Estabilidad de Sistemas No-lineales: Sistema de Nivel de Líquidos de Dos Tanques Interconectados.

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1 6 RIEE&C, REVISTA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA, ELECTRÓNICA Y COMPUTACIÓN, Vol. 5 No., DICIEMBRE 008 Estabilidad d Sistmas No-lials: Sistma d Nivl d Líquidos d Dos Taqus Itrcoctados. Azurz M. Jua, Padilla G. José A. y Cuvas S. Omar. Rsum E l prst artículo s plata ua mtodología para l aálisis d stabilidad d los sistmas o lials utilizado l método dircto idircto d Lyapuov. Al mismo timpo, s plata la solució dsd l puto d vista gráfico a partir dl Rtrato d Fas obtido utilizado la hrramita Ppla7.m d Matlab. S prsta ua rvisió d las pricipals caractrísticas d los sistmas o lials y s lista los pricipals putos d quilibrio para dichos sistmas, así como sus propidads. El aálisis ralizado stá dsarrollado para sistmas d sgudo ord rprstados mdiat variabls d stado. El jmplo d aplicació stá basado l modlo d u sistma hidráulico o lial d dos taqus itrcoctados. Palabras clav Estabilidad d Lyapuov, Método dircto idircto d Lyapuov, Putos d quilibrio, Estabilidad asitótica, Rtrato d fas. I. INTRODUCCIÓN La mayoría d sistmas físicos so d aturalza o lial. Si mbargo, s posibl ralizar aproximacios d stos sistmas para cosidrarlos como sistmas lials. La aplicació d técicas d cotrol o lial prmit u mjor tdimito dl sistma físico y por d mjors rsultados l cotrol dl mismo. Por sta razó, durat l modlado dl sistma físico s csario cosidrar la stabilidad dl mismo y los putos d quilibrio [0]. Así, la stabilidad s ua d las caractrísticas más importats d los sistmas diámicos. Cuado s aaliza la stabilidad d dichos sistmas, surg difrts problmas sgú la mara qu s caractric l propio sistma cosidració. Por jmplo, para sistmas lials y Mauscrito rcibido l 5 d Marzo d 008. Est trabajo fu rspaldado por la Divisió d Estudios d Posgrado d la Facultad d Ig. Eléctrica d la Uivrsidad Michoacaa d Sa Nicolás d Hidalgo. Azurz M. Jua hasta la fcha s ha dsmpñado como Profsor d Timpo Complto d la Facultad d Igiría Eléctrica d la Uivrsidad Michoacaa d Sa Nicolás d Hidalgo, Divisió d Estudios d Posgrado; Av. Fco. J. Mújica S/N, Ciudad Uivrsitaria; Morlia, Michoacá., México; C.P ; Tl: (443) 33500, xt y 5; Fax: (443) (-mail jazurz@jupitr.umich.mx). José A. Padilla hasta la fcha s ha dsmpñado como studiat d Mastría Cicias Igiría Eléctrica d la Divisió d Estudios d Posgrado d la Uivrsidad Michoacaa d Sa Nicolás d Hidalgo, actualmt cursa l trcr smstr d la Opció d Cotrol Automático. (mail josaaro@latimail.com). Omar C. Silva hasta la fcha s ha dsmpñado como studiat d Mastría Cicias Igiría Eléctrica d la Divisió d Estudios d Posgrado d la Uivrsidad Michoacaa d Sa Nicolás d Hidalgo, actualmt cursa l trcr smstr d la Opció d Cotrol Automático (mail mayrux@hotmail.com). stacioarios, xist métodos para podr dtrmiar su stabilidad trada acotada salida acotada (BIBO por sus siglas iglés Boudd Iput Boudd Output; s dcir, u sistma lial ivariat l timpo s dic BIBO stabl si y sólo si a toda fució d strada acotada l corrspod ua fució d salida acotada) tals como l critrio d la rspusta al impulso, l critrio d Routh y l d Nyquist. Si mbargo cuado s trata sistmas o lials, stos métodos o ti validz. La riquza diámica d los sistmas o lials prsta cirtos fómos qu o so vidts los sistmas lials []. Uo d stos fómos s la xistcia d múltipls putos d quilibrio aislados. U sistma lial pud tr u solo puto d quilibrio aislado, y por lo tato u solo stado d régim stacioario qu si l puto s stablatra al stado dl sistma idpditmt dl stado iicial. E cambio, los sistmas o lials pud tr varios putos d quilibrio, y la covrgcia a uo stabl dpd dl stado iicial. Es por llo qu, rsulta importat studiar la stabilidad d los difrts putos d quilibrio d los sistmas o lials co lo cual s logra u mjor tdimito dl comportamito dl mismo. U puto d quilibrio d u sistma diámico s stabl l stido d Lyapuov si todas las solucios qu ac las crcaías dl puto d quilibrio prmac dichas crcaías; d otra forma rsulta istabl. El puto d quilibrio tambié s asitóticamt stabl si las solucios admás d prmacr las crcaías dl mismo, tid hacia l puto d quilibrio a mdida qu trascurr l timpo [3], [4], []. Así admás, la stabilidad s pud aalizar utilizado técicas gráficas como lo s u rtrato d fas, dod s mustra las rgios o putos stabls dl sistma y la dircció dsd la cual s alcaza la stabilidad. E st artículo s prsta alguas técicas d aálisis d stabilidad d los putos d quilibrio d sistmas o lials mdiat l aálisis dl comportamito dl stado ua vcidad dl puto d quilibrio. La stabilidad s aaliza l stido d Lyapuov mdiat sus dos métodos dircto idircto. Ua caractrística importat l artículo s la utilizació d la hrramita d Matlab llamada Ppla7.m, mdiat la cual s obti los rtratos d fas para mostrar los cocptos d stabilidad d los putos d quilibrio d mara gráfica co llo s facilita la itrprtació dl aálisis. El sistma o lial slccioado para l aálisis s u sistma hidráulico formado por dos taqus itrcoctados. E la Figura s mustra u squma dl mismo. ISSN

2 RIEE&C, REVISTA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA, ELECTRÓNICA Y COMPUTACIÓN, Vol. 5 No., DICIEMBRE La structura dl artículo s como sigu: la scció II s prsta las pricipals propidads d los sistmas o lials, dfiicios básicas así como la clasificació d los pricipals putos d quilibrio qu s prsta los sistmas o lials. E la scció III s hac ua prstació básica d la toría d stabilidad d Lyapuov. E la scció IV s prsta l modlo dl sistma bajo aálisis, s mustra los rsultados d stabilidad aplicado la toría d Lyapuov, asimismo s mustra los rsultados gráficos usado la hrramita PPla7.m d Matlab usado trs scarios a partir dl cambio d la aturalza dl flujo d trada al sistma. Fialmt la scció V prsta alguas coclusios grals dl trabajo prstado st artículo. Es d itrés d los autors mostrar la facilidad dl uso d la hrramita d Matlab para l aálisis d la stabilidad d sistmas o lials. E l prst artículo o s hac la dmostració d los tormas, l lctor s pud rfrir a las citas qu s lista dspués d los tormas. II. PROPIEDADES DE UN SISTEMA NO LINEAL Gralmt cuado s trabaja co sistmas diámicos qu so modlados mdiat u úmro fiito d cuacios difrcials ordiarias d primr ord acopladas, dod las variabls d stado rprsta la mmoria qu ti l sistma diámico d su pasado. Usualmt s mpla la otació vctorial para scribir stas cuacios d mara compacta, s pud dfiir y rscribir las cuacios difrcials d primr ord como ua cuació difrcial vctorial d dimsió []. x f t, x, u x rprsta los stados, p u so las Dod variabls d trada todo co rspcto al timpo t. Todos los sistmas físicos so ihrtmt o lials, los sistmas d cotrol so o lials ua cirta xtsió y pud sr dscritos mdiat cuacios difrcials o lials. El sistma o lial pud sr aproximado mdiat u sistma lializado:. Si l rago d opració s pquño.. Si las o lialidads ivolucradas so suavs. 3. Si su diámica s dscrib mdiat u cojuto d cuacios difrcials lials. Por sta razó, ti u rago d opració más amplio y su comportamito la vcidad d u puto d quilibrio s similar a la dl sistma lial. Es dcir, l studio d stos sistmas mjora la itrprtació d los sistmas diámicos. Los sistmas o lials pud prstar oscilacios d amplitud y priodo fijos si xcitació xtra, s dcir, pud prstar lo qu s cooc como ciclos límit. Admás, los cambios cualitativos d los parámtros d u sistma o lial collva a cambios cualitativos d las propidads dl sistma. E los sistmas lials, pquñas difrcias las codicios iicials pud causar sólo pquñas difrcias la salida. Los sistmas o lials pud dsplgar u fómo llamado caos. U sistma stabl tid a lo largo dl timpo a u puto d quilibrio, u órbita, sgú su dimsió (atractor). U sistma istabl s scapa d los atractors. Y u sistma caótico maifista los dos comportamitos. Por u lado, xist u atractor por l qu l sistma s v atraído, pro a la vz, hay "furzas" qu lo alja d ést. D sa mara, l sistma prmac cofiado ua zoa d su spacio d stados, pro si tdr a u atractor fijo. Ua d las mayors caractrísticas d u sistma istabl s qu ti ua gra idpdcia d las codicios iicials. D u sistma dl qu s cooc sus cuacios caractrísticas, y co uas codicios iicials fijas, s pud coocr xactamt su volució l timpo. Pro l caso d los sistmas caóticos, ua míima difrcia sas codicios hac qu l sistma volucio d mara totalmt distita []. Ejmplos d tals sistmas icluy la atmósfra trrstr, l Sistma Solar, las placas tctóicas, los fluidos régim turbulto y los crcimitos d població. Ua d las hrramitas gráficas útils para la visualizació cualitativa dl comportamito d sistmas o lials s l llamado Rtrato d Fas, l cual stá costituido por la familia d todas las trayctorias o solucios d u sistma o lial d sgudo ord para difrts codicios iicials, a través d las isoclias. Est método fu itroducido por Hri Poicaré, dicho método s aplicabl a cualquir tipo d o lialidad, co la prmisa d qu muchos sistmas s pud aproximar a uo d sgudo ord, si mbargo, dsd otro puto d vista sto pud rprstar ua ligra dsvtaja. E l prst artículo s utiliza la hrramita Ppla7.m d Matlab para dibujar l rtrato d fas dl sistma o lial motivo d aálisis, s dcir, dl sistma d ivl d líquido d dos taqus itrcoctados. A. Clasificació d los putos d quilibrio D acurdo a la ubicació d los polos dl sistma los putos d quilibrio u sistma o lial s pud clasificar como:. Nodo stabl, si los polos so rals y s cutra l smiplao-izquirdo.. Nodo istabl, si los polos so rals y s cutra l smiplao-drcho. 3. Foco stabl (spira) cuado los polos so compljos l smiplao izquirdo. 4. Foco istabl (spira) cuado los polos so compljos l smiplao-drcho. 5. Ctro, cuado los polos so compljos l j imagiario. 6. Nodo silla, cuado hay u polo ral l smiplao izquirdo y otro l smiplao drcho. 7. Lía cotiúa d putos d quilibrio, cuado u polo s ulo. 8. Putos d quilibrio hiprbólico (structuralmt stabl): cosrva su comportamito cualitativo at pquñas prturbacios. Codició: las raícs dl modlo lializado ti R 0. ISSN

3 8 RIEE&C, REVISTA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA, ELECTRÓNICA Y COMPUTACIÓN, Vol. 5 No., DICIEMBRE 008 Fig.. Sistma Hidráulico d dos taqus cascada. Fig.. Ejmplos gráficos d los putos d quilibrio para u sistma o lial. ( a) Nodo stabl, (b) Nodo silla, ( c) Foco stabl y (d) Ctro El comportamito cualitativo d u sistma o lial crca d u puto d quilibrios pud dtrmiars por mdio d la lializació. Los putos d quilibrio d u sistma o lial rcib l mismo ombr dl caso lial (odo, foco, silla). U puto d quilibrio (PE) s aislado si al lializar, A 0. Por jmplo, l pédulo ivrtido ti putos d quilibrio tipo foco. E la Figura s mustra 4 jmplos d diagramas d rtrato d fas para putos d quilibrio. III. ESTABILIDAD DE LYAPUNOV U puto d quilibrio s dic stabl si todas las solucios qu s iici las crcaías dl puto d quilibrio prmac las crcaías dl mismo, d otro modo l puto d quilibrio s istabl. U puto d quilibrio s dic asitóticamt stabl si todas las solucios qu iici las crcaías dl puto d quilibrio o sólo prmac las crcaías dl puto d quilibrio, sio qu admás tid hacia l quilibrio a mdida qu l timpo s aproxima a ifiito. Torma (Método Dircto): Sa l orig x 0 u x f x dod puto d quilibrio dl sistma olial f : D s ua fució cotiuamt difrciabl y D s u toro dl orig. Sa x f A x x0 Etocs, l orig s ASINTÓTICAMENTE ESTABLE si todos los valors propios d A ti part ral gativa. El orig s INESTABLE si uo o más valors propios d A ti part ral positiva. Torma (Método Idircto): Sa l orig x 0 u x f x y sa D u domiio puto d quilibrio d qu coti al orig. Sa V ua fució cotiuamt difrciabl tal qu: 00 y D V V x D V x Etocs x 0 s ESTABLE, más aú, si 0 V x D, tocs x 0 s ASINTÓTICAMENTE ESTABLE. La dmostració d los tormas y s pud vr [], [3] y [4]. IV. APLICACIÓN: SISTEMA HIDRÁULICO DE DOS TANQUES INTERCONECTADOS El sistma bajo aálisis sta formado por dos taqus coctado cascada, s dcir, l flujo d salida dl primr taqu s l flujo d trada al sgudo taqu, como s mustra la Figura. El modlo matmático dl sistma sta dfiido por: f w h t h () A A t At At t w w h t h h () Dod h y h so los ivls d los taqus, f l flujo d alimtació o trada, w y w so las razos dl flujo d salida d cada dpósito, y A t l ára d la scció trasvrsal dl taqu. A. Sistma Hidráulico co trada uitaria Para fis prácticos d studio tomamos los siguits valors: w At f uidads w uidads Sustituydo, l sistma ()-() s covirt : ISSN

4 RIEE&C, REVISTA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA, ELECTRÓNICA Y COMPUTACIÓN, Vol. 5 No., DICIEMBRE h t h (3) h t h h (4) El siguit paso d la mtodología s cotrar los putos d quilibrio. Para llo primro, igualamos a cro las drivadas, s dcir: h f h h, 0 h f h, h 0 D la cuació (3) obtmos qu: h 0 h D la cuació (4) y sustituydo h : h h 0 h 4 D lo atrior s obsrva qu l sistma ti u sólo puto d quilibrio (para stas codicios) l cual s cutra h, h 4. A cotiuació, s pruba la stabilidad dl puto d quilibrio usado primro l método idircto d Lyapuov, s dcir, usado lializació, para llo s dtrmia l Jacobiao stablcido por l torma dfiido como: f f h h f A h hpe f f h h Rsultado:, h 4 hpe 0 h 0 A h h S cutra los valors propios d A. s 0 dt( si A) dt s s s Por lo qu los igvalors so: s y s Etocs, dbido a qu los polos so rals gativos l puto d quilibrio s u NODO ESTABLE, d acurdo a la clasificació d los putos d quilibrio, vista la scció II. Ahora, usado l método dircto d Lyapuov: T Sa la fució d Lyapuov V h h Ph dod P Idtidad, s dcir: Fig. 3. Itrfas gráfica para la itroducció d las cuacios dl sistma hidráulico Ppla7.m. V h h h Co sto s cumpl la primra codició V h 0 dl torma. Postriormt s obti: V h V h V h h h h La cual os quda como: h V h h h h h h Rordado los térmios 3 3 V h h h h h h Dod s fácil vr qu l primr térmio d la drcha s l térmio domiat; s dcir, V h h hh 3 h 3 h Etocs, si importar los valors qu tom h y h la uca tomará valors positivos, sto s, s cumpl la V h. Por lo tato l sguda codició dl torma 0 puto d quilibrio s ESTABLE. Ua sguda part dl aálisis d stabilidad propusto st artículo, s la simulació utilizado la hrramita o rutia Ppla7.m d Matlab, co la cual a través d su itrfas podmos costruir los rtratos d fas d sistmas o lials d sgudo ord (s usa las dos cuacios). La itrfas gráfica d Ppla7 s mustra la Figura 3 lla s scrib dirctamt las cuacios difrcials, parámtros o xprsios, l rago d la vtaa dod s dibuja l rtrato d fas, s dcir los valors máximos d las variabls d stado y l úmro d putos por rgló y columa. Así, co los datos dl jmplo s obti l rtrato d fas mostrado la Figura 4. E la figura 4 s pud obsrvar fácilmt l puto d quilibrio, para difrts codicios iicials por 4 ISSN

5 0 RIEE&C, REVISTA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA, ELECTRÓNICA Y COMPUTACIÓN, Vol. 5 No., DICIEMBRE 008 Fig. 4. Rtrato d fas d sistma hidráulico d dos taqus. Fig. 6. Rtrato d fas para difrts codicios iicials. Fig. 5. Itrfas gráfica d Ppal7 d MATLAB, para l si trada. lo qu st puto s u NODO ESTABLE, como s había dfiido a través dl método aalítico. B. Sistma hidráulico si trada Cosidérs u flujo d trada cro y sguimos cosidrado l ára d los dos taqus iguals y d magitud uitaria. D igual mara para l factor d aprtura las dos válvulas, co lo cual los parámtros dl modlo so: A, k, k y 0 f. Tal como s mustra la itrfaz gráfica d Ppla7.m la Figura 5. D mara similar al jmplo atrior podmos hacr l aálisis d st caso como s idica a cotiuació; para l sistma si trada l modlo ()-() ti la siguit forma: h h h h - h Para cotrar l puto d quilibrio, las cuacios difrcials s iguala a cro (5) 0 - h h 0 0 h- h h 0 Así, s fácil vr qu l puto d quilibrio (PE) s cutra (0,0), l cual s difrt al dl caso atrior, co lo cual s dmustra la xistcia d múltipls putos d quilibrio u sistma o lial. E l rtrato d fas d la Figura 6 s obsrva la trayctoria para difrts codicios iicials. Por jmplo, para la codició iicial h y h 0, l taqu iicia co ua altura uitaria y durat la volució, hacia l orig, trasfir su volum al taqu co u factor d aprtura la válvula k. El taqu a su vz, dsahoga su volum qudádos fialmt ambos taqus co ua altura d cro. Etocs cualquir trayctoria dl rtrato d fas trmiará l puto d quilibrio. C. Sistma hidráulico co f 0. 5 Por otro lado, para u flujo d trada costat f 0.5, su diagrama d fas s mustra la Figura 7. E ést s ilustra la uva trayctoria d volució dl sistma y cómo l puto d quilibrio ha cambiado a h 0. 5 y h 0.5. El puto d quilibrio co trada d flujo costat rprsta la prmacia costat d los stados u puto difrt al orig. Para dmostrar la stabilidad s cosidra la trada f 0. 5, tocs las cuacios d stado s rscrib como h h (6) h h - h Igualádolas a cro para obtr su puto d quilibrio ISSN

6 RIEE&C, REVISTA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA, ELECTRÓNICA Y COMPUTACIÓN, Vol. 5 No., DICIEMBRE 008 didáctica para dmostrar gráficamt l aálisis d stabilidad d los putos d quilibrio d los sistmas o lials d sgudo ord. Para lo cual s hac csario mostrar ua lista d los pricipals putos d quilibrio qu s pud aprciar st tipo d sistmas. El jmplo d aplicació utilizado (Sistma hidráulico o lial d dos taqus itrcoctados) prmit dmostrar la fctividad d la mtodología para l aálisis d stabilidad d los putos d quilibrio, tato forma aalítica como forma gráfica. E l sistma d los dos taqus, l puto d quilibrio co trada d flujo costat, rprsta la prmacia costat d los stados dl sistma u puto difrt al orig. Fig. 7. Rtrato d fas para l sistma d dos taqus co 0. 5 f h h 0.5 k f h- h h 0.5 k D igual mara qu l jmplo, la mtodología idica l mplo dl Jacobiao (Torma ) y la valuació dl mismo l puto d quilibrio. A PE df dh df dh df dh df dh PE - h h S dsarrolla dt( SI A ). PE / / 0 - h / (0.5,0.5) - f. 0 - s 0 dt (SI A) dt (s )(s ) (s ) - s Es fácil d vr qu los valors propios dl sistma so rals y gativos, por lo tato l puto d quilibrio s u NODO ESTABLE, como ya s había obsrvado l rtrato d fas d la Figura 7. V. CONCLUSIONES La mtodología para l aálisis d stabilidad d los putos d quilibrio d los sistmas o lials dsd l puto d vista d Lyapuov, basados l método dircto como l idircto, prmit obtr rsultados formals d stabilidad co u cirto grado d dificultad; sobr todo al momto d la slcció d la fució d Lyapuov. El rtrato d fas disñado usado Ppla7.m d Matlab s prsta st artículo como ua altrativa REFERENCIAS [] Hassa. K. Khalil, Noliar systms, Nw Jrsy, Prtic Hall, 00. [] T. Kailath, Liar Systms, Nw York, Prtic Hall, 980. [3] M. Vidyasagar, Noliar Systms Aalysis, Scod Editio, Prtic Hall, Nw Jrsy, 995. [4] J.J.E. Sloti, W. Li, Applid Noliar Cotrol, Prtic Hall, Nw Jrsy, 99. [5] F. Mazc; S.I. Nuculscu, Lyapuov stability aalysis for oliar dlay systms, Dcisio ad Cotrol, 000. Procdigs of th 39th IEEE Cofrc o Volum 3, Issu, 000 Pag(s):00-05 vol.3. [6] Q. Jiag; S. Chg; Y. Cao, Lyapuov stability aalysis of turbigrator icludig shaft systm, Itratioal Joural of Elctrical Powr ad Ergy Systms, Volum 5, Numbr 9, Novmbr 003, pp (6). [7] M.S Braicky, Multipl Lyapuov fuctios ad othr aalysis tools for switchdad hybrid systms, Automatic Cotrol, IEEE Trasactios o Volum 43, Issu 4, Apr 998, pp: [8] Daafouz, J. Ridigr, P. Iug, C., Stability aalysis ad cotrol sythsis for switchd systms: a switchd Lyapuov fuctio approach, Automatic Cotrol IEEE Trasactios o, Nov 00, Volum: 47, pp: [9] D. Shvitz, B. Pad, Lyapuov stability thory of osmooth systms, IEEE Trasactios o Automatic Cotrol, Sp 994, Volum 39, pp: [0] A. Alzat, E. Giraldo Suarz, Aplicació d Cotrols Itligts sobr Sistmas o Lials y Aálisis d Estabilidad l Plao d Fas, Scitia t Tchica Año XII, No. 3, Dicimbr 006, pp [] Z.G. Li, Y. C. Soh, C.Y. W, Robust Stability of a Class of Hybrid Noliar Systm, IEEE Tras o Automatic Cotrol, Vol., 46, No. 6, Ju 00, pp [] J. Zhu, Y.P. Tia, Stabilizig Priodic Solutio of Noliar Systms ad Applicatios i Chaos Cotrol, IEEE Tras o Circuits ad Systms II, Vol., 5, No., Dc 005, pp Jua Azurz Marí, Nació l stado d Publa 968, rcibió l título d: Igiro Elctricista por la Facultad d Igiría Eléctrica d la Uivrsidad Michoacaa d Sa Nicolás d Hidalgo 99; Mastro Cicias Igiría Elctróica opció istrumtació por la Divisió d Estudios Supriors dl Istituto Tcológico d Chihuahua 997 y Dr. Cicias Igiría Eléctrica opció Cotrol Automático por l Ctro d Ivstigació y d Estudios Avazados dl IPN, CINVESTAV, Uidad Guadalajara 007. Es profsor d la Facultad d Igiría Eléctrica d la Uivrsidad Michoacaa dsd 987 actualmt colabora los programas Licciatura y Posgrado d la misma Facultad. Sus áras d itrés so Istrumtació y Cotrol d Sistmas así como l dsarrollo d algoritmos para l diagóstico d fallas sistmas o lials y Ergy Harvstig. ISSN

7 RIEE&C, REVISTA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA, ELECTRÓNICA Y COMPUTACIÓN, Vol. 5 No., DICIEMBRE 008 Graph y Robótica. José Aaró Padilla García. Nació Cd. Lázaro Cárdas Michoacá 978. Ralizó sus studios d Licciatura l Tcológico d Lázaro Cárdas, obtuvo l Título d Igiro Elctróico l 003, actualmt s cutra ralizado studios d mastría la divisió d Estudios d Posgrado d la Facultad d Igiría Eléctrica d la Uivrsidad Michoacaa d Sa Nicolás d Hidalgo. Sus áras d itrés so Istrumtació y cotrol, Modlado Bod Nuroals y Robótica. Omar Cuvas Silva. Nació Cd. Lázaro Cárdas Michoacá 98. Ralizo sus studios l d Licciatura l Tcológico d Lázaro Cárdas, obtuvo l Título d Igiro Elctróico l 005, actualmt s cutra ralizado studios d mastría la divisió d Estudios d Posgrado d la Facultad d Igiría Eléctrica d la Uivrsidad Michoacaa d Sa Nicolas d Hidalgo. Sus áras d itrés so Sistmas Digitals, Programació Visual, Rds ISSN