MÉTODOS DE ESTIMACIÓN NO LINEAL APLICADOS AL PROBLEMA DE EXPECTATIVAS DE INFLACIÓN

Transcripción

1 Igiar. Rvisa chila d igiría vol. 17 Nº pp MÉODOS DE ESIMACIÓN NO LINEAL APLICADOS AL PROBLEMA DE EXPECAIVAS DE INFLACIÓN NONLINEAR ESIMAION MEHODS APPLIED O A PROBLEM OF EXPECED INFLAION Mauricio Arriagada-Bíz 1* Hécor Valdés-Gozálz 2 Liliaa Pdraja-Rjas 1 Rcibido 20 d fbrro d 2008 acpado 22 d julio d 2009 Rcivd: Fbruary Accpd: July RESUMEN E s rabajo s dscrib y aaliza lugo d r la cuació qu rlacioa la diámica d las xpcaivas d la asa d irés ral y d la iflació l filro xdido d Kalma. Asimismo s raliza la simació d la iflació x a para ua sri d daos prsablcida. S fcúa ua comparació co l méodo d simació d horizo móvil uilizado siuacios cuado produco d las icridumbrs paraméricas dl modlo és s ora o lial. La aplicació d sos méodos a daos rals prmi cocluir qu las simacios fcuadas a ravés dl méodo d horizo móvil combiado a u algorimo hurísico d opimizació logra los mjors rsulados. Palabras clav: Filrado d Kalma méodo MHSE iflació modlos cooméricos. ABSRAC his work dscribs ad aalyss h Exdd Kalma Filr wih rgard o a quaio ha rlas h dyamic of h xpcd ral irs ras ad iflaio. A simaio of h x a iflaio for a prsablishd daa s is carrid ou. his is compard wih h sam calculaio usig a movig horizo simaio mhod for siuaios ha ar o lial du o paramric ucraiis of h modl. From h applicaio of hs mhods o ral daa i ca b cocludd ha h simaios basd o h movig horizo mhod combid wih a hurisic opimizaio algorihm yild br rsuls. Kywords: Kalma Filr MHSE mhod iflaio coomric modls. INRODUCCIÓN Es arículo s cra la aplicació d écicas d simació d sados como l EKF (Exdd Kalma Filr por su sigla iglés) y l méodo MHSE (Movig Horizo Sa Esimaio por su sigla iglés) a problmas cooméricos. Problma d simació qu prd obr las xpcaivas d iflació para u príodo drmiado d años a parir d la iformació coida la diámica cojua d la asa d irés omial y d la iflació obsrvada [ ]. odo modlamio xig la cosidració d supusos. Así para podr obr xpcaivas d iflació s db cosidrar: (i) la xiscia d mrcados ficis [9] (ii) la racioalidad la coformació d las xpcaivas d iflació lo cual supo rrors d proósico issgados y o auocorrlacioados [16] y (iii) la iflucia d la iflació sprada la volució d la asa d irés omial. Es úlimo supuso s fudama l rsulado dl modlo Mudll-obi dod s obsrva ua rlació gaiva r la iflació sprada y la asa d irés ral x a [7]. Lo cual idica qu omado como puo d parida la oría clásica d la dmada por diro ua rcomposició d porafolio d diro por acivos fiaciros qu rid ua asa d irés qu icluy ua compsació por iflació sprada gra ua rducció la asa d irés ral sprada [8 20]. 1 Escula Uivrsiaria d Igiría Idusrial Iformáica y d Sismas. Uivrsidad d arapacá. Av. 18 d Spimbr 2222 Campus Saucach Arica Chil. lpdraja@ua.cl (* Alumo dl programa d Magísr Igiría d Sofwar). 2 Uivrsidad Adrés Bllo. Faculad d Igiría. Escula d Idusrias Igiría Auomaizació y Robóica. Av. Rpública 239. Saiago Chil. hvalds@uab.cl

2 Arriagada-Bíz Valdés-Gozálz y Pdraja-Rjas: Méodos d simació o lial aplicados al problma d xpcaivas d iflació E [20] a difrcia d [15] o s cosidra l supuso d qu las asas d irés rals sprada y obsrvada prs la misma diámica l largo plazo dbido a qu l procdimio coomérico uilizado prmi la cosidració d variabls o obsrvadas y por ao l problma s aborda uilizado la écica clásica d filrado d Kalma. E s rabajo a su vz s cosidra la variació d los parámros srucurals qu gobira la diámica d la asa d irés ral x a y d la iflació sprada a parir d la asa d irés omial y d la iflació obsrvada pro simpr rabajado co u modlo spacio sado lial dl procso. Ora publicació [5] aplica la écica d filrado d Kalma para obsrvar la rlació r ipos d irés ral iflació y srucura d érmio dl ipo d irés bajo hipósis d xpcaivas. Por su par s sab qu la iflació cosis l crcimio gralizado y coiuo d los prcios d los bis srvicios y facors producivos d u país. Por lo ao implica la rducció d la capacidad adquisiiva dl diro; divrsos so los auors qu arguma qu su mayoría los más imporas cosos d la iflació sá ligados a su imprfca prdicibilidad [10]. E fco uo d los facors a ravés dl cual u mayor ivl d iflació podría afcar l ivl d acividad coómica s la icridumbr sobr los ivls fuuros d la iflació. Esa volailidad d la iflació admás d obsaculizar l cálculo coómico aplica imporas cosos socials la coomía [19]. S db oar qu s caso ambié s opa por rabajar co modlos lials dschado las o lialidads propias dl procso. E s coxo s obsrva divrsos rabajos qu ha oriado l aálisis d la srucura d las asas d irés hacia la uilizació d modlos probabilísicos. Así [21 24] valida l hcho d uilizar modlos spacio sado para proycar la iflació por sus vids vajas. Asimismo s ha dsarrollado sudios para simar la asa d iflació ifluciada por l ipo d irés omial bajo l aálisis d la o lialidad [12] dsarrolládos mjoras la simació usado procdimios para rrors o-ormals [22]. Si mbargo subsis l problma d qu l EKF o s robuso fr a prurbacios xras y qu la covrgcia d sus simacios o pud sr asgurada. El prs arículo a difrcia d rabajos prvios [15 20] y [4] cosidra prcisam la o lialidad dl procso d xpcaivas d iflació. Co s propósio y para cosidrar la auralza o lial dl procso s supo ruidos socásicos propios d u procso coomérico [13 17] para así abordar l problma a ravés dl EKF (qu opra co u modlo lializado y oro a u puo d opració) y MHSE (qu rabaja co modlos o lials dircam y cuya covrgcia dpd d la covrgcia dl méodo d opimizació uilizado) comparado sos rsulados r sí y obido co llo rsulados cuaificados favorabls la simació d la iflació ral x a co l méodo MHSE. MODELO ECONOMÉRICO DE EXPECAIVAS DE INFLACIÓN Como s idica [17 20] l modlo srucural coformado por las rprsacios diámicas d la asa d irés ral x a y d la iflació sprada par d la cuació d Fishr [11] dod s pud idificar qu la asa d irés u drmiado príodo s fució d las xpcaivas d los roros rals y d la iflació. Siguido la ivsigació propusa por jmplo [ ] s obsrva qu s posibl rprsar la diámica d las xpcaivas d la asa d irés ral y d la iflació a parir d las cuacios cosiuivas dscrias por (1) y (2) las cuals cosiuy l puo d parida d la rprsació dl modlo. Cosidrado 1 p qu: zl ( ) zl zl para cualquir variabl z. 1 p r k ( L) r ( L) ( L) r (1) 2 2 k ( L) r ( L) ( L) (2) S supo admás cosidrado (1) y (2) las siguis propidads sobr los érmios d prurbació a sabr: 1 1 r j 1 1 j 1 j 1 j 2 2r j 2 j 2 j 1 j 0 0 (3) (4) Dod (3) y (4) garaiza ua srucura diámica cojua sabl. Admás como s plaa [15] 1985 s posibl scribir: 405

3 Igiar. Rvisa chila d igiría vol. 17 Nº ik. 12 j1 i i j i k j i j 0 (5) x f x w y 1 1 g x (8) Dod : Iflació aual obsrvada l príodo (); : Expcaiva d iflació l príodo () basadas la iformació hasa príodo (); = rror d proósico l mrcado l príodo (); i : asa d irés omial d los crificados d dpósio a 90 días l príodo (); r = i asa d irés ral x a l príodo (). E la cuació (1) la asa d irés ral x a r s fució d su hisoria (L)r d la iflació sprada comporáa 0 y rzagada (L) como ambié d la volució pasada d la iflació obsrvada (L) y d u érmio d prurbació alaorio. La iflació sprada dpd d las volucios pasadas d la asa d irés ral x a (L)r la iflació sprada (L) y la obsrvada (L) y d u érmio alaorio d rror. Así como sñala [15] adicioal a los supusos qu llva a la sabilidad srucural diámica cojua d las xpcaivas d iflació y la asa d irés ral x a ha d cosidrars u mrcado fiaciro fici cuao a qu l cojuo d iformació d los ags l príodo () icluy como míimo rzagos d la asa d irés omial d la iflació sprada y d la iflació obsrvada. Es dcir la iclusió d la asa d irés ral x a comporáa y rzagada l cojuo d iformació rlva para la coformació d las xpcaivas por par d los ags coómicos. Dod f(.) y g(.) so fucios o lials admás l vcor d sados quda drmiado por x ( ) 1 p y la salida y (.) dl sisma (8) quda a su vz drmiada por: y ( i ) qu so variabls dpdis. w 1 y v 1 rprsa érmios d prurbació socásica. Los parámros dl modlo (2) y (7) rprsados por (8) db sr simados y para llo s uiliza l jmplo y los daos dscrios [ ]. FILRO EXENDIDO DE KALMAN El problma d filrado d Kalma s dfi como u procdimio rcursivo qu prmi calcular l simador ópimo dl vcor d sado cada momo dl impo co bas la iformació dispoibl l momo 1 y acualizar co la iformació adicioal dispoibl l momo dichas simacios. E oros érmios dicho procdimio prmi corar la mjor simació dl vcor d sados qu cosidra la xpcaiva d iflació como variabl d sado. La forma rcursiva dl filro xdido d Kalma pud sr xprsada a ravés dl sigui sisma d cuacios dod odos los símbolos la formulació doa marics o vcors [ ]. a) Prdicció dl sado [3 2 18]: Fialm y d acurdo a la dfiició d la asa d irés ral x a ahora la cuació (1) pud sr rscria érmios d la iflació sprada y d la asa d irés omial ido así: Dod: x ( 1 x u ) (9) 1/ / 1 i k ( L)( i ) ( L) ( L) r 1 (6) 1 0 Dod al dspjar la asa d irés omial s obi: i k1 ( 10) ( ( L) ( L)) ( Li ) ( Lr ) 1 (7) Co l sisma d cuacios cosguido dsd (7) y (2) y la dfiició dl rror d proósico d mrcado ahora pud sr prsado l modlo érmios d ua rprsació dl ipo spacio-sado [15 4]. ( x u ) 1 / 1 A x x B x u / / / b) Esimació dl rror la mariz d covariaza: P x Q P x 1/ / x x / x x / (10) (11) 406

4 Arriagada-Bíz Valdés-Gozálz y Pdraja-Rjas: Méodos d simació o lial aplicados al problma d xpcaivas d iflació Dod: 1 1 Gd y l valor iicial d P / s ua mariz d valors cosas. c) Cálculo d la gaacia d Kalma Dod: K P H x / 1 H x x x / 1 P x x / 1 / 1 H x x x / 1 (12) H x/ 1 C x/ 1 x/ 1 (13) d) Esimació dl sado xˆ / x/ 1 K y H( x/ 1 ) (14) ) Acualizació dl rror d la mariz d covariaza H P P K x / / 1 / 1 x x / 1 MÉODO DE HORIZONE MÓVIL P (15) El méodo MHSE cosis rmplazar u problma diámico d simació por u problma sáico d opimizació o lial. Problma cuyo cririo s dfiido como la suma dl rror cuadráico r las mdidas d la salida y las salidas simadas por l modlo dl procso sobr u horizo d impo prdfiido. La miimizació d s cririo apua a drmiar l sado iicial xˆ al iicio dl horizo al qu s coduzca a ua miimizació r lo obsrvado y la raycoria prdicha sobr l horizo d impo. S db oar qu l caso lial l problma s fácil d rsolvr y ua solució formal pud sr sablcida. Si mbargo o lialm ua solució aalíica o pud sr sablcida para l problma y la rsolució dl problma db sr obida uméricam a ravés d opimizació o lial qu s la bas dl méodo MHSE. Primro s va a dscribir l cririo d opimizació d MHSE qu db sr miimizado. S cosidrará l modlo o lial dscrio (8) co ua úica salida para simplificar la oació dod Yk ysh ysh 1 y k so las mdidas d la salida sobr l horizo cosidrado co y i quival a dcir y( i ). Los subídics sh y k rprsa l orig dl horizo y l impo acual rspcivam (al fial dl horizo d largo lh k=sh+lh). S doa como ˆx sh al vcor d sados al iicio dl horizo d impo al qu a parir d s sado s prdicha la raycoria Y k sobr l horizo d impo prdfiido. yˆ yˆ... yˆ G xˆ sh sh k sh sh (16) 1 k Dod Gxˆ s dfi como: sh sh k G x i j g x i gfx i i gfx i 1 j Dod Fx quda a su vz xprsado por: i l l (17) F x i l x i f x u d (18) i El pricipio dl méodo s ocs drmiar l vcor d sados xˆ al qu xˆ* cumpla co: sh sh * xˆ arg mi J xˆ sh sh (19) El cririo J() dscrio pud rscribirs como Jxˆ sh 1 Rk R. Dod R k k s l vcor d rsiduos a 2 su vz xprsado como Rk Yk Gxˆ sh sh k. Noar qu la obsrvabilidad dl sisma (8) quda rsrigida a la xiscia y uicidad d la solució dl problma (19). 407

5 Igiar. Rvisa chila d igiría vol. 17 Nº Algorimo MHSE básico 1) Iicializació dl vcor d sados ˆx sh. 2) Búsquda dl vcor d sados ópimo xˆ* sh. 3) Cálculo dl vcor d sados acual. * xˆ * F xˆ k sh sh k 4) Volvr al paso 2) para calcular xˆ* k 1 co sh sh 1 x ˆ F x ˆ *. sh sh sh sh1 La miimizació dl cririo (19) s dsarrollada a ravés dl méodo hurísico Simulad Aalig (SA) [6]. La covrgcia d las simacios ralizadas co MHSE sá dircam rlacioada co la covrgcia d la opimizació fcuada (19). Para dalls vr [1]. RESULADOS Y DISCUSIÓN Uilizado los valors d los parámros sablcidos [15] para simular l modlo rprsado por (2) y (7) y los daos publicados [20] s posibl obr simacios para las xpcaivas d iflació o. La Figura 1 musra ua comparació r la iflació ral mdida (lía azul) las xpcaivas d iflació simada a ravés d u EKF (lía gro) y color rojo la corrspodi a la simació fcuada co l méodo MHSE. Es posibl oar qu dada la uilizació d u horizo d impo largo para la simació (lh =20 rimsrs) s pud obsrvar qu las simacios fcuadas a ravés dl méodo MHSE casi s suprpo por complo a la mdida ral dado cua d la corrca simació y vaja d la simació o lial por sobr la qu s raliza co u modlo lializado como lo s l caso dl EKF. La Figura 2 cosidra las mismas simacios pro bajo ua prurbació socásica v 1 ( (8)) d u 5% d ruido gaussiao (disribució Normal (01)) sobr la asa d irés omial d los crificados d dpósio a 90 días y la iflació ral obsrvada l príodo (lh =3 rimsrs). Er las implicacias qu ra cosigo sos rsulados y comprado vajas y dsvajas pricipals s cura qu: a) S aprcia qu co l EKF s obi buos rsulados d simació si mbargo sos rsulados prc a u caso idal s dcir si rrors i prurbacios y co u modlo lializado qu s válido solo oro a u puo d opració. b) Por ora par a ravés dl méodo d MHSE acoplado co l algorimo hurísico d opimizació o lial domiado Simulad Aalig ambié s obi buos rsulados d covrgcia. Si mbargo s caso s rabaja co u modlo o lial y por ao más ralisa dl procso coomérico ivolucrado. D hcho los rsulados obidos musra claram qu MHSE prsa vajas comparaivas paricular dbido a la xiscia d ua pruba mamáica d su covrgcia [1]. 408

6 Arriagada-Bíz Valdés-Gozálz y Pdraja-Rjas: Méodos d simació o lial aplicados al problma d xpcaivas d iflació Iflació Esprada Años (musro rimsral) Figura. 1. Comparació r la iflació ral mdida (lía azul) las xpcaivas d iflació simada a ravés d u EKF (lía gro) y color rojo la corrspodi a la simació fcuada co l méodo MHSE Iflació Esprada Años (musro rimsral) Figura. 2. Esimacios como Figura 1 bajo ua prurbació socásica v +1 d u 5% d ruido gaussiao sobr la asa d irés omial d los crificados d dpósio a 90 días y la iflació ral obsrvada l príodo. 409

7 Igiar. Rvisa chila d igiría vol. 17 Nº CONCLUSIONES E s rabajo s prsa ua sragia basada u algorimo d simació o lial para fcuar simació d la variabl iflació l impo a ravés d mdicios idircas. S aaliza y dja por sadas las bass csarias para ralizar simació o lial a ravés d la écica MHSE sido uo d sus aspcos pricipals la opimizació o lial asociada. Algorimo qu prmi rlacioar co mjor prcisió la cuació qu coca la diámica d las xpcaivas d iflació co la asa d irés ral. E paricular s rabajo prsa su uso co u modlo o lial y por ao más ralisa dl procso coomérico ivolucrado. D hcho los rsulados obidos musra claram qu MHSE prsa vajas comparaivas paricular dbido a la xiscia d ua pruba mamáica d su covrgcia y a la o dpdcia d u puo d opració como lo s l caso EKF. Comparacios co l EKF ha sido fcuadas para ralizar la simació d la iflació x a logrado mjors rsulados co la écica o lial MHSE. Los rsulados simulació idica la gra aplicabilidad d écica xpusa hacido oar qu la proposició cosidra la o lialidad irísca dl problma y o la d u modlo lializado co las vajas prcisió qu llo collva. REFERENCIAS [1] L. Boillraux ad J.M. Flaus. A w approach for dsigig modl-basd idirc ssors. IEEE rasacios o corol sysms chology. Vol. 8 Nº 4 pp July [2] E. Brookr. rackig ad Kalma Filrig Mad Easy. Joh Wily & Sos. Esados Uidos [3] R.G. Brow ad P.Y.C. Hwag. Iroducio o Radom Sigal ad Applid Kalma Filrig: wih MALAB Exrciss ad Soluios. Joh Wily & Sos. rcra dició. Esados Uidos [4] E. Burmisr K.D. Wall ad J.D. Hamilo. Esimaio of Uobsrvd Expcd Mohly Iflaio Usig Kalma Filrig. Joural of Busiss ad Ecoomic Saisics. Vol. 4 Nº 2 pp April [5] L.H. Ch. Iflaio ad Ral Shor-rm Irs Ras-A Kalma Filr Aalysis of h rm Srucur. Applid Ecoomics. Vol. 33 Nº 7 pp Ju [6] A. Díaz F. Glovr H.M. Ghaziri J.L. Gozálz M. Lagua P. Moscao y F.. s. Opimizació Hurísica y Rds Nuroals. Ediorial Paraifo. Madrid España. Julio [7] R. Dorbusch y S. Fischr. Macrocoomía. McGraw-Hill. Esados Uidos [8] E.F. Fama ad M.R. Gibbos. Iflaio ral rurs ad capial ivsm. Joural of Moary Ecoomics. Vol. 9 Nº 3 pp [9] E.F. Fama ad M.R. Gibbos. h Iformaio i Log-Mauriy Forward Ras. Amrica Ecoomic Rviw. Vol. 77 Nº 3 pp Spmbr [10] C. Frádz. Iflaio ad Wlfar: A Applicaio o Chil. Cuadros d Ecoomía. Vol. 36 Nº 107 pp [11] I. Fishr. h hory of Irs. MacMilla. Primra dició. Nw York Esados Uidos [12] J.A. Frakl. A chiqu for Exracig a Masur of Expcd Iflaio from h Irs Ra rm Srucur. h Rviw of Ecoomics ad Saisics. Vol. 64 Nº 1 pp Fbruary [13] V. Gómz. hr Equival Mhods for Filrig Fii Nosaioary im Sris. Joural of Busiss ad Ecoomic Saisics. Vol. 17 Nº 1 pp Jauary [14] M. Grwal ad A. Adrws. Kalma Filrig: hory ad Pracic. Pric Hall [15] J.D. Hamilo. Ucovrig Fiacial Mark Expcaios of Iflaio. Joural of Poliical Ecoomy. Vol. 93 Nº 6 pp Dcmbr [16] J.D. Hamilo. Sa-Spac Modls. Hadbook of Ecoomrics. Vol. 4 Nº 1 pp

8 Arriagada-Bíz Valdés-Gozálz y Pdraja-Rjas: Méodos d simació o lial aplicados al problma d xpcaivas d iflació [17] J.D. Hamilo. im Sris Aalysis. Prico Uivrsiy Prss. Esados Uidos [18] Y.R. Kim S.K. Sul ad M.H. Park. Spd ssorlss vcor corol of iducio moor usig xdd Kalma filr. Ssorlss Corol of AC Moor Drivs. Nw York: IEEE Prss pp [19] I. Magdzo. Iflació Icridumbr Iflacioaria Chil. Documos d rabajo dl Baco Cral d Chil. Nº 15. Ocubr [20] M. Misas y D.M. Vásquz. Expcaivas d Iflació Colombia: U Ejrcicio Ecoomérico. Baco d la Rpública Subgrcia d Esudios Ecoómicos. Nº 212. Colombia [21] F. Nadal d Simoa. Proycció d la iflació Chil. Ecoomía Chila. Vol. 4 Nº 3 pp Dicimbr [22] P. Silvapull ad R. Hwaraha. Robus simaio ad iflaio forcasig. Applid Ecoomics. Vol. 34 Nº 18 pp Dicimbr [23] M.J. Valdrrama y J.C. Ruiz. Filrado d Kalma: Aplicacios Ecoomía Igiría. Ediorial Uivrsidad d Barcloa. Barcloa España [24] K. A. Holms ad R. Faff. Esimaig h prformac aribus of Ausralia muli-scor maagd fuds wihi a dyamic Kalma filr framwork. Iraioal Rviw of Fiacial Aalysis. Vol. 17 Nº 5 pp