PARÁMETROS CARACTERÍSTICO DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN

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1 PARÁMETROS CARACTERÍSTICO DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN MARIO ESTANISLAO CESAR ARIET ALEJANDRO SCHULMAN Laboratorio 3, Dpartamto d Física, FCEyN, Uivrsidad d Buos Airs Julio dl 6 El objtivo pricipal dl prst trabajo cosist studiar l comportamito d ua lía d trasmisió formado por u cabl coaxial. Para so hmos ralizado ua sri d xprimtos co pulsos d corta y larga duració rspcto dl timpo d dlay. Admás, cosidrado l cabl como ua cavidad d odas lctromagéticas, studiamos sus frcucias d rsoacias.. INTRODUCCIÓN Ats d mpzar a studiar al cabl coaxial s csario cirto coocimito prvio acrca dl mismo. El cabl coaxial s básicamt ua lía d trasmisió co simtría cilídrica, compusto por u coductor ctral d diámtro r i, otro coductor xtrior d diámtro r y tr los coductors s cutra u mdio diléctrico. Cosidrado la simtría dl cabl y a los coductors idals tocs s scillo calcular los campos tato léctrico como magético dtro dl diléctrico (dod o srá ulos ya qu l diléctrico sta aislado dl xtrior por los coductors), l campo léctrico ti qu sr ormal a las suprficis dl coductor coscucia las lías d campo ti qu sr radials y al cotrario, las lías d campo magético ti qu sr tagcials a las pards d coductor, lo qu sigifica qu srá circulars. Etocs usado la ly d Ampr y l torma d Gauss, la capacitacia y la auto-iductacia d la lía d trasmisió por uidad d logitud so scillas d calcular: πε C = () r l( ) r i µ r L = ( ) () π r i dod ε s la costat dl diléctrico y µ s la prmabilidad dl mismo (qu st caso la cosidramos igual a la dl vacío). Admás como la dsidad d rgía léctrica y magética so iguals y stas val: CV E E = (3) LI EM = (4) Dod V I rprsta l voltaj y la corrit rspctivamt; s v las cuacios qu l cocit V/I s ua costat qu dpd d ε, µ y la gomtría dl mdio. Esta costat s llamada la impdacia caractrística,. Combiado (3) y (4) obtmos: V L µ r = = = l I C π ε ri (5) Por otro lado, podmos cosidrar qu l coductor stá compusto por ua sri d cldas lmtals, rprstado cada cual u sgmto ifiitsimal d la lía d trasmisió. Cada sgmto sta compusto por ua impdacia sri y u capacitor parallo. Llammos L a la iductacia por logitud y C a la capacitacia por uidad d logitud dl cabl. Dsprcimos las prdidas dbidas a la rsistividad d los coductors y a la coductividad dl diléctrico dl cabl d mara qu la lía d trasmisió s pud cosidrar ua structura ida. E st caso, l modlo dpd sólo d los parámtros L y C, d los cuals obtmos u par d cuacios difrcials parcials, ua d llas para la tsió y otra para la corrit, a través d la lía, ambas fució d la posició o distacia x y dl timpo t.

2 LABORATORIO 3 PARÁMETROS CARACTERÍSTICO DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN JULIO DE 6 V ( x, = L I( x, x t I ( x, = C V ( x, x t (6) (7) y combiádolas obtmos la cuació d oda para u pulso qu s propaga a través dl cabl t t V = LC x I = LC x V I (8) (9) D (8) y (9) podmos cocluir qu u pulso dtro dl coductor s propagara co ua vlocidad v = () LC Admás, si colocamos al fial d la lía ua impdacia puramt rsistiva R podmos cotrar odas rfljadas, cuyo coficit d rflxió Γ sta dado por: R Γ = () R +.. PULSOS DE LARGA DURACIÓN Lugo studiarmos l sistma l límit d baja frcucias, xtdido la duració dl priodo d la sñal d tal modo qu l pulso rfljado vulva ats qu trmi l pulso origial. Estos pulsos s suma crado ua sri qu covrg a la carga d u capacitor, ya qu l limit ua oda costat todos los putos dl cabl stará co l mismo potcial. Etocs usado ua rsistcia R al pricipio d la lía d trasmisió y u pulso iicial d amplitud V l pulso rsultat l cabl tdrá ua amplitud igual a V R () + Si l xtrmo dl cabl sta abirto (l coficit d rflxió srá igual a ) l voltaj al iicio dl cabl lugo d rflxios srá: = ( + Γ + Γ + K + Γ ) (3) V V R + dod Γ rprsta l coficit d rflxió al pricipio dl cabl, l límit cuado tid a ifiito la sri covrg a: = + Γ V V R (4) Usado () s fácil vr qu l voltaj mdido al pricipio dl cabl tid a V para grads, l cocit V + /V pud sr scrito como: + V + Γ = (5) V Γ l dod t = t + + v. D la toría d circuitos sabmos qu u pulso d amplitud V u cabl d capacitacia C, coctado a u grador d fucios mdiat ua rsistcia R l voltaj V C ( stará dado por: V ( = V ( τ ) (6) C Dod τ s l timpo caractrístico dl circuito RC. Etocs dsd l puto d vista d la toría d circuitos la cuació (5) s pud rscribir como: V ( t+ ) = V ( t l ( + ) vτ l vτ Comparado (5) y (7) obtmos: l cτ = Γ l τ = v l( Γ).. RESONANCIAS EN EL CABLE COAXIAL (7) (8) Para compltar l studio d la lía d trasmisió itroducimos ua sñal siusoidal, lugar d u pulso. E st caso la toría d odas lctromagéticas os idica qu aparcrá odas stacioarias l cabl y qu cotrarmos rsoacias para u cojuto discrto d frcucias (qu dpdrá d las codicios d cotoro). Si l cabl trmia co ambos xtrmos abirtos (R = ) las frcucias rsoats srá tals qu la logitud dl cabl s u múltiplo tro d λ/. Aljadro Schulma y Mario E Csar Arit

3 LABORATORIO 3 PARÁMETROS CARACTERÍSTICO DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN JULIO DE 6. DESARROLLO Fig. : Esquma dl circuito mplado la xpricia. Para la xpricia utilizamos u cabl coaxial RG-6AU d l = 93.3±.m. La figura mustra l dispositivo armado para la xpricia. Alimtamos l circuito co u grador d sñal HP-33A d ua impdacia itra d R = 5Ω. Las rsistcias variabls R y R s g ajustaro sgú las csidads d cada mdició. Tomamos datos a partir d los dos caals d u osciloscopio Tctroix- como idica l squma. R V = V Γ ( Γ ) R + (9) Variado la rsistcia R fuimos midido la tsió dl pulso rfljado l CH. Sabmos d (9) qu sta tsió s proporcioal al valor d Γ co lo cual tmos qu: R V ( R ) = KΓ ( R ) = K R + () La figura mustra la tsió mdida sobr l CH para distitos valors d R. La curva s u ajust d la cuació (). A partir d st ajust obtmos otra mdició d la impdacia caractrística cuyo rsultado s = 94 ± Ω.. IMPEDANCIA CARACTERÍSTICA Co l grador d sñal viamos a través dl cabl ua oda cuadrada d frcucia 5kHz y u acho dl % dl priodo dl pulso. Cuado la sñal llga al fial dl cabl s rfljada sgú () hacia l xtrmo opusto. Si la rsistcia R s igual al valor d la impdacia caractrística dl cabl l coficit d rflxió s ulo y o habrá oda rfljada. Buscado dicha situació obtuvimos como rsultado = 9. ±.5Ω Valor qu coicid co los 93Ω d la ficha técica dl cabl. El rror d la mdició fu tomado como l rror dl multimtro co l cual mdimos la rsistcia... COEFICIENTE DE REFLEXIÓN Cosidrmos qu dl grador d sñal sal ua oda cuadrada (d iguals caractrísticas qu las mdició atrior) co ua amplitud V. La rsistcia R fu cortocircuitada. El cabl sta acoplado a la fut co coficit d rflxió Γ mirado dsd la lía. Hacia l cabl pasa ua fracció d la tsió V dada por () tomado R = 5Ω. Sobr l xtrmo cotrario tdrmos u coficit d rflxió Γ dpdit d la magitud d la rsistcia R. La amplitud dl pulso qu vulv a la fut (valor tomado co CH) sta dada por: Fig. : Estudio dl comportamito dl coficit d rflxió l fial dl cabl al variar la rsistcia R.3. PULSOS DE MUY CORTA DURACION Para dtrmiar la vlocidad d propagació d la oda djamos l xtrmo dl cabl abirto, s dcir, R ifiita. E sta situació l coficit d rflxió s igual a. Eviamos co l grador d sñal ua oda cuadrada d priodo µ s y u acho dl %. Cada pulso d la sñal llga al fial dl cabl y s rflja hacia l comizo dl mismo tardado rcorrr l u timpo 73 ± s. Aljadro Schulma y Mario E Csar Arit 3

4 LABORATORIO 3 PARÁMETROS CARACTERÍSTICO DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN JULIO DE 6 corrspod al pulso ivrtido l CH. A mdida qu l pulso rcorr l cabl pird amplitud tato por la atuació dl cabl como la distitas rflxios al comizo dl cabl (por qu l coficit s mor qu ). E l fial d la lía (CH) l primr pulso ti ua amplitud mucho mayor qu la amplitud dl la sñal. Esto s db a qu l fial dl cabl s suma la itsidad d la oda qu va y su rflxió qu vulv..4. PULSOS DE LARGA DURACIÓN Fig. 3: Mdició d la sñal y sus postriors rflxios l orig y fial dl cabl. D stos datos obtmos ua vlocidad d propagació d: l v = =.85 ±.c t dod c s la vlocidad d la luz l vacío. Sgú catalogo la vlocidad d propagació l cabl s d c. Co los datos d la impdacia caractrística dl cabl coaxial y la vlocidad d propagació dtrmiamos otros parámtros dl mismo como capacitacia por mtro impdacia por mtro. E la siguit tabla s lista todos los rsultados Parámtro Mdido Esprado Impdacia caract. 9. ±.5Ω 94 ± Ω 93Ω Vlocidad d prop..85 ±.c.84.88c Capacitacia/mtro 4.5.8pFm 44.3pFm Impdacia/mtro 36 ± 7Hm - ± Tabla : Parámtros mdidos y valors rcopilados d catalogo dl cabl coaxial GR-6AU. E la figura 3 Obsrvamos u comportamito mucho más rico. Es vidt qu hay más d ua rflxió. Esto s db a ua difrcia d impdacia l acoplamito dl grador (d 5Ω ) y l cabl (d 93Ω ), st caso tíamos la rsistcia R cortocircuito. El dsacoplamito provoca, al igual qu l fial dl cabl, u coficit d rflxió distito d cro. Admás como la impdacia dl cabl s mayor qu la impdacia dl grador l coficit s gativo para l pulso qu va dsd l cabl hacia l grador, co lo cual part d la sñal s rflja co sigo opusto. Est fcto E sta mdició colocamos ua rsistcia R lvada la trada rspcto a la impdacia caractrística d la lía. Co sto os asguramos qu l coficit d rflxió a la trada dl cabl s crcao a. El otro xtrmo s djo abirto (R ifiita), tocs, co ua rflxió total. Sgú vimos la itroducció los pulsos d ua duració mucho mayor al timpo d dlay dl cabl produc qu la oda s valla suprpoido cosigo misma hasta alcazar la tsió d trada. Qu l acho tmporal dl pulso sa varios órds mayors qu l timpo d dlay sigifica qu la variació d la sñal s suficitmt lta como para qu s trasmita a lo largo d todo l cabl, covirtiédolo u quipotcial. Dado la gomtría d la lía podmos psarla como u capacitor. Las siguits figuras mustra la volució tmporal d la tsió l fial dl cabl para ua rsistcia R =.kω y R = kω. El voltaj pico a pico d la sñal s. ±.5V. La lía color rojo s l ajust d la carga d u capacitor ordiario. Fig. 4: Tsió mdida a través dl timpo l fial dl cabl coaxial para ua R =.kω para ua sñal cuadrada priodo mucho mayor qu l timpo d viaj d la sñal. Aljadro Schulma y Mario E Csar Arit 4

5 LABORATORIO 3 PARÁMETROS CARACTERÍSTICO DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN JULIO DE 6 Fig. 5: Tsió mdida a través dl timpo l fial dl cabl coaxial para ua R = kω para ua sñal cuadrada priodo mucho mayor qu l timpo d viaj d la sñal. Dl ajust d las curvas d toría d u circuito RC para la rsistcia R =.k Ω obtuvimos u timpo caractrístico y ua capacitacia d τ = 4.53±.7µ s, C = 4.±.F ua rsistcia mucho mayor qu la impdacia caractrística dl cabl logramos u xtrmo qu s prácticamt crrado y qu aú así s trasmita al cabl ua pquña proporció d la sñal dl grador. La figura 6 mustra las amplituds (mdidas dsd l CH) d las corrspodits frcucias rsoats para las siguits codicios d cotoro: R = kω y R = (xtrmo abirto). Obsrvamos qu, como s d sprar, la amplitud d la sñal dca a mdida qu pasamos a modos más altos. Tambié vimos (o s mustra l gráfico) qu cada frcucia d rsoacia la tsió d xcitació y la tsió sobr l cabl staba fas o cotrafas, altrado d modo modo. Etr cada dos modos rsoats coscutivos o hay ua difrcia d frcucias igual a la fudamtal sio qu stos stá sparados por. ±.5 vcs la frcucia fudamtal. Esto s db fudamtalmt a qu la codició d cotoro o so prfctamt abirtos (particularmt l iicio dl cabl). y para l caso R = kω τ = 8.86 ±.3µ s, C = 4.43±.4F Cosidrado qu l cabl s homogéo obtmos qu la capacitacia por mtro toma los valors 44 ± pfm y 4.5 ±.8pFm, rsultados qu cocurda co los valors d la tabla..5. ONDAS ESTACIONARIAS EN EL CABLE COAXIAL Como ya mcioamos podmos cotrar odas stacioarias la lía d trasmisió y sgú las codicios d cotoro (valors d R y R ) habrá u cojuto discrto d frcucias rsoats. Las codicios más scillas so xtrmos abirtos o xtrmos crrados. E u xtrmo crrado o hay difrcia d potcial tr los coductors dl cabl por sr u cortocircuito. Si crramos l fial dl cabl s iútil la mdició dl CH. El comizo dl cabl tampoco s pud cortocircuitar porqu simpr sta la acció d la impdacia propia dl grador d sñal. Por stas razos dscartamos las codicios d xtrmos crrados o mixtas. Djar l fial d la lía abirta s posibl (ya lo hmos usado mdicios atriors). El comizo d la misma o s pud djar abirto dado qu staríamos quitado la acció d grador sobr l cabl. Si mbargo colocado Fig. 6: Espctro d frcucias d rsoacia para l cabl coaxial co xtrmos abirtos. Fialmt la figura 7 mustra como varia la amplitud d rspusta l cabl fució d la frcucia d la sñal dsd los Hz hasta alcazar los.7mhz (u poco mas d la frcucia dl sgudo modo d rsoacia). Como s d sprar para frcucias bajas l cabl s comporta como u capacitor, co lo cual la tsió a bajas frcucias s igual a la tsió d alimtació (.6V). Para vr claramt sta situació la figura 8 s quivalt a la figura 7 co la salvdad d qu s u gráfico smilogaritmico. Aljadro Schulma y Mario E Csar Arit 5

6 LABORATORIO 3 PARÁMETROS CARACTERÍSTICO DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN JULIO DE 6 Fig. 7: Tsió sobr l fial dl cabl al variar la frcucia d la sñal dl grador d fucios. multimtro utilizado). E sgudo lugar stimamos la impdacia d la lía a partir d u ajust d los coficits d rflxió para varios valors d rsistcia. Co l timpo d dlay d la sñal qu tarda d viajar hacia l xtrmo dl cabl y volvr mdimos la vlocidad d propagació. Lugo co la impdacia dl cabl y la vlocidad d propagació stimamos idirctamt los valors d la capacidad por mtro impdacia por mtro. Para pulsos d duració mucho mayors qu l timpo d dlay vimos qu psar al cabl como u capacitor s cogrut co los rsultados obtidos. Admás, co sta mdició pudimos stimar d ua mara altrativa la capacitacia por mtro d la lía. Por ultimo obsrvamos l comportamito dl cabl como ua cavidad rsoat d odas lctromagéticas. E st caso mdimos la tsió sobr l cabl fució d la frcucia d alimtació. Nuvamt para bajas frcucias cotramos qu l cabl tid a comportars como u capacitor. 4. REFERENCIAS Fig. 8: Gráfico smilogaritmico d la figura 7 para obsrvar como la tsió sobr l fial dl cabl tid al valor d la tsió dl grador d sñal para bajas frcucias. 3. CONCLUSIONES Todos los valors mdidos d los parámtros caractrísticos dl cabl RG-6AU cocordaro prfctamt co los datos xtraídos dsd catalogo. El trabajo s baso trs parts. Ralizamos u studio dl cabl para pulsos d duració mors qu l timpo d dlay. Lugo, ralizamos mdicios para pulsos más largos qu l timpo d dlay. Y por ultimo, obsrvamos cualitativamt l comportamito dl cabl como ua cavidad rsoat. La impdacia dl cabl fu mdida d dos maras. E primr lugar la dtrmiamos limiado la rflxió l fial dl cabl. La dsvtaja d st método s o podr asociar ua icrtidumbr a la mdició (solo cosidramos l rror d la dtrmiació d la rsistcia co l [] J.M. Srra, A wav lab isid a coaxial cabl, Faculdad d Ciêcias Uivrsidad d Lisboa (/6/4). [] L. Ciri, M. Flitas, Paramtros lias d trasmisio, Facultad d cicias xactas y aturals, UBA (7/). [3] T.E. Owusu, Masurig coaxial cabl impdac usig oscilloscop to aalyz wavform, Uivrsity of North Carolia At Charlott (7/7/). [4] J.L. Drwiak y R.E. DuBroff, Pulss o Trasmissio Lis, Uivrsity of Missouri-Rolla. [5] David Halliday y Robrt Rsick, Física (CECSA, México, 97). [6] Jacob Millma y Hrbrt Taub, Puls ad Digital Circuits (McGraw-Hill, EE.UU., 956). [7] Frak S. Crawford, Odas, º dició (Rvrt, Barcloa, 97). [8] Joh David Jackso, Classical lctrodyamics ª dició(nw York, NY: Wily, 975). Aljadro Schulma y Mario E Csar Arit 6