8º CONGRESO IBEROAMERICANO DE INGENIERIA MECANICA Cusco, 23 al 25 de Octubre de 2007

Transcripción

1 8º CNGRES BERAMERCAN DE NGENERA MECANCA Cusco, 23 al 25 d ctubr d 2007 PTMZACÓN ESTRUCTURAL CN MALLAS FJAS Y ANALSS DE SENBLDAD Maul García*, Pirr Boulagrº, Aljadro Rstrpo* *Dpartamto d giría Mcáica Uivrsidad EAFT, Cr 49 No 7 sur 50, Mdllí, Colombia, ºDpartmt of Computig Scic. 221 Athabasca Hall Uivrsity of Albrta, Edmoto,Albrta, T6G 2E8, Caada *-mail: mgarcia@afit.du.co RESUMEN Est artículo prsta u uvo método d optimizació basado aproximació por mallas fijas y ptimizació Estructural Evolutiva (ES). E ES, u valor d umbral d sfurzo s calculado y los lmtos qu s cutra por dbajo d st so rmovidos. Dsafortuadamt s produc patros d tablro d ajdrz y frotras dtadas. E l método d mallas fijas la rprstació d frotras (B-Rp) s mati como ua aproximació lial a trozos. El método soes utiliza l método d mallas fijas y l matrial s rmovido cortado l matrial sobr la isosuprfici dl valor d umbral. Como la suprfici rsultat s suav, sta o coti frotras dtadas o patros d tablro d ajdrz, vitado la coctració d sfurzos. El algoritmo rsultat covrg u úmro rducido d itracios cuado s compara co ES. A difrcia d la prvia implmtació dl algoritmo soes, la prst aproximació computa ua fució implícita basada aálisis d ssitividad. La B-Rp s asociada co sta fució implícita y l valor d umbral. La suprfici fial s obti movido la frotra a la posició d la isocurva dl valor d umbral d la fució d ssibilidad. Rsultados prlimiars mustra las vtajas timpo y calidad d suprfici rsultat dl prst método. PALABRAS CLAVE: ptimizació structural, ES, Elmtos Fiitos, Mallas Fijas

2 NTRDUCCN. A difrcia dl método tradicioal d lmtos fiitos (FEM), l método d mallas fijas o usa ua malla qu sigu la forma prfcta dl objto como domiio d trabajo. A difrcia d sto l método d mallas fijas usa ua rticula d lmtos cuadrados (o cubicos 3D) qu s suprimpusta l modlo origial dscrito por su frotra (Brp). Los lmtos d la malla fija so lugo clasificados d acurdo a si s cutra l itrior xtrior o la frotra dl objto. Dpdido d sta clasificacio a los lmtos s ls asiga propidads dl matrial, para los lmtos itriors, propidads d u mdio o itractivo a los lmtos dl xtrior y propidads mixtas a los lmtos la frotra. Esta procdimito trasforma l problma origial u problma co multipls matrials. Dpdido dl modlo matmático usado para aproximar los lmtos la frotra, difrts grados d aproximació pud obtrs la solució d sfurzos. Siguido st modlo, los cambios gométricos so fácilmt icorporados cambiado las propidads d los lmtos y por tato l timpo d raálisis s rduc drásticamt Estudios ralizados domiios bi-dimsioals mostraro la ficicia dl método co u ivl prmisibl d rror. [1,2 3,4,5]. S cotro qu l rror dl campo d sfurzos icrmta rgios dod alrddor d los putos d coctracio d sfurzos a valors d hasta aproximadamt l 10 % cuado s usa mallas d tamaño razoabl. Si mbargo s cotro qu l promdio dl rror toma valors d aproximadamt l 5% o mos y l rror dl campo d dsplazamitos s d aproximadamt l 1 %. Las aplicacios dl método s cutra las tapas iicials dl disño cocptual, l disño itractivo y la optimizació structural dod rápidas stimacios dl campo d dformacios y sfurzo so mas importats qu tdiosos y prologados aálisis d alta prcisió.[6,7] El cocpto clásico d optimizacio structural volutiva fu dsarrollado iicialmt por Xi y Grat 1993 [8]. La ida fudamtal s qu u objto volucioa hacia ua structura compltamt sforzada a través d rmovr muy ltamt matrial qu o prsta ivls d sfurzos altos. Difrts variats icluy l trabajo d Kim y otros [9] l cual s utiliza ua malla fija para aproximar l domiio. Garcia y otros [10] usa curvas d isosfurzo para rmovr l matrial. Los cocptos d aalsis d ssibilidad utilizados l prst trabajo furo itroducidos por Quig y otros [11] para l método d optimizació structural volutiva. El método prstado l prst articulo pud cosidrars si como ua volució d los métodos mcioados atriormt. ANALSS DE SENBLDAD E optimizació structural volutiva ua structura s optimizada a través d rmovr o adicioar lmtos. Estos so tratados como las variabls d disño tradicioalmt ES. Por sta razó la ssibilidad s pud calcular por lmto. Es dcir la ssibilidad d la structura a la auscia o prscia d u lmto lla. Numro d ssibilidad d Dsplazamito E l aalisis por Elmtos Fiitos (FEA) l comportamito stático d ua structura sta rprstado por la cuacio d quilibrio: Ku=p (1) E dod K s la matriz d riguidz global dl sistma, p s l vctor d cargas y u s l vctor d dsplazamitos. D la Eq. (1), s facil cotrar qu la adicio o rmocio d u lmto rsulta ua variacio l dsplazamito u, qu sta dado por Δu= K 1 ΔK i u (2) dod ΔK i dota la variació la matriz d rigidz global dbido a la rmoció o adició dl i-simo lmto. Para cotrar l cambio la j-sima compot dl dsplazamito uj, s itroduc u carga virtual uitaria fj corrspodit a uj. Multiplicado la Eq. (2) por fj, obtmos: Δu j =f j T Δu= f j T K 1 ΔK i u= u j T ΔK i u (3)

3 dod uj rprsta la solucio a la Eq. (1) bajo la carga virtual uitaria fj (s dcir K u j = f j). El calculo d matricial d la Eq. (3) pud hacrs a ivl d los lmtos. Asi l valor d α ij =±u ij T K i u i (4) S dfi como l umro d Ssibilidad dl dsplazamito qu s usado para stima l cambio l dsplazamito d; j-simo grado d librtad dbido a la adició (+) o rmoció (-) dl lmto, Ki s la matriz d rigidz dl lmto i, u i y u ii so los dsplazamitos dl lmto dbido a las cargas rals y virtuals rspctivamt. Numro d Ssibilidad d sfurzo E FEA l vctor d sfurzos d l k-simo lmto pud sr calculado a partir dl vctor u k d dsplazamito dl lmto d la siguit mara =D Bu k, (5) dod D y B rprsta las matrics lástica y d dformació rspctivamt. Combiado los úmros d ssibilidad d dsplazamito, l cambio l vctor d sfurzos dl k-simo lmto dbido al la adició o rmoció dl i-simo lmto pud sr cotrado como Δ= D B Δu k =D B { Δu 1, Δu 2,...,Δu j,...,δu } k T DBα, (6) dod α s domia l vctor d ssibilidad d dsplazamito dl lmto k, rprsta l umro d grados d librtad l lmto k. Usado la Eq. (6) l cambio dl sfurzo dl k-simo lmto pud sr calculado a partir d los cálculos d las variacios d todos los compots dl dsplazamito. Ua mdida scalar dl ivl d sfurzos sta dada por l sfurzo d vo Miss =σ vm =f σ xx,σ yy,σ xy =σ 2 xx +σ 2 yy σ xx σ yy 3σ 2 xy. (7) Si prdida d gralidad, la variació la fució d sfurzos dl lmto pud sr calculada como = f T = f T. D B α=γ α, (8) dod f = T { f / xx, f / yy, f / xy } k = f T D B={ 1, 2,..., j,..., } T k. Substituydo Eq. (4) (8) da rprsta l vctor gradit d la fució d sfurzos y =± u T ij K i u i =± u T ij. K i.u i (9) j=1 Rcordado qu u ij T j=1.. is la solució dl j-simo sistma virtual d K u ij = f j. Multiplicado por j sta cuació y sumado todas las cuacios d dsplazamito virtual, tmos dod u ik = j 1 K j 1 j=1 j u ij = j f j o K u ik = f, (10) j 1 j u ij rprsta u vctor d dsplazamitos virtuals y f = j f j dota ua carga j 1 virtual. E otras palabras, Eq (10) itroduc u uvo sistma virtual dod compots difrts d cro dl

4 vctor d cargas f corrspod co los coficits j. Asi qu la solució sistma virtual (10) dtrmia u ik provista por l uvo,i = =±u T ik. K i.u i (11) como l umro d ssibilidad d sfurzo dl lmto i, l cual s usado para idicar l cambio dl sfurzo dl lmto k dbido a la auscia o prscia dl lmto i. Nots qu Eq. (11) para aálisis d ssibilidad d sfurzo s similar a la Eq. (4) para aálisis d ssibilidad d dsplazamito.. D hcho, los dos úmros d ssibilidad so calculados xactamt la misma forma, co solamt difrcia la su rspctiva vctors d carga virtual. EL METD DE MALLAS FJAS Sa FG la mas pquña caja qu cirra compltamt l domiio y s orita a lo largo dl sistma d coordadas stadar, s dcir x mi ( y ) x max ( y ), FG y i i y i tocs FG s domia l domiio d mallas fijas. U puto x FG s cosidta adtro si x.. U puto x FG s cosidra afura si x. Para prsrvar las caractrísticas dl problma origial, las propidads dl matrial d afura so las quivalts a las d u mdio o itractivo. El objto s mbbido ua caja d matrial o itractivo. Nots qu sta dfiició trasforma l problma lástico u problma d dos matrials. Fig. 1 mustra u jmplo d u domiio bi-dimsioal. Para obtr la malla fija, l domiio d mallas fijas FG, s subdividido u cojuto d lmtos cuadrados d dimsió h. U lmto s cada ua d las cldas d dimsió hh, las cuals FG s subdivid. Los lmtos m, m 0,..., 1 s umra ord ascdt dsd l lmto la squia ifrior izquirda. D acurdo a la posició d los lmtos co rspcto a la structura pud sr catalogados como sid (), utsid (), o Nithr sidr or utsid (N). Fig. 1 mustra u jmplo d ua structura modlada co ua Malla Fija. Nots qu los lmtos N stá costituidos por dos tipos difrts d matrial y por tato sus propidads o so costats. Figura 1: Aproximació d Mallas fijas d la gomtría d ua structura. Para matrials lásticos lials la matriz d rigidz para u lmto la malla fija sta dada por la siguit cuació: K C ( Na j ) ( Nbi ) d (12)

5 dod C s la matriz costitutiva, ε s l tsor d sfurzos, N a y N b so las fucios d forma y vctors uitarios. La matriz costitutiva para matrial isotrópico sta dada por 0 i y j so C 2 0 (13) dod y so las costats d Lamé y sta rlacioados co l modulo d Youg E y l radio d Poisso, d la siguit forma E E, (1 2 )(1 ) 2(1 ) (14) * * Si y s dfi como * * 1, (1 2 )(1 ) 2(1 ) (15) tocs la matriz costitutiva s pud rscribir como * C EC (16) dod, * * * * * * * C 2 0 (17) * * Si u lmto sta compusto por u solo matrial como l caso d lmtos y, tocs l modulo d Youg pud sr sacado fura d la itgral. Thus th stiffss matrix ca b calculatd as dod l trmio 0 K E K º, (18) K µ C * ( N a j ) ( Nbi ) (19) s domia la matriz d rigidz sttadar y dpd solo d la gomtría dl lmto qu st caso s costat para todos los lmtos y la Malla Fija. U lmto N sta parcialmt dtro d la structura y sus propidads o so costats sobr l lmto. Asi la matriz d rigidz pud sr computada térmios dl modulo d Youg dl matrial dl itrior ( E ) y dl xtrior ( E ) d la structura como, K E C ( N ) ( N ) d E C ( N ) ( N ) d (20) * * N a j b i a j b i

6 dod admas y rprsta la part dl lmto adtro d la structura y por fura d lla rspctivamt, U. Aproximació Discrta A0 Esta s la forma mas simpl d calcular (20) y cosist aproximar los lmtos Ns como o dpdido d la catidad d matrial adtro d la structura. Dbido a qu las propidads dl matrial solo toma valors discrtos (propidads o ) sta aproximació s domia aproximació discrta. K E N N E N E E Kµ with if V V 1 2 if V V 1 2 (21) dod V volum( ), y V volum( ).. Exprimtos uméricos l caso d dos dimsios ha mostrado qu las aproximacios A0 prsta u gra rror los campos d sfurzos. Para rducir l rror s csario s csario dismiuir l tamaño d los lmtos d la malla. Como coscucia dl rfiamito d la malla l costo computacioal s icrmta a putos imajabls. Aproximacio por promdios podrados - A1 Esta s u procdimito mas prciso pro s au aproximado cuado s compara co mallas qu sigu compltamt la gomtría dl objto. Aproximacios A1 trasforma l lmto costituido d dos matrials por u matrial homogo isotropico qu mjor simula las caractrísticas discotiuas dl lmto. Si s toma ua promdio podrada d los valors dl modulo d Youg dl itrior y l xtrior, tocs (20) pud sr aproximado como K N E N Kµ with E E (1 ) E, N (22) dod s la fracció d volum dl lmto qu sta dtro d la structura V / V. D mara similar a la aproximació A0, la matriz d rigidz para l lmto N pud calculars térmios dl la matriz d rigidz d u lmto stadar K µ. Fialmt, A0 y A1 aproxima los lmtos N como lmtos homogéos aplicado (21) o (22). Si mbargo la aproximació A1 ti ua prcisió suprior si icrmtar sigificativamt los timpos d computo. Adicioalmt aproximació A1 prmit la limiació parcial d matrial Lo qu lo hac sigificativamt suprior la aplicació dl ptimizació Estructural Evolutiva (ES). PTMZACÓN ESTRUCTURAL EVLUTVA E ES clásico, los lmtos qu stá bajamt sforzados so cosidrados lmtos co bajo aport al soport structural dl objto y por tato so cadidatos para sr rmovidos. El prst acrcamito al problma difir dos aspctos fudamtals co l problma clásico. E primr lugar s utiliza úmros d ssibilidad lugar d valors dl sfurzo como critrio d rmoció o adició d matrial. E sgudo lugar l matrial s rmovido d mara cotiua usado aproximació A1 lugar d aproximació A0. El critrio d volució para adició o rmoció d matrial s dtrmia por comparació dl umro d ssibilidad dl sfurzo co su valor mas alto cotrado la structura y qu satisfaga i RR ss max. Dod RR ss s domia l Tasa d Rchazo (dl igls rjctio rat) para l stado stabl ss (dl igls stady stat). Aproximació A0 rmuv compltamt l lmto basado st critrio. Si mbargo sto da lugar a suprficis co caractrísticas irrgulars. Para corrgir st factor la rmoció d matrial s hac a partir d

7 calcular las curvas d iso-suprfici dl umro d ssibilidad calculado para toda la structura. Est procso d rmoció d matrial s rptido usado l mismo RR hasta qu s llga al stado stabl. El stado stabl s l stado l cual o s rmuv más matrial co l prst RR. E st puto s csario icrmtar l RR para cotiuar co la rmoció d matrial. Difrts critrios xist para icrmtar st valor, sido l más coocido l uso d u coficit d tasa d volució ER (dl igls Evolutio Rat) RR ss1 =RR ss ER. ER varia tr valors d cro a uo. La dtrmiació d st valor s hac a través d prubas computacioals. Algoritmo. El algoritmo d optimizació costa d los siguits pasos 1. Dfiició dl domiio iicial 2. Dtrmiació dl domiio d la malla fija FG 3. Ralizar u Aálisis d Elmtos Fiitos (FEA) dl sistma para dtrmiar l máximo sfurzo y las cargas virtuals f dado por Eq, (10). 4. Ralizar otro FEA para los sistmas virtuals 5. Dtrmiar los úmros d ssibilidad dtrmiados por la Eq. (11) 6. Calcular las curvas d iso-sfurzo dl úmro d ssibilidad t =RR ss max 7. Rmovr l matrial a través d las curvas d iso-sfurzo t 8. Si s ha alcazado l stado stacioario, icrmtar la tasa d rchazo SS. d acurdo a RR ss1 =RR ss ER. y volvr al paso atrior. D otra forma volvr al paso 3 a 7 hasta qu s haya cotrado l míimo máximo sfurzo. Ejmplo La historia volutiva d la optimizació d ua viga d Michll s mustra la Fig. 2. La Fig 2.q mustra la gomtría iicial y las cargas aplicadas. La part c, d y mustra la volució d la structura difrts stados. Los rsultados prlimiars d sta ivstigació mustra qu l prst algoritmo llga a ivls similars d rducció d matrial (40%) solamt 84 itracios. E cotrast ES clásico csita 838 itracios. El timpo d rducció total fu dl 80 al 98 % cuado s compara co difrts variats dl método ES. Figura 2: Evolució d d la structura d Michll utilizado úmros d ssibilidad d sfurzos y rmoció d matrial a través d curvas d iso-ssibilidad. CNCLUSNES Cuado s utiliza ES clásico los lmtos so rmovidos utilizado u critrio discrto r rmoció por lmto.

8 El rsultado s ua suprfici irrgular qu itroduc coctracios locals d sfurzo. La rmoció d matrial utilizada aquí sigu trayctorias suavs vitado las coctracios locals d sfurzo. Dbido a sto los dos métodos sigu difrts trayctorias d volució. Los rsultados prlimiars mustra covrgcias mucho mas rápidas dl método utilizado l prst studio. Tampoco s obsrva formació d patros d tablro d ajdrz. NMENCLATURA K u α ij i FG RR ss ER K Matriz d rigidz d u lmto vctor dsplazamitos Númro d ssibilidad d dsplazamito Númro d ssibilidad d sfurzo Domiio d Mallas Fijas Tasa d rchazo para l stado stacioario ss Tasa d volució Matriz d rigidz stadar REFERENCAS 1. M. García Fixd Grid Fiit Elmt Aalysis i Structural Dsig ad ptimizatio. PhD thsis Uivrsity of Sydy. 2. Garcia M.J. ad Stv G.P. Displacmt Error for Fixd grid FEA lasticity problms. cogrso Colombiao lmtos fiitos y modlació matmática. Mdlli d ctubr d Maul García ad Grat P. Stv. Fixd Grid Fiit Elmts i Elasticity Problms. Egirig Computatios. Volum 16 Numbr 2, pp Maul García ad Grat Stv. Fixd grid fiit lmts ad global/local aalysis. V world cogrss o computatioal mchaics, Buos Airs, Juio H. Kim, M. J. García,. M. Quri, G. P. Stv ad Y. M Xi Fixd Grid Fiit Elmt Aalysis i Evolutioary Structural ptimisatio World Cogrss o Structural ad Multidiscipliary ptimisatio, Nw York, Mayo Maul García ad Grat Stv. ptimsatio of structurs by usig Fixd Grid rprstatio of th fiit lmt domai. Australasia Cofrc i structural optimisatio, Sydy Fbrro d Maul García ad Grat Stv. tractiv Arospac dsig usig Fixd Grid Fiit Elmt Aalysis. tratioal Arospac Cogrss, Sydy, Fbrro Xi, Y. M. ad Stv, G. P. (1993), A simpl volutioary procdur for structural optimizatio, Computrs ad Structurs, vol. 49, o. 5, pp Kim, H., García, M. J., Quri,. M., Stv, G. P. ad Xi, Y. M. (2000), Fixd grid fiit lmt aalysis i volutioary structural optimisatio. Egirig Computatios, vol. 17, o. 4, pp García, M., Ruiz,. ad Stv, G. (2001), Egirig dsig usig volutioary structural optimisatio basd o iso-strss-driv smooth gomtry rmoval, i NAFEMS World Cogrss 2001, pp Quig Li, Grat P Stv, svaldo M Quri y Y.M. Xi, Evolutioary Shap ptimizatio for Strss Aalysis, Mchaics Rsarch Commuicatios, Vol 6 No. 6 pp , 1999.