3. ANÁLISIS DE LOS SISTEMAS DE CONDUCTOS

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1 3. NÁLISIS DE LOS SISTEMS DE CONDUCTOS 3. Iroducció cualm, la mayoría d las vcs, l disño d silciadors s raliza simplm modificado los xiss. Si mbargo, dbido al amaño y l coso d sos, s muy bficioso l podr prdcir la pérdida d isrció (IL) o la pérdida d rasmisió (LT) sa primra fas d disño. Para podr prdcir so d ua mara adcuada hay muchos facors, als como la gomría, las propidads dl marial absorb, los fcos d flujo o l ruido grado por sí mismo qu db sr cosidrado, y s cua co méodos qu, aú o sido xacos, pud oriaros muy acradam sos momos, como s l méodo maricial, sabido qu l rago d validz d los rsulados quda limiado a frcucias bajas. Para u cálculo más prciso, s cua co hrramias más xacas como l ajus modal, méodo d lmos fiios, MEF, o méodo d lmos d cooro, BEM. E s capíulo s aborda los más comus. E primr lugar s dfiirá alguos cocpos básicos qu srá uilizados para vr la fcividad d los silciadors y l cálculo d sus valors caracrísicos y a coiuació s dfiirá l méodo maricial y l MEF, Méodo d Elmos Fiios. 3.2 Dfiicios coiuació s dfi los parámros más uilizados para caracrizar los silciadors y comparar su fcividad. Exis rs ídics básicos d mdida d auació soora silciadors: - Ídic d Pérdidas d Isrció, IL: dfiido, la cuació 3., como la difrcia r dos ivls d pocia acúsica, ambié pud sr prsió isidad acúsica, mdidos u mismo puo as y dspués d qu u silciador haya sido isrado r l puo d mdida y la fu d ruido. W rf s la pocia acúsica si silciador y W la pocia acúsica co silciador. Quda dfiido por la sigui cuació: 5

2 [3.] - Ídic d Pérdidas d Trasmisió; TL: s la rlació r la pocia acúsica qu icid l silciador y la pocia acúsica rasmiida por és cuado s uiliza ua salida acoica. El ídic s idpdi d la fu d ruido. S y S 2 so las áras d los coducos d rada y salida rspcivam, la prsió icid y la prsió rasmiida. E auscia d flujo mdio, las pérdidas d rasmisió s obi por mdio d la sigui xprsió: [3.2] Dbido a qu s ídic o dpd d la iracció acúsica co oros lmos d u sisma acúsico, srá mplado para valuar l comporamio acúsico uo d los silciadors qu s valuará l proyco. - Difrcia d ivl, LD: rfrido a la difrcia d los ivls d prsió acúsica mdidos la fu d gració d ruido (aguas arriba dl silciador) y la salida (aguas abajo dl silciador). No s csaria ua rmiació acoica la salida dl silciador. Sido la prsió aguas arriba y la prsió aguas abajo, la difrcia d ivl s calcula por la rlació: [3.3] 3.3 Méodo maricial El méodo maricial o d la mariz d rasfrcia s uiliza para l aálisis d los sismas cascada d ua sola dimsió, como so los filros o silciadors acúsicos. E gral o hay mara scilla para raar l campo dl soido sismas d ubos acoplados, si mbargo, a bajas frcucias, dod podmos cosidrar 6

3 comporamio uidimsioal para cada uo d sos ubos, l problma s basa simpl. E cada uió s pud supor qu la prsió d salida d u sisma y la vlocidad d volum so los valors d prsió y d vlocidad d volum d rada dl sisma d al lado. El rdimio d u silciador s pud obr fácilm érmios d los parámros d cuaro polos, o la mariz d rasfrcia dl sisma complo, qu alraivam pud obrs a ravés d la muliplicació sucsiva d marics d rasfrcia d los lmos qu cosiuy l sisma. E la prácica, hay varios lmos acoplados u silciador ral. Si mbargo, los cuaro valors d las cosas d la mariz d cada uo d los lmos o s v afcados por las coxios a los siguis lmos, miras qu los lmos dl sisma s pud supor lials y pasivos. Por lo ao, cada lmo s caracriza por ua mariz d rasfrcia, qu dpd d sus codicios y la gomría d flujo. Por llo, s csario l modlo d cada arículo y lugo uirlas odas para obr la caracrísica acúsica oal dl silciador. Si los múlipls lmos d u silciador, als como cambios bruscos d scció rasvrsal, ubos xdidos y / o ubos prforados, sá cocados sri, ocs la rasfrcia oal d la mariz dl sisma sá dada por l produco d las marics d sismas idividuals. S supo qu, auqu l campo acúsico sa mulidimsioal l irior d los disios subcompos, la zoa d uió r sos la oda s plaa. S xplicará la bas órica dl méodo d la mariz co l sigui coduco simpl: Figura 3. Coduco simpl Usado la aalogía d la impdacia, la prsió soora, p, y la vlocidad d volum, u, las posicios (xrmo suprior) y 2 (xrmo sido dscd), la figura 3., s pud rlacioar por: 7

4 [3.4] [3.5] dod, B, C, y D gralm s llama los parámros d cuaro polos. Ésas so caidads compljas, dpdis d la frcucia, qu icorpora las caracrísicas acúsicas dl coduco y dscrib la rspusa spcral d és. Esos parámros s pud obr, oría, mdia méodos clásicos o uméricos para cualquir disño gomérico, ambié abarcado la prscia d flujo y difrcias d mpraura, y so los qu compo la mariz d rasfrcia. Las cuacios 3.4 y 3.5 s pud scribir forma maricial como: [3.6] O d mara quival como: [3.7] Dod s u vcor d sado, qu icorpora las variabls d prsió p y vlocidad u, la rada y la salida dl coduco o silciador, y [3.8] s la mariz d rasfrcia d 2 2, dfiida co rspco a variabls d sado. Esa mariz rlacioa la vlocidad d volum y la prsió soora dos puos u lmo dl silciador, al como la dl coduco rco discuido ariorm. El pricipio d la rciprocidad rquir qu l drmia d la mariz d rasfrcia sa uo. dmás, u silciador simérico y D db sr idéicos. Si mos u sisma más compljo, como l silciador qu vmos la figura 3.2 qu icluy u coduco rco (), u ubo xdido (2), ua xpasió rpia dod s i u ubo uiform (3), u ubo prforado (4) (rsoador cocérico), ubo uiform (5), coracció rpia (6) y uvam u coduco rco. 8

5 Figura 3.2 Coduco compljo Eocs, s silciador paricular lo podmos dscribir d la sigui mara: [3.9] La úica iformació qu s csia para modlar cualquir silciador compljo so los lmos d las marics d rasfrcia. Los parámros d cuaro polos s pud corar fácilm la liraura para los lmos simpls d silciadors, als como coducos y cámaras d xpasió rcas. Pro para u lmo compljo, los parámros d cuaro polos pud omar formas muy complicadas qu mamáicam o s drmia d mara fácil. Ua alraiva s uilizar l Méodo d Elmos Fiios para obr uméricam cada cosa foruadam, ua gra caidad d marics d rasfrcia s ha dsarrollado y s ha dado a coocr óricam la liraura. lguas d llas icluy los fcos d flujo, icluso alguas marics d rasfrcia dpd d parámros adicioals als como coducividad d calor. l usar prforacios los lmos dl silciador, las marics d rasfrcia dpd d la porosidad (úmro d prforacios por uidad d logiud dl j dl coduco), y paricularm d la impdacia ormalizada dl lmo dod s cura las prforacios. 3.4 plicació dl MEF E s capíulo s va a xplicar como l procdimio qu s sigu para aplicar l méodo d lmos fiios (MEF) a la cuació d odas para obr l sisma d cuacios algbraico cuya rsolució prmi coocr d forma aproximada los 9

6 campos d prsios y vlocidads acúsicos. S cosidra la cuació d odas dducida l capíulo arior, como s comó o s icluy l fco covcivo dbido al flujo mdio. Eso implica qu l mdio (air) s sacioario y las parículas vibra rspco a su posició d quilibrio co movimio o ulo. E silciadors co compos prforados y marials absorbs, l papl dl flujo mdio s fudamal y o pud xcluirs dl aálisis. E s caso, si mbargo, s supo qu la propagació s produc si flujo mdio, s dcir, s cosidra qu l mdio d propagació sá rposo, d modo qu l úico movimio d las parículas sá asociado a la prurbació acúsica, co lo qu s pud aplicar l méodo uidimisioal calculado l aparado arior. Lo primro qu s dsarrolla s l plaamio d lmos fiios aplicado a la cuació d odas para más adla comar los aspcos fudamals asociados, como so las marics rsulas, l sisma d cuacios obido y las posibls codicios d cooro. Plaamio mamáico Las cuacios qu dfi l problma acúsico o i solució aalíica para problmas co gomrías compljas y codicios d cooro grals. Si las cuacios difrcials so difícils d rsolvr, s pud buscar ua solució aproximada qu saisfaga alguas d las codicios d cooro los grados d librad xacam y d forma aproximada las cuacios difrcials d comporamio. Si l problma s plaa bas a u pricipio variacioal y o s fácil obr la solució xaca, s posibl iar buscar ua solució qu miimic d forma aproximada l fucioal corrspodi. Las cuacios d lmos fiios pud obrs bi parido d la formulació difrcial o bi d u pricipio variacioal. E l primr caso l méodo d lmos fiios pud cosidrars como u méodo d rsiduos podrados (Galrki) qu s ua écica qu s uiliza para ua solució aproximada d las cuacios difrcials. E l sgudo caso, l méodo d lmos fiios pud cosidrars como u méodo variacioal (Rayligh-Riz). 20

7 Para rsolvr l problma acúsico s ha plaado l méodo d lmos fiios mdia la écica d rsiduos podrados. Co dicho plaamio, s quir llgar a la obció d aqullos rsulados csarios para dr cómo s propaga la oda l irior dl silciador y cuáls so sus caracrísicas más imporas. La cuació d odas, dducida l capíulo arior, rsula sr [3.0] Cuado s cosidra comporamio armóico, como ya s idicó, la cuació arior s la coocida cuació d Hlmholz. Esa xprsió gobira l comporamio dl campo d prsios acúsicas l so dl fluido dura l movimio asociado al avac d la oda d prsió. coiuació s aplica l procdimio mamáico qu da lugar a las cuacios d lmos fiios. Para llo, s cosidra la formulació d Galrki. Muliplicado la cuació d odas por la prsió igrado odo l volum dl fluido s obi [3]: 2 P P d P Pd = 0 c [3.] plicado l orma d Gr a la sguda igral, quda: 2 P P d P Pd+ P Pd = c 0 [3.2] o lo qu s lo mismo: 2 P P d + P Pd = P Pd 2 2 c 0 [3.3] S dfi l oprador difrcial lq L dl sigui modo: P= { } L P [3.4] 2

8 Si s discriza l volum d fluido lmos, cosidrado la prsió P como l úico grado d librad por odo, dicha prsió P u puo irior a u lmo dado podrá xprsars, fució d la mariz d fucios d forma N, d la forma sigui: P= [ N ]{ P } [3.5] sido { P } l vcor d prsios cada odo dl lmo. Uilizado las rs úlimas cuacios s obi: 2 0 c { } [ ] [ ]{ } P N N P d { } [ ] { } { }[ ]{ } + P N L L N P d = { } [ ] { } = P N Pd + [3.6] dod {} s l vcor ormal a la suprfici d cooro cada puo. Dado qu s sá cosidrado u problma axisimérico, sólo irvi dos variabls spacials, qu so la coordada dl j d rvolució z y la coordada radial r. D sa forma, las igrals l volum so ralidad igrals d ára (puso qu o hay variació circufrcial y la igral asociada a la coordada circufrcial da como rsulado 2π). Si s dfi la mariz [B] dl sigui modo: N N r r r = = = N N z z z [3.7] [ B ] { L}[ N ] [ N... N ] 22

9 la arior cuació s pud scribir como sigu: 2 [ N ] [ N ] d { } [ ] [ ] d P + B B { P } = c 0 [ ] { } = N Pd [3.8] Por úlimo, iroducido la omclaura: M N N d c [ ] = 2 [ ] [ ] 0 [ ] = [ ] [ ] K B B d { } [ ] { } F = N Pd [3.9] la cuació pud xprsars como: [ ]{ M P } + [ K ] { P } = { F} [3.20] qu o s más qu u sisma d cuacios difrcials similar al qu s obi problmas d vibracios. E gral, s cosidra xciació armóica, d mara qu la solució d dicha cuació proporcioa l valor d la prsió los odos d la malla d lmos fiios para cada frcucia d xciació. Dsarrollo d marics igrals El plaamio dl problma d lmos fiios pud hacrs co las cuacios qu s dsarrolla a coiuació. La prsió P u puo dl lmo s obi a parir d la cuació 3.2: = P N ( ξη, ) P i i [3.2] 23

10 dod: - P i s la prsió l odo i dl lmo. - N i ( ξ, η ) s l valor d la fució d forma asociada al odo i dl lmo l puo d coordadas locals ξ y η. - s l úmro d odos por lmo. La arior cuació pud xprsars d modo maricial como: P= [ N ]{ P } [3.22] Sido: [ ] = [ ξ η ξ η ] N N (, )... (, ) N [3.23] y { } {... P = P P } [3.24] Para l caso d problma axisimérico, la rasformació isoparamérica d coordadas pud xprsars como: r= N ( ξη, ) r z= N ( ξη, ) z i i i i [3.25] dod: - r i s la coordada r l sisma global cilídrico dl odo i dl lmo. - z i s la coordada z l sisma global cilídrico dl odo i dl lmo. La mariz jacobiaa d la rasformació d coordadas s pud xprsar como: r z Ni Ni ri zi ξ ξ ξ ξ = r z Ni Ni ri zi η η η η [3.26] 24

11 Las drivadas parcials d las fucios d forma rspco a las coordadas globals pud obrs mdia: Ni r z Ni r ξ ξ ξ = Ni r z Ni z η η η [3.27] El gradi d la prsió u puo pud xprsars dl sigui modo: P r P = P z [3.28] Uilizado la xprsió d B, l gradi quda: P= B mp r [3.29] Las igrals d volum, l caso dl problma axisimérico, pud obrs mdia: F( r, z)d = F( r, z) rdrdϕdz= 2 π F( r, z) rdrdz [3.30] y fució d las coordadas locals dl lmo: F ( r, z )d = 2 π F ( ξη, )d[ J ] r ( ξη, )d ξ d η [3.3] Uilizado s rsulado, s posibl calcular las marics d masa y rigidz mdia las siguis igrals: M = 2 π [ N ( ξη, ) ][ N ( ξη, ) ] d [ J ] r ( ξη, )d ξ d η c 2 0 [ ] [ ] [ ] K = 2 π B( ξ, η) B( ξ, η) d J r( ξ, η)dξ dη [3.32] 25

12 El vcor d furzas idpdis rquir u sudio más profudo. D la cuació usada para hallar dicho érmio s dduc qu s vcor dpd dl gradi d la prsió l cooro cosidrado. Si mbargo, d la cuació d Navir-Soks s dduc qu dicho gradi d la prsió sa rlacioado co la vlocidad dl fluido l cooro. E ralidad, s érmio d la cuació s uiliza para forzar u drmiado campo d vlocidads u cooro cuado s csario spcificar dicha codició d cooro. Es s l moivo por l cual s prfribl xprsar l vcor d furzas idpdis érmios d la vlocidad dl fluido l cooro lugar d hacrlo mdia l gradi d prsios. Susiuydo la cuació d Navir la dl vcor d furzas, s pud xprsar és como: U F N ρ { } = [ ] { } 0 d [3.33] Si s supo qu la drivada parcial d la vlocidad rspco al impo s cosa odo l cooro y ido cua l vcor lq s i: U F = ρ 0 N d { } [ ] [3.34] dod U s la drivada mporal d la compo ormal d la vlocidad l cooro. Supoido comporamio armóico: U P= ρ0 = j ρ0ωu [3.35] y omado como posiiva la vlocidad sali, quda: { } jρω 0 [ ] F = U N d [3.36] 26

13 y fució d las coordadas locals axisiméricas: { } π ρ0 ω [ ] F = 2 j U N r( s)ds s [3.37] 27