UNIVERSIDAD DE MURCIA MATEMÁTICAS II OPCIÓN A. Se van a utilizar las siguientes propiedades:

Transcripción

1 ES STER BDJOZ Emn Junio d (Gnrl) nonio Mngino orcho UNVERSDD DE MUR MTEMÁTS MTEMÁTS Timpo máimo: hor minuos nsruccions: El lumno lgirá un d ls dos opcions propuss d un d ls curo cusions d l opción lgid punurá punos como máimo undo l solución d un cusión s s n un cálculo és drá incluirs n l rspus dd OPÓN Ejrcicio º) Dmusr sin uilir l rgl d Srrus sin dsrrollr dircmn por un fil /o column qu ndiqu n cd cso qué propidd (o propidds) d los drminns s sá uilindo S vn uilir ls siguins propidds: - Si un drminn in dos fils iguls o proporcionls su vlor s cro - Si odos los lmnos d un fil o column s dscomponn n dos o más sumndos noncs l drminn s igul l sum d los drminns qu inn n s fil o column l primro sgundo sumndos rspcivmn n ls dmás los mismos lmnos qu l drminn inicil - Si los lmnos d un lín (fil o column) s muliplicn o dividn por un númro l vlor dl drminn qud muliplicdo o dividido por dicho númro Ejrcicio º) Drmin l plno π qu conin l rc r s prllo l rc 7 s El plno pdido in como vcors dircors los vcors dircors d ls rcs por connr l rc r conin odos sus punos

2 ES STER BDJOZ Emn Junio d (Gnrl) nonio Mngino orcho Pr hllr un puno un vcor dircor d r l prsmos por uns cucions prmérics: 9 r 7 9 ;; 9 7 ;; prsión d r por uns cucions prmérics s: r 7 7 Un vcor dircor d r s v ( 9 7) un puno s ( ) Un vcor dircor d s s ( ) r v prsión gnrl dl plno π s l siguin: π s 7 7 ( P; vr vs ) 9 7 ;; 9 7 ;; P ;; 7 ( ) 7 ( ) 7 7 ( 7 ) 9( 7 ) ( 7 ) 7( 7 ) ;; ( 7 ) ( 7 ) ;; ;; 7 9 ;; π 7

3 ES STER BDJOZ Emn Junio d (Gnrl) nonio Mngino orcho Ejrcicio º) Dd l función f s pid: ) Esudir si isn sínos vricls clculr los is lrls n cso d qu ls h ) Esudir si isn sínos horionls clculrls n cso d qu ls h ) s sínos vricls son d l form k sindo k l conjuno d vlors rls d qu nuln l dnomindor ;; rc (j d ordnds) s síno vricl f f ) Son d l form k sindo k l conjuno d vlors rls qu om l función cundo ind más o mnos infinio k k f nd { Hopil} f s rcs - son sínos horionls d f()

4 ES STER BDJOZ Emn Junio d (Gnrl) nonio Mngino orcho Ejrcicio º) ) lcul l ingrl indfinid d uilindo l méodo d cmio d vril (o méodo d susiución) ) lcul l ingrl d dond dno l función logrimo nprino uilindo l méodo d ingrción por prs ) d d d d d d d d ;; d d ) d v dv d d du u d [ ] [ ] [ ] [ ] u g rc g rc g rc d d d π π π

5 ES STER BDJOZ Emn Junio d (Gnrl) nonio Mngino orcho OPÓN B Ejrcicio º) Discu n función d los prámros α l siguin sism No h qu rsolvrlo s mrics d coficins mplid son ls siguins: El rngo d n función dl prámro α s: do Dr ompil incóg n Rng Rng Pr min º Pr α s El rngo d n función d s: { } { } { } 9 do r n ompil incóg n Rng Rng Pr min d º < ncompil Rng Rng Pr ;;

6 ES STER BDJOZ Emn Junio d (Gnrl) nonio Mngino orcho Ejrcicio º) S llm mdin d un riángulo cd un d ls rcs qu psn por l véric d un riángulo por l puno mdio dl ldo opuso dicho véric ) lcul ls rs mdins dl riángulo d vérics ( - ) B(- 7 ) ( ) ) ompru qu ls rs mdins s corn n un puno (llmdo ricnro) clcul ls coordnds d dicho puno ) Pr fcilir l comprnsión dl jrcicio s hc l gráfico djuno B P M R Q os punos mdios d los ldos dl riángulo son los siguins: M B P( ) M Q( ) R( ) M B s cucions prmérics d ls rs mdins son ls siguins: ( ) ( ) ( ) u R ( ) ( 7 ) ( ) v BQ ( ) ( ) ( ) w P Mdin por Vcor dircor Puno : : u ( ) m ( ) Mdin por B Vcor dircor Puno : B : v ( ) m ( 7 ) 7 B

7 ES STER BDJOZ Emn Junio d (Gnrl) nonio Mngino orcho 7 Mdin por : : m Puno w dircor Vcor ) Si dmiimos l hipósis plnd no s ncsrio dmosrr qu ls rcs s corn n un puno por lo cul inn qu sr iguls ls rspcivs coordnds d ls rcs omds dos dos dmás l puno d cor in qu sr l mismo vmos: ;; 7 7 M m m B M m m omo pud vrs l puno d cor d ls rcs s l mismo como nímos qu compror El ricnro s M( )

8 ES STER BDJOZ Emn Junio d (Gnrl) nonio Mngino orcho Ejrcicio º) s mncills d un rloj midn cm; unindo sus rmos s form un riángulo ) Dmusr qu l ár d dicho riángulo vin dd por l función dond dno l ángulo formdo por ls mncills dl rloj sn ) Drmin l ángulo qu dn formr ls mncills dl rloj pr qu l ár d dicho riángulo s máim uál s l vlor d dich ár máim? S pud uilir l prdo ) unqu no s h dmosrdo ) c B h α Sindo qu l ár d un riángulo s l produco d l s por l lur dividido por h dos: S c Por or pr d l figur s dduc qu: sn h c sn h Susiundo l vlor d h n l fórmul dl h c sn ár rsul: S D l úlim fórmul s dduc qu l ár d un riángulo s igul l mid dl produco d dos d sus ldos por l sno dl ángulo qu formn Tnindo n cun lo nrior osrvndo l figur dl rloj s fácil dducir lo pdido: sn sn (como qurímos dmosrr) c q d ) Pr qu l ár s máim s ncsrio qu s nul su primr drivd s ngiv l sgund drivd pr los vlors qu nuln l primr π cos cos 9º ;; π 7º sn 9º 7º ( 9º ) ( 7º ) sn 7º sn 9º < Máimo > Mínimo

9 ES STER BDJOZ Emn Junio d (Gnrl) nonio Mngino orcho Pr qu l ár dl riángulo s máim ls gujs dn formr un ángulo d 9º El vlor dl ár máim s l siguin: ( 9 º ) sn 9º u 9

10 ES STER BDJOZ Emn Junio d (Gnrl) nonio Mngino orcho º) ) Dd l función f dfinid pr los vlors - < < drmin los punos d cor d l rc con l gráfic d f Y ) lcul l ár dl rcino limido por l rc l gráfic d f O X ) os punos d cor d l función f con l rc s oinn d l igulción d ms funcions f ;; ;; ;; ( ) ;; ;; ;; ;; ± ;; os punos d cor son O B ) Y - O f() X f función f() s siméric con rspco l orign por sr ( ) f ( ) Tnindo n cun lo nrior l vlor d l ingrl indfinid d qu s: d d d d l ár pdid s: d d d - d d u ( ) (