2. MODELIZACIÓN DE LA VARIABLE DE PERTURBACIÓN ALEATORIA

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1 Aálisis d Auocorrlació ANÁLISIS DE AUTOCORRELACIÓN. DEFINICIÓN Y CAUSAS DE AUTOCORRELACIÓN E s ma s cusioar, para los modlos qu rabaja co daos d sris d impo, ua d las hipósis qu dfi l Modlo d Rgrsió Lial Normal Clásico (MRLNC). E cocro s aaliza la hipósis qu sablc qu l vcor d prurbacios sigu ua disribució sgú u vcor ormal sférico. E ( u ) E ( u ) σ γ E ( u u +S ) s La hipósis d covariazas ulas s muy irsa dsd l puo d visa d las propidads dsabls para los simadors míimo cuadráicos ordiarios, pro co frcucia sa hipósis s difícil d acpar la prácica, spcial cuado las obsrvacios s sucd l impo. Es problma lo rfljó Malivaud (964) sñalado qu: xis a mudo ua corrlació posiiva r los érmios d prurbació sparados s priodos dbido al hcho d qu los facors o idificados dl fómo acúa co ua cira coiuidad y afca frcum d aáloga mara dos valors sucsivos d la variabl dóga. Er los facors o idificados sñalados por Malivaud podría corars u rror la spcificació d la forma fucioal dl modlo y la omisió d variabls rlvas qu pud dar lugar a u comporamio sismáico d los rsiduos qu podría irprars como auocorrlació cuado ralidad s corrig al spcificar corrcam l modlo. E los casos d icumplimio d la hipósis d o auocorrlació s csario formular l modlo d rgrsió d u modo más gral prscidido d sa hipósis; s modlo rcib l ombr d modlo d rgrsió lial gralizado y su simació s ralizará aplicado méodos disios al d míimos cuadrados ordiarios.

2 Aálisis d Auocorrlació. MODELIZACIÓN DE LA VARIABLE DE PERTURBACIÓN ALEATORIA Mamáicam s supuso d auocorrlació s xprsa a parir d la hipósis qu hac rfrcia a la covariaza d la prurbació qu, como s ha sñalado s o ula. ( ) s, ±, ±, E u u +S s sá cosidrado qu l érmio d prurbació d ua obsrvació sá rlacioado co l érmio d prurbació d oras obsrvacios y por lo ao la covariaza r llos s disia d cro y s dfi como, E ( ) γ s, ±, ±, u u + S S Eso s las covariazas o auocovariazas so siméricas l rardo s idpdis dl impo. A parir d sas auocovariazas s pud dfiir los coficis d auocorrlació; así, l cofici d auocorrlació dl rardo s s, ρ S Cov( u, u Var( u ) Var( u + S ) + S ) Bajo l supuso d homocdasicidad variazas d la prurbació cosas l impo l cofici d auocorrlació s pud xprsar como: ρ S γ γ S s, ±, ±, El modlo qu ahora s sudia s por ao u Modlo d Rgrsió Lial Gralizado co auocorrlació y vrifica odas las hipósis dl modlo d rgrsió lial ormal clásico xcpo la qu hac rfrcia a la ulidad d las covariazas d la prurbació. Es uvo modlo, l qu s supo qu o hay problmas d hrocdasicidad, quda spcificado como, Y Xβ + u dod u N (, σ Ω) Dado qu s admi la xiscia d auocorrlació pro o d hrocdasicidad la mariz d variazas y covariazas d la prurbació - σ Ω - prsa los lmos d la diagoal pricipal cosas. Es dcir, la mariz d variazas y covariazas d la prurbació s d la forma, Malivaud, E. (964) Méhods Saisiqus d l Ecooméri, p. 83, Duod, Paris. Cuado s, s obi la variaza qu s dfi como, γ E ( u ) σ

3 Aálisis d Auocorrlació σ γ γ γ σ γ E( uu') σ γ γ σ Ω σ ρ ρ ρ ρ ρ ρ dod Ω s ua mariz simérica qu rprsa la mariz d corrlacios d las prurbacios dl modlo. Así, u modlo d rgrsió homocdásico si xis auocorrlació auma d modo cosidrabl l úmro d parámros a simar; a los k parámros β hay qu añadir ahora la simació d la variaza d la prurbació σ, y las - covariazas; Eso s, para u modlo co obsrvacios hay qu simar k+ parámros, lo qu obliga a supor algua srucura d auocorrlació para l érmio d prurbació, d modo qu rsul más scilla la simació d sos uvos parámros. Para podr simar s modlo, obido simadors co buas propidads, s aplica míimos cuadrados gralizados o la rasformació d Aik por lo qu s csario simar sas corrlacios r los érmios d prurbació. La forma cocra d sas corrlacios dpdrá dl procso grador d las prurbacios; auqu para su simació, y puso qu las prurbacios o s obsrva s uilizará los rsiduos míimo cuadráico ordiarios (MCO). 3

4 Aálisis d Auocorrlació 3. FORMAS DE AUTOCORRELACIÓN. ESQUEMAS AUTORREGRESIVOS Y DE MEDIAS MÓVILES El procdimio prácico cosis simar sas corrlacios dscoocidas supoido algua srucura d las prurbacios. Las srucuras más scillas, y qu por oro lado spcifica bi l comporamio d la prurbació, so las qu s prsa a coiuació como procsos auorrgrsivos (AR), procsos d mdias móvils (MA) o procsos mixos (ARMA). Procsos auorrgrsivos Los procsos o filros auorrgrsivos sá disñados d modo qu l comporamio d ua variabl u isa d impo dpd d valors pasados d la propia variabl. Así, si l valor d la variabl u l momo dpd d su valor l priodo arior más u érmio alaorio s dic qu l procso s auorrgrsivo d primr ord (AR()). Si la rlació d dpdcia s sablc co los p valors ariors l procso srá auorrgrsivo d ord p. Mamáicam sos procsos s xprsa dl sigui modo, AR() u u + ε AR() AR(p) u u u + u + ε u + u + + pu p + ε Dod ε s u procso d ruido blaco y por ao co spraza ula, variaza cosa y covariaza ula. Procsos d mdias móvils Los procsos d mdias móvils, por su par, s srucura sablcido ua rlació d dpdcia r la variabl qu s modliza y u cojuo d rardos d la variabl d ruido blaco ε. Si sólo xis u rardo d la variabl d ruido blaco l procso srá d ord, miras qu si xis ua combiació lial d q érmios d rror d ruido blaco l procso s domia MA(q). MA() u ε + θ ε MA() u + + ε θ ε θ ε MA(q) u ε + θ ε θ ε + θ ε + + q q 4

5 Aálisis d Auocorrlació Procsos mixos Si l comporamio d ua variabl s modliza combiado procsos auorrgrsivos y d mdias móvils s domia ARMA. Así u modlo ARMA(p,q) s caracriza por ua sucsió d p érmios auorrgrsivos y q érmios d mdias móvils; so s, u θ ε u + u + + p u p + ε + θ ε + θ ε + + q q El objivo qu s plaa srá ocs coocr qué squma sigu la prurbació y cuál s la mjor srucura para su modlizació. 5

6 Aálisis d Auocorrlació 4. DETECCIÓN DE LA AUTOCORRELACIÓN Para dcar la prscia d auocorrlació s pud uilizar méodos gráficos y corass d hipósis. A ravés d los corass gráficos s iuirá si xis auocorrlació cuado xisa comporamios sismáicos para los rsiduos. Los corass d hipósis, por su par, prmi, a ravés d ua rgla d dcisió, cosidrar si co los daos d la musra y co u ivl d sigificació (α) cocro s db o o rchazar la hipósis ula. Todos los corass uméricos d auocorrlació s plaa co idéicas hipósis; así, podmos sñalar qu la forma gral dl coras s: H : H : No xis auocorrlació Exis auocorrlació Eso s, la hipósis ula s cosidra qu l érmio d prurbació corrspodi a ua obsrvació s idpdi dl corrspodi a cualquir ora obsrvació. E la hipósis alraiva s sñala qu l érmio d rror d u modlo coomérico sá auocorrlacioado a ravés dl impo. Esa hipósis alraiva, al cosidrar la xiscia d u paró d comporamio para los rsiduos, s pud spcificar co procsos auorrgrsivos AR(p), d mdias móvils MA(q) o mixos ARMA(p,q) dpdido dl coras qu s vaya a uilizar. S prsa a coiuació disios corass qu prmi dcar si las prurbacios sá o o auocorrlacioadas y, caso d sarlo, bajo qué squma. 6

7 Aálisis d Auocorrlació 4.. Coras d d Durbi-Waso (95) El coras dsarrollado por Durbi y Waso 3 s la pruba más frcum mplada para dcar la prscia d auocorrlació los modlos d rgrsió. Es coras prmi vrificar la hipósis d o auocorrlació fr a la alraiva d auocorrlació d primr ord bajo u squma auorrgrsivo AR(): u ρ + ε u Aalíicam l coras s spcifica dl sigui modo: Formulació d las hipósis: H : ρ H : < ρ < No xis auocorrlació Exis auocorrl ació AR() AR() La forma cocra d la hipósis alraiva sablc uas coas para l cofici d corrlació; ésas so csarias para garaizar alguas caracrísicas dl modlo, cocro qu la variaza s fiia y s raa por ao d u procso o xplosivo. Esadísico d pruba: d ( ) A parir d s sadísico s pud irprar qu, Si hay auocorrlació posiiva las difrcias r rsiduos qu disa u priodo s muy pquña por lo qu l valor dl sadísico d srá próximo a cro. Si hay auocorrlació gaiva los rsiduos srá prácicam iguals pro d sigo corario, su difrcia srá por ao grad y l sadísico srá más próximo al lími suprior qu, como s vrá, s sablc cuaro. Si o hay auocorrlació, la rlació r los rsiduos srá irmdia y por ao, l valor dl sadísico xprimal ambié alcazará u valor irmdio. Para sablcr los límis d variació dl sadísico d la fórmula arior s pud dsarrollar obiédos ua xprsió fució dl cofici d auocorrlació musral d primr ord para los rsiduos ρˆ, 7

8 Aálisis d Auocorrlació 8 ( ) ( ) + + d dado qu, cuado l amaño d la musra s grad, s pud cosidrar qu ocs l sadísico d s pud xprsar como, + d y dado qu l cofici d corrlació mpírico d primr ord s calcula, ˆρ ocs l sadísico xprimal s pud xprsar ) ˆ ( ρ d Tido cua los límis d variació dl cofici d corrlació mpírico, ˆ ρ, s pud dducir l rago d variació dl sadísico d Durbi-Waso y l sigo d la auocorrlació, 4 d ˆ ρ s cosidra qu xis auocorrlació gaiva d ˆ ρ idica auscia d auocorrlació d ˆ ρ s pud admiir qu xis auocorrlació posiiva Así, s aprcia qu l sadísico xprimal omará valors r y 4 d al modo qu cuáo más próximo a cro (a cuaro) sa l valor dl sadísico d mayor s la vidcia d auocorrlació posiiva (gaiva). Si l valor dl sadísico xprimal d s dos, ocs la corrlació musral srá ula y por ao o s dcará u problma d auocorrlació r las prurbacios. 3 J. Durbi y G.S. Waso Tsig for Srial Corrlaio i Las-Squars Rgrssio Biomrika, Vol. 38, 95, pp

9 Aálisis d Auocorrlació No obsa, sos valors (, y 4) so límis xrmos qu db maizars sablcido rgios más amplias las qu puda cosidrars si xis o o auocorrlació y, caso d dcars, si ésa s posiiva o gaiva. E s sido s csario prcisar qu la disribució órica d s sadísico o s scilla y dpd d los valors cocros d la mariz d rgrsors; por ao, o xis u valor críico úico qu prmia sablcr ua rgla d dcisió. Para solucioar sa dificulad Durbi y Waso hallaro uos límis suprior (d u ) ifrior (d L ) qu prmi omar dcisios acrca d la prscia o auscia d auocorrlació. Esos valors sñala l lími suprior (d u ) para cosidrar auocorrlació posiiva so s, para valors dl sadísico xprimal supriors a s lími o s rchaza la hipósis d auscia d auocorrlació y l lími ifrior (d L ) para o rchazar la hipósis ula y supor qu las covariazas d las prurbacios dl modlo so ulas y, por ao, o sá auocorrlacioadas. Si l valor dl sadísico d s suprior a dos s pud corasar la hipósis ula d o auocorrlació fr a la alraiva d auocorrlació gaiva. El aálisis s similar pro cosidrado l valor máximo d 4 como lími para la auocorrlació gaiva por ao los límis ariors s sablc los puos 4-d u y 4-d L. Gráficam s pud sñalar las rgios dl coras l sigui sgmo: Auocorrlació Zoa d Rgió d o rchazo: Zoa d Auocorrlació Posiiva Idcisió No auocorrlació Idcisió gaiva d L d u 4 - d u 4 d L 4 Eso s, < d < d L s rchaza H, xis ocs auocorrlació posiiva co u squma AR() 4- d L < d < 4 s rchaza H, xis auocorrlació gaiva co u squma AR() d u < d < 4-d u o s rchaza H, o xis auocorrlació d L < d < d u l coras o s cocluy 4-d u < d < 4-d L l coras o s cocluy 9

10 Aálisis d Auocorrlació Esos límis dpd dl amaño d la musra () y dl úmro d rgrsors dl modlo (k). Las ablas origials sirv para musras r 5 y obsrvacios y u máximo d 5 rgrsors. Años más ard, Savi y Whi 4 (977) publicaro uas ablas más complas qu icluy amaños d musra supriors 5 < < y hasa rgrsors. El raamio mpírico d s coras rquir d las siguis fass: ) Esimació por míimos cuadrados ordiarios (MCO) dl modlo d rgrsió ) Cálculo d los rsiduos MCO 3) Obció dl sadísico d (xprimal) d Durbi-Waso 4) Búsquda d los ivls críicos dl coras 5) Aplicació d la rgla d dcisió U icovi qu prsa s coras s qu a vcs pud o sr cocluy, por lo qu hay qu cosidrar, uilizado oros cririos, si xis o o auocorrlació. E s sido ua solució clásica cosis ampliar 5 las rgios d rchazo cosidrado así qu xis auocorrlació posiiva para valors d d ifriors a d u y auocorrlació gaiva si los valors dl sadísico xprimal so supriors a 4-d u. Es sadísico d uso frcu, y ambié gralm implmado los programas y aplicacios iformáicas d Ecoomría, s basa u cojuo d supusos acrca d los cuals s csario rflxioar. ) E primr lugar hay qu sñalar qu l disño origial dl coras s basó l aálisis d u modlo d rgrsió qu icluía érmio idpdi. No obsa, s rquisio xigibl al modlo fu posriorm rsulo. E 98, Farbrohr 6 calculó los valors críicos dl coras para los modlos los qu o xis érmio idpdi. 4 N.E. Savi y K.J. Whi, Th Durbi-Waso Ts for Srial Corrlaio wih Exrm Sampl Sizs of May Rgrssors, Ecoomrica Vol., 45, 977, pp U procdimio prácico d ipo cosrvador cosis omar la dcisió d rchazar la hipósis ula para valors dl sadísico xprimal ifriors al lími d u. E s sido s ha comprobado qu las coscucias d cosidrar auocorrlació cuado o xis so mos gravs qu las dl supuso corario; sos rsulados s cura dallados H. Thil, A.L. Nagar Tsig h Idpdc of Rgrssio Disurbars, Joural of h Amrica Saisical Associaio, Ecoomrica Vol. 56, 96, pp y E.J. Haa y R.D. Trrl Tsig for Srial Corrlaio afr Las Squars Rgrssio, Ecoomrica, Vol. 36, 966, pp

11 Aálisis d Auocorrlació ) Juo co la csidad d érmio idpdi l modlo, s ambié u rquisio qu la mariz d variabls xplicaivas sa o alaoria, so s drmiisa y fija u musro rpido. Por ao, s coras o s válido modlos diámicos qu cosidr como rgrsor rardos d la variabl dpdi. 3) La hipósis alraiva cosidra qu, si las prurbacios sá auocorrlacioadas, l procso qu las gra s auorrgrsivo d ord ; so s, u u ε ρ +. Si mbargo, s ha comprobado qu s sadísico s robuso fr a oras spcificacios d la hipósis alraiva y, admás prmi dcar rrors d spcificació drivados d fala d spcificació diámica y/o d la omisió d variabls qu sé corrlacioadas. Ua pruba más dl gra irés qu dmosró s coras s l úmro d coómras qu raa d abular los ivls críicos para disios supusos los qu s basa l coras d Durbi-Waso. E s sido podmos ciar los siguis dsarrollos: ) Wallis (97) dsarrolló u sadísico similar para modlos d rgrsió co daos rimsrals los qu s raa d probar la auocorrlació d ord 4 ao modlos qu icluy úicam érmio idpdi como los modlos qu icluy variabls sacioals rimsrals para spcificar l ivl auóomo. ) Savi y Whi (977) ampliaro las ablas iicialm propusas por Durbi y Waso cosidrado musras d 6 a obsrvacios y hasa rgrsors. 3) Dig y Gils (978) amplía las ablas d Wallis cosidrado más ivls d sigificació. 4) Farbrohr (98) abuló los ivls críicos para l supuso d modlo d rgrsió si érmio idpdi. 5) Kig (98) proporcioa los ivls críicos al ivl d sigificació dl 5% para daos d sris d impo rimsrals y co variabls d dcia y/o variabls idicadoras d sacioalidad cosidrado auocorrlació d cuaro ord. 6) Kig (983) obi los valors d L y d u para daos msuals los qu s covi probar ua auocorrlació d duodécimo ord. 6 Farbrohr Th Durbi-Waso Ts for Srial Corrlaio wh hr is No Ircp i h Rgrssio Ecoomrica, Vol. 48, 98, pp

12 Aálisis d Auocorrlació 4.. Coras d 4 d Wallis 7 (97) Es coras prsa ua modificació dl sadísico d Durbi-Waso para los modlos qu uiliza daos rimsrals los qu, dado l carácr sacioal d sas sris, s spra qu la prurbació d ua obsrvació cocra o sé rlacioada co la prurbació dl priodo imdiaam arior sio qu dpda d la prurbació dl mismo rimsr pro dl año arior, s dcir, qu la srucura d auocorrlació sa u u 4 + ε El coras plaa la hipósis ula la auscia d auocorrlació, H : H : < < No xis auocorrlació Exis auocorrlació Para vrificar si sa srucura d auocorrlació s o o cira Wallis propo ua modificació dl sadísico d Durbi-Waso qu domia d 4 : d 5 4 ( ) 4 Es sadísico ambié fu abulado por Wallis bajo l supuso d modlo d rgrsió co u úico érmio idpdi y ambié para l caso d rgrsios qu icluya érmio idpdi y variabls ficicias sacioals 8 (rimsrals). Al igual qu l coras d Durbi-Waso, l sadísico d 4 s ha abulado supoido qu la mariz d rgrsors s o alaoria y supoido ambié qu l modlo i érmio idpdi. Admás d s coras, Kig 9 (983) dsarrolló ora modificació dl sadísico d Durbi-Waso. E s caso s obuviro los valors d los límis supriors (d u ) ifriors (d L ) d auocorrlació para dfiir las rgios d rchazo, idcisió y o rchazo cuado s rabaja co daos msuals. 7 K.F. Wallis Tsig for Fourh Ordr Auocorrlaio i Quarly Rgrssio Equaios Ecoorica, Vol. 4, 97, pp Para oros ivls d sigificació pud cosulars las ablas d D.E.A Gils y M.L. Kig Fourh-Ordr Auocorrlaio: Furhr Sigificac Pois for h Wallis Ts Joural of Ecoomrics, Vol. 8, 978, pp M.L. Kig Th Durbi Waso Ts for Srial Corrlaio: Bouds for Rgrssios wih Trd ad/or Sasoal Dummy Variabls, Ecoomrica, Vol. 49, 98, pp

13 Aálisis d Auocorrlació 4.3. Coras h d Durbi (97) El coras d Durbi-Waso, como ya s ha spcificado ariorm, impo como codició para su corrca irpració qu los modlos coga rgrsors xclusivam o alaorios; co lo cual o s pud aplicar modlos diámicos los qu s cosidr como rgrsor algú rardo d la variabl dpdi. Para corrgir sa dficicia, Durbi dsarrolló u sadísico qu sí pud aplicars sos modlos qu icluya rardos d la variabl dpdi. Para s caso s ha obido u s asióico para musras grads. La formulació d las hipósis ula coiúa sido la misma ya qu sigu sido u coras para la auocorrlació d ord uo bajo u squma auorrgrsivo AR(), u u ρ + ε H : ρ No xis auocorrlació AR() La hipósis alraiva, por su par, s spcifica ahora d modo qu l coras s cofigur como u cora uilaral; so s, s va a sablcr dos posibls hipósis alraivas sgú s cosidr qu la auocorrlació pud sr posiiva o gaiva. Así, l coras qudaría spcificado H : ρ H : ρ H : ρ H : ρ < > El sadísico d pruba s h ˆρ qu s disribuy asióicam sgú ua Var( ) b i disribució N (, ) lo qu, co u ivl d sigificació dl 5%, supo o rchazar la hipósis ula para los valors d h prcis al irvalo (-.645;.645) ya qu s rabaja co u coras d ua sola cola. Para l cálculo d s sadísico s csia coocr los siguis daos: ) Tamaño d la musra () ) Variaza musral simada dl cofici dl rgrsor alaorio (Y - ) la rgrsió MCO dl modlo a simar; s dcir, obida bajo l supuso d MRLNC [Var(bi)]. Es coras fu dsarrollado por Durbi a parir d..ua oa d Nrlov y Wallis qu afirmaba qu la sadísica d Durbi y Waso o s aplicabl prscia d variabls dpdis rzagadas. Véas M. Nrlov y K.F. Wallis, Us of Durbi-Waso Saisic i Iappropia Siuaios, Ecoomrica, Vol. 34, 966, pp (ciado Maddala, 996). J. Durbi Tsig for Srial Corrlaio i Las Squar Rgrssio wh som of h Rgrssors ar Laggd Dpd Variabls, Ecoomrica, Vol. 38, 97, pp

14 Aálisis d Auocorrlació 3) Cofici d corrlació simado ( ρˆ ) Es cofici d corrlació simado s pud calcular a parir d la simació d ua srucura auorrgrsiva d ord para los rsiduos ua rgrsió MCO d los rsiduos fr a u rardo d los mismos ( ρ + ε ); so s, ˆρ Ora posibilidad cosis calcular sa corrlació musral a parir dl valor dl sadísico d pruba dl coras d Durbi-Waso, ˆ ρ d El procdimio d corasació rquir d la ralizació d las siguis fass: ) Esimació MCO dl modlo d rgrsió y obció d la variaza simada dl cofici dl rgrsor alaorio, Var(bi) ) Cálculo dl cofici d corrlació simado 3) Cálculo dl valor dl sadísico xprimal h 4) Aplicació d la rgla d dcisió. Si h >,645 s rchaza la hipósis ula al ivl d sigificació dl 5% cosidrado ocs qu xis auocorrlació posiiva d primr ord. Para l caso d auocorrlació gaiva d primr ord, l valor dl sadísico xprimal h db sr ifrior a,645. El pricipal icovi qu i s coras s qu si l radicado s gaivo, so s [ Var(b i ) > ], ocs l s falla. Para sos casos Durbi propuso u procdimio asióico quival y qu cosis lo sigui: ) Esimar por MCO l modlo d rgrsió y obr la sri d rsiduos MCO ) Esimar ua rgrsió auxiliar la qu los rsiduos MCO s spcifiqu como fució d odos los rgrsors dl modlo y ambié s icluya como rgrsor adicioal u rardo d los rsiduos. 3) Aalizar, uilizado l sadísico habiual, la sigificació idividual dl rardo d los rsiduos d la rgrsió auxiliar. Si l cofici dl rardo dl rsiduo s La uilizació d sa alraiva o simpr s adcuada; s sido s pud sñalar qu u sudio d Mo Carlo d Maddala y Rao sugir qu sa pruba o s muy po cuado o pud aplicars l coras dl sadísico h. (Maddala y Rao Ts for Srial Corrlaio ). 4

15 Aálisis d Auocorrlació sigificaivam disio d cro ocs s cosidra qu xis auocorrlació d primr ord. Es procdimio sirvió d bas para l coras, más gral, d Brusch-Godfry (978) qu como s vrá a coiuació prmi corasar la xiscia d oras srucuras d auocorrlació disias a las auorrgrsivas d primr ord. 5

16 Aálisis d Auocorrlació 4.4. Coras d Brusch-Godfry 3 (978) Los corass ariors, a psar d su validz y robusz para dcar auocorrlacios d órds supriors, s disñaro iicialm para corasar la prscia d procsos auorrgrsivos d primr ord por lo qu l procdimio adcuado, ua vz dcado u problma d auocorrlació, cosisirá l aálisis d oros procsos d auocorrlació, ya sa auorrgrsivos d ord suprior, procsos d mdias móvils o procsos mixos. E s sido, l coras d Brusch-Godfry s spcifica co la fialidad d aalizar si xis o o auocorrlació d ord suprior a uo; para llo, la hipósis alraiva s icluy spcificacios más grals qu la dl modlo auorrgrsivo d primr ord y qu s pud gralizar a cualquir spcificació ARMA(p,q). E la hipósis ula s cosidra ahora qu o xis auocorrlació; la hipósis alraiva spcificará u squma cocro d auocorrlació. Por jmplo, u modlo auorrgrsivo d ord p. u u u p p + ε u la hipósis ula s formularía co l supuso d auscia d auocorrlació, s dcir, ulidad d odos los coficis auorrgrsivos, H p Es coras, al igual qu los sudiados hasa l momo, s basa los rsiduos MCO y s dfi como ua pruba d sigificació cojua d las primras p auocorrlacios d los rsiduos. Para su aplicació mpírica s csario dsarrollar las siguis apas: ) Esimació por MCO dl modlo d rgrsió y obció d los rsiduos MCO ( ) ) Esimació d ua rgrsió auxiliar d los rsiduos sobr p rardos d los mismos, -, -,, -p, así como sobr las variabls xplicaivas dl modlo origial. 3) Obció dl cofici d drmiació (R ) d la rgrsió auxiliar. 4) Forma dl sadísico xprimal, ula d o auocorrlació como χ p xp χ R qu s disribuy, bajo la hipósis, dod p s l úmro d rardos d los rsiduos 3 T.S. Brusch y L.G. Godfry Tsig for Auocorrlaio i Dyamic Liar Modls, Ausralia Ecoomic Paprs, Vol. 7, 978, pp Y L. G. Godfry Tsig agais Gral Auorrgrsiv ad Movig Avrag Error Modls wh h rgrssors iclud laggd dpd variabls, Ecoomrica, Vol. 46, 978, pp

17 Aálisis d Auocorrlació icluidos la rgrsió auxiliar; so s, l ord d auocorrlació qu s sá corasado; s l úmro d obsrvacios dl modlo. 5) Rgla d dcisió: si l valor dl sadísico xprimal xcd dl sadísico órico ocs hay vidcia sufici para rchazar la hipósis ula y admiir qu xis auocorrlació; caso corario o sría corrco rchazar la auscia d auocorrlació. Es coras prsa alguas vajas fr al sadísico d Durbi-Waso; s pud cosidrar qu l coras d Brusch-Godfry pud uilizars modlos qu icluya como rgrsors alguos rardos d la variabl dóga, si qu por llo cambi las propidads dl coras. E sgudo lugar s pud sñalar qu s coras prmi spcificar la hipósis alraiva cualquir squma d auocorrlació ya sa a ravés d u procso auorrgrsivo, d mdias móvils o mixo. A psar d sas vajas qu lo pud hacr prfribl al coras d Durbi Waso, o hay qu olvidar qu para la aplicació d s coras s csario spcificar ua logiud dl rardo y qu ésa s drmiará por u procdimio d xprimació basado l aálisis d sigificació idividual d los rardos d los rsiduos, lo qu pricipio podría dificular la ara d slcció dl ord d auocorrlació. 7

18 Aálisis d Auocorrlació 4.5. Coras d Sarga (964) Cuado l rsulado dl coras d Durbi-Waso idica qu db rchazars la hipósis ula l orig d sa posibl auocorrlació pud dbrs a la xiscia d rrors la spcificació dl modlo. Por jmplo, la omisió d variabls rlvas llvaría a icluir sas variabls omiidas l érmio d prurbació; si sas variabls suvira corrlacioadas podría dcars u problma d auocorrlació la prurbació cuado l vrdadro orig d ésa s db a la fala d spcificació d aquéllas. E s sido Sarga 4 (964) y posriorm Hdry y Mizo 5 (978) buscaro ua forma d disiguir, los casos qu l sadísico d Durbi-Waso dca la prscia d auocorrlació, si ésa s db a u rror d spcificació diámica o si s ralm u problma d las prurbacios dl modlo. Así, pud aprciars cómo u modlo d rgrsió co prurbacios AR(); so s Y X + β co prurbació u ρ u + ε, pud scribirs como u modlo u diámico auorrgrsivo, Y Y X X - - ρ + β ρ β + ε Rparamrizado l modlo arior s pud xprsar alraivam como, Y + Y- + β X + β3 X - β, dod dbría vrificars la sigui rsricció H : ββ + β3 Sarga sugir comzar co ua spcificació diámica y corasar la rsricció arior as d probar cualquir aálisis d auocorrlació. Si como rsulado dl coras H β β + β s obi qu sa rsricció s cira, so s qu o s rchaza la : 3 hipósis ula, ocs s pud cosidrar qu los dos modlos so idéicos y por ao o xis rror d spcificació co lo qu dbría pasar a corasars si xis o o auocorrlació. E l caso qu s rchac la hipósis ula ocs los posibls problmas d auocorrlació dcados s pud rfrir a u rror d spcificació al habr omiido la spcificació iicial los rgrsors diámicos X - Y -. 4 J.D. Sarga, Wags ad Prics i h Uid Kigdom: A Sudy i Ecoomric Mhodology P.E. Har, G. Mills y J.K. Whiakr (diors), Ecoomric Aalysis for Naioal Ecoomic Plaig, Colso Paprs 6 (Lodo: Burworh, 964), pp D.F. Hdry y G.E. Mizo Srial Corrlaio as a Covi Simplificaio, Nor a Nuisac: A Comm o a Sudy of h Dmad for Moy by h Bak of Eglad Th Ecoomic Joural, Vol. 88, sp. 978, pp

19 Aálisis d Auocorrlació E s mismo sido s maifisa Johso y Diardo () quis sñala, la prácica lo ormal s qu xisa scasa iformació rlaiva a la spcificació; por sa razó acosjamos dsarrollar ua spcificació rica variabls a parir d la rlació origial, co objo d viar la csidad d ralizar spcificacios compljas dl érmio d prurbació 9

20 Aálisis d Auocorrlació 4.6. Aálisis d la Fució d Auocorrlació y Fució d Auocorrlació Parcial La fució d auocorrlació y la fució d auocorrlació parcial cosiuy ua d las hrramias pricipals la idificació d las srucuras auorrgrsivas y d mdias móvils. Los coficis d auocorrlació proporcioa iformació sobr la rlació lial r los rsiduos dl modlo sparados por k uidads mporals. Es dcir, idica l grado d corrlació r cada valor dl rsiduo y los dsplazados,, h priodos. Supoido qu las variazas d los rsiduos so cosas a lo largo dl impo, l cofici d auocorrlació órico, como ya s ha sñalado, s xprsa como, ρ S γ S γ Eso s, ρ γ γ ρ γ γ dod s vrifica qu > γ γ s γ s ρ s ρ s La rprsació gráfica d sos coficis d corrlació para u cojuo d rardos sucsivos dará lugar a la fució d auocorrlació simpl (FAS). Juo co sos coficis d auocorrlació s dfi los d auocorrlació parcial qu mid la corrlació r dos momos d impo dspués d limiar l fco d los momos irmdios. La rprsació gráfica d sos coficis rcib l ombr d fució d auocorrlació parcial (FAP). El cocpo d auocorrlació parcial s aálogo al cocpo d cofici d rgrsió parcial. E l MRLNC l késimo cofici d rgrsió mid l cambio l valor mdio d la variabl dpdi a u cambio uiario l rgrsor k, maido cosa la iflucia d los dmás rgrsors (o aislado los fcos d los posibls rsas variabls xplicaivas). D modo similar la auocorrlació parcial mid la corrlació r obsrvacios qu sá sparadas k priodos d impo maido cosas las corrlacios los rardos irmdios. Lugo sos coficis pud obrs a parir d la sigui xprsió,

21 Aálisis d Auocorrlació u u u u u + a p p dod p s l cofici d auocorrlació parcial ya qu mid l fco adicioal d la variabl u -P sobr u. Más cocram rcog l fco qu sobr la variabl u i u rardo d sa misma variabl, aislados los fcos d las posibls rsas rardos o cosidrado ésos como cosas. El cálculo mpírico d sos coficis o s maria objo d sudio d s capíulo; o obsa, podmos sñalar qu a ravés d las cuacios d Yul-Walkr (93) s pud sablcr las rlacios r los coficis d auocorrlació (ρ ) y los coficis d auocorrlació parcial ( ). Los paros qu sigu las FAS y FAP so disios para los procsos AR y MA, por lo qu pud uilizars para la idificació d la sri d rsiduos dl modlo. E l caso cocro d los procsos auorrgrsivos AR(p) la FAS dcrc gomérica o xpocialm y la FAP s cora dspués d p-rardos, so s prsa p coficis sigificaivos. Para l caso d procsos d mdias móvils MA(q) ocurr al corario; la fució d auocorrlació parcial dcrc d forma gomérica o xpocial y la fució d auocorrlació simpl s aula para rardos d ord suprior a q. E las simacios prácicas sos comporamios o so a prcisos por lo qu a ravés d corass d hipósis dbrá drmiars cuádo u cofici simado (d auocorrlació o d auocorrlació parcial) s cosidrado ulo a psar dl valor mpírico qu prs. Para llo s raliza corass d sigificaividad sadísica d los coficis sablcido uas badas d cofiaza por cima d las cuáls los coficis rsula sigificaivos. Esas badas pud calculars a parir dl cofici d corrlació mpírico qu prsa la sigui disribució d probabilidad: ρ + ˆ k AN, ρ s k s

22 Aálisis d Auocorrlació Auqu la variaza o s cosa, l programa EViws cosidra qu ρˆ y dibuja uas badas d flucuació parallas. Si odos los coficis d corrlació s siúa dro d sos límis l procso s cosidra d Ruido Blaco. Cuado xis coficis qu o s siúa dro d las badas habrá qu buscar l paró d comporamio sgú u squma auorrgrsivo (AR), d mdias móvils (MA) o mixo (ARMA). k s s Es méodo gráfico s complma co oros méodos uméricos como so los corass Q d Box-Pirc (97) y Q d Ljug-Box (978) qu s basa u aálisis d sigificació d u cojuo d rardos d los rsiduos. Eso s, la hipósis ula s formula cosidrado la auscia d auocorrlació lo qu quival a cosidrar la ulidad d u cojuo d sos rsiduos; H ρ ρ ρ : m Esos corass so muy similars y s dfi ambos casos a parir d la suma acumulada d los coficis d corrlació mpíricos co las siguis spcificacios.

23 Aálisis d Auocorrlació 4.7. Coras d Box-Pirc-Ljug Box y Pirc 6 dsarrollaro u sadísico qu, basado los cuadrados d los primros coficis d auocorrlació d los rsiduos, prmi aalizar si xis o o auocorrlació. El sadísico s dfi como ua suma acumulada d sos cuadrados d los coficis d corrlació mpíricos; so s, Q p j ˆρ j sido ˆρ j j+ j Bajo la hipósis ula d o auocorrlació l sadísico Q s disribuy asioicam sgú ua χ co grados d librad igual a la difrcia r l úmro d coficis acumulados (p) y l úmro d parámros simados al ajusar l procso ARMA qu s cosidr. Posriorm s sadísico fu rvisado por Ljug-Box obiédos mjors rsulados para musras pquñas si s uiliza sa ora xprsió alraiva. Q' ( + ) p ( ˆ ρ j j + j) Esos sadísicos s dfiiro iicialm para l aálisis d Sris Tmporals pro a vcs ambié s uiliza para vrificar la hipósis d auocorrlació los modlos d rgrsió. No obsa, sa aplicació modlos srucurals db ralizars co caula ya qu la iclusió d variabls xógas l modlo i u fco dscoocido sobr l sadísico xprimal 7. Si mbargo, puso qu s raa d u procdimio implmado EViws s prsa aquí como ua primra aproximació al aálisis d auocorrlació qu dbrá sudiars co 6 G.E.P. Box y D. A. Pirc Disribuio of Rsidual Auocorrlaios i Auorgrsiv-Igrad Movig Avrag Tim Sris Modls, Joural of h Amrica Saisicak Associaio, vol. 65, 97, pp

24 Aálisis d Auocorrlació más dall co los corass prsados ariorm y qu s disñaba spcíficam para modlos d rgrsió srucurals. 7 H. Dzhbaksh Th Iapropia Us of Srial Corrlaio Ts i Dyamic Liars Modls, Rviw of Ecoomics ad Saisic, Vol. LXXII, 99, pp

25 Aálisis d Auocorrlació 5. ESTIMACIÓN, INFERENCIA Y PREDICCIÓN E l capíulo ddicado al aálisis dl modlo d rgrsió gralizado ya s ha sudiado qu, s modlo, los simadors MCO so lials, issgados pro o ópimos, por lo qu para cosguir ua adcuada simació d los parámros dl modlo y podr ralizar los procsos d ifrcia s uilizará los simadors d míimos cuadrados gralizados (MCG) ambié sudiados l ma oc. E la simació ifrcia d los parámros dl modlo la auocorrlació origia problmas similars a los ya aalizados l modlo co hrocdasicidad: la simació por MCO coiúa sido issgada pro ahora s ifici co lo qu los procsos d ifrcia quda ivalidados. Dado qu los simadors d MCO o so ficis su mariz d variazas y covariazas sá mal calculada los procdimios d ifrcia habiuals o so válidos ya qu s probabl qu s obga rsulados qu llv a cosidrar qu los coficis β o so sadísicam sigificaivos s dcir, coficis iguals a cro cuado ralidad sí lo sa. E s caso s acosjabl uilizar los simadors d Míimos Cuadrados Gralizados (MCG) o Míimos Cuadrados Gralizados Facibls (MCGF) ya qu prsa mjors propidads. La forma spcífica d sos simadors dpdrá dl procso subyac para la prurbació. E s sido Gujarai (997) cocluy qu, Para sablcr irvalos d cofiaza y probar hipósis db uilizars MCG y o MCO, aú cuado los simadors drivados d s úlimo sa issgados y cosiss y las prubas d sigificació y F usuals dja d sr válidas y, d sr ésas aplicadas, s probabl qu coduzca a coclusios rróas sobr la sigificació sadísica d los coficis d rgrsió simados. E s pígraf s aborda la simació d u modlo d rgrsió lial, homocdásico y co prurbacios auocorrlacioadas. Los disios procdimios d simació qu aquí s prsa par dl supuso d modlos d rgrsió co mariz d rgrsors o socásica; l supuso d modlos co variabls dpdis rardadas modlos auorrgrsivos o s objo d sudio s ma. 5

26 Aálisis d Auocorrlació S va a sudiar por ao la simació u modlo qu como ya s ha sñalado cumpl las siguis hipósis Y Xβ + u E ( u) E ( uu') σ Ω Ω mariz co variazas cosas y covariazas o ulas Para s modlo qu prsamos xis disios méodos d simació qu, básicam difir la iformació qu s ga acrca d la mariz Ω sgú qu sa sa coocida o dscoocida y dba por ao simars. Si la mariz Ω s coocida s aplica, al igual qu s sñaló para l problma d hrocdasicidad, MCG ya qu l modlo co l qu s sá rabajado o s u MRLNC sio u MRLG. Si la mariz Ω s dscoocida ésa dbrá d simars fució dl procso d auocorrlació dl modlo. Ua vz simada sa mariz s aplicará lo qu s ha dado llamar MCGF. Esos simadors d MCGF cosrva las propidads asióicas d los MCG simpr qu los simadors d la primra apa so s, la simació d la mariz Ω sa cosiss. Esimació prácica dl modlo: aplicació co l programa Eviws E la prácica la simació qu s va a uilizar cosis la aplicació dirca d alguo d los procdimios qu i implmados Eviws. Es programa prmi simar l modlo d rgrsió por MCO icorporado la srucura d auocorrlació si más qu añadir, a los rgrsors dl modlo, la spcificació cocra d la prurbació; so s l ipo d procso y l ord dl mismo. Así, para l supuso d u procso auorrgrsivo d sgudo ord la simació Eviws s ralizará a parir d los siguis comados, Quick/ Esima Equaio/ Y C X X3 AR() AR() 6

27 Aálisis d Auocorrlació Si l procso fura d mdias móvils los érmios qu s añad so MA(), MA(), MA(q) y caso d u procso mixo s icluiría ao los érmios auorrgrsivos como los d mdias móvils. Ora posibilidad qu ofrc Eviws cosis la simació dl modlo por MCO pro co ua simació cosis d la mariz d variazas y covariazas d los coficis d modo qu sa válidos los procsos d ifrcia. Para llo, dsd la vaa qu s spcifica la simació d MCO s aciva l boó Opios y s slccioa Hrokdaiciy y la simació co mariz d variazas y covariazas d Nwy-Ws (rcuérds qu para l caso d hrocdasicidad la opció a slccioar ra la mariz d Whi). El aálisis d prdicció los modlos co auocorrlació csia icluir la srucura d la prurbació; s aálisis s va a dsarrollar uicam para l caso d procsos auorrgrsivos d primr ord. La aplicació para oras srucuras s ralizará auomáicam co las opcios d Eviws. 7

28 Aálisis d Auocorrlació 6. PROCESO AUTORREGRESIVO DE PRIMER ORDEN AR() El procso auorrgrsivo d primr ord AR() s l procso más frcum aalizado ao dsd u puo d visa órico como mpírico; s sido s pud sñalar qu la liraura mpírica sá aplasam domiada por l modlo AR() [s modlo] ha rsisido los corass d impo y xprimació mosrádos como u modlo razoabl para l procso subyac qu probablm ralidad, s compljam opaco. (Gr, 999) Es csario sñalar ambié qu los procsos d órds supriors so, co frcucia, xrmadam difícils d aalizar y qu gra par d los modlos coómicos co problmas d auocorrlació prsa u procso auorrgrsivo d primr ord por lo qu és s l supuso qu s cosidra ahora para aalizar la simació d los modlos d rgrsió homocdásico y co problmas d auocorrlació. Dfiimos ahora l procso auorrgrsivo d ord a parir d la srucura, u u + ε dod ε s ua variabl qu s domia d ruido blaco y qu vrifica las siguis propidads, E( ε ) var( ) σ ε ε E( ε ε ) s Σ E εε ') σ I εε ( ε La xprsió dl procso AR() s pud formular ambié como u procso d mdias móvils d ord ifiio si más qu susiuir d forma coiuada la variabl rardarda; so s, u ε + ε + ε + u i i ε i 8

29 Aálisis d Auocorrlació Las propidads qu vrifica l procso auorrgrsivo AR() so, E ( ) u σ ε var( u ) E( u ) < codició csaria para qu la variaza sa fiia Covariazas E(u Corrlacios u ) σu ρ E(u E(u u ) σu 3 u 3 ) σu E(u u S ) S σ u ρ 3 ρ 3. ρ S S Lugo la mariz d variazas y covariazas d la prurbació s pud xprsar, Σ uu E( uu`) σ u 3 σ ε 3 sido Ω la mariz, Ω 3 Para la simació dl modlo d rgrsió aplicado MCG s csiaría coocr la ivrsa d sa mariz qu s, 9

30 Aálisis d Auocorrlació Ω O alraivam, si l modlo gralizado s quisira rasformar a u modlo clásico uilizado la rasformació d Aik s csiaría xprsar la mariz d paso P qu para l supuso cocro d u modlo auorrgrsivo d primr ord s formula, P A parir d sa mariz d paso ambié llamada mariz d rasformació s rasformaría las variabls dl modlo dl sigui modo Y*P Y, X*P X. Para simplificar la oació vamos a cosidrar l modlo d rgrsió simpl 8, Y α + l qu las prurbacios sigu u squma auorrgrsivo d primr + β X u ord, u xprsios, + ε. Las variabls rasformadas s calcularía a parir d las siguis u ( ) Y ( ) Y Y Y * Y Y X* X X X X X 3

31 Aálisis d Auocorrlació Tido cua sas marics Ω, Ω -, P s sñala a coiuació los disios procdimios d simació para l procso auorrgrsivo d primr ord qu s sá aalizado. ) Esimació co W coocida: Míimos Cuadrados Gralizados Para l caso cocro d prurbacios auocorrlacioadas sgú u squma auorrgrsivo d ord AR() s rlaivam scillo uilizar s méodo qu s rduciría a la * ' aplicació dirca d la fórmula b ( X ' Ω X ) X Ω Y Co la forma cocra d la mariz Ω dfiida ariorm o rasformado las variabls y simado por MCO ua rgrsió d Y* sobr X* y ido cua qu ahora o s db icluir érmio cosa l modlo. Modlo d rgrsió Y + α + β X u co prurbacios AR() u u + ε Modlo d rgrsió xprsado l priodo - y muliplicado por Y α+ β X- + u S raliza la difrcia r uo y oro ( Y Y ) α( ) + β X β X - + ( u u ) ( Y Y ) α( ) + β (X X- ) + ε s modlo s pud xprsar como Y * * * α + β X + ε y puso qu ε vrifica las hipósis clásicas s modlo co variabls rasformadas s podría simar por MCO y los simadors obidos sría ópimos; s procdimio s 8 Los procdimios qu s va a dsarrollar s pígraf cosidra, por simplicidad, u modlo d rgrsió simpl pro s csario sñalar qu la iclusió d oros rgrsors o cambiaría l procdimio ya qu la corrcció s hac para l problma d auocorrlació qu s ua caracrísica d la prurbació y o d los rgrsors. 3

32 Aálisis d Auocorrlació quival a la aplicació d MCG co la úica difrcia qu s prscid d la primra obsrvació. Nós qu s procdimio s similar a prscidir d la iformació d la primra fila d la mariz P y simar u modlo co variabl dpdi ( Y ) y ( X ) Y sobr ua cosa X uilizado sa rasformació dsd la sguda a la úlima obsrvació. Es méodo, auqu o coicid xacam co MCG, sí s asióicam quival. No obsa, l pricipal problma qu s prsa para aplicar míimos cuadrados gralizado por cualquira d sos procdimios s qu l valor d s dscoocido por lo qu dbrá simars como u parámro más dl modlo d rgrsió aplicádos ocs l méodo d Míimos Cuadrados Gralizados Facibls. ) Esimació co W dscoocida: Míimos Cuadrados Gralizados Facibls El supuso aalizado l caso arior s poco frcu sido lo habiual rabajar coo modlos qu prsa auocorrlació los qu s dscooc los lmos qu cofigura la mariz Ω E sos casos s csario ralizar primr lugar ua simació d dicha mariz qu para l caso qu samos aalizado procso auorrgrsivo d primr ord s rduc a ua simació dl cofici A coiuació s sñala alguos procdimios para simar l cofici d auocorrlació pro sa lisa o s xhausiva; xis oros méodos, como l d máxima vrosimiliud, qu aquí o s prsa. Los qu aquí s musra so procdimios qu, básicam, s dsarrolla dos apas. E la primra apa s obi ua simació d qu s uiliza, la sguda apa, para rasformar las variabls co las qu simar ua cuació difrcias gralizada méodo s qu como ya s ha sñalado coicid básicam co la aplicació d MCG Todos sos procdimios s cooc co l ombr d MCGF ya qu, lugar dl vrdadro valor dl cofici uiliza ua simació dl mismo. 3

33 Aálisis d Auocorrlació Procdimio iraivo d Cochra-Orcu 9 La simació plaada por Cochra-Orcu s u procso iraivo qu prmi simar l valor dl parámro d auocorrlació dscoocido (). E ua primra apa s sima l modlo d rgrsió por MCO y s calcula la sri d rsiduos MCO; a parir d ésos s raliza ua rgrsió auxiliar d los rsiduos sobr los rsiduos dl priodo arior si icluir érmio cosa. D s modo s obi ua primra simació dl cofici d auocorrlació d primr ord. A parir d s valor simado s rasforma las variabls dl modlo d rgrsió qu s uiliza para rpir la simació dl modlo (apa ) y coiuar co l procdimio dscrio. Es procso fializa cuado l sadísico d d Durbi-Waso idiqu qu los rsiduos MCO d la apa so d ruido blaco o, alraivam, s pud fializar l procso cuado las simacios sucsivas dl parámro difira mos d ua caidad prfijada por jmplo, ó,5. Es csario sñalar qu la aplicació d s méodo rduc l úmro d obsrvacios d la musra ya qu s omi la iformació rlaiva a la primra obsrvació. Procdimio o Modificació d Prais-Wis (co iformació compla) Ua modificació dl procdimio d Cochra-Orcu fu propusa por Prais y Wis (954); sos auors sugir ampliar l amaño d musra icluydo ua rasformació para la primra obsrvació qu, como coscucia d la uilizació d primras difrcias, dsaparc. E lugar d uilizar l modlo qu surg dircam d la rasformació s icorpora, para las primras obsrvacios d las variabls l facor d corrcció ( ρ ) co lo qu la primra obsrvació para la variabl dpdi srá ( ρ ) Y, y 9 D. Cochra y G.H. Orcu, Applicaio of Las Squars Rgrssios o Rlaioships Coaiig Auocorrlad Error Trms Joural of h Amrica Saisical Associaio, Vol. 44, 949, pp.3-6. La simació dl cofici d auocorrlació ambié s podría calcular a parir dl sadísico d Durbi-Waso qu como ya s ha sñalado prmi obr, r d S.J. Prais y C.B. Wis Trd Esimaio a Srial Corrlaio Cowls Comissio Disucussio Papr, º 383, Chicago,

34 Aálisis d Auocorrlació aálogam para la mariz d rgrsors. Esa modificació prmi mjorar la ficicia la simació d musras pquñas. Procdimio dos apas d Cochra-Orcu Es procdimio s musra como ua vrsió abrviada dl procso iraivo; la primra apa sría quival y, a coiuació, la sguda y úlima apa s simaría la cuació difrcias a parir dl cofici d auocorrlació simado. Méodo d Durbi d dos pasos Durbi (96) propo ua primra simació dl modlo cuasi difrcias xprsado a parir d la igualdad, Y ( ) + β X β X- + Y α + ε Como primra simació dl cofici d auocorrlació s va a cosidrar l cofici d la variabl dóga dsplazada, ya qu, auqu ssgada, s raa d ua simació cosis d Esa primra simació dl cofici d auocorrlació pud srvir d bas para la aplicació d cualquira d los oros dos méodos prsados co arioridad. E cocro, Grilichs y Rao 3 musra, a parir d u sudio d Mo Carlo qu l simador obido a parir d ua primra simació co l méodo d Durbi y sguido dl procdimio d Prais-Wis para las variabls rasformadas s mjor oras alraivas. E s sido Gr (998) ciado a Harvy y McAvichy (98) afirma qu s basa por omiir la primra obsrvació qu marla. J. Durbi Esimaio of Paramrs i Tim Sris Rgrssio Modls Joural of h Royal Saisical Sociy, sr. B, Vol., 96, pp Z. Grilichs y P. Rao Small Sampl Propiris of Svral Two Sag Rgrssio Mhods i Th Cox of Auocorrlad Errors, Joural of h Amrica Saisical Associaio, Vol, 64, 969, pp

35 Aálisis d Auocorrlació Prdicció co prurbacios AR() 4 Ua vz qu s ha dca la prscia d auocorrlació u modlo d rgrsió sa iformació db cosidrars para ralizar la prdicció; así por jmplo u modlo d rgrsió simpl co prurbacios AR() la mjor prdicció para u priodo xramusral + db icluir ua corrcció por auocorrlació; por ao, Y ˆ o s la mjor prdicció para l priodo + + a + b X + ya qu E ( ρ qu podría simars a ravés d ρ ˆ u ρˆ (Y a bx ) u + ) u Por ao, la prdicció d Y para l priodo + db icorporar sa iformació obiédos l sigui prdicor Y ˆ + a + b X + + ρu ˆ Yˆ a + b X + + ˆ( Y a bx + ρ ) y s prdicor coicid co l qu s obdría habido rasformado l modlo co cuasidifrcias. 4 Es ma s pud sudiar co más profudidad a.s. Goldbrgr Bs Liar Ubiasd Prdicio i h Gralizd Liar Rgrssio Modl Joural of h Amrica Sosisical Associaio, Vol. 57, 96, pp