atrior l valor d stado stacioario sría Lo cual fctivamt s así, pus, por jmplo, partido d =. la sri s va dsarrollado sgú Paso alfa = () S dic qu l sistma covrg asitóticamt hacia l valor stacioario d.66. Véas jm..sc. Est comportamito o os rsulta traño absoluto. Si mbargo vamos qu pasa cuado lgimos otro valor dl parámtro, por jmplo =.. E st caso spraríamos qu l sistma covrgira hacia ILM

3 Si mbargo l comportamito s totalmt difrt qu l caso atrior: lugo d alguas itracios la solució oscila tr dos valors,.5 y.8 (comportamito d príodo ): alfa = () Pro la curiosidad dl sistma o para aquí. Si tomamos por jmplo =.5, al cabo d cirto timpo l sistma oscila tr los siguits valors:.8,.87,.5 y.875 (comportamito d príodo 4). alfa = () ILM

4 Ahora bi tomado por jmplo =.75 ya o s obsrva igú tipo d rgularidad. Estamos at lo qu s llama comportamito caótico : alfa = () E st caso ist trma ssibilidad a las codicios iicials. Por jmplo véas u trozo dl diagrama atrior partido d. y d.:.9 alfa=.75 =. = El comportamito qu vimos obsrvado para distitos valors d pud sistmatizars u diagrama d Orbit, qu s u diagrama llamado d bifurcació, l cual rprstamos los putos a los qu tid l sistma fució dl parámtro. ILM 4

5 a Véas jm..sc. Vamos obsrvado qu a mdida qu aumta l parámtro vamos pasado d u comportamito d covrgcia asitótica a uo d príodo, lugo d príodo 4 príodo caos.8 Para dtrmiado valor ya o cotramos rgularidads y hablamos d caos pro postriormt cotramos vtaas las cuals volvmos a cotrar, por jmplo u príodo. ILM 5

6 Hmos studiado u modlo discotiuo, pro stos mismos tipos d cocptos los podmos aplicar a fucios cotiuas, por jmplo a la fució Nos covi idtificar l diagrama d bifurcació cuáls so los putos stabls y cuáls los istabls. Para llo, si s la solució d = g( ) ( puto fijo ), tocs s ua solució stabl si g valuada. Para la fució atrior g g O sa qu tmos qu valuar si los putos Para l puto Para l puto g tocs ó g s stabl para tocs g s stabl para E forma d diagrama ILM 6

7 DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS diagrama d bifurcació stabl istabl. stabl istabl istabl S sul rprstar co lías llas las solucios stabls y co lías putadas las istabls. El diagrama d bifurcació os dic sobr la stabilidad d las solucios pro l caso d qu la solució sa istabl o dic ada sobr la priodicidad. Por jmplo para príodo Habíamos scrito Etocs O bi Qu a vcs s aota E particular para l modlo qu stábamos studiado Pro como O bi g g g g g g 4 Qu ti las siguits solucios,.5,.6875,.7995 Gráficamt s rprsta l siguit diagrama ILM 7

8 Los putos qu la curva corta a la rcta y = y la pdit s mor a so stabls y por l cotrario si s mayor a so istabls. Similar razoamito s pud sguir co príodos mayors. E gral para ua cuació diámica, co l parámtro d bifurcació La solució d stado stacioario (puto d quilibrio) s Y u puto d bifurcació ocurr cuado admás d la fució, tambié la primr drivada tambié s cro f f, El úmro d solucios d la cuació d stado stacioario s si f, f, f f f f,... f y S distigu distitos tipos d bifurcacios, sgú la forma dl diagrama d bifurcació. Vamos u jmplo d bifurcació tipo Pitchfor. f, ILM 8

9 Cuyos putos d quilibrio so Si <, solo ti stido físico. f, Como s fució d ua sola variabl tambié s quivalt al valor propio: Etocs, si < l sistma s stabl. Si < la úica solució s = y tocs =, por lo qu s stabl. Por l cotrario si > hay trs solucios rals: istabl stabl stabl El diagrama d bifurcació (tipo Pitchfor) quda:.5 stabl istabl stabl Otro tipo d bifurcació s l domiado Saddl-Nod, por jmplo la fució f, E st caso los putos d quilibrio so ILM 9

10 f, Las codicios d bifurcació s satisfac Si <, i y o hay solucios rals. Si > hay dos solucios rals: stabl istabl El gráfico d bifurcació tipo Saddl-Nod quda E la bifurcació trascrítica s mati l úmro d solucios rals l puto d bifurcació. Por jmplo f, Los putos d quilibrio so f, Si < hay dos solucios rals: stabl y las codicios d bifurcació so istabl ILM

11 DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS Si > tambié hay dos solucios rals: istabl stabl Por lo tato l diagrama d bifurcació trascrítica quda: mu Histérsis Cosidrmos l sistma f, u Dod u s ua variabl d trada qu s pud maipular y s u parámtro d disño. Podmos costruir gráficos iput-output d la solució d stado stacioario para cada valor d. Por jmplo para = - f f, u Vmos qu como, u s simpr gativo tocs o hay puto d bifurcació y todos los putos d quilibrio so stabls. ILM

12 DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS mu = u Si mbargo para = f, u s ua cuació cúbica qu pud tr trs solucios para u dtrmiado valor d u. f, u Por jmplo para u = stabl istabl stabl mu = Los putos d bifurcació so Qu corrspod a u u c c c O sa, para y hay u puto stabl y para u c u u c hay trs solucios, dos stabls y la otra o. ILM

DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS E st caso, dpdido d la dircció qu s vaya movido l parámtro d bifurcació podmos tr u salto brusco los putos límits, y s fómo s domia histérsis.

13 DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS E st caso, dpdido d la dircció qu s vaya movido l parámtro d bifurcació podmos tr u salto brusco los putos límits, y s fómo s domia histérsis. E la siguit figura vmos como va variado la rspusta co l parámtro mu - - u E st caso l diagrama d bifurcació s u poco distito pus l plao solo s posibl rprstar zoas co uo o co trs putos stabls. ILM

14 ILM 4 Quizá l primr jmplo d movimito caótico fu dado por l mtorólogo Lorz tratado d simular simplificadamt l movimito d las masas atmosféricas. Sus cuacios furo Dod s proporcioal a la vlocidad d las corrits circulars covctivas s proporcioal a la difrcia d tmpraturas tr las capas atmosféricas s proporcioal a la distorsió dl prfil d tmpraturas rspcto a la lialidad (vr dmo d Scilab dmos/simulatio/od s/lortz) Z X Y

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al siguiente límite si existe: . Se suele representar por ( x ) UNIDAD : DERIVADAS. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. DERIVADAS LATERALES Dfiici.- S llama drivada d ua fuci f u puto d abscisa al siguit it si ist: f f ' sigifica lo mismo. f. S sul rprstar por f D