Trabajo de desarrollo profesional por etapas

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1 UNERSDD UTÓNOM DEL ESTDO DE MORELOS FCULTD DE CENCS QUÍMCS E NGENERÍ PRNCPOS FÍSCOS Y MTEMÁTCOS PR EL NÁLSS DE SSTEMS DNÁMCOS. NTRODUCCÓN L CONTROL Tjo de deollo poeiol po ep QUE PR OBTENER EL TÍTULO DE: NGENERO ELÉCTRCO P R E S E N T : RCENO BRTO HERNÁNDEZ CUERNC MORELOS. MYO 7

2 Tjo de deollo poeiol po ep PRNCPOS FÍSCOS Y MTEMÁTCOS PR EL NÁLSS DE SSTEMS DNÁMCOS. NTRODUCCÓN L CONTROL PRESENT: RCENO BRTO HERNÁNDEZ RESORES: E. GNCO ÁLOS SLNS E. GONZLO MRÍN SHERD

3 Peio El peee jo iee po ojeo pee lo udmeo memáio y íio que pemi el álii de iem íio diámio. Se ep l éi de oió y omió memái má omue y e pee l eíi de lo loque uiole que ompoe lo iem íio omplejo. Se emple l uió de eei po omd de Lple e domiio omplejo y el epio de edo p l epeeió de euioe dieeile liele que eul del álii de u iem íio. Se model iem que ivolu dieee ipo de eegí y e he o l logí ule de u modelo. Se pee u ioduió eói lo iem de ool y ilmee e eudi lguo dipoiivo de mediió y oeió de lo iem de ool. Coveió de oió Lo idde vile e deo po le miúul v. L oe po myúul G M R. Lo veoe idiimee po egi v o ie le o leh upeio v. Lo veoe uiio o iulejo upeio ˆ ˆ. Lo ele po le miúul v lo módulo de veoe omo ele o empledo ímolo de oluo v lo úmeo omplejo po le myúul egi ZY o o iulejo Zˆ Yˆ lo oe o ilde upeio l mie po egi M X. i

4 gdeimieo: Dio po e lguie que e lie de eoe y oevo i idieei. mi pde BR. GHM po u peei y poyo ul. quiee podue mie y om el ooimieo que o he lie y o lej de l ieidume. eio Bio Heáde. Deeho eevdo 7. Nigu pe del peee jo deeá e epoduid lmed e iem de eupeió o miid e om lgu po igu medio eleóio meáio ópio de gió u o om i el oeimieo y pemio epeo del uo. eio Bio Hd e_io@homil.om ii

5 Tl de oeido. MÉTODOS MTEMÁTCOS DE TRNSFORMCÓN... - NOTCÓN SGM NDUCCÓN MTEMÁTC...- Noió igm NOTCÓN REL Y COMPLEJ...-6 NOTCÓN DE RZONES DE CMBO Y SUMS NFNTESMLES...-4 NOTCÓN NTEGRODFERENCL...- Euioe iegodieeile...- ED de pime ode y pime gdo...- ED de pime ode y gdo upeio...- ED liel de ode upeio...- NOTCÓN MTRCL Y SSTEMS DE ECUCONES LNELES...-5 NOTCÓN ECTORL...-6 lge veoil...-6 Geomeí veoil...-7 Cálulo veoil...-8 Eleomgeimo y l euioe de Mwell...-4 TRNSFORMCÓN DE SSTEMS COORDENDOS TRNSFORMCÓN FSORL Tomió oil e iuio eléio de oiee le...-5 Tomió de uee de Tomió del y eell TRNSFORMCÓN UNDD TRNSFORMCÓN EN COMPONENTES SMÉTRCS TRNSFORMCÓN DE LPLCE...-7 Tomió de uioe...-7 Tomió ive de Lple...-7 Tomió de euioe dieeile liele ivie e el iempo TRNSFORMCÓN EN SERES DE POTENCS Covegei uiome...-8 Seie de poei de ovegei uiome...-8 Soluió de euioe dieeile po eie de poei TRNSFORMCÓN DE FOURER Seie de Fouie L omió de Fouie...-9 TRNSFORMCÓN ZET BLOQUES FUNCONLES DE SSTEMS FÍSCOS... - NTRODUCCÓN...- Siem Geel de Uidde de Medid...- SSTEMS MECÁNCOS...-9 Fudmeo de iemái y diámi liol...-9 Bloque uiole de iem meáio o movimieo liole...- Fudmeo de iemái y diámi oiol...- Bloque uiole de iem meáio o movimieo oiole...-6 SSTEMS ELÉCTRCOS...-8 Fudmeo de eleoái y eleodiámi...-9 Bloque uiole de iem eléio...- SSTEMS FLUÍDCOS...- Fudmeo de hidoái e hidodiámi...- Bloque uiole de iem luídio hidáulio...-4 i

6 Fudmeo de iioquími y emodiámi Bloque uiole de iem luídio eumáio... - SSTEMS TÉRMCOS... - Fudmeo de eei de lo y loimeí... - Bloque uiole de iem émio RELCONES NLOGÍS DE BLOQUES FUNCONLES DE SSTEMS FÍSCOS MODELDO DE SSTEMS DNÁMCOS... - MODELDO DE SSTEMS DNÁMCOS...- Modeldo medie uió de eei...-4 Repeeió del iem medie digm de loque...-5 Modeldo medie epio de edo...-7 Relió ee uioe de eei y epio de edo...- SSTEMS MECÁNCOS...- SSTEMS ELÉCTRCOS...- SSTEMS FLUÍDCOS...-7 SSTEMS TÉRMCOS...-9 SSTEMS ELECTROMECÁNCOS...-. SSTEMS DE CONTROL... - CONTROL UTOMÁTCO...- Siem de lo ieo...- Siem de lo edo...-4 Cool de u poeo iduil...-6 COMPONENTES DE UN SSTEM DE CONTROL...-8 Seoe y mioe...-8 álvul de ool...-9 Cooldoe...- CONTROLDORES LÓGCOS PROGRMBLES...-7 Compoee del PLC...-8 Opeió del PLC NSTRUMENTOS DE CONTROL...- NSTRUMENTOS DE CONTROL NDUSTRL...- umeo de mediió... - umeo de oeió... - CLSFCCÓN DE NSTRUMENTOS DE MEDCÓN...-8 umeo que mide idde meái o emodiámi umeo que mide idde eléi... - ii

7 Cpíulo Méodo memáio de omió Co el ojeo de ee u ólid e memái que o pemi el oeo álii de lo iem íio diámio e ee piulo e pee lo iguiee em de oió y omió memái: Noió igm iduió memái Noió el y omplej Noió de oe de mio y um iiieimle Noió iegodieeil Noió miil y iem de euioe liele Noió veoil y mpo veoile Tomió de iem oodedo Tomió oil Tomió uidd Tomió e ompoee iméi Tomió de Lple Tomió e eie de poei Tomió de Fouie Tomió e

8 Cpíulo. Méodo memáio de omió - Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

9 - Cpíulo. Méodo memáio de omió Noió igm iduió memái Númeo eeo. El ojuo de úmeo eeo e Z { K K} el ojuo de eeo poiivo e Z { K } { Z} Z > ; el ojuo de eeo egivo e Z { K } { Z} Z <. El ojuo de úmeo eeo o egivo e: Z { K } { Z} {}. El oil de u úmeo vée uió Gmm Z po! K! u popiedde o:! geel el oil e u opeió euiv: e deie ;!! e!!! L Númeo ooleo. El lge oole ue deolld po Geoge Boole e 854 pulido e veigio o he Lw o Though. Se u úmeo ooleo l que B y B { } e deie opeioe: omplemeo de poduo y um y oedee l iguiee ideidde: {} ' ; ' ' ' y y y y y y y y y y y y y' ' y' ' ' y' ' y' Piipio de oeo. L egl de l um elee que: e y B do e que puede e elid de m y me epeivmee y o puede oui imuláemee; eoe l ejeuió de u e ulquie puede e ompñd po u de l m me. L egl del poduo elee que: i u poedimieo puede e deompueo e do ep y B de me que p m om de ei om de B; eoe el poedimieo ol puede e eeudo e m om. De lo piipio de oeo epueo e dedue lo oepo de pemuió eglo omiió y omiió o epeiió: Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7

10 4 Cpíulo. Méodo memáio de omió -4 Ode eleve Si Si No No Repeiioe No Si No Si Tipo Pemuió eglo Comiió Comiió /epeiió C P! /-! Fómul!/ [! -!] Noió igm De od l opeioe eiee l um e l opeió liel má elemel y oe l ul e puede deoll ulequie o iluive el poduo. De me odii l um ii e epee po que l um iii e epe omo S S S K K eduid ooid omo oió igm y e epee po: ; mie. Eie u me K S S K S L popiedde udmele de l oió igm o: 4 ± El poduo omo um ± Lielidd 5 Co euei e eeio eli oimieo de ídie o el popóio de que e pued pli l popiedd omo e mue oiuió: S S S S 6C X i C i i i X i 6C X 6C i i i X i i i e S i i i e S i [ i Ci 6C i ] i E geel i ume e el ídie de l umoi dimiuye e lo límie de l umoi: i N i N i i Piipio de ideidd p um. Si X i 6 7 eoe p od ; e piul i eoe. Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

11 -5 Cpíulo. Méodo memáio de omió Piipio de iduió memái Se S u epeió memái que ivolue u o má ouei de l vile Z i S e ie y S e ie iedo Z ; eoe S e ie p od Z. El piipio de iduió iee u pliió e l deduió de omul y demoió de eoem. Ejemplo.. Demo po iduió memái que: i /. i Soluió. L pliió del piipio de iduió e eli omo igue: e mue l ee de S; e ple u hipóei p S y e demue que S e ieo eoe S qued demodo: S i S S S K / i i Se S ieo po hipóei i / / eoe S i K i S Ejemplo.. Demo po iduió memái que: i i / 6. Soluió. Se pli lo po y e iee que: mie dee e ieo o demo que : i Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7

12 6 Cpíulo. Méodo memáio de omió -6 S / 6 S S 6 S 4 9 K Se S ieo po hipóei i / 6 6 / 6 eoe S [ 7 6 ] 6 6 S 6 / 6 i 4 9 K mie dee e ieo o demo que : i i [ 6 ] 6 Se h deolldo omul p umoi de uo euee uy demoió e llev o medie iduió memái: Tl. Fomul de umoi euee < 6 6 π 945 log π π π 7π Noió el y omplej Númeo el. U ievlo ieo e epee po u ievlo edo po [] iedo puo e l e el plo o el epio. El ojuo { R} de lo úmeo ele o ele R que iluye lo eeo { K K} Z y ule N { K} e lii e iole Q { p / q p q Z q } e iiole π e egú pued o o epee omo u oiee de eeo. Geoméimee el ojuo de ele R epee l e R el plo y R el epio. Ddo R e eeú do opeioe lgei udmele um y poduo d* y umple o l popiedde: edu d R omuiv ** oiiv ideidd * diiv ive - mulipliiv ive */ diiuiv ***. Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

13 -7 Cpíulo Cpíulo Cpíulo Cpíulo. Méodo memáio de omió. Méodo memáio de omió. Méodo memáio de omió. Méodo memáio de omió Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7 Límie. U vlo límie e el vlo l que e e iiieimlmee u epeió udo u de u vile iede u vlo oe: i lim lim lim lim lim / lim / lim lim / lim < 8 Lo iguiee o lo eoem udmele de lo límie: B v u BC uvw C B w v u C w B v u ± ± ± ± lim lim lim eoe : lim lim lim Si 9 Si o e deiid p ; peo B lim eoe eá oiu p i e om omo vlo de p el vlo B: 4 4 lim 4 lim lge. Culquie iomio elevdo poei ee puede deolle medie l egl del iomio de Newo dode lo oeiiee e oiee po omiió e ímolo: ve l omdo omiió de ojeo!!! K Fómul de poduo ole y oiió: ± ± ± ± Popiedde de epoee y dile: m m m m m m / * Popiedde de lo logimo:

14 8 Cpíulo. Méodo memáio de omió -8 log log log log log log log log p p log log 4 Tigoomeí. U iueei e u uv ed uyo puo equidi uo ijo llmdo eo C u logiud e π iedo u dio; l elió ee l logiud del o el águlo uedido θ y el dio e ddo po θ dode θ e epe e die π d8. U iágulo equiláeo ióele o eleo de ldo y águlo B C de áe S oedee l ley de eo y oeo; i e u igulo eágulo oedee l eoem de Piágo el ul e dedue de l ley de oeo y que o9 : S i / i B i C o C P u igulo eágulo e deie l iguiee oe de u ldo: B C 5 i B / o B / B i B / o B / o B o B / i B / e B / o B / B / i B / 6 i B o B B e B o B B lim B B ± π / U líe e e u igu que olo iee eeió i e iú el plo eio XY y om u águlo θ o el eje X y p vé de do puo y y e deie u pediee omo mθy -y / - e deomi i l ooded y oded l ooded y; l iguiee o euioe de l e: y y y y y Euió : y y m y m y y Do : m y m y y y y 7 Fuió. U uió omió o pliió el de u vile y e u egl de oepodei que ig d X u elemeo epeíio y Y el ojuo X e llm domiio y l ojuo Y odomiio. El ojuo { X} e deomi go de y e u uojuo del odomiio e ímolo e eie omo: X Y domiio U y vloe ele y e deo po: :. U uió el de vile o : U R R y ig u el d puo del epio y. U uió veoil de vile o Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

15 -9 Cpíulo. Méodo memáio de omió domiio U y vloe veoile CCy e deo po y ig : U R R u veo d puo del epio y. E l oió y e deomi vile depediee e y vile idepediee. U uió e iyeiv i elemeo diio del go le oepode elemeo diio del domiio e uyeiv i p d y del go eie u del domiio l que y. Si l uió e iyeiv y ujeiv eoe e iyeiv iuívo o uió uo uo. U uió p umple que - ejemplo: o; de lo oio e uió imp --. E geel l uioe puede e: lgei poliomil iol o edele epoeil logími igooméi. g lgei K g y h o poliomio h edel{ log i o 8 El eipoo de u uió e /. L ive de u uió iyeiv y e deo po - y l uió y u ive ie que. L ive e oiee po do po: depej de y edeomi po y l uió eule e -. L uió logimo y epoeil o ive y log y. U uió e oiu i upu i lo e [] i umple l iguiee e odiioe: eie; eie;. U uió e lim peiódi y de peiodo p i e ie que eo y oeo o peiódi o pπ. lim p p R Z l uioe Numeo omplejo. U úmeo imgiio puo iee l om j R j i l oe i ioduid po Eule; e igeieí eléi e peiee u j po epee i l oiee eléi iee l popiedd de que i -. U úmeo omplejo j e ompoe de do pe u el Re[] y o imgii m[] R epd medie el ímolo imgiio; el ojuo de lo úmeo omplejo e epee po: C { j R j }. Puede e epedo e ulquie de l iguiee om egul epoeil pol eviió de l om epoeil igooméi y e el plo omplejo: Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7

16 Cpíulo. Méodo memáio de omió - ˆ j e ˆ jθ ˆ θ ˆ o θ j ˆ i θ m θ / gumeo o águlo de ˆ ˆ módulo vlo oluo o mgiud de ˆ ˆ* j ojugdo de ˆ ˆ * ˆ Z θ Re 9 El águlo θ popido e elije do e el ude ddo po iedo el águlo poiivo e eido hoio y egivo - e eido ihoio; e igeieí eléi e epe e gdo e íi e die diiguiédoe uo del oo po el uo de o múliplo de π. L oió egul e idóe p l um y e pe ele e um o pe ele pe imgii o pe imgii mie que l pol e idóe p l mulipliió y diviió po umpli o l leye de lo epoee e y B do úmeo omplejo eoe: ˆ j ˆ θ Bˆ jd Bˆ θ B ˆ Bˆ j d ˆ Bˆ j d ˆ * Bˆ ˆ Bˆ θ θ θ θ B ˆ Bˆ ˆ Bˆ B L iguiee ideidde o de g impoi: e j lim / θ lim π / θ θ j j / π / 9 y lim / θ lim π / - j - j / π / 9 j e j π / π / e π / π / -j 4 9 j j j j K j j j j K j jk j j K De lo eio e oluye l iguiee egl p el poduo uiio omplejo: el poduo de u úmeo omplejo po l oe imgii j oio u iemeo de 9 π/ d e el águlo de del úmeo omplejo e dei: ˆ ˆ φ jˆ ˆ φ π / jˆ ˆ φ π / Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

17 - Cpíulo. Méodo memáio de omió Se R eoe puede epeee omo u úmeo omplejo e om pol omo:. Se Zj Z C u iveo Y C e igul u eípoo y eá ddo po: Y ˆ / Zˆ /. L iguiee ideidd e ooe omo eoem de Demoive : Ze j θ Z o θ j i θ Z oθ j i θ j θ e Z 4 Fuió poliomil. E u uió lgei uyo émio o moomio; u moomio e u gupió de vile uyo epoee o eeo y y. Se P u poliomio e de gdo el eoem udmel del lge demodo po Gu im que u poliomio de gdo iee emee íe o eeimee dii que puede e ele o omplej oeid po oiió diviió iéi o medie poimioe uméi. P e emple l ómul udái. ± 4 5 U poliomio P L de gdo p el ul Z puede epeee omo u poduo de iomio de l om m m L mi Z lo vloe i e deomi íe del poliomio y o úmeo ele o omplejo. Se Z el eoem del eiduo im que i P e diviile ee el eiduo e P; el eoem del o im que i P eoe e u o de P. El méodo de diviió iéi pemie oee iemáimee el oiee C y el eiduo R de u poliomio P de gdo dividido po u o de l om iempe que Z C L R L L L ; P / : 6 U méodo uméio eiiee p el álulo de íe e el de Newo que equiee u vlo iiil p méodo ieo y uy euió de euei e dd po: Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7

18 Cpíulo. Méodo memáio de omió - i i i i ' i < ε 7 Fuió iol. E quell que iee l om FP/Q. Siedo P y Q poliomio de R C. F e u ió popi i el gdo de Q e myo que el gdo de P e ió impopi e o oio. L ioe iole meudo e epee po oveiei omo u um ii de ioe pile F i omo oue e lguo o de iegió y e l deemiió de l omd ive de Lple eo e: P F F F KF Gdo Q > Gdo P Q L epeió eio puede eiie omo: 8 P Q P L L α R α α α Dode o oeiiee 9 R C y l elipe epee l epió e ioe pile de l íe de R; l íe del deomido e deomi polo -α l íe del umedo e deomi eo. Lo oeiiee eá ddo po: d P! d R α E el empleo de e euió oidéee que e eeio deiv olo e el o de eii íe epeid y que D FF. Oeve que e l evluió α mi u igo. Ejemplo.. Deompoe e ioe pile l iguiee uió iol que ivolu polo diio: F Soluió. plido l deompoiió e ioe pile e iee: Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

19 - Cpíulo Cpíulo Cpíulo Cpíulo. Méodo memáio de omió. Méodo memáio de omió. Méodo memáio de omió. Méodo memáio de omió Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7!! F d d d d Q P Ejemplo.4. Deompoe e ioe pile l iguiee uió iol que ivolu polo omplejo ojugdo: 5 F Soluió. plido l deompoiió e ioe pile e iee: [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] !.5 4! 5 j j j j F j j j j j j d d j j j j j j d d j j j j Q P j j j j Ejemplo.5. Deompoe e ioe pile l iguiee uió iol que ivolu polo múliple: F Soluió. plido l deompoiió e ioe pile e iee:!!! F d d d d d d Q P

20 4 Cpíulo. Méodo memáio de omió -4 Noió de oe de mio y um iiieimle Deivd. L deivd de u uió y e l ó de mio de l vile depediee y udo l vile idepediee mi iiieimlmee. Se P u puo lo lgo de l gái uv imge o de y l deivd e l pediee de l líe e gee l uv e l puo e imoli y deie po: y' y& y Dy ' dy d lim y lim El eoem de Rolle im que i u uió e oiu e [] y dieeile e y eoe eie u puo e l que. U oeuei e el eoem del vlo medio p l deivd y elee que: Se u uió oiu e ; e eiee dode > e deeiee dode < y eioi dode i e eiee o deeiee e [] e moóo e []. Lo puo íio de o quello vloe de p lo ule l pediee e igul eo e u máimo i mi de o ie i <; e u míimo i mi de - o ie i >. U uió puede e poimd e po u poliomio de gdo medie l eie de Tylo: ' '' K K!!! E l uió e poim u poliomio uyo oeiiee eá ddo po l iguiee ooid omo eie de Mlui: ' '' K K!!! 4 Se y g uioe dieeile y oe eoe e iee l iguiee popiedde de dieeiió: Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

21 -5 Cpíulo. Méodo memáio de omió u u d d d u du d d d d d du dv u v Lielidd d d d d du dv uv v u Regl del poduo d d d du dv v u d u d d Regl del oiee d v v u d d d u d u v v du dv du d Regl dv d oe de l poei * Regl de l de 5 plido l popiedde de dieeiió y l deiiió de deivd e h deolldo ómul de deivió p l piiple uioe omo l mod e l l.: Tl. Deivd de uioe elemele d l u d u d d d d d d du d log e log u u e d u d u u v du d u du l d e u vu du d v du v dv u l u d d d d d d i u o u du d o u i u d u e d d o u d d d d d du d du d u du d e u e u u du d u u o u du d d i u d d d o u u d u d u u du d du d d o u d u d e u d u u d u d u u du d du d du d du d Si y u uió oiu y dieeile e [] eoe l deivd de l uió ive - y e dd po / - e ímolo: i y iee omo ive d D dy dy ' d - y eoe : 6 U uió eplii iee l om y u uió implíi iee l om y udo o e poile epe eplíimee u uió e deiv implíimee y luego e oi p i e poile. Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7

22 6 Cpíulo. Méodo memáio de omió -6 U límie ideemido iee l om / o ie / l egl de L Hopil deid J. Beoulli e emple p el álulo de límie de om ideemid y elee que: ' lim lim g g' 7 egl. L opeió ive de l deivd e l ideivd o iegl y oie e hll l pimiiv dd u deivd o dieeil d y e deo po d. L iegl ideiid de d e d C iegió uyo oige e ulquie oe uld l e deivd e l pimiiv DC. Se y u uió oiu e el ievlo [] eoe l iegl deiid d yd epee el áe jo l uv C e l oe de egedd po y el eje de l dede h ; geoméimee e l um ooid omo um de Riem de eágulo de hu iiieiml d y lu ξ i dede h ξ i i e ímolo: i d lim i ξ i 8 L iegl e u um iiieiml l um e u opeió liel po lo o l iegl e u opeió liel u iegl deiid e l um de iegle deiid e go o límie de iegió mido el límie de iegió mi el igo de l iegl l iegl de h e eo: d R dg d d d d d d d d < < g d d 9 Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

23 -7 Cpíulo. Méodo memáio de omió Se u uió oiu e [] oideemo que [] llmemo mmi[] y llmemo Mm[] eoe el eoem del vlo medio p l iegl elee que eie u vlo e el ievlo [] p el ul: R m [ ] d M d d 4 Se F l ideivd de e dei F eoe el eoem udmel del álulo el ul eúe l oió de deivd o l oió de iegl elee que: d F F F F d 4 L logiud del o egeddo po l gái de u uió y de h eá ddo po: y / [ y' ] d [ y ' ] / dy 4 Clulo de iegle. P implii el álulo de iegle e h deolldo ee l uy ómul e dedue del eoem udmel del álulo l iegle de uioe elemele e mue e l l.. Cudo l uió o iee emej o u igu iegl de l l e emple iiio de iegió ee ule igu lo iguiee:. egió po pe: Dd l uió evlu deompóge de me l que e poile pli l iguiee ómul de iegió po pe: udv uv vdu : deompoe e u y dv ieg dv deiv u 4 evlu udv uv vdu. Se emple e lo o de dieeile que oiee: poduo; logimo; uioe igooméi ive. Ejemplo.6. pli iegió po pe p ieg o d demo que e d e l e C Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7

24 8 Cpíulo. Méodo memáio de omió -8 Soluió. Se pli lo e po e umedo y e iee que: udv uv udv uv u du d vdu i i d i o C u e du e d e d e d vdu e e d e e dv o d v dv e e d e d e e d e d l e C o d i d v e d e d e d. Deompoiió e ioe pile: P u uió iol popi e poile l deompoiió e ioe pile y l iegió epd de d ió eule.. Suiuió oveiee: Cie iegle equiee de emple ideidde o uiuioe que odu om iegle elemele; l l.4 mue u ojuo de iegle de ee ipo. 4. Fom vid: vee e eeio eepe l iegl de me que eule u om ooid o áilmee iegle: Ejemplo.7. eg e d. Soluió. Muliplido y dividedo po e eul: e e e d e d e d l e C e e Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

25 -9 Cpíulo. Méodo memáio de omió Tl. egle de uioe elemele udv uv u du vdu u C du u i udu o u C i C u du u o udu i u C C u du du u l u C u udu l e u C l C u u u u du u e du e C o udu l i u C e C u u u u du C e udu l e u u C i udu uiu u C l u u e ue du u C udu l u o u C o udu u o u- u C u e u u u e du u u e du C e u udu e u C udu u u- l u C l udu u l u u C u o udu u C o udu uou l u C l u u l udu u C udu u C e u e u l udu e l u du u udu o u C u du ll u C u l u C e e udu ue u l u u C udu u u l u u Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7

26 Cpíulo. Méodo memáio de omió - Tl.4 Suiuioe oveiee p iegió de uioe Fom odiió uiuió iegl eule m i u o udu { Z % } m i u o udu { Z % } m i u o udu m { Z % } m i u o u o u i u m [ o u o u ] i u o u i u o u m [ i u i u ] i u o u o u vi om elemele i udu o udu i mu o udu i mu i udu o mu o udu m m { Z } i mu o mu i m u i m u o m u m o m u m i mu o udu i mu i udu o mu o udu C C C udu { Z } u u u u e u ue u du udu o { Z } m u e udu { Z } % m u e udu m { Z } % u du { Q R } u du { Q R } o u o u o u o u u e u o u u du u [ u ] m u u m u e u u i du o d u o u e u u du e d u e udu m m [ e ue u ] o e o d e d e u udu u du { Q R } u e du e d u e d El opedo modulo e deig po % y devuelve el eiduo de u diviió ee: 5%. Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

27 - Cpíulo. Méodo memáio de omió Noió iegodieeil U iem íio e u ee o eíi popi que e íl p u eudio do e l leye epeimele de l íi. Lo piipio del lge ái o uiiee p l modelió de iem eáio. Si emgo l máqui y poeo ule o iiile o e lo gdo diámio le iem diámio e model medie euioe iegodieeile. Euioe iegodieeile U euió e u iguldd que e umple p ieo vloe de l vile o uió que ieviee e ell. U euió dieeil ED ivolu u uió u deivd y l vile idepediee U euió iegodieeil ED iluye demá iegle de l uió de u deivd o de l vile idepediee. El ode O e deemi po l deivd myo el gdo G e deemi po el epoee de l deivd de myo ode. L ED puede e odii EDO o pil EDP egú iluy deivd odii o pile. L ED e liel gdo i lo e e l vile depediee y od u deivd e homogée '' y y' y i o hy émio que e uioe ólo de l vile idepediee. L pimiiv o oluió e l uió que ie l ED y puede e implíi o eplii. L oluió geel de l ED de ode edá oe ii l oluió piul e l deemiió de lo vloe de l oe ii y e oiee de odiioe iiile de l uió y u deivd. ED de pime ode y pime gdo L ED de gdo y ode iee l om F y y' dode y y y u oluió e y C y C. Lo méodo de oluió depede de u om lo iguiee o lo má omue: om iegle vile eple euioe e euioe homogée euioe liele. Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7

28 Cpíulo. Méodo memáio de omió - Fom iegle * U ED de vile eple de l om P Q y y' e euelve epdo vile depediee e idepediee e iegdo: P Q y y' P d Q y dy C 4 * U ED de l om P y d Q y dy e e i P / y Q /. Siedo y C P y y / y Q y y / y. Eoe u pimiiv e y e oiee iemáimee po iegió pil: d Pd y Pd φ y dφ Pd Q φ Q y y dy y Pd y Q y Pd dy Pd dy 44 * U euió de l om y e die que e homogée y de gdo i l uiui po λ e y po λy e umple que λλy λ y. U ED de l om P y d Q y dy e homogée i o P omo Q o homogée y del mimo gdo. L omió om: y v dy vd dv edue l ED homogée l P v d Q v dv 45 Y e euelve po epió de vile. Depué de ieg e uiuye v po y/ p eo l vile oigile. Euió liel U euió liel de gdo de l om y ' yp Q e euelve oidedo el o iege Pd µ e y u pimiiv e: y Pd Q Pd y -Pd Q Pd C -Pd e e e e e y p y h 46 y p e deomi oluió piul o epue e edo ele y h oluió homogée o epue ioi poviee de l ED homogée oid y ' yp. Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

29 - Cpíulo. Méodo memáio de omió U euió de l om y' yp y Q e ooe omo euió de Beoulli y e edue liel medie l omió v y : v y y dv dy dy dv y y d d d d dy dy yp y Q y y P Q d d dv dv vp Q v{ P } Q d d 47 ED de pime ode y gdo upeio L EDO de ode y gdo iee l om: y P y y'... P y y' P y Si epemo p y' omo u poliomio de p: p '. eoe u ED ode y gdo puede eiie P y p... P y p P y 48 ED que e puede eolve epeo p. Coide l ED omo u poliomio de p oi pf pf L pf y eolve d ED eule de pime gdo y' F y uy oluió e y C eoe l oluió geel e epe omo el poduo de l oluioe piule: y C y C K y C 49 Oo o epeile de po pliió pái iluye oluió epeo e y. L ED de Cliu e y y u oluió e y C C. ED liel de ode upeio L ED liel de ode upeio iee l om P y P y K P y P y Q dode y e l -éim deivd de gdo lo oeiiee P o uioe de l vile idepediee P o oe y el émio idepediee Q u uió Q u oe o eo. U EDO liel de oeiiee oe de gdo e puede omo u poliomio e l deivd de gdo y eolve po vio Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7

30 4 Cpíulo. Méodo memáio de omió -4 méodo l euió e deomi ivie e el iempo y iee g pliió e lo iem de ool y e geel e l deipió íi de g viedd de eómeo ule. L ED liel de oeiiee oe de ode e euelve po vio méodo ie deiido: oeiiee ideemido viió de pámeo méodo del opedo D y omd de Lple. Lo pimeo do o de eyo y eo l omd de Lple e u omliió de lo méodo de opedo y e dieo y e el méodo diiol p el eudio de lo iem de ool. oiuió e mue l ED liel ivie de ode upeio í omo u oluió geel que o de l um de oluioe lielmee idepediee: y y e y e K y K e y y me de ejemplo e epodá l oluió de l ED de ode : 5 y y y 5 L euió eíi o uili oid e puede eolve po l ómul udái y e iee o egú u íe e ele o omplej: Co - íe ele dii : 5 y e e Co - íe ele e igule : 5 y e e 54 Co - íe omplej ojugd j -j: i j j y e e e o 55 Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

31 -5 Cpíulo. Méodo memáio de omió Noió miil y iem de euioe liele U mi idimeiol e u eglo egul m de eld dipue e m il y olum. Se u mi m e i el ídie de il y j el ídie de olum e deo po ij ulquie elemeo de l mi y l mi po ij. L pue de u mi e om mido l il po l olum y e deo po T o e dei: ij T ji. L mie de ele e lii e: -udd de ode -mi o ; ideidd uo e u digol piipl DP eo e o pe; igul upeio MTS o igul ieio MT egú eg eo dejo o oe l DP; digol eo e ulquie pe que o e l DP; iméi i T ; iiméi i T -; oogol i T T - T dode - e l mi ive de y umple que - ; oml quell que omu o u pue T T ejemplo: iméi iiméi y oogol. Se y B do mie m y p q. L um y e olo eá deiid p mie de igul dimeió mp y q e deie po ij ij y ij- ij; el poduo po u el e deie po ij. U veo il i e u mi u veo olum j e u mi m y e deie u poduo el udo m po i j i j. L mulipliió olo e deiid i el umeo de olum de e igul l umeo de il de B e dei p l mi eule C eá m q y e eeú omo el poduo el de d veo il de deodo po [ i ] po d veo olum de B deodo po [B j ] e dei ij [ i ] [B j ]. L diviió de ee B e deie po /BB -. El deemie de u mi -udd e deo po de G e u el o u vlo oluo y e oiee po euividd. d elemeo ij de l - mi le oepode u igo ddo po - ij e dei: -- ; l umi de ij e quell -mi que e oiee elimido l i-éim il y l j-éim olum; el meo M ij de ij e el deemie de u umi M ij ij ; el oo o djuo de ij e deie po - ij *M ij. El deemie de u -mi e l um de Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7

32 6 Cpíulo. Méodo memáio de omió -6 lo poduo de lo elemeo de ulquie il o olum po u oepodiee ooe e ímolo: K {K } ij i j K i * i o ij j j * * ij ij oo. Ejemplo: ij i j K i * j * ij 56 O om de epe euivmee el deemie e omo igue: Si e u -mi e ij l --mi oeid pi de upimiedo u i-éimo egló y u j-éim olum. Eoe el deemie lo lgo de u i-éimo egló eá ddo po: j i j ij * * ij i ij 57 P u mi de eie u méodo ooido omo egl de Su y oie e dupli l il y e l pe ieio de l mi el deemie e l um de lo poduo de lo elemeo digole hi jo o poiivo y hi i o egivo e dei: 58 Si u -mi iee omo ive - e die que e egul o iveile de lo oio eá igul o o iveile y ie que - - y e oiee po omioe elemele de egló TER méodo de Gu-Jod oe l mi umed de o l mi ideidd : de me l que e oeg : - o ie po deemie. Se u el y u ídie { } l TER o: [ i][ ] [ j][ ]; [ i] [ j]; [ i]±[ i] [ j]±[ j]; e geel ee poedimieo e ieivo. Empledo deemie l ive de e dd po: T o ij dj 59 Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

33 Cpíulo Cpíulo Cpíulo Cpíulo. Méodo memáio de omió. Méodo memáio de omió. Méodo memáio de omió. Méodo memáio de omió Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7 P u mi de -udd e iee que: - de dj o dj o - de T 6 Ejemplo.8. Deemi l ive de empledo deemie. Soluió. Se deemi el deemie de ; e eue l mi de ooe y l mi dju; e pli l omul: ij Co dj Co y olum ij: elimi l il l de l umie oeid o lo deemie elemeo Lo ooe de d iee ive 5 de dj T U iem de euioe liele e el que lo oeiiee e deo po ij l vile po ij y lo émio idepediee po Y i puede ome miilmee e: u mi de oeiiee -udd u veo olum de - iógi X y u veo olum de -émio idepediee Y; uy elió ee í e: XY l mi umed del iem MS e epee po :Y. y y y y M M M M M M M Y X y y y y K K K K K K K K K K K 6 L oluió X e om miil e dd po X - Y. i mimo p hll l j-éim iógi j e emple l egl de Cme que oie e uiui

34 Cpíulo Cpíulo Cpíulo Cpíulo. Méodo memáio de omió Méodo memáio de omió Méodo memáio de omió Méodo memáio de omió Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi l j-éim olum de l mi de oeiiee uyo deemie e G po el veo olum de émio idepediee y hll u deemie deodo po j de me que j j/ G. Lo méodo euivo epueo o úile p iem pequeño; i emgo p gde iem omo l mie de dmii de u ed eléi e emple méodo uy e o l TER y o e eei ieivo. El méodo de Gu MG oie e om l MS pli TER y om u MTS y eli uiuió egeiv. El méodo de Gu-Jod oie e om l MS pli TER y om u mi ideidd eoe el veo de umeo edá lo vloe de l iógi. Ejemplo.9. Reolve el iem de euioe liele po omioe elemele de egló Soluió. plido l TER l mi umed del iem e iee que: R R R R R R R R R R R R R R R Lo méodo de poimioe omo Joi y Gu-Seidel oide euioe de euei p d i uy poimió e ie udo l dieei ee vloe imedio e u iiiéimo ε.

35 -9 Cpíulo. Méodo memáio de omió y i i y i i < ε [ y i ] Joi i [ y i i ] Gu - Seidel 6 loe y veoe eíio de mie udd Se die que u úmeo λ λ R C e u vlo popio vlo eíio o eigevlo de u mi -udd i eie u -veo popio -veo eíio o -eigeveo K oepodiee l vlo popio λ y ie que: KλK. E epeió e epee omúmee po: - λ K 6 Siedo l -mi ideidd. E om eedid l euió eio e epe po: λ LL L λ L LLL L L LL λ M 64 U iem homogéeo de euioe liele o iógi iee u oluió o ivil i y ólo i el deemie de l mi de oeiiee e igul eo. Ee piipio equiee que: λ de 65 El deollo de ee deemie podue u poliomio de gdo e λ ooido omo euió eíi l íe del poliomio o lo vloe popio; y l uiuió de u vlo piul de λ e el iem - λ K pemie hll el veo eíio; po oluió del iem igul eule lo ul equiee l igió de u vlo iio p u ompoee del veo eíio po ejemplo v. Ejemplo.. Deemi lo vloe y veoe eíio de. Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7

36 Cpíulo Cpíulo Cpíulo Cpíulo. Méodo memáio de omió Méodo memáio de omió Méodo memáio de omió Méodo memáio de omió - Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi 6 Soluió. Se deemi el poliomio eíio y u íe; e emple lo vloe eíio y e euelve el iem igul p hll d veo eíio e dei: - i : P - i : P i 6 6 : P de de eglo elemele opeeioe de eglo elemele opeeioe K K K R R R R R R R λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ

37 - Cpíulo. Méodo memáio de omió Cle e C p el mejo de veoe mie y deemie o l opeioe elemele. % Cle p el mejo de veoe. e_io@homil.om [M 6] % hivo de delió: eo.h % Cle p el mejo de mie do e l le eo. e_io@homil.om [M 6] % hivo de delió: Mi.h l eo { puli: pive: }; eo ; eo o eo& eo; eplii eo i isie; viul eo ; eo& opeo o eo& eo; eo& opeo o eo& eo; eo& opeo- o eo& eo; eo& opeo doule dnum; eo& opeo- doule dnum; eo& opeo* doule dnum; eo& opeo/ doule dnum; ool opeo o eo& eo; ool opeo! o eo& eo; eo opeo- o; eo opeo o eo& eo o; eo opeo- o eo& eo o; doule opeo* o eo& eo o; ied eo opeo o eo& eo doule dnum; ied eo opeo doule dnum o eo& eo; ied eo opeo- o eo& eo doule dnum; ied eo opeo- doule dnum o eo& eo; ied eo opeo* o eo& eo doule dnum; ied eo opeo* doule dnum o eo& eo; ied eo opeo/ o eo& eo doule dnum; doule opeo[] i ide o; doule& opeo[] i ide; i GeSie void o { eu _isie; } i _isie; doule* _pdy; #ilude "eo.h" l Mi { puli: Mi ; Mi o Mi& Mi; Mi i irow i icolum; viul Mi ; Mi& opeo o Mi& Mi; Mi& opeo o Mi& Mi; Mi& opeo- o Mi& Mi; Mi& opeo* o Mi& Mi; ool opeoo Mi& Mi; ool opeo!o Mi& Mi; Mi opeo o Mi& Mi o; ied Mi opeo o Mi& Mi doule dnum; ied Mi opeo doule dnum o Mi& Mi; Mi opeo- o; Mi opeo- o Mi& Mi o; ied Mi opeo- o Mi& Mi doule dnum; ied Mi opeo- doule dnum o Mi& Mi; Mi opeo* o Mi& Mi o; ied Mi opeo* o Mi& Mi doule dnum; ied Mi opeo* doule dnum o Mi& Mi; ied Mi opeo/ o Mi& Mi doule dnum; doule opeo! ; Mi opeo ; eo opeo[] i ide o; eo& opeo[] i ide; void Pivoid; eo GeRow i ide o; eo GeColum i ide o; i GeRow void o { eu _irow; } i GeColum void o { eu _icolum; } void RemoveRow i ide; void RemoveColum i ide; pive: ool lidesie o Mi& Mi o; i _irow; i _icolum; }; eo* _peo; Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7

38 } eu veo; Cpíulo. Méodo memáio de omió - % Cle p el mejo de veoe. e_io@homil.om [M 6] % hivo de implemeió: eo.pp #ilude "eo.h" eo::eo : _isie _pdy { } eo::eoo eo& eo : _isieeo._isie _pdy { _pdy ew doule[_isie]; mempy_pdy eo._pdy _isie*ieodoule; } eo::eoi isie : _isieisie _pdy { _pdy ew doule[isie]; meme_pdy isie*ieodoule; } eo::eo { i! _pdy { delee[] _pdy; _pdy ; } } eo& eo::opeoo eo& eo { i hi! &eo { i! _pdy { delee[] _pdy; _pdy ; } _isie eo._isie; _pdy ew doule[_isie]; mempy_pdy eo._pdy _isie*ieodoule; } eu *hi; } eo& eo::opeoo eo& eo { *hi *hi eo; eu *hi; } eo& eo::opeo-o eo& eo { *hi *hi - eo; eu *hi; } eo& eo::opeodoule dnum { *hi *hi dnum; eu *hi; } eo& eo::opeo-doule dnum { *hi *hi - dnum; eu *hi; } eo& eo::opeo*doule dnum { *hi *hi * dnum; eu *hi; } eo& eo::opeo/doule dnum { *hi *hi / dnum; eu *hi; } ool eo::opeoo eo& eo { ool Equl le; i eo._isie! _isie { // THROW EXCEPTON } i memmp_pdy eo._pdy _isie*ieodoule { Equl ue; } eu Equl; } ool eo::opeo!o eo& eo { eu!opeoeo; } } eo eo::opeoo eo& eo o { eo veo_isie; o i i ; i < _isie; i { veo._pdy[i] _pdy[i] eo._pdy[i]; } eu veo; } eo eo::opeo-o eo& eo o { eu opeo-eo; } doule eo::opeo*o eo& eo o { doule dmg ; i _isie! eo._isie { // THROW EXCEPTON } o i i ; i < _isie; i { dmg _pdy[i] * eo._pdy[i]; } eu dmg; } eo opeoo eo& eo doule dnum { eo veoeo._isie; o i i ; i < eo._isie; i { veo._pdy[i] eo._pdy[i] dnum; } eu veo; } eo opeodoule dnum o eo& eo { eu opeoeo dnum; } eo opeo-o eo& eo doule dnum { eo veoeo._isie; o i i ; i < eo._isie; i { veo._pdy[i] eo._pdy[i] - dnum; } eu veo; } eo opeo-doule dnum o eo& eo { eu -opeo-eo dnum; } eo opeo*o eo& eo doule dnum { eo veoeo._isie; o i i ; i < eo._isie; i { veo._pdy[i] eo._pdy[i] * dnum; } eu veo; } eo opeo*doule dnum o eo& eo { eu opeo*eo dnum; } eo opeo/o eo& eo doule dnum { eu opeo*eo /dnum; } doule eo::opeo[]i ide o { i ide > _isie ide < { // THROW EXCEPTON } eu _pdy[ide]; } doule& eo::opeo[]i ide { i ide > _isie ide < { // THROW EXCEPTON } eu _pdy[ide]; } eo eo::opeo- o { eo veo_isie; o i i ; i < _isie; i { veo._pdy[i] -_pdy[i]; Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

39 - Cpíulo mi.lidesiemi;. Méodo memáio de omió % Cle p el mejo de mie. e_io@homil.om [M 6] % hivo de implemeió: Mi.pp #ilude "Mi.h" Mi::Mi : _irow _icolum _peo { } Mi::Mio Mi& Mi : _irowmi._irow _icolummi._icolum _peo { _peo ew eo[_irow]; o i i ; i < _irow; i { _peo[i] Mi._peo[i]; } } Mi::Mii irow i icolum : _irowirow _icolumicolum _peo { eo veo_icolum; _peo ew eo[_irow]; o i i ; i < _irow; i { _peo[i] veo; } } Mi::Mi { i! _peo { delee[] _peo; _peo ; } } Mi& Mi::opeoo Mi& Mi { i hi! &Mi { i! _peo { delee[] _peo; _peo ; } _irow Mi._iRow; _icolum Mi._iColum; _peo ew eo[_irow]; o i i ; i < _irow; i { _peo[i] Mi._peo[i]; } } eu *hi; } Mi& Mi::opeoo Mi& Mi { *hi *hi Mi; eu *hi; } Mi& Mi::opeo-o Mi& Mi { *hi *hi - Mi; eu *hi; } Mi& Mi::opeo*o Mi& Mi { *hi *hi * Mi; eu *hi; } ool Mi::opeoo Mi& Mi { ool Equl ue; o i i ; i < _irow; i { i _peo[i]! Mi._peo[i] { Equl le; e; } } eu Equl; } ool Mi::opeo!o Mi& Mi { eu!opeomi; } Mi Mi::opeoo Mi& Mi o { Mi mi_irow _icolum; lidesiemi; o i i ; i < mi._irow; i { mi._peo[i] dnum Mi._peo[i]; } eu mi; } Mi opeodoule dnum o Mi& Mi { eu opeomi dnum; } Mi Mi::opeo- o { Mi mi*hi; o i i ; i < _irow; i { mi._peo[i] -_peo[i]; } eu mi; } Mi Mi::opeo-o Mi& Mi o { eu *hi -Mi; } Mi opeo-o Mi& Mi doule dnum { eu opeomi -dnum; } Mi opeo-doule dnum o Mi& Mi { eu -opeo-dnum Mi; } Mi Mi::opeo*o Mi& Mi o { Mi mi_irow Mi._iColum; i _icolum! Mi._iRow { // THROW EXCEPTON } o i i ; i < _irow; i { o i j ; j < Mi._iColum; j { mi[i][j] _peo[i] * Mi.GeColumj; } } eu mi; } Mi opeo*o Mi& Mi doule dnum { Mi mimi._irow Mi._iColum; mi.lidesiemi; o i i ; i < mi._irow; i { mi._peo[i] Mi._peo[i] * dnum; } eu mi; } Mi opeo*doule dnum o Mi& Mi { eu opeo*mi dnum; } Mi opeo/o Mi& Mi doule dnum { eu opeo*mi /dnum; } doule Mi::opeo! { doule dde ; i isig ; i _irow! _icolum _irow { // THROW EXCEPTON } i _irow { dde _peo[][]; } ele { Mi misu; o i j ; j < _icolum; j { misu *hi; misu.removerow; misu.removecolumj; isig j %? : -; dde isig * _peo[][j] *!misu; } } eu dde; } Mi Mi::opeo { Mi mi_icolum _irow; o i i ; i < _irow; i { o i j ; j < _icolum; j { mi[j][i] _peo[i][j]; } } eu mi; o i i ; i < _irow; i { mi._peo[i] _peo[i] Mi._peo[i]; } eu mi; } Mi opeoo Mi& Mi doule dnum { Piipio íio y memáio p el álii de iem } diámio. oduió l ool - Myo 7 Mi mimi._irow Mi._iColum; eo Mi::opeo[]i ide o

40 { } i _peo 4 Cpíulo. Méodo memáio de omió -4 { // TROW EXCEPTON } i ide > _irow { // TROW EXCEPTON } eu _peo[ide]; eo& Mi::opeo[]i ide { i _peo { // TROW EXCEPTON } i ide > _irow { // TROW EXCEPTON } eu _peo[ide]; } eo Mi::GeRowi ide o { i _peo { // TROW EXCEPTON } i ide > _irow { // TROW EXCEPTON } eu _peo[ide]; } eo Mi::GeColumi ide o { eo veo_irow; o i i ; i < _irow; i { veo[i] _peo[i][ide]; } } eu veo; ool Mi::lideSieo Mi& Mi o { i _irow! Mi._iRow { // THROW EXCEPTON } i _icolum! Mi._iColum { // THROW EXCEPTON } eu ue; } void Mi::RemoveRowi ide { Mi micopy_irow- _icolum; o i i j ; i < _irow; i { i ide i { oiue; } micopy[j] _peo[i]; } opeomicopy; } void Mi::RemoveColumi ide { Mi micopy*hi; micopy.removerowide; opeomicopy; } Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

41 % Tomió de u mi udd e igul upeio. e_io@homil.om [Ml 5] % Méodo de Gu. hivo mtts.m % Ed.: mi mynn % Slid..: l mi omd e Tigul Supeio: mts % Uo...: mttsmy -5 Cpíulo. Méodo memáio de omió uio [mts] mttsmy mtsmy; NiemY; i iemyn he dip' Eo! l mi my dee e NN.' eu; ed %elimiió del igulo upeio o :N- o :N %No mts: he eeei l il omple de mts mts:mts:-mts:*mts/mts ed ed eu; % Soluió del iem de euioe po uiuió hi á. e_io@homil.om [Ml 5] % hivo: msolvets.m % Ed.: mi igul upeio mtsnn % Slid..: u veo oluió vsn % Uo...: msolvetsmts uio [vs] msolvetsmts NiemTS; vseon; i iemtsn he dip' Eo! l mi mts dee e NN' eu; ed %uiuió hi N; o :N N; umuldo; o m:n- umuldo umuldo mts*vs; -; ed vsmtsn-umuldo / mts; -; ed eu; % Soluió del iem de euioe po méodo ieivo de Joi. e_io@homil.om [Ml 5] % hivo: mjoi.m % Ed.: mi de oeiiee mynn % veo de émio idepediee vyn % Slid..: u veo oluió vsn % Uo...: mjoimy uio [X] mjoim vy Niem; i ievyn he dip' Eo! l mi mts dee e NN' eu; ed %l mie iee uo omo vloe iiile XoeN; XOldoeN; %umeo máimo de ieioe MXTER %Eo máimo pemiido ME. dele; %omio de l mi D DeoNN; vdigdigm; o :N Dvdig; ed MivD*D-m; uex; h; while uex<n uex; %oiee lo vloe iogi ieivmee XM*XOld ivd*vy; o :N delex-xold/xold; i dele<me uexuex; ed ed XOldX; hh; i h>mxter dip' Eo! El méodo o ovege'; e; ed ed eu; Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7

42 6 Cpíulo. Méodo memáio de omió -6 Noió veoil E l íi lái Newoi e l que v << odo eveo e el epio puede e deio po u 4-upl y; el epio y o e deom o l veloidd v y el iempo e idepediee del mo de eeei elegido. E el epio u puo e u id oded de ele Py u el e ulquie úmeo el geoméimee u veo e u egmeo de e diigido que ue do puo PQ que iee omo popiedde: mgiud y dieió y e puede eii omo u id oded EE E E iedo E E E u ompoee ele lo lgo de eje muumee pepediule y e u iem oodedo oogol eio egul. L logiud mgiud vlo oluo om o módulo del veo e E E E E u dieió eá dd po el veo omlido o uiio de logiud uidd epeo lo eje y o E θ E o E E o y E θ E oθ θ θ θ y E E ˆ E / E u águlo dieoe y e elio o u ompoee po. Se uili veoe ooomle o de l e ói uiio lo lgo de lo eje oodedo i j p epee u veo omo EE ie je. U puo Py puede e deio po u veo de poiió y ijo o ligdo l oige O y e epe omo P ddo do puo P y Q el veo que v de P Q e PQ Q P iedo u mgiud l dii PQ. U veo lie puede e lddo e el epio oevdo u mgiud y dieió e viud de lo ul lo veoe o u mim popiedde e die que o equipolee. lge veoil Se y BB B B do veoe; u um e B el poduo po u el e B el egivo o veo de eido opueo e -B u dieei e -B el poduo el poduo ieo o poduo puo e deie po B el poduo veoil poduo eeo o poduo u e deie po B el veo eule e pepediul oogol o oml l plo B u dieió e deemi po l egl de l mo deeh: iee l mo deeh e dieió de hi B y el pulg idi l dieió de B. Se u Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

43 Cpíulo Cpíulo Cpíulo Cpíulo. Méodo memáio de omió. Méodo memáio de omió. Méodo memáio de omió. Méodo memáio de omió Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7 veo CC C C e deie el iple poduo el omo B C y el iple poduo veoil po B C e dei: C B B C C B C C C B B B C B C B B B B B j i B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B ue plo B hi l oml veo ṋ e el ˆ i o θ θ 66 L mgiud de puede deemie pi del poduo puo l ompoee de oe B omp B e u el l poyeió de oe B poy B e u veo uy mgiud e l ompoee de oe B y uy dieió e l de B. B B B B omp B B omp poy B B omp B B B B B ˆ oθ 67 Geomeí veoil L euió de l e M l qued deemid po u veo uy pu o l e y oo veo MM M M e l dieió de l mim iedo u el; o ie po do puo PP P P QQ Q Q lo lgo de l mim.

44 Cpíulo Cpíulo Cpíulo Cpíulo. Méodo memáio de omió Méodo memáio de omió Méodo memáio de omió Méodo memáio de omió Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi P Q P P Q P y P Q P Q Q Q P P P P M M y M y M M M P Q - P l Q M l l M 68 L euió del plo y qued omplemee deemid po u puo PP P P y u veo oml l plo ; o ie po e puo B C o oliele oliel lo lgo de l mim líe. L dii del puo QQ Q Q l plo y e deo po d. Q Q Q Q Q Q d C C C B B B j i C B C C C C B B B P P P y P P P P 69 Cálulo veoil Cuv upeiie ólido y egioe. L gái de u uió y e el ojuo de odo lo puo e el plo y y eged u uv y p u álii ompleo el álulo de u vile. L gái de u uió y e el ojuo de lo puo e el epio y y eged u upeiie y p u álii ompleo e equiee el álulo mulivile. U ólido e u uepo que e geedo hiedo gi u uv e oo u eje ijo o ie depldo lielmee u upeiie oml u plo. U egió e l e e u egmeo e el plo e u áe y e el epio e u volume. Fuió el mulivile y veoil. U uió el mulivile e quell que o de o má vile idepediee po ejemplo: y o

45 Cpíulo Cpíulo Cpíulo Cpíulo. Méodo memáio de omió. Méodo memáio de omió. Méodo memáio de omió. Méodo memáio de omió Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7 uy y e deo po : R R U. U uió veoil EEy ig veoe d puo del epio e dei e u veo uy ompoee E E E o uioe ele de y: E y E gy E hy e deo po : R R U. E geel u uió de domiio U e deie po m R R U : y eá uió de vloe ele i m y uió de vloe veoile i m>. Deivd pil. L deivd pil d l ó de mio de u uió e u dieió. Coideemo l uió y oiu e el ievlo y dieeile e deie l deivd pil / de l uió epeo de oidedo l o vile y omo oe l deiv l deivd pil ueiv de ode N iee l om / l deivd pil ied o mi de ode e y / el ode de deivió y e ieleve l dieeil ol de e d e ímolo: ol Dieeil y de ode ied pil Deivd y y y de ode ueiv pil Deivd pil Deivd lim y d dy d d y y y y K 7 Regl de l de. Se pli l deiv uioe de uioe. Se u uió gy e iee o: que y e uioe de o ie que y e uioe del mimo pámeo eoe: g y y g g d dg y y gy g g y y g g g g y y g g g g y y g g g y y gy g 7 Deivd veoil. Si uu e u uió el y BB o uioe veoile uy ompoee o uioe del pámeo eoe:

46 4 Cpíulo. Méodo memáio de omió -4 D D D D B B D B D B u ud D u B D B D B D B D B B B B B u u 7 D D D D d id ˆ ˆjd d ˆ Cmpo el y veoil. U mpo e u egió poió o pe del epio que e puede deii po u uió el o veoil e d uo de u puo. Se y u veo de poiió que deie d puo del epio e el que ú u mpo. U mpo el o mpo poeil Φ Φ ig u el d puo del epio mpo ele: empeu deidd l upeiie o Φ e e deomi equipoeile. U mpo veoil E E ig u veo d puo del epio mpo veoile: mpo eléio mpo mgéio mpo gviiol gáimee lo veoe que le de l uee mpo e epee omo líe de lujo o mgiud popoiol y dieió igul l veo e ee puo. U mpo veoil E e el epio R iee e ompoee E E E i d ompoee e u uió de vile e die que el mpo e de le C. Po ejemplo Ey e u mpo uy ompoee o uioe de vile y y e de le C ; E e u mpo uy ompoee o uioe de vile y e de le C. Gdiee deivd dieiol divegei lplio y oiol. Se deie l opedo l o del omo u veo de deivd pile / y / /. Se y u veo de poiió y Φ Φ u mpo el y EE u mpo veoil. El gdiee gd Φ Φ e el poduo del opedo l o l uió el y gee u veo uy ompoee o l deivd pile de Φ el gdiee de u mpo el e u veo que epee o l mgiud omo l dieió de l máim pide de iemeo del mpo. L deivd dieiol de Φ e dieió del veo uiio de E e D E opedo l o u uió veoil Φ Φ Eˆ. L divegei e el poduo puo del dive E l divegei de u mpo veoil e u puo ddo puede oidee omo u medid del gdo e que el mpo divege o em de l puo. El lplio de u mpo el Φ e l divegei del gdiee de Φ: Φ Φ y e u el. El oiol e el poduo u del opedo l o u uió Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

47 Cpíulo Cpíulo Cpíulo Cpíulo. Méodo memáio de omió. Méodo memáio de omió. Méodo memáio de omió. Méodo memáio de omió Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7 veoil E oe el oiol de u mpo veoil e u puo ddo puede oidee omo el gdo e que el mpo gi lededo de l puo. E ímolo: oiol ˆ ĵ î E oe lplio divegei ˆ ˆ E E E / / / E dive dieiol deivd Ê gdiee ˆ ˆ ˆ mpo veoil E E mpo el y ˆ ˆ ˆ / / / ˆ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ E E E y y E y E j E y D y j i gd y E j i y del E 7 lgu ideidde ái del álii veoil e li oiuió: g g g g div g div g g g g o F of F o of div og F of G G F div F F div G div G o F o G F o G div F div G F div g g g g g g g g g * * * * * * * * * * * / / * 74 egle dole y iple. Se y u upeiie elevd oe el plo XY hi el eje Z ; S u egió e el plo XY limid po do e plel l eje Y: le que > y limid po do uv φ φ le que φ >φ eoe l iegl dole de oe l egió S epee el volume del ólido uy lu e y u e e S i y e oiee el áe de l egió S: R R d dy dyd d d dy y dyd y d y φ φ φ φ φ φ φ φ 75

48 4 Cpíulo. Méodo memáio de omió -4 Coideemo u egió W e el epio uy deidd ee dd po u uió y eoe el volume y l m m de l egió eá dd po l iegl iple de e l egió S e ímolo: m W W ddyd y ddyd 76 E geel l iegle múliple o iegle ied y d iegl e u iegl pil o impodo el ode de iegió iempe que e ome lo límie popidmee. Elemeo dieeile veoile de logiud áe y volume. U deplmieo dieeil e el epio e u veo uyo ompoee o deplmieo dieeile lo lgo de lo eje oodedo d l d dy d. El áe oml dieeil e u veo pepediul l plo de do elemeo dieeile de logiud ds dyd dyd dd dsˆ. El volume dieeil e u el dv ddyd. egl de yeoi líe y upeiie. L iegle que ivolu l um de oiuioe que u mpo el o veoil povo lo lgo de u uv vé de u upeiie o e el ieio de u volume iee pliioe íi impoe. U líe e el ooo de u uv ie lid o lid po pe o ed imple o o imple o odo. Coideemo do puo P y Q lo lgo de u uv C y u mpo el y y u mpo veoil EEE E E e el epio dode e iú l uv l líe podí e u epi de lme ime e u mpo mgéio emiido po do mgeo pemee. Se deie l iegl de yeoi omo l um de l oiuioe del mpo el lo lgo de l uv C. Se deie l iegl de líe omo l um de lo ompoee del mpo lo lgo de l uv E dl dede P h Q. Si l uv e ed e deo l iegl po el ímolo y e deomi iulió del mpo. L iegl de upeiie de u mpo veoil que p vé de u Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

49 -4 Cpíulo. Méodo memáio de omió upeiie S e l idd e de luido que luye vé de l upeiie po uidd de iempo e dei l ó de lujo: F S ds. Teoem del álulo veoil. El eoem de divegei o de Gu-Oogdy elee que: el lujo eo del mpo veoil E que le de l upeiie ed S e igul l iegl de volume de l divegei del mpo E: E ds Ed S 77 El eoem de oiol o eoem de Soe elee que: l iulió del mpo veoil E lededo de u ooo edo C e igul l iegl del oiol de E oe l upeiie ie S limid po el ooo C: E dl E ds C S Eleomgeimo y l euioe de Mwell 78 G pe de l omliió memái del álulo veoil poviee de lo eudio que Mwell hio e l eleiidd y el mgeimo p omul l eoí eleomgéi. Su euldo e implii e 4 euioe oiuió epue: d Dode: B B E Ley de Fdy E dl ds C S D D H J Ley de mpee H dl J ds C S ds S B B ds Ley de Gu Cmpo Mgéio S D ρ D ds ρd Ley de Gu Cmpo Eléio S E e l ieidd dempo eléio /m H e l ieidd de mpo mgéio /m B e l deidd de lujo mgéio TW/m D e l deidd de lujo eléio C/m J e l deidd de oiee /m ρ e l deidd de g C/m E y S e l upeiie ie limid po el ooo edo C. E y d e el volume limido po l upeiie ed S. 79 Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7

50 44 Cpíulo. Méodo memáio de omió -44 L euioe de Mwell juo o l euió de oevió de l g y l euió de ue de Loe id u deipió omple de od l ieioe eleomgéi lái: ρ J F q oevió de l g [ E v B] ue de Loe 8 L deidde de lujo eléio D y mgéio B e elio o l ieidde de mpo eléio E y mgéio H medie l pemiividd ε y l pemeilidd µ: D εe ε ε E B µ H µ µ H dode : ε oe dieléi / ε µ 9 ε F/m 6π 7 µ 4π H/m oe de l lu µ pemeilidd eliv 8 L euió e u o epeil de l ley de iduió de Fdy y epee l ue eleomoi iduid em e u epi ed eioi deid u de mio de l deidd de lujo mgéio epeo l iempo y e ooe omo em de omió. Si u oduo e mueve u veloidd v e u mpo mgéio B e idue u em ooid omo em movimieo. L em ol iduid de u epi que e mueve e u mpo mgéio e l um de l em de omió y l em de movimieo: e e e m S B ds C v B dl 8 E émio del lujo mgéio ol que p vé de l epi φ l euió eio e eie e om omp omo: dφ e d φ B ds S 8 Ejemplo.. U epi udd igu. o ldo de m. m de logiud eá e u mpo mgéio o viió eoidl de ieidd /m y euei de 5 MH. El plo de l epi e pepediul l dieió del mpo mgéio. Si Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi Figu. Epi ime e u mpo mgéio o viió eoidl B

51 -45 Cpíulo. Méodo memáio de omió e oe u volímeo e eie o l epi uál e u leu? Soluió. Pueo que l epi e eioi l em iduid e dee l em de omió oidedo l pemeilidd del epio lie µ y iedo que l leu del volímeo eá u vlo m e iee que: H i ωˆ e oω e oω [ /m] B µ H µ i ω [ T ] 6 ω π 5 B µ ω oωˆ 4π B oωˆ ds ddyˆ m d dy.5.5 [.5.5] [.5.5] π 5 [ ] ˆ 6 oωˆ oω L euió e l deiiió memái de l ley de mpee. Elee que l iegl de líe de l ieidd de mpo mgéio lededo de u ilo edo e igul l oiee ol eed. L oiee ol e l um de l oiee de oduió y l oiee de deplmieo d. E u oduo po el que luye oiee j euei l oiee de deplmieo e míim. d S v J ds S D ds 84 L ley de ue de mpee elee que u oduo po el que iul u oiee imeo e u mpo mgéio B eie u ue dd po: F dl B C 85 De e me p el oo de oduo de logiud modo e l igu. podo de u oiee iudo e u mpo mgéio B iee u ue e l dieió y e dd po: F dl B C [ ] B [ N] Bd ˆ ˆ B ˆ ˆ y 86 Figu. Fue e u oduo que odue u oiee e u mpo mgéio uiome B Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7

52 46 Cpíulo. Méodo memáio de omió -46 Coideemo l epi de lme mod e l igu. o ldo de logiud L plelo l eje X y do ldo de logiud W y eiedo pidd p gi liemee ime e u mpo mgéio oe B e dieió Z; e el veo uiio oml u upeiie; e l oiee que iul e u ieio. Cudo θ e el águlo que om o el veo de mpo B l ue que iee lo ldo L y L de l epi e dd po: F F BLˆ y Figu. Epi ime e u mpo mgéio uiome B omdo u águlo θ 87 De e me lo pe F ejeido oe lo oduoe L y L gee u p ol e l epi que eá dd po: T T BL W / iθˆ T Biθˆ LW 88 L eio e l euió udmel que ige el deollo del p e od l máqui eléi p N epi e iee: T BN iθˆ. Tomió de iem oodedo L ooded de u puo P e lo e iem oogole de myo uo e l igeieí o: egul R Py ilídio C Pρθ y eéio E Pφθ. Lo veoe uiio de lo iem o: egul y ilídio ρ θ y eéio φ θ iee mgiud uii y u dieió e l de lo eje oodedo poiivo del iem; medie eo el veo o oige O de ompoee e epee po:. Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

53 Cpíulo Cpíulo Cpíulo Cpíulo. Méodo memáio de omió. Méodo memáio de omió. Méodo memáio de omió. Méodo memáio de omió Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7 L elioe ee l ooded de lo iem e oiee diemee de l igu.4 plido l uioe igooméi oepodiee y el eoem de Piágo. Po ejemplo: ρ φ ρ φ ρ θ θ y y y y o o 89 L ompoee de e el iem oodedo de veoe uiio { } e puede hll medie l iguiee elió de omió: B B B 9 L euió de omió eio puede eiie miilmee omo BM iedo y B veoe olum de l ompoee y M l mi de lo poduo ele de lo veoe uiio oévee que M - B. El lido iguiee popoio l euioe miile de omió ooded p l oveió ee lo iem epueo. Figu.4 Siem oodedo oogole egul ilídio y eéio

54 Cpíulo Cpíulo Cpíulo Cpíulo. Méodo memáio de omió Méodo memáio de omió Méodo memáio de omió Méodo memáio de omió Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi θ φ ρ θ θ θ φ ρ θ φ ρ θ φ ρ θ φ φ φ φ φ φ θ φ φ φ φ φ θ θ θ φ θ φ θ θ φ θ φ θ φ φ θ φ θ φ φ θ φ θ φ θ θ θ θ θ θ θ θ E C C E E R R E C R R C y y y y i o o i i o i o o i i o o i o i i i o o o i o i i i o o o o i i o i o i i o o i i o 9 Tomió oil L omió oil e pli úimee od iuoidle oeo o eo y d omo euldo u oió de vile omplej áilmee mejle medie lge liel. L omió oil e emple mplimee e iem eléio deido que l eegí eléi e gee y mie e om de od iuoidl l euei ípi e Méio e de 6 H ωππ*6 77 d/. L omió oil e e l ideidd de Eule oeid po oevió de eie de Mlui de l uioe eo oeo y epoeil:

55 -49 Cpíulo. Méodo memáio de omió 4 6 θ θ θ o θ K! 4! 6! 5 7 θ θ θ i θ θ K! 5! 7! 5 7 θ θ θ j i θ jθ j j j K j! 5! 7! e jθ 4 θ θ θ jθ j K!! 4! 4 θ θ θ θ e θ K!! 4! θ! 9 θ! θ! θ! L oevió de que l uió e jθ equivle l um de l uioe oθ y jiθ odujo Eule l iguiee elió ooid omo ideidd de Eule: e jθ oθ j iθ e jθ oθ jiθ 9 De l elioe eioe e oiee l om epoeil omplej p l uioe eo y oeo: e jθ oθ j iθ jθ e oθ j iθ jθ jθ e e oθ jθ jθ oθ e e e e e jθ jθ jθ iθ oθ j iθ oθ j iθ jθ e j iθ e e jθ jθ j lo medio udáio de l uió eoidl U uió eoidl eo o oeo de euei gul ωπ/t y de peiodo Tπ/ω le u eido d T/ egudo o 6H T/ 6.67 m; pueo que l uió e iméi el vlo pomedio de l uió e eo. U leiv l vlo pomedio de l uió eoidl e el vlo medio udáio m oo me que o vlo ei deiido po: i m m o ω φ T T i d T T [ ] m o ω φ d 94 L evluió de l iegl eul áil empledo ideidde igooméi: Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7

56 5 Cpíulo. Méodo memáio de omió -5 o ω φ π / ω m m e π φ e m m m ω π [ oω φ ] φ { Z } π / ω m π / ω m [ oω φ ] d [ oω φ ] [ oω φ ] ωπ π ω ω Tomió oil d m π / ω ω π π / ω eω φ ω ω π π ω π / ω m m m m e4π φ eφ.77 m L omió oil oie e epee u uió oeoidl e el domiio del iempo i de mpliud m peiodo T águlo de e φ y euei gul ωπ/t omo u úmeo omplejo e u om pol ω el ul e die que e e domiio de l euei. E dei l omió oil om u uió eoidl e u uió epoeil omplej uy e e l ideidd de Eule: i o ω φ φ m m m.77 m m d 95 L omió oil ive oie e ddo u o de euei gul ω vlo eeivo o vlo medio udáio m águlo de e φ epelo e el domiio del iempo i omo u uió oeoidl: ˆ φ i o ω φ m m m.44 m m 96 Si l uió e eped e émio de l uió eoidl e áil oveil e uió oeoidl eoddo l iguiee ideidde igooméi: i θ i θ i π / ± θ o θ y i θ π / o θ i θ π / o θ i π θ i θ i θ π i θ o θ o θ o π / θ i θ o θ π / i θ o π / θ i θ o π θ o θ o θ π o θ Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

57 -5 Cpíulo. Méodo memáio de omió U ve omdo e o el úmeo omplejo eule oedee od l leye y piipio de úmeo omplejo odiio. Po lo e diho e áil oee l epeeió oil p l deivd e iegl de l uió oeoidl omo e mue oiuió: i m o ω φ m φ e jω φ m jω φ di d me jω φ jω me jω m φ ω m φ 9 d d jω φ jω φ me id me d m φ j m φ m φ 9 jω jω ω ω 97 Tomió oil e iuio eléio de oiee le L pliió má eedid de lo oe e e iuio eléio ujeo uioe de eiió eoidle ooido omo iuio de oiee le. Coidéee el iuio RLC eie modo e l igu.5. Hll el modelo del iuio y oee u oluió. Figu.5 Ciuio RLC eie plido l LK l mll y l oveió piv de lo igo e iee l iguiee euió dieeil uy pimiiv i e u oluió: m di o ω α Ri L id d C Coidedo que l uió de eiió e eoidl v y el iuio e liel eoe e epe u epue i eoidl de e om plido omió oil l euió dieeil oeid eul e: Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7

58 5 Cpíulo. Méodo memáio de omió -5 di L d m K id Ri m o ω α jωl C β * j ωl R m β K θ dode : θ ωc m α K R L ω ωc [ ωl / R] ωc m m α α θ m m β jωc m β R β R j ωl ωc plido l omió oil ive eul: i m o ω α θ K m m β l pli l omió oil lo iuio eléio o uee de eiió eoidl oiee le eoidl el álii e implii del mejo de euioe iegodieeile l mejo de epeioe o úmeo omplejo. El jo e implii ú má l pli l ley de ohm oil lo loque uiole eléio pivo eio iduo y pio omeido volje y oiee oile: m α m β v Ri R R di v L jωl j m α π / d ωl ωl v ω id j j C ωcm α π / C jωc ωc α m α 98 De l euioe eioe e iee p lo elemeo pivo que: e el eio l oiee y volje eá e e; e el iduo l oiee e 9 π/ d d epeo l volje; e el pio l oiee eá 9 π/ d deld epeo l volje. E émio oile e deomi impedi Z l ó del volje oil l oiee oil e u umeo omplejo uy pe el e l eiei R y uy pe imgii e l ei X que puede e ei iduiv X L o ei piiv X C. El iveo de l impedi Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

59 -5 Cpíulo. Méodo memáio de omió e deomi dmii Y u pe el e l odui G y u pe omplej l uepi B. To l impedi omo l dmii o o oe o úmeo omplejo puo: Z ˆ Zˆ Zˆ R jx X ωl πl Y ˆ Yˆ Yˆ G jb Zˆ R jx L X C R X ωc πc / R X / 99 P eeo de álulo l ei iduiv y l ei piiv puede ome e impedi omplej de l iguiee me: Zˆ Zˆ L C jx L jx jωl jπl ωl 9 C j j 9 ωc πc ωc El equivlee de impedi oed e eie eá ddo po: Zˆ eq Zˆ R j X El equivlee de dmii oed e plelo eá ddo po: Yˆ eq Yˆ G j B Reoi Se die que u iuio de RLC e eie o e plelo eá e eoi u euei de eoi R udo l ei iduiv X L e igul l ei piiv X C. E eoi l mpliud de l oiee e máim y e deie α omo l euei epei o oeiiee de moigumieo epoeil. X L X C ωl ω LC ω R α ωc LC π LC RC Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7

60 54 Cpíulo. Méodo memáio de omió -54 Poei y o de poei L poei omplej S de u elemeo e iuio de e el poduo del volje oil de u emile po el ojugdo omplejo de l oiee oil * que iul po el elemeo. Su pe el e llm poei pomedio o poei el P e mide e w W u pe imgii e llm poei eiv Q e mide e vol mpee eivo R l mgiud de l poei omplej e deomi poei pee S e mide e vol mpee. El oeo del águlo ee el o de volje y oiee e deomi o de poei FPoθ. Se m α m β Sˆ * α * β Sˆ P jq Sˆ o θ j Sˆ i θ P Sˆ o θ Siθ α β m P FP o θ o α β Sˆ Sˆ Sˆ Sˆ θ P FP m Q Sˆ i θ Sˆ o FP m m α β P FP m m P Q θ o FP 4 Cudo el o oiee del el volje β>α e die que el o de poei e deldo e o oio β<α e die que el o de poei e do. Culquie deemeo e el FP ume l oiee p l mim poei iv eo povo myoe pédid po eeo Joule e lo oduoe eléio. Po el piipio de oevió de eegí e puede elee el piipio de l poei pile: l poei omplej eegd vi g ieoed e l um de l poei omplej eegd d u de l g idividule idepedieemee de ómo eé oed eie o plelo. Coeió del o de poei P evi pédid po eeo Joule diipió de lo e lo eioe el o de poei dee e eo l uidd. El Reglmeo p el Sumiio de Eegí Eléi elee que el oumido e oligdo mee u o de Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

61 -55 Cpíulo. Méodo memáio de omió poei eo l uidd omo e poile. Eie u mul po o de poei meo.85 lo vloe deele o de.9 y.95. Como e puede peve el o de poei e oige oedo pioe e plelo o l g iduiv o l ieió de que el volje de l g o víe. L oeió del FP e puede ple omo igue: e iee u g iduivo-eiiv oed l líe de volje oumiedo u poei iv P jdo u o de poei FP e dee ume el o de poei h FP oedo u g piiv e plelo. Deemi l poei eiv del pio Q C y u pii C. L oluió e oiee del iguiee omieo: el iemeo del o de poei dede FP h FP medie l oeió e plelo de u g piiv de pii C povoá que l poei eiv dimiuy dede Q h Q eduiedo el águlo de e dede θ h θ i le el volje de líe y l poei iv P oumid po l pe eiiv de l g: P Q iθ FP oθ S Q P P θ oθ iθ oθ P θ o FP Q P θ S FP θ o FP Q Q Q P C QC X C Q C π C X C [ o FP - o FP ] Q C Q P θ ωc Q p 6H C 77 πc C P P S FP [ o FP - o FP ] 77 5 Ejemplo.. Cie g om u oiee de o u o de poei de.5 e o dede u uee de y 6 H. Clule el mño del pio p oegi el o de poei h.8. Soluió. Pimeo e lul l poei iv oumid pi de l oiee y el volje depué e uiuye lo vloe e l ómul e oeid: Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7

62 56 Cpíulo. Méodo memáio de omió -56 P oθ FP.5 6W [ o FP - o FP ] P C 77 6 o 77 [.5 - o.8 ] 4.85 F 8.5µ F Tomió de uee de Leye de iuio. U ed eléi de ulquie omplejidd opedo e edo eioio iuoidl j euei e puede epee oilmee po u ojuo de elemeo ivo uee de volje y oiee y elemeo pivo impedi. Lo puo dode o má elemeo iee u oeió omú de deomi odo o ue. U lo e u yeoi ed u mll e u lo que o loj igú oo lo. El álii de iuio eléio liele e ue e do leye de oevió LK LCK el piipio de upepoiió PS y do eoem de omió TT TN. Ley de volje de Kihho LK: e u mll l um de volje e igul eo. Ley de oiee de Kihho LCK: e u odo l um de oiee e igul eo ; e leye epe l oevió de l eegí y l oevió de l g epeivmee. L polidd de volje y iulió de oiee e lo elemeo de iuio e e l oveió piv de lo igo e l uee de volje l oiee iul de e l impedi de -. Se die que u ed eá mue o e edo pivo udo o ú igu uee de volje o oiee; e dei l uee de oiee e eemple po iuio ieo y l uee de volje po ooiuio. ˆ Ley de voljede Kihho ˆ Ley de oieede Kihho 6 Piipio de upepoiió y omió de uee. E edo ele e poile pli el piipio de upepoiió PS dode l uioe de eiió o l uee de oiee y volje udo u l ve; l epue ol e l um de l epue pile. U impedi Z e om e u dmii Y/Z e ivemee Z/Y. U uee de volje e eie o u impedi Z e om e u uee de oiee /Z e plelo o l mim Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

63 -57 Cpíulo. Méodo memáio de omió impedi. U uee de oiee e plelo o u impedi Z e om e u uee de volje Z e eie o l mim impedi. Teoem de iuio. Cudo olmee iee ooe l epue e u elemeo del iuio e eempl el iuio de poo ieé po u equivlee eo e ue e do eoem: eoem de Thévei TT: od ed iv liel de do emile - equivle l oeió e eie de u uee de volje y u impedi; l uee de volje umii u volje igul l eiee ee l emile de l ed oigil e iuio ieo y l impedi e l impedi equivlee de l ed mue vi dede l emile - ; eoem de Noo TN: od ed iv liel de do emile - equivle l oeió e plelo de u uee de oiee y u impedi; l uee de oiee umii l oiee igul l oiee que umiií l ed oigil udo l emile - eá e ooiuio l impedi e l impedi equivlee de l ed mue vi dede l emile -. ˆ ˆ Piipiode upepoiió T ˆ Ley de oieede Kihho 7 Diviió de volje. Coideemo u ojuo de impedi oed e eie uyo volje ol e u emile e T y uy impedi equivlee e Z T eoe el volje e l -im impedi Z K e u ió del volje ol: ˆ Zˆ Zˆ T ˆ T 8 Diviió de oiee. Supogmo que u oiee T lime u odo l que e oe dmii e plelo uy dmii equivlee e Y T eoe l oiee que luye po l m que oiee l -éim dmii Y e u ió de l oiee ol: ˆ Yˆ Yˆ T ˆ T 9 álii de odo. Coidee u iuio de o odo opedo e edo ele o uee de eió eped oilmee E i e impedi Z i. El álii iemáio de odo oie e hll lo volje e d odo epeo de u odo de eeei deigdo omúmee omo ie y e eli omo igue: Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7

64 58 Cpíulo. Méodo memáio de omió -58 Tom u odo de eeei y igle ume lo odo eoe el volje oil del i-éimo odo epeo l odo de eeei e i. Tom l uee de volje e eie o u impedi e uee de oiee i e plelo o u impedi om od l impedi e dmii Y i. Eii l euioe odle miile de l ed de l om Y ij i i ; dode Y ij e l mi de dmii odl y u émio de l digol piipl Y uodmii o dmii de eiió o l um de l dmii oed l odo lo demá émio Y ij dmii muu o de eei o el egivo de l dmii oed ee lo odo i y j i j. Pueo que Y ijy ji l mi de dmii e iméi. Eoe el veo de volje odle eá ddo po: i Y ij - i álii de mll. E el dul del álii de odo y iem miil omdo iee l om Z ij i i l impedi Z o l um de l impedi lededo de l mll mie que Z ij e l impedi e l mll i y j. El veo de oiee de mll eá ddo po: i Z ij - i. Tomió del y eell Cudo lo volje y oiee e epe oilmee e upoe que implíimee l mgiud que ompñ l o e u vlo medio udáio o vlo eeivo omo e h epueo; e dei: θ m m / Ciuio iáio Lo iuio eléio puede e mooáio o poliáio iáio iáio eáio e. egú eg u o m de u e. L uee poliái e om oedo uee imple e oiguioe epeile el úmeo de e e igul l úmeo de uee. So de epeil ieé po u mplio uo lo iuio iáio que o de uee iái y g iái e oiguió eell Y o del eiiedo l iguiee poiilidde uee-g: Y-Y Y- -Y -. Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

65 -59 Cpíulo. Méodo memáio de omió Fuee y g iái. U uee iái e l oeió de uee que umple do odiioe: el volje ei m m/ de d uee e el mimo; el volje e d uee e ue de e epeo l o do. L oeió iái puede elie e Y o. Cd uee e deig omo u e y e epee po u le o ; el volje medido ee l emil poiiv de d uee y el euo e deomi volje de e; el volje medido ee do e e deomi volje de líe; l oiee que luye vé de u uee e deomi oiee de e y l oiee que luye po u líe e llm oiee de líe. Se iee do euei de e: poiiv o y egiv o. L euei poiiv igu.6 e diigue po que el volje de l e del el de l e y ee u ve del el de l e ; e dei: v > v > v. L euei egiv igu.6 e diigue po que el volje de l e e e epeo l de l e y ee u ve e e epeo l de l e ; e dei: v > v > v ; e m euei lo águlo medido e eido hoio o poiivo y e eido ihoio egivo. E lo ueivo e j o l euei de e poiiv. p p pvolje de e m pvolje de e m Seuei p Seuei - p p 4 p 4 Figu.6 Foe iáio de volje o euei de e poiiv y egiv E l oiguió eell el puo omú e deig po euo y geelmee e ei oeió poeil ; lo volje de e o volje l euo e deig po v v y v o implemee v v y v ; e l oeió Y el volje de líe del e el volje de e y lo mulipli po ; e dei: Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7

66 6 Cpíulo. Méodo memáio de omió -6 l Mgiuddel voljede líe l l l B C E l oiguió del o eie puo omú l e e y mpoo hy peei de euo; e l oeió l oiee de líe e e epeo l de e y l mulipli po ; e dei: l φ l Mgiud de l oieede líe φ Coieede l e ' ' B C l l φ 5 φ 9 φ φ l L g iái mooe omdoe puede oee e o Y eul oveiee le l g iái y mee impedi de igul mgiud po e o el ojeo de uili oduoe de igul lie p l líe de miió umiió diiuió o uiliió. álii de iuio iáio. El álii de iuio iáio o g led e oiguió Y-Y o euo uido e llev o po e igu.7 l uió de lo euo medie u hilo oduo de impedi eo o e el iuio. E el iuio Y-Y e uiiee el álii de l e de me que l e y e dedue de lo euldo de e. Se Z el equivlee eie de l impedi de líe y g eoe: Figu.7 Ciuio po e Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

67 -6 Cpíulo. Méodo memáio de omió Zˆ Zˆ Zˆ g lie lie Zlie g Zˆ ˆ Zˆ g P l oiguioe que ivolu e el ldo de l uee o de l g e eeio eli omioe iiile p el álulo de l oiee de líe; depué e llev el iuio u om oigil y e lul lo volje l poei y oiee eei. Fuee y g led puede ome de Y y vieve medie: Y Y Zˆ Zˆ Y Zˆ Zˆ Y 4 Ejemplo.. U uee iái led igu.8 de 77 y 6H oed e Y lime u g equilid oed e po medio de u líe de miió de hilo de m de logiud l impedi de d hilo de l líe de miió e de jω. L impedi de l g po e e 77-j46Ω. Si l euei de e e poiiv deemi l oiee de líe y de e l poei oid po l g y l poei diipd po l líe de miió. B Figu.8 Ciuio iáio e oeió Y- Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7

68 6 Cpíulo. Méodo memáio de omió -6 Soluió. Pimeo e epe el volje de d uee omo o luego e om l g e g Y e poede lul l impedi ol um de l impedi de l líe y l impedi de g eoe e lul l oiee de líe p el iem mooáio eule de l e y e deemi l ee oiee. Luego e deemi l oiee de e e pi de l oiee de líe medie / B í mimo lo volje de e. L poei diipd po e e l poei el y l poei ol de l g e vee l de u e; de igul om e lul l poei diipd e l líe e ímolo: 77 5 oljede e m Zˆ ˆ 77 j46 ZY 59 j8 Coveió g Y Zˆ Zˆ Zˆ j 59 j8 6 j8 5. T p o θ o 5..6 deldo 5 l 5 5. Coieede lie e Y e ZT B BC BC B BC BC L Z Y Coieee l g Be B Z B [77 j46] oljede g e P P P P B g lie ol B P P g Poei el de g e B P lie Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

69 -6 Cpíulo. Méodo memáio de omió Mediió de l poei. L poei e u iuio mooáio de d e el poduo del volje po l oiee e l uee o g e ueió e u iuio mooáio de l poei iv o el e el poduo de lo vloe eeivo de volje y oiee; e el mpo e emple u vímeo de do oi: oi de oiee y oi de poeil p medi mo u leu e l poei iv del iuio y e lul po: P oθ Re[ *] m m 5 L poei de u iuio iáio Y-Y de 4 hilo o hilo euo igu.9 e oiee oedo vímeo ee d e y el euo; eoe l poei ol e l um de l e leu y e lul po: P P Re[ *] Re[ *] Re[ P P P P B P C*] 6 Si l g eá led l leu eá P P. Figu.9 Mediió de poei e iuio iáio de 4 hilo; de hilo P u iuio iáio de hilo que ivolu u e l uee y/o e l g igu.9 o e dipoe de hilo euo; e l o l poei e mide o do vímeo y l poei ol e l um lgei de l leu e mo. P Re[ *] Re P Re[ *] Re B P P P [ θ ] [ 9 θ ] o θ o θ [ o θ o θ ] oθ l l 7 Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7

70 64 Cpíulo. Méodo memáio de omió -64 Tomió uidd E lo iem eléio de poei dode e j vloe del ode de lo y M eul úil p eeo de álulo y má iomivo epe l idde eléi omo oe de u idde e elimido í el uo de uidde u idd po uidd e deie po: Cidd po uidd Cidd el Cidd e 8 El volje l oiee l poei S y l impedi Z e elio ee i de me l que l eleió de lo vloe e p do de ello deemi lo vloe e de lo do ee. El uo de vloe po uidd implii el iuio equivlee del omdo de l om que l eioe l oiee l impedi y l dmii ee eped po uidd o mi udo e eiee de uo de lo ldo del omdo hi el oo. Tomió po uidd e iuio P lo iuio de mooáio φ o iáio φ l iguiee idde po uidd e deie de igul me oidedo que e u iuio φ el volje y l poei o de e; mie que e u iuio φ el volje e líe líe y l poei e iái P φ P φ : pu voljeel voljee oieeel pu oieee voljee e oieee el pu e Zel Zpu 9 L impedi po uidd p u iuio φ y p u iuio φ e deie po: impediel Z Z Z Zpu φ impedi e Z Z S φ Z Zpu φ LL Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

71 -65 Cpíulo. Méodo memáio de omió P mi u vlo de impedi po uidd Zpu o vloe e y S uevo vloe e de volje y poei y S e emple l iguiee elió de omió: S Zpu Zpu Ejemplo.4. P el iuio φ de o modo e l igu dividido po do omdoe T y T uy pidde omile e mue y udo vloe e de y 4 e l o diuj e iuio po uidd y deemi l oiee de l g. P lo omdoe l eiei de lo devdo y l m de dmii e deivió e depei. Soluió. L poei e p od l ed e l mim S ; e deemi lo volje e e d o iedo que 4 y ooiedo l elioe de omió; e deemi l impedi e; 4 e epe l ei pu de lo omdoe e lo vloe e del iem; 5 e deemi l impedi pu de l líe de miió; 6 e deemi lo vloe del iuio eeio el iuio o vloe po uidd e mue e l igu.: Figu. Ciuio mooáio de o Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7

72 66 Cpíulo. Méodo memáio de omió S 4 ; Z S X X pu. pu.97 4 g pu pu j X X pu Z 4.9Ω pu 46 5 pu Zg.9 j..64 Zg pu.875 j.467 Z.48 pu X pu pu X.967 g pu S 5 g T lie g lie X T T 7.68 lie ; Z S T pu Z Ω g Z S.967 pu j j Ω Figu. Ciuio mooáio o vloe po uidd pu Tomió e ompoee iméi E el eudio de ompoee iméi eul úil iodui el opedo omplejo j y u iguiee ideidde: Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

73 Cpíulo Cpíulo Cpíulo Cpíulo. Méodo memáio de omió. Méodo memáio de omió. Méodo memáio de omió. Méodo memáio de omió Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo j Compoee iméi de lo volje de e L omió e ompoee iméi e u éi deolld po C. L. Foeue e 98 p li iem iáio deledo; oie e deompoe d volje o oiee de e del iem iáio e e ompoee de euei eo poiiv y egiv de me que d o de e e l um de u ompoee de euei igu.: Compoee de euei eo. Te oe de mgiud igul y deplmieo de e eo v v v. 4 Compoee de euei poiiv. Te oe de mgiud igul deplmieo de e ± y euei poiiv v v v. 4 5 Compoee de euei egiv. Te oe de mgiud igul deplmieo de e ± y euei egiv v v v. 4 6

74 Cpíulo Cpíulo Cpíulo Cpíulo. Méodo memáio de omió Méodo memáio de omió Méodo memáio de omió Méodo memáio de omió Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi Eiiedo miilmee lo oe de e e émio de u ompoee de l e e iee lo iguiee: 7 Deiiedo u veo de e p u veo de ompoee p l e y u mi -udd de omió : p 8 De e me e iee l iguiee euioe de oveió ee oe de e y de euei p l e : p p 9 E u iem φ ledo l ompoee de euei eo e eo y que v v v. E u iem φ deledo lo volje líe euo puede ee ompoee de euei eo; peo lo volje líe líe o iee ompoee de euei eo. Ejemplo.5. P u iem φ ledo e euei poiiv o v 7 vol lul l ompoee de euei p l e. Soluió. Empledo l euioe e deduid e iee: Figu. olje de e e émio de u ompoee de euei

75 Cpíulo Cpíulo Cpíulo Cpíulo. Méodo memáio de omió. Méodo memáio de omió. Méodo memáio de omió. Méodo memáio de omió Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo p Compoee iméi de l oiee de e L omió e ompoee iméi mié e plile oiee oile de e omo e mue oiuió: p p p E u iem φ oedo e Y de 4 hilo l oiee eu e dd po: ; de me que e u iem ledo oedo e Y l oiee de líe o iee ompoee de euei eo pueo que l oiee de euo e eo. De lo eio e dedue que e u iem φ de hilo o Y o eido l oiee de líe o iee ompoee de euei eo. Ejemplo.6. U líe φ que lime u g equilid oed e Y o euo eido iee ie l e. Dd l oiee de líe deled lul l oiee de euei p l e y l oiee l euo: p Soluió. Empledo l euioe deiioi de oiee de euei e iee que:

76 7 Cpíulo. Méodo memáio de omió -7 Tomió de Lple L omd de Lple e u opeió liel que om u uió e del domiio del iempo e u uió F e el domiio de lo úmeo omplejo y eie i l iegl ovege p >; e deie po: L L [ ] L F e d [ ] L[ ] R C [ ± g ] L[ ] ± L[ g ] L[ ] Opedo de Lple Lielidd L iegl ovege i e eiolmee oiu e d ievlo iio e el go > y i e de ode epoeil oome eo e eie u oe R l que lim e. Teoem de l omd de Lple Lo eoem de l omd de Lple: lió o edo e el iempo; lió epoeil; mio de el e el iempo; 4 dieeiió el; 5 vlo il; 6 vlo iiil; 7 iegió el; 8 dieeiió omplej; yud implii el álulo de l omd de uioe deivd e iegle: Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

77 -7 Cpíulo. Méodo memáio de omió L L L [ ] e L[ ] [ e ] [ ] e e F e R F p < e > F R C δ d L F d d L F d lim lim F lim F L L F [ d] [ ] í mimo l uió del e j π d [ ] F d F d e deie e jπ i i i d L F d K K omo u iegl omplej : ω d euei π Fuió impulo uiio e de oiu ue epoiió e eudiá u uió de g ieé y pliió. L uió impulo uiio o uió del e u uió del iempo que vle eo udo u gumeo - e meo que eo; que vle eo udo u gumeo e myo que eo; que e iiio udo u gumeo vle eo y que iee u áe uii memáimee e epe po: δ δ d p δ d L mpliud del impulo e iii. Cudo e mulipli po u uió u mpliud o peo mi de e dei: [ δ ] δ d eidd 4 E émio de l euei y p eeo de álii epele y u uo o omd de Fouie e iee u deiiió leiv lmee úil p l uió del: Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7

78 7 Cpíulo. Méodo memáio de omió -7 j π jπ δ e d e d du δ u eló uiio d 5 Tomió de uioe oiuió e pee y om uioe de mplio uo e l igeieí de ool: Fuió eló: L < > - - [ ] e d [ e e ] p p Fuió mp: L - [ ] e d p p < d d d d Fuió pulo: e u uió eló de lu /T y logiud T T L p p T T [ ] L - L T e e T T T T < T < T < < T T T Fuió impulo: e u o limido de l uió pulo T p < T < lim p < < T T T 9 d T [ e ] T L[ ] lim lim e jo el impulo e dt T T T d [ T] dt Fuió impulo uiio o del de Di: iee mgiud iii y duió de eo δ T p T p T δ T d δ T L [ δ T ] Fuió epoeil: δ T d d T 4 Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

79 -7 Cpíulo. Méodo memáio de omió e L p - < p e [ e ] e e d e d [ e e ] Fuió eoidl y oeoidl: 4 p < i ω p L L - - ω e d 4 j j - jω jω ω - e d ω jω jω [ i ω] i ω e d e e - jω jω [ oω] oω e d e e Tomió ive de Lple El poeo iveo de eo l uió del iempo pi de l omd de Lple F e deomi omd ive de Lple y e deie po: j - L [ F ] p > F e d π j j 4 Dode R e l i de ovegei y umple que >Re[ i ] iedo i ulquie puo igul de F. L iegl e del mpo de lo úmeo omplejo; y u evluió e omplid; e u lug e emple u l de uioe y u omd F ve l.5. E lguo o e eeio epe F omo u um de ioe pile p om d émio epdmee; ee e el méodo peeido. Ejemplo.7. Hll l omd ive de Lple de [ ] F 5 Soluió. Epedo l uió iol omo u um de ioe pile e iviiedo émio émio e iee: Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7

80 Cpíulo Cpíulo Cpíulo Cpíulo. Méodo memáio de omió Méodo memáio de omió Méodo memáio de omió Méodo memáio de omió Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi [ ] e e u F F R P d d R P d d R P d d F L 5 L.5 L L ! 5 5 5!.5 5 5! 5 Co euei eul omd ive de Lple que ivolu polo omplejo ojugdo e l o o e eeio l epió e ioe pile; io omo u um de uioe eo y oeo moigud omdo e ue que: [ ] [ ] o L i L ω ω ω ω ω e e 44 Ejemplo.8. Hll l omd ive de Lple de 5 F Soluió. L oiió del deomido e 5 j j lo ul mié e oi omo 5 de quí que: [ ] e e F F o i 5 L 5L L Covoluió L ovoluió e u ipo epeil de poduo omuivo de do uioe y e deie omo u iegl e dei l ovoluió de y g e deo y eá dd po: g g d g g g τ τ τ 45

81 Cpíulo Cpíulo Cpíulo Cpíulo. Méodo memáio de omió. Méodo memáio de omió. Méodo memáio de omió. Méodo memáio de omió Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7 L omd de l ovoluió de y g e poduo de l omd idividule de y g. L omd ive del poduo de l omd F y G e l ovoluió de y g. [ ] [ ] [ ] [ ] g G F g g - L L L L 46 Ee úlimo heho pemie hll l omd ive de u uió H iempe que: H pued deompoee e do uioe F y G; l omd ive y g ei; e poile evlu l iegle de ovoluió de y g. Ejemplo.9. Hll l omd ive de [ ] H udo l éi de ovoluió. Soluió. Se pli lo e po euido y e iee que: [ ] [ ] [ ] [ ] e e g H e e e e e e e d e d e d e e d g g e g e G F G F H L L L τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ Tomió de euioe dieeile liele ivie e el iempo L euioe dieeile liele ivie e el iempo o o i odiioe iiile e euelve de om eill medie l omió de Lple. Dd u ED e eli lo iguiee po: e pli l omió de lple d émio de l ED; e euelve p l vile idepediee F; de e eeio e pli omió ive de Lple p epe l uió e el domiio del iempo.

82 Cpíulo Cpíulo Cpíulo Cpíulo. Méodo memáio de omió Méodo memáio de omió Méodo memáio de omió Méodo memáio de omió Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi Ejemplo.. Hll l uió y que ie l ED y Dy y D uje l odiioe iiile: y y &. Soluió. Se pli lo e po e umedo y e iee que: [ ] [ ] [ ] [ ] e e y Y R P d d R P d d Y Y Y Y Y Y y Y y y Y y y y - - L L!! L & & &&

83 -77 Cpíulo. Méodo memáio de omió Tl.5 Tomd die e ive de Lple FL[ ] L - [F] FL[ ] L - [F] δ T! T e ω ω T! i ω o ω ω ω ω ih ω oh ω ω ω ω ω ω e ω! e e ξω ω ω ξω ω ω e ξω ω e i ω e oω oω ω K ξω e i K ω K ξ ω φ ξω K e i K K K ξ φ ω φ ξω K e i K ξ φ K ξ K ξ e e e e ω ω ω ω [ ] e e ω e e e e e ω ω ω ω ω ω iω i ω ω oω ω i ω o ω oω oω ω ω i ω ω oω ω Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7

84 78 Cpíulo. Méodo memáio de omió -78 Tomió e eie de poei Sueió. E u uió S uyo domiio e el ojuo de lo eeo o egivo { Z } y uyo émio o lo elemeo de l ueió odomiio pudiedo e ii o de N émio: L N ; o ie iii: L iedo e úlim de myo ieé: S S S LS L L L S S S LS N L N L { } { } N { } Sueió ii Sueió iii ; 47 U ueió puede e ovegee o divegee egú ied o o hi u vlo L udo : lim L 48 El ieio de ovegei de Cuhy elee que: u ueió { } ovege i y ólo i p u ε > eie u N l que < ε p od i j > N. U ueió e moóo i e: eiee { } deeiee { } o eiee { } o deeiee { }. < i j > Seie. E l um de lo émio de u ueió puede e epeed po l oió igm y e de ieé pimodil e i o ovegee o divegee: S S S S K S K S N S S S K S N L eie e dei: lim S N N K K K N N ovege i l ueió de um pile N lim L N S N 49 ovege; 5 Si el límie o eie eoe l eie divege. U odiió eei p l ovegei de l eie e: lim 5 Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

85 Cpíulo Cpíulo Cpíulo Cpíulo. Méodo memáio de omió. Méodo memáio de omió. Méodo memáio de omió. Méodo memáio de omió Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7 U eie iee ovegei olu i ovege; de o om iee ovegei odiiol. El ode de lo umdo de u eie de ovegei olu o le l um; peo i l le e u eie de ovegei odiiol. Seie epeile L eie geoméi e deie po y iee l iguiee popiedde: - p oile e l eie que iempe lim lim < K K L L L S S S S N N N N N N N N 5 L eie hmói e olumee ovegee p ] Re[ > α y olumee divegee p ] Re[ α ; e deie po: α α α α α α α α N S S N N L L L 5 L eie hmói lee e olumee ovegee p ] Re[ > α y olumee divegee p ] Re[ α ; e deie po: α α α α α α α α N S S N N L L L 54 L uió e de Riem e deie omo l um de l eie hmói iii. α α ζ 55 Pue de ovegei Pue de ompió. L eie de émio poiivo ovege i eie u eie ovegee l que. Similmee l eie divege i eie u eie divegee l que.

86 8 Cpíulo. Méodo memáio de omió -8 Pue de iegl. Si lo oeiiee de u eie o deeiee y puede e eedido u uió deeiee de vile oiú : p Z eoe l eie ovege o divege o l iegl: d. Pue de límie. E pue o de oiee de í y de Rey e pli l eie. El o modo idi que l eie ovege olumee de lo oio divege i el límie e l uidd l pue ll: lim / lim < < lim > Pue de oiee Pue Pue de í de Re 56 Ejemplo.: pli l pue del oiee l eie e! lim e! e lim lim e! l eie e olumee ovegee Pue de Gu. Coidee l eie i L dode e deiido eoe l eie ovege olumee i L>; de o om l eie divege o ovege odiiolmee. Covegei uiome U uió e oiu e u domiio edo i lim p od del domiio. Coidee u eie e l ul lo émio o uioe de. L eie ovege e u domiio i l eie ovege po d puo e el domiio. Si deiimo l uió oiu ζ ζ podemo elee u ieio de ovegei; p u ε ddo eie u uió N l que: S N N < ε p odo e el domiio 57 Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

87 -8 Cpíulo. Méodo memáio de omió U eie de l om e uiomemee ovegee e el domiio i p u ε > ddo eie u N idepediee de l que: N SN p odo e el domiio < ε 58 Pue de Weie. U eie e uiome y olumee ovegee i eie u eie ovegee de émio poiivo que: M p od del domiio. M l Pue de Diihle. Coidee u euei deeiee de oe poiiv o limie eo. Si od l um pile de eá deiid e u domiio edo e dei: eoe N < oe p od N; e uiomemee ovegee e ee domiio edo. E pue o impli ovegei olu. E geel: u eie uiomemee ovegee de émio oiuo epee u uió oiu. Seie de poei de ovegei uiome L eie de poei iee l om: K K 59 El domiio de ovegei de u eie de poei e u íulo e el plo omplejo y u dio de ovegei e oiee l pli l pue de ovegei del oiee: R lim Si l eie de poei ovege olumee p ovegei p l eie de poei 6 ovege p eoe l eie. Ejemplo. hll el dio de!! : Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7

88 8 Cpíulo. Méodo memáio de omió -8 R lim R lim l l! lim i i!!!l! eie ovege olumee p lim l < l < lim l < <! < :!! < < lim Fuió líi. L odiió eei y uiiee p que u uió e líi e lgú domiio e que d p ulquie ooo imple C edo C e el domiio. E o pl: u uió e líi e el puo i e puede epee po u eie de poei - o dio de ovegei poiivo R>. Si u uió e líi e eoe e u puo odiio de o om e u puo igul el puo igul puede e igul egul; igul iegul. Deivió e iegió de eie de poei L deivió de u eie de poei e eli e d émio de l eie omo e mue: d d Si y d d y y y' y' ' y' '' d d d d L y y y L Π j j d d L L! < 6 L iegió de u eie de poei e eli e d émio de l eie omo e mue: d d i d C d L d L d 6 Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

89 Cpíulo Cpíulo Cpíulo Cpíulo. Méodo memáio de omió. Méodo memáio de omió. Méodo memáio de omió. Méodo memáio de omió Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7 Deollo de uioe e eie de poei Boo Tylo demoó que od uió oiu y dieeile puede e poimd e l veidd de po u eie de poei ooid omo eie de Tylo: L K 6 Tylo deuió que! e dei:! / de e me l eie de Tylo que epee l uió e l veidd de e dd po:! 64 L eie de Tylo e emple p epee l uió o u úmeo iio de émio que eie el ome de poliomio de Tylo de gdo. El eo de l uió e epee po u eiduo R:!!!! R P K 65 Ejemplo.. Hll el poliomio de Tylo p o e 4 / π o 4 émio. Soluió. plido l eie de Tylo e l eí de 4 / π e iee: [ ] L L L 6 4 / 4 / 4 /.77! 4 /! 4 / 4 / o / 4 / i / 4 / o / 4 / i / 4 / o!! 4 / o π π π π π π π π π π π P P l eie de Tylo e ooe omo eie de Mlui:

90 84 Cpíulo. Méodo memáio de omió -84! 66 L l.6 mue l eie de Mlui p vi uioe elemele iedo R C : Tl.6 Seie de Mlui p uioe elemele < α α < log <! i < < o! < o π i ih <! < < e 7 π L oh <! 5 7 < <! 5 5 log < i L < 7 π h L < 5 5 Soluió de euioe dieeile po eie de poei Como hemo vio ulquie uió puede e poimd po u eie de poei; ee heho e pli l EDO de ulquie ipo que o e io u iguldd de uioe: Ejemplo.4. Reolve l ED y' y lededo del puo empledo eie de poei. Soluió. L ED e líi e y u oluió po hipóei e u eie de l om y. El méodo de oluió e el iguiee: e uiuye d uió y u deivd po eie de poei; e gup émio oveieemee de me l que e pued pli el piipio de ideidd p um; e oiee u euió de euei p lo oeiiee; 4 e eue u pó p lo oeiiee e émio de l pime Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

91 Cpíulo Cpíulo Cpíulo Cpíulo. Méodo memáio de omió. Méodo memáio de omió. Méodo memáio de omió. Méodo memáio de omió Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7 oe ii; 5 e epe l oluió omo u eie de poei; 6 e deemi el dio de ovegei p l oluió. < < : p L oluió ovege de L Hopil Regl lim lim lim lim lim lim ' POR SERES DE POTENCS : SOLUCÓN DE UN - d d d d R R y y y y y' ED Soluió de ED liele de egudo ode o oeiiee vile po eie de poei U pliió pái de l eie de poei e l oluió de ED liele de egudo ode o oeiiee vile: / / ' ' ' ' ' ' C Q B P y Q y P y y C y B y 67

92 Cpíulo Cpíulo Cpíulo Cpíulo. Méodo memáio de omió Méodo memáio de omió Méodo memáio de omió Méodo memáio de omió Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi Si o P omo Q o líi e ; eoe e u puo odiio y l euió iee do oluioe lielmee idepediee de l om: y. [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] meo de l e dio de ovegei po lo o el u puo igul e iee 6 Se! 5 4! 5!! 5 4! ! ! : eoe : que e oev De dode ' ' ' e POR SERES DE POTENCS : SOLUCÓN GENERL DE UN < ± y y y y y y y y' y'' ED L K L Fuió Gmm U geeliió de l uió oil que e eiede p odo ] Re[ > C e l uió Gmm deiid po:

93 -87 Cpíulo. Méodo memáio de omió Γ e d Re[ ] > 68 Udo iegió po pe e demue l iguiee popiedd má impoe de l uió Gmm: Γ El émio Γ e d [ e ] e [ e ] e de d Γ e d y que l uió e deie p Re[] L ómul de Gu p l uió Gmm e dd po: > eoe : 69 Γ Π L ómul de Weie p l uió Gmm e dd po: e Γ Π γ / e γ lim L L log.577 Coe K Eule - Mheoi 7 7 Tomió de Fouie Si e u uió peiódi de peiodo T euei gul udmel ω π T / T ; eoe l iegió de lo lgo de u ievlo de logiud igul u peiodo e idepediee de lo límie de iegió iempe que: L up L i T : T d T / d T / T d L iguiee e u li de iegle que implii el álii de Fouie: T T T i i i T ω d o ω d Z T T ω o ω d i ω i ω d o ω o ω T ω d o ω T d d 7 7 Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7

94 Cpíulo Cpíulo Cpíulo Cpíulo. Méodo memáio de omió Méodo memáio de omió Méodo memáio de omió Méodo memáio de omió Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi Seie de Fouie U uió de iempo peiódi T de peiodo udmel T y euei udmel / / / T T π π ω π ω puede e epeed po u eie igooméi ooid omo eie de Fouie demod po Joeph Fouie e u do The lyil Theoy o He 8; e deie po: / / / / / / i o i o T T T T T T d T T B d T T d T T B T T π π π π 74 U uió o imeí p - oev ólo lo émio oeo de l eie; u uió o imeí imp -- oev ólo lo émio eo de l eie. De me leiv l eie de Fouie e epee po: B B M M T M M o φ φ π 75 De l epeió eio e oev que l eie de ouie e u umoi de l mói de l euei udmel. Lo oeiiee M e deomi mpliude epele. Covegei. Si e uve po pe eoe u eie de Fouie ovege: l vlo p odo dode e oiu; l vlo ] [ p od dode e dioiu. U uió e oiu po pe p od udo e oiu po pe e d ievlo odo y e lo puo de dioiuidd eie limie lele iio: lim lim u u u u 76 Fom epoeil de l eie de ouie. L eie de Fouie e puede epe e émio de l uió epoeil omplej oidedo l equivlei epoeil de l uioe eo y oeo:

95 Cpíulo Cpíulo Cpíulo Cpíulo. Méodo memáio de omió. Méodo memáio de omió. Méodo memáio de omió. Méodo memáio de omió Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7 j T T T j T j e M C M C d e T C e C φ π π / / 77 Siedo C l mpliud epel de lo ompoee epele j e π. Ejemplo.5. Deemi l eie de ouie p el e de impulo de logiud modo e l igu.. El impulo e e deie po δ iedo δ l uió del deiid po: T p y T e T - δ δ demá d - δ u logiud e el áe jo el impulo. El e de impulo peiódio de peiodo T e deie po: T δ : Soluió. Se deemi l eie de Fouie e u om: igooméi; igooméi omp y epoeil omplej: T j T j T T T T T T e T e C T C C T T T T M M T M T M T T T T B T d T T B T d T T T d T / / / / / / o o o i o i o π π π φ π φ π π π π δ π δ δ Figu. Te de impulo de logiud y peiodo T.

96 9 Cpíulo. Méodo memáio de omió -9 Ejemplo.6. L uió e u e de pulo egule de mpliud y duió τ que e epie peiódimee d T egudo omo e mue e l igu.4. Deemi l eie epoeil de Fouie p : Figu.4 Te de pulo egule de mpliud duió τ y peiodo T. Soluió. Se eue lo pámeo B y e uiuye e l eie de Fouie igooméi: M M C C T T τ τ T T T / T / T / T / τ d T πτ / T π τ i o d T T πτ / T πτ / T π τ i πτ / T o i πτ / T T T B πτ / T e φ j π T L uió pulo e oviee e l uió impulo udo u hu iede eo eo e áil mo medie límie y que: πτ / T i lim τ πτ / T 78 L uió mueeo L uió mueeo ei omo S e diuj e l igu.5 iee imeí p e emple e el álii epel e deie y iee l popiedde mod oiuió: i S M S S S ± π 79 S[ ± π ] π L igu.5 mue l mpliude epele y l evolvee de l epeeió e eie de Fouie p el e de pulo egule de l igu.4. Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

97 -9 Cpíulo. Méodo memáio de omió Figu.5 uió mueeo S; mpliude epele C p l epeeió e eie de Fouie del e de pulo egule. L omió de Fouie L omd de Fouie e u opeió que om u uió del domiio del iempo l domiio de l euei; l opeió ive e l omd ive de Fouie y e deie po: F jω π e jω e jω d F jω dω F e e j π j π ω d π ω F d π 8 Ejemplo.7. Deemi l omd de Fouie p l uió oω. Soluió. plido l euió deiioi e ideiido l uió impulo uiio e iee que: oω e e jω j π F o ω e d e δ δ jω π ω T j π d e j π Bdo e l iegle que deie l omd die e ive de Fouie e h deolldo ómul p uioe omue omo l mod e l.7: d Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7

98 9 Cpíulo. Méodo memáio de omió -9 Tl.7 Tomd de Fouie die e ive p uioe omue Gáio F[]Fjω Gáio Fjω δ j e ω jω e πδ ω ω oω πδ ω ω πδ ω ω πδ ω g < > jω πδ ω u jω e α u α jω α e oωd u α jω α jω ωd u u T T ω T / i T ωt / Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

99 Cpíulo Cpíulo Cpíulo Cpíulo. Méodo memáio de omió. Méodo memáio de omió. Méodo memáio de omió. Méodo memáio de omió Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7 Ejemplo.8. Emple l l p deemi l omd de Fouie de o 4 u e. Soluió. deiido l uió e l l e iee que: 6 4 o ω α ω ω ω α ω ω α ω α ω α j j j F j j u e d d d El eoem de Pevl o pemie hll l deidd de eegí o eegí po uidd de ho de d J/H p u uió : ω ω π d j d F 8 P u iuio e deie l uió del iem h omo l omd de Fouie de l epue l impulo uiio e del iuio. E el domiio de l euei omplej l uió del iem Hjω e idéi l uió de eei del iem Gω y e u elió ee l omd de Fouie y l omd de Lple p u uió liel e dei: ] [ ] [ L y L G j H i O ω ω 8 Se do uioe y y y Yjω Xjω u epeiv omd de Fouie; eoe e deie l ovoluió de y y omo l iegl uy omd de Fouie e el poduo de l omd de Y y X e dei: y d y d y v j X j Y F v j X j Y v F F j X y F j Y y Covoluió de : dode ] [ ] [ ] [ ] [ τ τ τ τ τ τ ω ω ω ω ω ω 8 Si e u ed liel e ooe l ed l iuio y l uió del iem o epue l impulo h eoe l lid y eá dd po l ovoluió de y h y e deie po: τ τ τ d h y 84

100 94 Cpíulo. Méodo memáio de omió -94 Ejemplo.9. P el iuio RL modo e l igu.6 deemi el volje e el iduo udo el volje de ed e u pulo epoeil deeiee. Emple l popiedde de ovoluió. Figu.6 Ciuio RL: domiio del iempo; domiio de l euei jω. Soluió. Se deemi l uió del iem medie u álii eoidl pemee; e deemi l omd de Fouie de l uió de eiió; e pli el piipio de ovoluió p deemi l epue del iem: H jω F[5e F[ v O O i jω 4 jω 5 u ] jω jω 5 5 ] H jωf[ vi ] 5e 4 jω jω jω jω u e u Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

101 -95 Cpíulo. Méodo memáio de omió Tomió e L ompudo digile lo ooldoe lógio pogmle PLC y lo mioooldoe poee u ie de ed que oviee eñle oiu e eñle die; el miopoedo u úleo eel olo j eñle die. U om de oide e eñle e omo eñle oiu del iempo que e h mueedo ievlo egule; el euldo e u euei e iempo dieo. L omd e e u méodo memáio p li eñle die. Siem de do dieo Coidéee el iem de ool modo e l igu.7 dode e u u miopoedo pogmdo p impleme l ió de ool. l ed l iem e u eñl lógi que e oviee e u eñl die medie u oveido lógio-digil DC; el miopoedo pli l eegi de ool de uedo u pogm lmedo e u memoi ROM o l ul e omui; l eñl de lid digil del miopoedo e oveid e u eñl lógi medie u oveido digil-lógio DC; 4 l eñl lógi eule e u p mej l uidd de oeió y í ool l pl vile. Figu.7 Siem de ool o do mueedo U eloj lime u pulo d T egudo peiodo de mueeo d ve que el DC eie u pulo ee muee l eñl de eo. L ed l miopoedo e eoe u eie de pulo. Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7

102 96 Cpíulo. Méodo memáio de omió -96 Coideemo u eñl de iempo oiuo que e muee e ievlo egule de iempo o peiodo de mueeo T y e epee po * T p d T el vlo de T e om due u ievlo oo <<T lo uiieemee pequeño p que u mgiud e oidee oe due el iempo que e om l mue. L euei de impulo e deo po: T T L T L T T L T L [ T ] L uió del e emple p epee eñle die e uió e deie po - T e T y δ p T δ. De e me l eñl de pulo de l uió mp mod e l igu.8 e epee po: Figu.8 Fuió mp 85 δ δ T δ T δ T L δ T L 86 E geel l eñl de do mueedo empledo l oió e puede deii medie l iguiee uió die: [ T ] Z * [] δ [] δ T L [ ] δ T L [ ] δ T [ ] δ T 87 Euioe e dieei E u iem de poemieo de eñle e iempo dieo eie l ed de u euei de pulo y u lid de pulo; l epeioe memái que ivolu euei die e deomi euioe e dieei. í po ejemplo l euei de ed [] l ooldo e puede elio o u euei de lid y[] medie l iguiee euió e dieei: y[ ] y[ ] [ ] Fo dempliiió R 88 Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

103 -97 Cpíulo. Méodo memáio de omió L euioe e dieei e puede epee medie lo loque uiole: puo um edo uiio y[-] y mpliiió. L igu.9 mue el loque uiol de l euió eio. y- y Figu.9 Digm de loque o mpliiió y edo uiio Cudo e dee dieei l euei de ed e emple l poimió geil ee do mue ueiv de ed [-] []. Cudo e dee ieg l euei de ed e emple l poimió peoidl p hll el áe jo l uv de do mue ueiv de ed [-] []. De e om l lid y[] e elio o l deivd e iegl de u ed [] medie l iguiee euioe e dieei: y[ ] [ ] [ ] / T y[ ] y[ ] T [ ] [ ] [ ] [ ] T y[ ] egió Dieeiió 89 L euioe e dieei p uioe die o el álogo l euioe dieeile p uioe oiu. Tomd e Se * l uió die que deie u euei de impulo. plido l omd de Lple y l he omd e émio de l vile e F: * F L[ ] L F Z [ ] e [ [ ] δ T ] T T i e l eoe: T [] [] e T L [ ] e [ ] [] [] L [ ] L [ ] [ ] T e e oiee u uió T L [ ] e T 9 Ejemplo.. Hll l omd e p l uió eló uiio > ; l uió mp <. Soluió. plido l omió e e iee que: Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7

104 Cpíulo Cpíulo Cpíulo Cpíulo. Méodo memáio de omió Méodo memáio de omió Méodo memáio de omió Méodo memáio de omió Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi [ ] [ ] > > < p / / / e ieeque: - l eieiomil: o ompió Po ] [ p / ; e ieeque: p l eiegeoméi: o ompió Po / / / ] [ - T T T T T F T F T F T T T T T F F F L L L L L L L L L L omió e e u opeió liel; y e pli lo iguiee eoem: oimieo; lió omplej; 4 vlo iiil; 5 vlo il: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] lim lim ] [ lim ] [ 5 ] [ lim ] [ lim [] 4 ] [ [] [] ] [ [] ] [ ] [ ] [ [] [] [] F F F Z F F e Z e F F Z F F Z F F Z Z Z g Z Z g Z T T L 9 Tomd e ive Dd u uió F e oiee l uió die * medie l omd e ive deiid po [ ] T F Z * ] [ δ 9 L l.8 mue l omd e de: uioe mueed o peiodo T; euei.

105 -99 Cpíulo. Méodo memáio de omió Tl.8 Tomd e de: uioe mueed o peiodo T; euei F F [] [] [] [] [] F δ e δ T T T T e e T T e e Te e T e T e e i ω o ω e iω e oω e e T T T T e e T i T oωt o T oωt e e u [ ] L ω T ω T i T oωt e oω T oωt ω T L L L L e e e e e L e L deemiió de l omd e ive e puede hll medie e om: udo l euió deiioi; u u lido omo e l l.7 impliido F medie ioe pile udo í oveg; eli u diviió lg N / D F. Ejemplo.. Deemi l omd e ive de medie epió po ioe pile. F.5 Soluió. E l omd e e peiee oee l ioe pile p F/ e ve de F diemee y que eo odue uioe omue e dei: F.5.5!!.5 d d d d F [ ] u[ ].5.5 Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7

106 Cpíulo. Méodo memáio de omió - Ejemplo.. Deemi l omd e ive de diviió lg. F po Soluió. Se eli l diviió lg y e iee que: F L L y[ ] Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

107 Cpíulo Bloque uiole de iem íio U ve ed l e memái emo e dipoiió de eplo lo ompoee íio elemele uyo ompomieo e ige de leye íi ie deiid y que e uió d lug l omió de iem io omplejo. E e eió e peigue lo iguiee ojeivo: Pee lo udmeo eóio que ige el ompomieo de lo iem íio áio: meáio eléio luídio émio. Oev l logí ul que eie ee lo loque uiole de iem íio. Eui l leye y piipio de l íi e u leguje memáio.

108 Cpíulo.. Bloque u uiole de iem íio - Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

109 - Cpíulo.. Bloque uiole de iem íio oduió U loque uiol e u elemeo íio imple que e ei po ee u popiedd íi que e puede deii medie l leye y piipio de íi. L deipió e log omdo l euió deipiv que lo epee. U iem íio que o de elemeo liele e eudi y epee po u iem de euioe dieeile liele; e igeieí udo u iem o e liel e u méodo p poimlo l lielidd jo ie odiioe impue. U iem e oide liel i e poile pli el piipio de upepoiió que elee: l epue poduid po l pliió imuláe de uioe de eiió dieee e l um de l epue poduid po l uioe udo idividulmee. L me e que e peeá lo loque uiole íio e l iguiee: e eui lo piipio y leye udmele; e peeá u equivlee e émio de euioe dieeile o idde veoile y/o ele egú e u ule hiedo o u ompomieo liel. Siem Geel de Uidde de Medid Se peede pee l euioe íi e u om má imple y po lo o e pee l uidde de l idde e ojuo o u euioe e u lug e pee oiuió l l de l idde íi udmele idde deivd má empled y oe íi mplimee ud. L Nom Oiil Mei NOM-8-SCF-99 Siem Geel de Uidde de Medid pulid el 8 de oue de 99 e el Diio Oiil de l Fedeió iee po ojeo elee u leguje omú que epod l eigei ule de l ividde ieíi eológi eduiv iduile y omeile; y eá d e el Siem eiol de Uidde. Cidde udmele Co el ojeo de implii el iemio de iomió dimiui l ieidume y e oiee e l epeeió de idde e h Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7

110 4 Cpíulo.. Bloque u uiole de iem íio -4 deolldo u iem de uidde uivel uiido y oheee do e el Siem Méio Deiml m-g- deolldo e 79 po l demi de Ciei de Pí. L Coeei Geel de Pe y Medid CGPM e el ogimo ieiol egdo de l deiiió de lo uevo poe de medid. Se h oeido euioe dede 889 h 995 pi de 96 e ooe omo Siem eiol de Uidde S y o de l iee idde udmele mod e l l.. Co el ojeo de epe l idde e u mplio go uméio l CGPM dopó lo peijo modo e l l.. Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

111 -5 Cpíulo.. Bloque uiole de iem íio Tl. Cidde udmele del S Cidd Tiempo Logiud M Cidd de ui Tempeu Coiee eléi eidd lumíi Uidd egudo meo ilogmo mol elvi mpee del Símolo m g mol K d Tl. Peijo dopdo po el S -8 o -6 mio µ de d 9 gig G -5 emo - mili m heo h e T - pio p - ei ilo 5 pe P -9 o - dei d 6 meg M 8 e E Cidde deivd Medie álii dimeiol de u euió e puede epe ulequie o idde e émio de l idde udmele. Co el ojeo de ideiil áilmee ie idde iee ome epeíio y e geel e deomi idde deivd. L l. mue l idde deivd de myo uo. álii dimeiol: [ F] [ m] U q v v d m m m m g Fue F d q m q m i gm [ ] g g g olje m Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7

112 6 Cpíulo.. Bloque u uiole de iem íio -6 Tl. Cidde deivd del S Cidd Uidd Símolo Dimeioe Áe m olume m Feuei He H - Deidd de m g/ m eloidd m/ eloidd gul d/ eleió m/ eleió gul d/ Fue Newo N g m/ Peió meái Pl P N/m ioidd iemái m / ioidd diámi N /m Tjo eegí lo Joule J N m Poei W W J/ Poei eiv R R J/ Cidd de eleiidd Coulom C Fue eleomoi dieei de poeil ol W/ J/C Cmpo eléio /m Reiei eléi ei impedi Ohm Ω / Codui eléi uepi dmii Sieme S / Cpii Fdio F / Flujo mgéio Wee W dui Hey H / Deidd de lujo mgéio Tel T W/m Cmpo mgéio /m Fue mgeomoi mpee Flujo lumioo Lume lm d Lumii d/m lumii Lu l lm/m Eopí J/K Cpidd epeii del lo J/g K Coduividd émi W/m K eidd diiv W/ ividd diiv Bequeel Bq - gulo plo Rdi d uidd uplemei Águlo ólido Sedi uidd uplemei Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

113 -7 Cpíulo.. Bloque uiole de iem íio Uidde o oiile omúmee empled lgu uidde que o om pe del S o mplimee ud e eoe ieíio iduile y omeile. L l.4 mue l uidde o oiile omúmee empled e igeieí. Tl.4 Uidde del Siem Biáio Cidd Uidd Equivlei Cidd Uidd Equivlei Logiud Ágom Å - m Fue di -5 N ño lu m Peió 5 P olume lio - m mmhg o. P Tiempo miuo mi6 Eegí egio eg -7 J ho h6 loí l4.86 J dí d864 Wh Wh.6 6 J ño.56 7 Tempeu C K-7.5 Águlo evoluió ev6 π d el. gul pm pmev/mi Oo iem de uidde Eie oo iem lole o epeíio de lgu iei ee lo ule de: iáio guio y g. L myoí de lo píe h dopdo el S oiilmee; i emgo y deido que g idd de iumeo de ool eá do e el Siem Biáio e l l.5 e d l equivlei p l uidde má omue. Tl.5 Uidde del Siem Biáio Cidd Uidd Símolo Equivlei Dii pulgd i.54 m pie.48 m yd 9.44 m mill 69 m mill áui 85 m M lug 4.59 g o 8.5 g Fue li l N Eegí u u 55 J Poei hp hp W Tempeu gdo Fhehei F.8 C olume gló.788 lio Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7

114 8 Cpíulo.. Bloque u uiole de iem íio -8 Coe íi E l deiiió de euioe pee ieo vloe uméio uyo vlo h ido epdo omo oe l l.6 y.7 mue l oe má omúmee empled e l igeieí. Tl.6 Coe íi empled e igeieí Deipió Símolo lo Uidde eloidd de l lu m/ Cg del eleó e C Coe Gviiol G N m g Coe de Pl h J Coe de Bolm J/K Numeo de vogdo N 6. moléul/mol Coe de G R 8.45 J/mol K M del eleó me g M del euó m g M de poó mp g Pemiividd e el vió ε C /N m Pemeilidd e el vió µ 4π -7 W/ m Equivlee meáio del lo 4.86 J/l Peió moéi eád m. 5 P Ceo oluo K -7.5 C Eleovol e.6-9 J Uidd de m ómi um u g Eegí del eleó e epoo m.5 Me Equivlee eegéio de um M Me olume de mol de g idel.4 lio/mol eleió deid l gvedd g m/ Tl.7 Coe memái empled e igeieí Ró de l iueei π Númeo de eule e Uidd imgii i -- Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

115 -9 Cpíulo.. Bloque uiole de iem íio Siem meáio El eudio del movimieo de lo uepo e gup oveieemee e do egoí: movimieo liol y oió o epeo u eje ijo. L popiedde meái má imple que miie l myoí de ojeo meile o l iguiee: igide moigumieo y iió e iei. E popiedde eá epeed e elemeo que ehie ueemee d u de ell: eoe moigudo y m. Eo elemeo e oide loque uiole y e eue eguldo po l leye de l meái lái. Fudmeo de iemái y diámi liol El deplmieo liol e el mio de poiió de u ojeo ee do puo lo lgo de u yeoi eilíe o uvilíe de l me que od l píul que om el ojeo e depl lo lgo de yeoi plel y poee l mim veloidd y eleió e odo momeo. L poiió del ojeo omo uió del iempo e deo po l veloidd v e el mio de poiió o epeo l iempo l eleió e el mio de veloidd epeo l iempo y e deie po: d v d d d E uió de l veloidd v e áil ooe l poiió del ojeo e el iempo udo iegió: vd Si el movimieo liol e uiomemee eledo l iguiee elioe deie el movimieo del ojeo: v v v v v v v 4 Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7

116 Cpíulo.. Bloque u uiole de iem íio - El eudio de l u del movimieo de ojeo e mei de l diámi l leye de Newo o u e eói udmel. Pime Ley de Newo o ley de l iei. Si l ue eule que ú oe u ojeo e eo eoe el ojeo pemeeá e u edo de movimieo. U uepo e ele ólo i l ue eule que ú oe el e dieee de eo. Segud ley de Newo. Si l ue eule que ú oe u ojeo e dieee de eo eoe ee e ele; l eleió e popoiol l ue e ivemee popoiol l m m del ojeo. d m m d 5 Tee ley de Newo o ley de ió-eió. Po d ue que ú oe u uepo eie o de igul mgiud peo e eido opueo udo oe lgú oo uepo. Ley de l gviió uivel de Newo. Elee que do píul de m m y M epd ee í po u dii e e muumee o ue de mgiude igule y opue e eido: Mm G ˆ Siedo G l oe de gviió uivel. 6 El peo de u ojeo de m m e Pmg y deie l ue gviiol que ejee el ple ie oe el ojeo. E ee o e deie l eleió deid l gvedd g diigid l eo de l ie omo: M g G Rˆ R 7 Siedo R6.8 6 el dio pomedio de l ie y M u m. L eegí E e l pidd que iee u uepo p eli u jo. El jo íio W e u el que e deemi po el deplmieo que povee u ue o u mpo de ue p depl u ojeo. Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

117 - Cpíulo.. Bloque uiole de iem íio dw d W d L poei p e l ó l que e eeú el jo W o e oume eegí E y qued deiid po: dw de p E pd d d 9 L oevió de l eegí meái eui: E ulquie iem ildo de ojeo que ieú ólo po ue oeviv le omo el loque y eoe l eegí puede e eid u y o ve de iéi poeil; peo el mio ol e de eo; l um de l eegí iéi y poeil pemee oe. L eegí poeil U e l eegí lmed e u iem u de l poiió eliv u oieió de l pe de u iem y eá deiid ólo p ue oeviv: du du d d El eoem jo-eegí elee que: El jo eo eeudo po l ue que ú oe u píul e igul l mio e l eegí iéi de l píul. P u píul de m m que mueve o u veloidd v l eegí iéi K y el momeo liel o idd de movimieo p de l píul e deie po: d K mv m d p mv 8 El piipio de oevió de momeo liel elee que: i l ue ee eule que ú oe u iem de ojeo e eo eoe l um veoil de l idd de movimieo de lo ojeo pemee oe. Si do ojeo de m m y m ho el momeo liel e y depué del impo e oev. mv mv mv mv i i Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7

118 Cpíulo.. Bloque u uiole de iem íio - El oeiiee de eiuió e deie po e v v / v v. P u oliió i i peemee elái e ielái e< i lo uepo pemee uido depué de l oliió e. L egud ley de Newo e émio de l idd de movimieo e: dp F d 4 Bloque uiole de iem meáio o movimieo liole Reoe L igide de u eoe e deie medie l elió ee l ue F empled p ei o ompimi u eoe y l deomió eule y e de eimieo o ompeió. Roeo Hooe e 678 euió l iguiee ley l deomió de u eoe e diemee popoiol l ue plid. vd 5 El ojeo que pli l ue e eue ujeo u ue de igul mgiud y de eido oio omo lo elee l ee ley de Newo. L eegí poeil del eoe de uedo lo vio qued deiid po: U d d 6 moigudo El moigumieo y iió o ue de opoiió o oeviv que ú oe l upeiie de u uepo o el ojeo de impedi el deplmieo. U moigudo e u elemeo íio que pee l popiedd de moigumieo y e puede deii omo igue: u émolo que ompime u luido lojdo deo de eipiee edo eie u ue de opoiió l deplmieo que e diemee popoiol l veloidd del émolo. Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

119 - Cpíulo.. Bloque uiole de iem íio d d 7 L ue del moigudo e o-oeviv po lo o el émolo o ege u poiió oigil udo h edo l ue. Si emgo l eegí e om y diip e om de lo l poei diipd e dd po: d v P d 8 M L iei e l pidd que iee u uepo deido u m mi u edo de movimieo o epoo. L ue ieil e deemid po l egud ley de Newo o ley de l iei: l eleió poduid po u ue dd e ivemee popoiol l m que e eled d v m d 9 Como e euió eiomee l eegí iéi que pee u m eled e dd po: K d m d Fudmeo de iemái y diámi oiol L oideioe epue o válid p iem uyo movimieo e liole i el movimieo e oiol lo loque uiole e oviee e: eoe oiol moigudo ooio y momeo de iei. El movimieo de oió e quel que l píul que oiuye el ojeo e depl e plo plelo lo lgo íulo edo e el mimo eje ijo llmdo eje de oió. Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7

120 4 Cpíulo.. Bloque u uiole de iem íio -4 Coideemo el uepo ígido de deidd uiome modo e l igu. que gi e oo l eje Z e eido ihoio. Se P u puo imeo e ee uepo deio po el veo e el iem oodedo o oige O. El puo P deie u yeoi iul de dio P iφ e el plo XY y u deplmieo gul e die e deo po θ. L logiud de o el águlo θ y el dio de gio P e elio po: Figu. Movimieo oiol θ P P L veloidd gul ω y eleió gul α del puo P omo uioe del iempo eá dd po: dθ ω θ ωd d dω d θ d α ω ω d d dθ E émio del dio veo l veloidd v y l eleió del puo P qued deemido po: d v ω ω iφ d dv d ω dω d ω α ω v α ω ω d d d d 4 5 E omú deompoe l eleió e do veoe eleió geil T y eleió dil R omo e mue oiuió. T R T α R v ω v α α iφ T T 6 7 Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

121 -5 Cpíulo.. Bloque uiole de iem íio R v ω v v ω v ω R ω i φ 8 Si l oió e uiomemee eled l iguiee elioe deie el movimieo del puo P: θ θ ω θ θ ω α ω ω α ω ω α θ θ 9 El momeo de iei de u uepo e u medid de u iei oiol. Si u ojeo e oide oiuido po m iiieimle m m m l dii epeiv pi de u eje u momeo de iei o epeo ee eje e: m i i dm Coideemo uevmee l igu.. Deiimo l dio de gio del uepo omo l dii plel l eje de gio dode e dee oe od l m del uepo i u momeo de iei epeo l eje KK dee pemee iledo. m m Lo momeo de iei epeo lo eje X Y Z eá deiido po: y dm y dm y dm El eoem de lo eje plelo elee que: l iei de oió de ulquie uepo e oo u eje iio e igul l iei de oió lededo de u eje plelo que pe po el eo de m m má l m ol m po l dii d ee lo do eje elevd l uddo : m md E émio del momeo de iei l eegí iéi K del uepo ígido e oió e dd po: K ω 4 Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7

122 6 Cpíulo.. Bloque u uiole de iem íio -6 L o o momeo de ue τ que ú oe u puo P de u uepo eá epeed po el poduo veoil del o de pl y el veo ue que oio l oió del uepo vé de u eje que p po P y e pepediul l plo omdo po y F. τ 5 L eleió gul α y el momeo de iei y el momeo de ueτ qued eliodo po l egud ley de Newo p oió: τ α 6 El jo W eeudo p depl el uepo dede θ h θ y l poei oumid P eá ddo po: θ τ W d θ P τ ω θ 7 El momeo gul L o epeo l puo O de u píul de m m y veloidd v e: L mv L ω 8 Bloque uiole de iem meáio o movimieo oiole Reoe oiol E u eoe oiol el deplmieo gul θ e popoiol l p T: T θ 9 moigudo ooio E u moigudo ooio u dio que gi e u luido el p ooio e popoiol l veloidd gul: Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

123 -7 Cpíulo.. Bloque uiole de iem íio dθ T ω d 4 Momeo de iei L egud ley de Newo plid iem o movimieo oiol e deie po: d θ T α d 4 L l.8 li l euioe que deie l popiedde de loque uiole meáio p movimieo liole y oiole. Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7

124 8 Cpíulo.. Bloque u uiole de iem íio -8 Tl.8 Popiedde de lo loque uiole meáio Euió deipiv Bloque uiol Movimieo liol Movimieo oiol Reoe Poee eegí e viud de u poiió. Eegí poeil moigudo F T θ U d F d Diip eegí d P d M/Momeo d de ei F m d Poee eegí e viud de u movimieo. Eegí iéi d K m d F U θ dθ T d dθ P d d θ T d dθ K d T Siem eléio Lo elemeo pivo áio que oiuye l e de lo iuio eléio o: iduo eio y pio. Eo elemeo ehie ueemee l iguiee popiedde: idui eiei pii. Elemeo ivo y elemeo pivo E iuio eléio oidemo omo elemeo ivo quello que o pe de popoio poei pomedio myo que eo po ejemplo l uee de oiee y volje y el mpliido opeiol. U elemeo pivo e deie omo quel que o umii u poei pomedio que e myo que eo e u ievlo de duió iii. Coveió de oiee eléi P eeo de álii de iuio e h dopdo po oveió que l dieió de l oiee e l mim que l de podoe de g poiivo. De Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

125 -9 Cpíulo.. Bloque uiole de iem íio e me: e u elemeo ivo l oiee iul de l emil de meo poeil l de myo poeil - ; e u elemeo pivo l oiee iul de l emil de myo poeil l de meo poeil -. Lo ul e ooe omo oveió piv de lo igo. Fudmeo de eleoái y eleodiámi L poei eléi iáe p u elemeo eléio po el ul iul u oiee i o u dieei de poeil v vé de u emile e deie po: p vi 4 U uee de ue eleomoi pái e u geedo que jo el piipio de iduió eleomgéi y l oveió de eegí meái eléi e p de podui u dieei de poeil v e u emile. L ley de Fdy elee que: L em e iduid e u iuio e igul l egivo de l veloidd o que mi o el iempo el lujo mgéio φ B vé del iuio: dφb e d 4 Eo e e podue u deeei de poeil e l emile de u oduo que e hy omeido e u mpo mgéio udo eie u movimieo elivo ee mo. L oiee eléi e deie omo el l de lujo de g eléi vé de u oduo eléio que e eue omeido l mpo poeil de u uee uy ue eleomoi podue u dieei de poeil v e l emile del oduo. Po ule lo podoe de g egiv eleoe luye de l emil o meo poeil hi l emil o myo poeil e dei del áodo - l áodo. dq i d 44 Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7

126 Cpíulo.. Bloque u uiole de iem íio - Bloque uiole de iem eléio duo U oi o iduo e u lme oduo e om de epi l oiguió le popii u popiedd eléi ooid omo idui. L idui L e l popiedd po l ul u meil eléio e opoe mio úio de oiee vé de el. Cudo po l emile de u iduo luye u oiee i eoe e l emile de ee e idue u ue oeleomoi dd po: di v L i vd d L 45 Po e u elemeo pivo el iduo diip eegí udo oe el iul u oiee. L eegí diipd e oiee áilmee l oide l euioe deiioi de poei-eegí y volje e l emile del iduo. di U pd vid L id L idi Li d 46 Reio U eio e u meil que opoe eiei l po de l oiee eléi vé de el. L eiei de u oduo eléio e uió de l oiguió del oduo p u lme meálio e iee que: L R ρ S 47 Siedo ρ l eiividd del meil L l logiud del lme y S el áe de l eió vel. L eiividd e u popiedd de lo meile y e uió de l empeu de uedo o: ρ ρ[ α T T] 48 Siedo ρo l eiividd del meil l empeu T y α el oeiiee de empeu popio del meil. Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

127 - Cpíulo.. Bloque uiole de iem íio U meil ohmio e quel que oedee l ley de Ohm: Ri 49 Siedo i oiee que luye po el meil o eiei R epueo u dieei de poeil e u emile. U eio diip eegí e om de lo l eómeo e ooido omo eeo Joule l eegí diipd e om de poei eá dd po: Ri i Ri v p vi R 5 Cpio U pio e elemeo pivo uy popiedd eíi e l pii. L pii C e l popiedd de u meil po l ul e lme eegí eléi e om de mpo eléio. U pio eillo e u elemeo de do pl oduo meáli plel diid u de l o. Cudo l emile de l pl e oe u uee de volje l pl dquiee g igule e mgiud y opue e igo. L pii e deie omo l ó ee l mgiud de l g e ulquie de l pl y l dieei de poeil ee ell: q C v q v C 5 De l deiiió de pii e oiee l elió ee volje y oiee del pio: dv d C dq d i i C C dv d 5 L eegí lmed ee l pl del pio e oiee áilmee l oide l deiiió de poei eléi: dv U pd vid Cv d C vdv Cv d 5 Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7

128 Cpíulo.. Bloque u uiole de iem íio - L l.9 mue l euioe deipiv de lo loque uiole eléio. Tl.9 Popiedde de lo loque uiole eléio Bloque uiol Euió deipiv duo Reio Cpio di v L i vd d L U Li Ri v p Ri R dv i C v id d C U Cv Siem luídio L meái de luido o povee l e eói p el eudio de luido. Lo luido puede liie e do egoí ediedo u ompeiilidd. Lo luido hidáulio y luido eumáio; o ompeile y ompeile epeivmee. Fudmeo de hidoái e hidodiámi Lo luido hidáulio o luido e edo líquido. El edo líquido e diigue poque u moléul iee ie lied p deple u epeo o peo eá omeid l ió limie de l ue de oheió que le impide eedee ideiidmee; deido ello u volume e oe empeu oe; u om e dp l del eipiee que lo oiee. L deidd ρ e deie omo l idd de mei m po uidd de volume y e lo luido líquido e oe: m ρ L peió p e l ue po uidd de áe : 54 Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

129 - Cpíulo.. Bloque uiole de iem íio p p 55 L peió hidoái P h deid u olum de u luido de lu h y deidd de m ρ e dd po: p h ρgh 56 El piipio de Pl elee que: l peió plid u luido eedo e miid d poió del luido í omo l pede del eipiee que lo oiee : p 57 El piipio de químede im que: Cudo u uepo e umegido e u luido el luido ejee u ue hi i ue oye igul l peo del luido que el uepo depl el volume de líquido depldo e igul l volume de l pe umegid del ojeo. L ue oye que eie u ojeo que e umege u volume O e u luido o deidd ρ eá ddo po: F gρ O 58 Cudo u luido que lle u uo de eió vel oe lo lgo de ee o u veloidd pomedio v eoe el go lujo deg o ó de lujo voluméio e ddo po Qv demá i el luido e iompeile e umple l iguiee elió ooid omo euió de oiuidd: Q v v 59 L vioidd e l eiei ul que oee u luido p deple oe u upeiie. L ley de Poieuille elee que el lujo voluméio de u luido que oe vé de u uo ilídio de logiud L y eió vel de dio y o peioe p y p e lo eemo del uo e ddo po: Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7

130 4 Cpíulo.. Bloque u uiole de iem íio -4 4 π p p Q K p 8ηL p 6 P u lujo lo lgo de u ueí de u oiee oiu de u luido de vioidd depeile e válid l iguiee elió ooid omo euió de Beoulli: p h ρg p ρv ρv h ρg 6 Dode lo uídie y deo do puo lo lgo de l ueí ρ g y h o l deidd l eleió deid l gvedd y l lu epeivmee. Bloque uiole de iem luídio hidáulio L popiedde de lo luido hidáulio o: eiei hidáuli pii hidáuli e iei hidáuli. Reiei hidáuli E l eiei lui que e pee omo euldo omo euldo de u lujo de líquido vé de válvul o mio de diámeo de l ueí. L dieei de peioe ee do puo deo de l ueí que po u luido hidáulio e diemee popoiol l lujo voluméio oe de popoiolidd e ooe omo eiei hidáuli y e l oe que ompñ l ley de Poieuille: p p Rq 6 Cpii hidáuli Coidéee l igu. e iee u oeedo úio de lu h y áe de e limedo po u lujo q o u peió p e l lu máim de líquido y u q p h q p Figu. Cpii hidáuli Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

131 -5 Cpíulo.. Bloque uiole de iem íio lujo q l lid o u peió p l odo del oeedo. L ó de mio de volume e igul l dieei de lo lujo voluméio q que e y le del oeedo: d d h q q d d dh d L dieei de peioe egú lo vio eá dd po: 6 p p p p hρ g h ρg 64 Suiuyedo h de l euió eio e iee que: p dh d ρg dp dp iedo q q C C d d ρg d d ρg 65 Dode l oe C e ooe omo pii hidáuli. Reeiiedo l euió e u om iegl eul: q q d C p 66 ei hidáuli Coidéee el loque modo e l igu. epee u volume de líquido uy deidd e ρ o logiud L y áe de eió vel Fp e de eió vel: m m Fp del ldo iquiedo e hy omeido u peió p y del ldo deeho u peió p. L Figu. ei hidáuli L ue e que ú oe el loque de líquido eá ddo po: F F p p p p dv dv m Lρ d d dv p p Lρ d 67 Coidedo l deiiió de lujo voluméio qv v q/ e iee: Lρdq p p d dq d 68 Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7

132 6 Cpíulo.. Bloque u uiole de iem íio -6 Dode l oe e deomi iei hidáuli y e deie po e el equivlee del eoe e iem meáio y el iduo e iem eléio: Lρ 69 L popiedde de lo luido eumáio o: eiei eumái pii eumái e iei eumái. El eudio de lo luido eumáio e meee de l Temodiámi. Fudmeo de iioquími y emodiámi U mol e u uidd de idd que equivle 6.5 píul. Coideemo u m m de u g e u máimo edo de pue de m moleul M eedo e u eipiee de volume jo u peió p y o u empeu T l ley de lo ge idele elee que: p T p RT p T 7 Siedo m/m el úmeo de mole y R l oe uivel de ge idele. El piipio de vogdo elee que: volúmee igule de odo lo ge l mim peió y empeu oiee igul úmeo de moléul. L ley de Dlo de l peioe pile im que l peió ol p de u mel de ge e igul l um de l peioe pile p de lo ompoee idividule de l mel. p i pi p p p... 7 L eoí iéi de lo ge idele elee que u g de moléul d u de m m moviédoe u veloidd pomedio v m omeido u peió p e u volume eoe e umple que: p m ' ' v m 7 Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

133 -7 Cpíulo.. Bloque uiole de iem íio í mimo l eegí iéi pomedio de d moléul eá dd po E T í mimo l veloidd po moléul e RT v P. ρ P ge ele i emgo e h deolldo euioe de edo que emeje el o idel eo e h logdo pilmee medie oe de oeió u de l ule e l euió de De Wl o y omo oe: p RT m M 7 L leye de l emodiámi elee lo udmeo de l diámi de luido e edo giido. L popiedde emodiámi de l ui o: empeu T peió P deidd ρ eopí S. U poeo e eveile udo u dieió puede iveie e ulquie puo po u mio iiieiml e l odiioe ee. E l pái odo lo poeo o ieveile. L eegí émi Q e l eegí que luye de u uepo oo deido l dieei de empeu. L eegí ie U e l eegí ol oeid e u iem um de l eegí iéi poeil eléi ule que poee áomo y moléul del iem. L oveió de jo e om de eegí poeil iéi eléi o meái e puede llev o o u eiiei e l % elimido l iió que diip eegí e om de lo. Si emgo lo oio l oveió de lo e jo u o om povehle de eegí iee u eiiei eiieijo elido/lo ioduido que o upe el 4%. L egud ley de l emodiámi de epli ee eho. El jo W eeio p epdi u g peió oe p de u volume de u volume e: dw pd W v v pd 74 Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7

134 8 Cpíulo.. Bloque u uiole de iem íio -8 L elpí H e u elió imple ee l eegí ie U y el jo WP de u iem que e h deiido p eeo páio omo: dh du d P H U P 75 Ley eo de l emodiámi. Si do uepo eá e equiliio o u eeo eoe eo eá e equiliio émio ee i. Pime Ley de l emodiámi. Si u idd de eegí émi dq luye deo de u iem eoe eá dee pee omo u iemeo de l eegí ie du del iem y/o omo u jo dw po el iem oe u lededoe. dq du dw du pd 76 Segud Ley de l emodiámi. E impoile p ulquie iem ui u poeo e el ul e o lo de u depóio u empeu úi y ovie el lo omplemee e jo meáio o el iem emido e mimo edo e el ul omeó. E dei i u iem epeime mio epoáeo ée miá e l om que u eopí S e ieme o ie peme oe peo u dimiuye. L eopí e u medid del deode epil y émio de u iem. El lo iempe luye epoáemee de lo uepo de myo lo de meo empeu. Culquie poeo ieveile podue mio del iem hi u edo de myo eopí. P u poeo idel eveile e ioémio e iee: ds dq T S dq T 77 Tee ley de l emodiámi. El eo oluo o puede e ldo po igú poedimieo que oe de u úmeo iio de po. El lo epeíio o pidd loíi Q/m T de u ui e l idd de lo equeid p elev l empeu de u uidd de m m e u gdo. P el gu 48 J/g. E o de ge e iee do pidde loíi lo epeíio volume oe C y lo Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

135 -9 Cpíulo.. Bloque uiole de iem íio epeíio peió oe C P. P u g idel de m moleul M e umple que: C C P R M L ó de lo epeíio p ge e γ C / C P mooómio e γ. 67 y p ge diómio γ uyo vlo p ge E lo álulo de igeieí lo ge que eá ujeo peioe de uo uo puede oidee omo idele. P u mol de g idel e u poeo dode o hy lujo y e meáimee eveile e pli l iguiee euioe: du dq dw U Q W dw pd W du C dt U dh C dt H P pd C C P dt dt 79 Se die que el poeo e poliópio i l elió peió-volume eá dd po: δ P K iedo K u oe. E l poeo el jo W y el lo Q e oiee o l iguiee euioe: RT P W δ P δ / δ δ γ RT P Q δ γ P δ / δ 8 P vloe piule de l oe δ l euioe eioe e edue lo iguiee poeo emodiámio p u g idel: ioáio peió oe δ ioémio empeu oe du δ diáio i eei de lo dq δγ ioóio o iovoluméio volume oe dw δ Lo polem uy oluioe depede eluivmee de l oevió de l m y de l leye de l emodiámi uele deje ue del eudio de l Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7

136 Cpíulo.. Bloque u uiole de iem íio - meái de luido que ivolu el piipio de momeo liel y o eudido po l emodiámi. U volume de ool C e u volume ildo de u iem íio e eudio o u ed y u lid p omuie o u lededoe. Coideemo u volume de ool que loj u idd ole X de luido. U euió de le de m epe l elió ee l pide de poe X& hi o dede el luido - o l pide o l que e gee T X& l ui deo del volume y o l pide de mio de l ui G deo del volume de ool dx& v / d : X& X& T G dx d v 8 L pide de lujo máio m& o l que luye u luido e e geo de deidd ρ vé de u ueí de áe de eió vel o veloidd pomedio v e dd po: m& ρv 8 El poeo de lujo e edo ele e quel e el que el lujo máio de ed y lid e el mimo. Diho edo oedee l euió de oiuidd l ul e puede eii e émio del volume epeíio e/ρ. v m & ρv ρv e e v 8 Bloque uiole de iem luídio eumáio Reiei eumái Coidee u iem e e geo e lujo ele luyedo vé de u ueí. L eiei eumái e deie e émio de l ó de lujo máio m& y l dieei de peioe e do puo y lo lgo de l ueí omo: Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

137 - Cpíulo.. Bloque uiole de iem íio p p Rm& 84 Cpii eumái Coideemo u volume de ool que loj u g o l iguiee popiedde m m deidd ρ empeu T l ul e u lujo máio m& y le u lujo máio m&. Supogmo que l odiioe del g eé dd po l euió del g idel. p mrt p m/ RT ρrt ρ / RT p El mio de m e el volume de ool iedo que mρ y oidedo l euió eio e: d m d ρ d dρ d d RT p d m& m& ρ ρ ρ d d d d d d d Lo ul e puede eeii omo: d dp dp d dp dp m & m& ρ ρ C C dp d RT d dp RT d d dp RT d 85 Dode l oe C y C o l pii eumái deid l mio de volume y l pii deid l ompeiilidd del g epeivmee. d C ρ C dp RT 86 E émio de l dieei de peioe l euió puede eiie omo: p p m& m& d C C 87 ei eumái Coideemo u loque de g de áe de l eió vel logiud L. Se u deidd uiome ρ y u m mρl. pliquemo l egud ley de Newo p eudi l elioe ee l ue que e povee l loque de Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7

138 Cpíulo.. Bloque u uiole de iem íio - g p elelo y u popiedde. Coideemo que l ue ú e l lele del loque ejeiedo peioe p y p. d mv d ρlv d ρq p p m L d d d 88 Dode qv e el lujo voluméio í mimo el lujo máio e ddo po m& ρq. E e odiioe e iee que: Ldm& dm& p p d d L oe L/ e deomi iei eumái. L 89 Siem émio P iem émio olo e oide do loque uiole: eiei émi y pii émi. Fudmeo de eei de lo y loimeí L el de empeu m omue o el puo uió y eulliió del gu idido e péei o: Celiu - C Fhehei - F Rie R y l el olu o Kelvi K. Se elio ee i omo e idi oiuió: K C 7.5 F.8 C C F /.8 9 R F 46 El puo iple del gu e deie. C y equivle 7.6K. Si u meil de oeiiee liel de epió α y oeiiee voluméio de epió β βα p ólido o logiud L y volume e omee u mio de empeu T ee eiee u mio e logiud y volume ddo po: L αl T β T 9 Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

139 - Cpíulo.. Bloque uiole de iem íio El lo eido de u uepo oo e el euldo de l dieei de empeu. El lo eeio p elev l empeu de u meil de pidd loíi y m m u idd T e: Q m T. Lo e meimo p l eei de lo o: oduió oveió y diió. L oduió oue udo l eegí loíi p vé de u meil omo euldo de l oliioe ee l moléul del mimo. L oveió de eegí loíi ivolu movimieo de m de u egió o el meil de meo empeu e depldo. L diió e eei de eegí vé de od eleomgéi. Coduió. Coideemo do uepo de empeu T y T B iedo T >T B y e u meil de oduió ildo de logiud L y áe de eió vel y e u oduividd eoe l oiee de lo po oduió H e: H dq dt dt d T T L T T R R B B L 9 Coveió. El poeo de eei de lo po oveió e omplejo y o eie u euió geel po el oio e deoll euioe piule depediedo de u pliió. Po ejemplo l oveió ul de ie dede upeiie veile y plo hoiole e ddo po: hl L ρ gβ T Pµ µ 9 Siedo: hoeiiee medio de eei de lo oduividd loíi del luido plo epeíio peió oe del luido ρ deidd del luido β oeiiee de epió émi del luido geleió deid l gvedd Tdieei de empeu ee l lmi y el luido µ vioidd del luido. Rdiió. U uepo ego e u uepo que oe od l eegí die que iide oe el. E equiliio émio u uepo emie l mim idd de eegí die que l que oe. pi de l ley de Se-Bolm Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7

140 4 Cpíulo.. Bloque u uiole de iem íio -4 e iee l oiee de lo po diió H p u upeiie de u uepo empeu olu T e dd po: dq 4 H eσt dt 94 Dode σ e l oe de Se-Bolm y e e l emiividd de l upeiie. P u uepo ego e y e< p u upeiie el. Cudo u uepo o empeu olu T eá e u egió dode l empeu olu e T l eegí did po el uepo e: dq H eσ T dt 4 T 4 95 Bloque uiole de iem émio Reiei émi Como emo de l emodiámi ólo hy lujo de lo eo ee do puo i hy u dieei de empeu ee ello. El lujo de lo q deido u upeiie ee do puo de empeu T y T e elio po: T T R q 96 Dode R e l eiei émi. El vlo de l eiei depede del modo e el que e iee el lo. E l oduió vé de u ólido RL/. E l oveió R/h. Cpii émi L pii émi C e u medid del lmemieo de eegí ie de u iem. Se q l ó de lujo e el ieio de u iem y q l ó de lujo que le de ee eoe: dt dt q q q m C C m d d 97 Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

141 -5 Cpíulo.. Bloque uiole de iem íio Relioe logí de loque uiole de iem íio H ho ueo eueo e h oedo e l deemiió de lo loque uiole de lo iguiee iem íio: meáio liole meáio oiole eléio luídio hidáulio luídio eumáio y émio. L ieió que e h eido e mee e peelo de me l que e oeve u logí ul e lo modelo memáio que lo pee omo e eume e l l.. Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7

142 6 Cpíulo.. Bloque u uiole de iem íio -6 Tl. Relioe álog de lo loque uiole de iem íio Siem íio lmemieo de eegí poeil Bloque uiole Diipdo de eegí lmemieo de eegí iéi Meáio iol Meáio oiol Eléio Fluídio hidáulio Fluídio eumáio Témio Reoe liol moigudo liol M F vd dv F v F m d Reoe oiol moigudo oiol Momeo de iei T ωd d ω T ω T d duo Reio Cpio i vd L i R v dv i C d ei hidáuli Reiei hidáuli Cpii hidáuli q p p d q p p R d p p q C d ei eumái Reiei eumái Cpii eumái m & p p d m& p p R d p p m& C d Si equivlee Reiei émi Cpii émi q T T R q q C dt d Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

143 Cpíulo Modeldo de iem diámio Lo iem íio e pee e l ule omo iem diámio. El modelo memáio que epee u iem íio e oiee pi de u álii del edo que gud lo loque uiole que ompoe el iem plido lo piipio de oevió de eegí m y momeo gul y liel. El ojeivo de ee piulo e pee u ojuo de éi que pemi l oeió de modelo memáio p lo iguiee iem íio: Siem meáio. Siem eléio. Siem luídio. Siem émio. Siem eleomeáio. El modeldo e pee medie l uió de eei del iem e el domiio de empledo l omd de Lple; e pee u ioduió l álii e epio de edo.

144 Cpíulo. Modeldo de iem diámio - Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

145 - Cpíulo. Modeldo de iem diámio Modeldo de iem diámio U euió dieeil de u iem diámio e u modelo memáio que epee l elió ee l vile de ed del iem y l vile de lid p u eíi del iem e piul omo u uió del iempo. U modelo de edo e u epeeió miil que elio l vile de: ed lid y de edo; de me que deemi el ompomieo del iem e ulquie iempo. E geel l leye de oevió de l m M eegí E y momeo P e pli lo ompoee del iem p om u euió de le que e puede eii omo: lujo de[me]de ed- lujode[me]de lid de umulio de[me] E igeieí de ool e emple ví éi memái ie udmed: modeldo medie uió de eei plile iem liele ivie o el iempo ED liele o oeiiee oe; epeeió del iem medie digm de loque y modeldo de iem omplejo medie epio de edo. Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7

146 4 Cpíulo. Modeldo de iem diámio -4 Modeldo medie uió de eei L eoí de ool oveiol emple l uió de eei p el álii de iem liele ivie o el iempo ujeo u ol ed y u ol lid; y el álii e eli e el domiio de l euei /. U uió de eei o gi G de u iem e oiee l pli l omd de Lple l ED ivie o el iempo que epee el iem omdo l ED del domio del iempo l domiio de l lo úmeo omplejo y e epe omo u ó de l lid o epue Y ee l ed o eiió XS; jo l upoiió de que od l odiioe iiile o eo: Y L Y G X G X L [ y ] [ ] El ode del iem qued deemido po el ode de X y e geel el ode de X eá iempe meo que el ode de Y. Ejemplo.. Oee l uió de eei p el iem meáio modo e l igu uy ed e l ue ee u y u lid el deplmieo y. Soluió. Cudo e pli l ue ee u l m e l dieió idid l ue de eoe y moigumieo e opoe l deplmieo. De e me: plido l egud ley de Newo Fm; omdo l ED liel e ivie eule; hlldo l uió de eei upoiedo odiioe iiile igule eo e iee: Figu. Siem loqueeoe-moigudo dy d y u y m d d m Y Y Y U Y G U m d y m d Y dy d y u [ m ] U Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

147 -5 Cpíulo. Modeldo de iem diámio Repeeió del iem medie digm de loque Lo digm de loque o epeeioe gái de l diámi de u iem de ool e u om má eill epee u uió de eei; y o de lo iguiee elemeo igu.: leh: e emple p epee l dieió del lujo de l eñl; puo um: e el lug dode do o má eñle e um o e depediedo del igo idido; puo de epió: e el lug dode l eñl e ep e do o má dieioe de lujo; 4 loque: o eudo que loj u opeió memái de omió p l eñl de ed. Lo digm de loque oedee lguo piipio lgeio áio omo e mue e l igu.4. P u iem de lo ieo que o de elemeo oedo e eie l uió de eei glol e el poduo de l uioe de eei de lo elemeo idividule: G G GG LG P u iem de lo edo oideemo el digm de loque modo e l igu.. Se iee l iguiee elioe: C G E E R B R H C C G R G H 4 Figu. Elemeo de u digm de loque R B E G C - Relimeió H Figu. Fuió de eei de u iem de lo edo Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7

148 6 Cpíulo. Modeldo de iem diámio -6 Figu.4 Regl lgei de lo digm de loque E l euió eio G e ooe omo uió de eei de l yeoi die GH e ooe omo uió de eei de lo. Eeo de l peuioe U peuió e u eñl o deed l ul e l lid del iem. L peuioe puede vei de uee eóge medio miee o del ieio del iem po ejemplo uido eléio. Figu.5 Siem de ool e lo edo o peuió Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

149 -7 Cpíulo. Modeldo de iem diámio Coideemo el iem de lo edo ujeo u peuió D modo e l igu.5. L epue del iem C e l upepoiió de l epue de l eñl de ed C R y l peuió C D eo e: G C C CD G G H [ G R D ] R E geel lo iem de lo edo o poo eile lo eeo de l peuioe. Repeeió de u iem diámio e digm de loque Ejemplo.. P el iuio RC modo e l igu.6; uy ed e e i y uy lid e e o. Hll u epeeió e digm de loque. Soluió. Se eie euioe que elioe l vile de ed y lid; e om e digm de loque; e om u digm de loque geel: ei e i R e o o id C 5 Figu.6 Ciuio RC Modeldo medie epio de edo E l eoí de ool mode e emple el oepo de epio de edo p el álii de iem diámio que puede ee ed y lid múliple y que puede vi o el iempo ED o liele; y el álii e eli e el domiio del iempo. El edo de u iem qued deemido l ooe el -veo de edo uyo ompoee o -vile de edo y que gáimee e epee omo u puo e el -epio de edo. U euió de edo e u elió Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7

150 8 Cpíulo. Modeldo de iem diámio -8 ee e ojuo de vile que deemi el ompomieo del iem: vile de ed vile de lid y vile de edo. U iem diámio dee iopo elemeo que memoie lo vloe de l ed eo o lo iegdoe y u lid o l vile de edo i i ' d. Medie el epio de edo u iem diámio e puede epee medie el iguiee ojuo de euioe miile: dode : 6 mi de edo mi de ed mi de lid mi de miió die L mie B C y D o uioe del iempo i el iem e vie o el iempo de lo oio o mie oe. El veo de ed u veo de lid y y veo de edo e deie po: u u u y y ym 7 Ejemplo.. Repee el iem m-eoe-moigudo medie euioe de edo. Soluió. El puo lve p l epeeió del iem medie euioe de edo e l eleió deud de l vile de edo y e llev o omo igue: e deemi l ED que epee el iem diámio y el gdo de e ; e elige -vile de edo que puede e l uió de lid y u - deivd; e eie elioe de l vile de ed y l vile de lid o l vile de edo; 4 e epe miilmee l euioe de edo; 5 e epee el iem e u om miil eád ideiido l mie de oeiiee B C D: Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

151 -9 Cpíulo. Modeldo de iem diámio 4 5 d y dy m y u my'' y' y u d d y y' ' ' y y' u ' m m Y ' u ' m m m m m B m m Y C vile de edo u m m [ ] [ ] D Repeeió de EDL o oeiiee oe e epio de edo El méodo e euido e geeliá p epee u iem diámio que e epeedo po u euió dieeil liel de eéimo ode e u om oml: y y L y y u Coideemo omo vile de edo l uió de lid y u deivd y deiimo: 8 y y L y Reeiiedo l ED e émio de l vile deiid: 9 ' ' L ' Po lo que miilmee e epio de edo l ED liel de -éimo ode e epee po do euioe liele de pime ode: Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7

152 Cpíulo Cpíulo Cpíulo Cpíulo. Modeldo de iem diámio Modeldo de iem diámio Modeldo de iem diámio Modeldo de iem diámio - Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi [ ] ' L M L L L L L M imimo l uió de eei del iem eá dd po: U Y G L Relió ee uioe de eei y epio de edo Cudo e iee u modelo e el epio de edo de u iem o u ol ed y u ol lid e poile oee l uió de eei pi de lo pámeo B C y D omo e mue oiuió. [ ] [ ] [ ] L L U Y G U U U U X Y U X U X U X X U X X Ejemplo.4. Oee l uió de eei p el iem meoe-moigudo epeedo e epio de edo. Soluió. plido l euió deiioi e iee que:

153 - Cpíulo Cpíulo Cpíulo Cpíulo. Modeldo de iem diámio. Modeldo de iem diámio. Modeldo de iem diámio. Modeldo de iem diámio Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7 [ ] [ ] m m m m m R m R m R R m R R U Y G m m R m m R m m m m m m m m m m m m m m m dj dj / / de Siem meáio P lo iem meáio liole eie e loque uiole áio: m-eoe-moigudo; p iem meáio oiole lo loque uiole áio o: momeo de iei-eoe oiol-moigudo oiol. E álii de iem meáio e llev o plido l egud ley de Newo d m o momeo de iei egú oepod o euei e úil diuj u digm de uepo lie e el que e mue l ue o oque udo oe d m: d d T d d m F θ 4 Ejemplo.5. Oee el modelo po uió de eei del iem modo e l igu.7 dode l ue ee e l vile de ed y el deplmieo l vile de lid. Soluió. Cudo l ue e pli l m e l dieió idid lo eoe e opoe l Figu.7 Siem m-eoe

154 Cpíulo. Modeldo de iem diámio - movimieo o ue idid. plido l egud ley de Newo e iee que: d d m m d d d Lm m X X F d X X [ m ] F G F m Ejemplo.6. Oee el modelo po uió de eei de u moo que he gi u g dode el p eeo T e l vile de ed y el deplmieo gul l vile de lid. Soluió. E l igu.8 e mue el modelo de loque. L m e epeed po el momeo de iei o dio de gio y e heh gi po u p eeo T iemee e u p plido l mdu deido ue eleomgéi po ieió o el mpo mgéio T BN iθˆ el eoe y el moigudo oiole gee pe que e opoe l movimieo de l m; e pli l egud ley de Newo e om oiol dθ d θ T θ d d d θ dθ L θ T d d Θ T d ω d y e iee que: d θ dθ θ T d d Θ Θ Θ T Θ [ ] T G T Figu.8 M que gi uje l eemo de u eje Ejemplo.7. Oee el modelo po uió de eei del iem de upeió de u uomóvil igu.9. Soluió. El iem de upeió e omplejo u emieo e omo el modo e l igu.9 u impliiió myo odue l iem modo e l igu.9. E el ul el deplmieo i del puo P e l ed del iem y el deplmieo o de l m e l lid del iem. Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

155 - Cpíulo. Modeldo de iem diámio d i ' i P m o o m'' o Figu.9 Supeió de u uomóvil; iem de upeió; impliiió; d uepo lie L upeió de u uomóvil iee po ojeo l eilidd de ee de me que e miimie l viioe omo euldo del elieve del eeo. Se ompoe de do elemeo piiple eoe o muelle y moigudoe demá de o y eje ígido. Reiiédoe l igu.9 el iem e model omo u iem m-eoe-moigudo. E émio de deplmieo udo u deplmieo i e pli l puo P l m m eio o deplmieo o pi de u poiió de equiliio; peo e moigu medie el moigudo de oe y el eoe de oe. El digm de uepo lie e mue e l igu.9d e ímolo e iee que: d o m o d d Lm d X O o do d do d di d di d d m d m X X X X X m X X m X XO G X m i i i o i o do d O di d O O o i i i O i Siem eléio Lo loque uiole áio de iem eléio o: iduo-eiopio. El álii de iem eléio e llev o plido l leye de volje y oiee de Kihho LK LCK medie do méodo ooido Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7

156 4 Cpíulo. Modeldo de iem diámio -4 omo álii de mll y álii de odo que epe l oevió de l eegí y l g epeivmee: ˆ LK ˆ LCK Ejemplo.8. Oee el modelo po uió de eei del iem RLC modo e l igu. l vile de ed e el volje plido v l vile de lid e el volje e el pio v C. Soluió. L igu. mue el álii de odo l igu. mue el álii de mll mo ollev l mimo euldo e dei: 5 Figu. Ciuio R-L C álii de odo; álii de mll álii de odo : v v dv i : i i i i i d i C R L d v v dv dvc R vd C peo v C v eoe : RC vcd v R L d d L dvc R RC LRC vcd vc v RCC C d L L R C C RC G L R RC L álii de mll : d i i Mll : v Ri L d d i i d i i Mll : vc L vc L vc d d dvc dvc vcd Li LC i vcd C d L d dvc dvc v R vcd C vc v RC L d d d L R L i i d v d v C C C C v d L i v i Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

157 -5 Cpíulo. Modeldo de iem diámio Ejemplo.9. Eii el iuio eléio álogo l iem meáio modo e l igu.. Soluió. L logí ee elemeo meáio y eléio e omo igue: eoe iduo; moigudo eio; m pio l ue F e álog l ieidd de oiee eléi i. Lo elemeo de l m eá e plelo o el elemeo de l m lo mimo oue e u iuio dul. El euldo e mue e l igu.. Figu. Siem meáio Tomd de Lple de impedi omplej Figu. Siem eléio El álii de iuio eléio e ili e g medid udo l impedi del iuio e om po l éi de Lple. L impedi e deie omo l ó Z/; p lo elemeo eio R iduo L y pio C e iee l impedi omplej R L y /C epeivmee el eipoo de l impedi e l dmii Y. El equivlee de impedi e eie e u um lgei el equivlee de dmii e plelo e u um lgei e dei: Z eq Z Y eq Y 6 Ejemplo.. Oee l omió de Lple del iuio RLC modo e l igu.. Soluió. Se eie l LK p l mll y e om: Figu. Ciuio RLC Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7

158 6 Cpíulo. Modeldo de iem diámio -6 di ei vl vr vc vl L vr Ri vc id d C di ei L Ri id eo id d C C di L ei L Ri id Ei L R Ei L R d C C C L eo id EO C C EO / C / C G E i LC RC L R L R C C Ejemplo.. Oee el modelo po uió de eei del iuio modo e l igu.4 empledo el oepo de impedi omplej. Siedo Z LR Z /C. Soluió. Pueo que e u iuio de u ol mll e pli l LK y e iee que: Figu.4 Ciuio de impedi omplej E Z i eq [ Z Z ] E Z EO Z / C G E Z Z L R / C LC i O RC Ejemplo.. Oee el modelo e epio de edo del iuio RLC modo e l igu.. Soluió. Se pli el méodo p EDL o oeiiee oe e peedo que o de lo iguiee po: e oiee l EDL y e eie e ui om oml y e oiee el ode ; e eie l vile de edo que o de l vile de lid y u - deivd; e eie l vile de ed u y l vile de lid y ; 4 e eie l euioe miile de pime ode que epee el edo del iem de uedo l omo peedo; 5 e oiee l uió de eei empledo l euió e peed: Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

159 -7 Cpíulo. Modeldo de iem diámio 4 5 di ei L Ri id eo d C C deo d C d deo de ei L R C C d d C d R eo '' eo ' eo ei L LC LC R L LC e e ' u e i O y e ' R u ' LC L LC y [ ] EO / LC G E R / L / LC LC i O O O de id i C d d e d ei LC d vile de edo vile de ed RC O de RC d y lid e EDL e u om oml de ode O O O Siem luídio U líquido que luye deo de u ueí e die que iee lujo lmi i u úmeo de Reyold e meo que i e myo e die que e lujo uuleo. El úmeo de Reyold e u idd dimeiol que e deie po: DG NR µ dode : µ vioidd[poie di - eg/m g/eg - m] G veloidd mái del lujo D diámeo de l eió veliul 7 Lo iem o lujo lmi e model o EDL mie que lo de lujo uuleo equiee EDP; lo pimeo o meee de ueo eudio. Ejemplo.. P el iem de ivel de líquido o ieió modo e l igu.5 oee l EDL que deie el mio de l lu de lo líquido e lo oeedoe epeo l iempo i l iei e depeile. Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7

160 8 Cpíulo. Modeldo de iem diámio -8 Soluió. Lo elemeo que ompoe el iem modo o áimee do ipo: lo oeedoe o pioe y l válvul; lo pimeo iee l popiedd de pidd y lo egudo de eiei. Empledo l euioe deiioi e iee que: P el oeedo : q q P l p Rq q P l p R q q ρg h R ρg h R ρg h R dp C d válvul : dp C d válvul : dh h d P el oeedo : q q h p h ρg p h ρg h ρg h p h ρg dh d p h ρg h ρg R q ρg R h ρg Rq q h h / ρg q el líquido le peió moéi p dh q d C / ρg q C q q q q ρg h R dh d ρg h h R dh ρg h uiuyedo q d R dh ρg dh ρg ρg h h h d R d R R Ejemplo.4. P el uo e U modo e l igu.6 que oiee u líquido oee l EDL que deie el mio de lu o el iempo udo e ieme l peió po el eemo del uo idido. Figu.5 Siem de ivel de líquido omuie dh d e l e de l válvul : h Soluió. Cudo e ejee peió po el eemo iquiedo del uo depládoe el ivel u Figu.6 Tuo e U oeiedo líquido Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

161 -9 Cpíulo. Modeldo de iem diámio lu h l dieei de lu ee ivele e h y el volume depldo e h iedo el áe de eió vel. E ulquie ie l dieei depeioe ee lo do eemo dee e igul l íd de peió ol vé del iem i oidemo que el iem iee iei eiei y pii eoe e iee que: p dq d Rq C d h ρl R d dh d qd q ρgh p d d dh h Dieei ee lo ivele Siem émio h d d dh d h dh p R d d d C ρl C ρg dh Ejemplo.5. Coidéee u emómeo de empeu T que e umege e u líquido de empeu T L modo e l igu.7 deemi l EDL que deie l viió de empeu del emómeo. Figu.7 Temómeo Soluió. El emómeo iee u pii émi C y eie u lujo de lo del líquido l emómeo q vé de u eiei émi e R e dei: T T Rq eiei émi L q C dt d TL T dt C R d lujo de lo del dt RC T TL d TL T q R líquido l emómeo Ejemplo.6. L igu.8 mue u iem émio que o de u leo eléio CE e u hiió H. El CE emie lo l ó q y H piede lo l ó q. Si el ie e H eá u empeu uiome T y que o e lme lo e l pede oee l EDL que deie omo mi T. Figu.8 Cleió Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7

162 Cpíulo. Modeldo de iem diámio - Soluió. El íe e H iee u pii émi C l empeu deo de H e T y T O ue de ell empledo l euioe deiioi e iee que: q q q C R dt d q R T T T T C RC T Rq T O Rq T T dt d O dt d Siem eleomeáio G pe de lo dipoiivo de pliió pái e ompoe de l gupió de iem imple el álii de eo equiee l pliió de leye de oevió de l eegí que ieviee e u opeió. Ejemplo.7. Deemi el modelo memáio del moo de CD ooldo po mdu; ooldo po mpo. Diuj el iuio eli u digm de epeeivo del modelo. Soluió. U moo de CD e dipoiivo que om eegí eléi e eegí meái. Se ompoe de pe piiple u emoido de mpo y u emoido de mdu; el pimeo gee u mpo mgéio de deidd de lujo B po iulió de u oiee i ; udo po el emoido de l mdu de N epi iul u oiee i oe d epi de logiud L y hu ú ue F que l he gi veloidd gul ω; geedo u p T. E l emile de l mdu e idue u volje deomido ue oeleomoi v y e opoe l volje plido v y e popoiol ω. P el moo ooldo po mdu l oiee de mpo i e oe y el moo e ool judo el volje de l mdu v. El iuio de l mdu e puede oide omo u eiei R e eie o u idui L y u ue oeleomoi v opue el volje plido l mdu v omo e mue e l igu.9. l p de l mdu T e opoe el p de moigumieo T m popoiol l veloidd de l mdu. O O Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

163 - Cpíulo. Modeldo de iem diámio P el moo ooldo po mpo l oiee de l mdu i e oe y el moo e ool judo el volje del mpo v. El iuio del mpo e puede oide omo u eiei R e eie o u idui L omo e mue e l igu.9. l p de l mdu e opoe el p de moigumieo T m popoiol l veloidd de l mdu. L igu. mue el digm e loque e uió del iempo l deduió memái e mue oiuió: Figu.9 Ciuio de l mdu y mpo p u moo de CD. Compomi eo del moo de CD : F NBi L T F NBi L Bi v Bω ω di di v : L Ri v - v L Ri v d d dω dω T : T 4i Tm ω 4i ω d d Moo CD ooldo po mpo :i oe Moo CD ooldo v v : dω T : d di L Ri d 5 T i po mdu : i v T m ue mgéi oe N epi p oe N epi de l mdu ue oeleomii iduid oe B oe dω ω 5i d ω - ω Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7

164 Cpíulo. Modeldo de iem diámio - Figu. Digm e loque e domiio del iempo p el moo de CD ooldo po: mdu; mpo. Ejemplo.8. P el moo de CD del ejemplo.7 oee l uió de eei po elemeo deemi l uió de eei glol y diuj el digm de loque e el domiio de. Soluió. Se oiee l omd de Lple de d elemeo de l igu. upoiedo odiioe iiile igule eo; e ode lo émio oveieemee y e oiee l uió de eei glol. El digm de loque e el domiio de e mue e l igu.; lo álulo e mue oiuió: Figu. Digm e loque e domiio de p el moo de CD ooldo po: mdu; mpo. Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

165 - Cpíulo Cpíulo Cpíulo Cpíulo. Modeldo de iem diámio. Modeldo de iem diámio. Modeldo de iem diámio. Modeldo de iem diámio Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] / / / R / / / / : Cg R R / R / R / R : Cmpo : po mpo Moo CD ooldo / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / : Cg R R / R / R / R : mdu : po mdu Moo CD ooldo H : Relimeió T G : Cg i T G : mdu de l Emoido R G R R : mdu de l Ciuio R G L L L R R K K G R R R R G L L L T L L L eq eq τ τ τ τ ω τ τ τ τ τ τ ω τ τ ω ξω τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ ω ω ω ω

166 Cpíulo 4 Siem de Cool E e eió e pee lo udmeo de lo iem de ool de poeo iduile. Qué e u iem de ool uomáio? Siem de ool lo ieo y lo edo. Tipo de eñle de miió. Compoee de u iem de ool Dimeiomieo de válvul Tipo de ooldoe po elimeió Cooldoe lógio pogmle PLC

167 Cpíulo 4. 4 Siem de Cool - Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

168 - Cpíulo 4. Siem de Cool Cool uomáio El ool de iem iduile eie po l eeidd de mee oe lgu idde vile igu 4. uyo vlo deedo e deomi puo de ool; epe de l peuioe o oo del medio o iheee l iem. U iem de ool uomáio puede deiie omo quél que omp el vlo de l vile o odiió ool o u vlo deedo y om u ió de oeió i que el opedo ieveg e oluo. Lo iem de ool e lii e do gupo: e lo ieo y e lo edo. El Peió Puo de oío iem de lo ieo ee de elimeió el iem de lo edo poee elimeió l eñl de elimeió e quell que le del ooldo o l ilidd de eli jue e l eñl de ed de me que e eilie egú oveg. ph Cudl Coduividd ile Humedd Tempeu Nivel eloidd Figu 4. Cidde vile omúmee oold Siem de lo ieo Lo iem de ool de lo ieo o e geel do e euei deiid y ii o ie po empoidoe. Lo ompoee áio de u iem de ool de lo ieo o lo iguiee vée igu 4.: Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7

169 4 Cpíulo 4. 4 Siem de Cool -4 Ed Elemeo Elemeo de Slid de ool oeió Poeo ile oold Cooldo Figu 4. Elemeo de u iem de ool de lo ieo.- Elemeo de ool. E el elemeo que deemi que ió e v om dd l ed l iem..- Elemeo de oeió. Ee elemeo epode l ed que viee del elemeo de ool e iii l ió p podui el mio e l vile oold l vlo equeido..- Poeo. E el lug dode e ool l vile. Co lo iem de ool de lo ieo lo ipo de ool má ooido o de do poiioe ON/OFF o euei de ioe omud po iempo. Siem de lo edo Co el iem de ool de lo edo e iee u eñl de elimeió hi l ed dede l lid l ul e uili p modii l ed de modo que l lid e meg oe pe de lo mio e l odiioe de opeió. Lo ompoee de u iem de ool de lo edo o lo modo e l igu 4.. L ed del iem e el vlo equeido de l vile y l lid e el vlo el de l vile. Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

170 -5 Cpíulo 4. Siem de Cool 5 Ed lo de eeei Cooldo Señl de 4 - eo Elemeo de ool Elemeo de oeió 5 Poeo Elemeo de mediió Slid ile oold Figu 4. Elemeo de u iem de ool de lo edo.- Elemeo de ompió. Comp el vlo equeido o de eeei de l vile po ool o el vlo medido de lo que e oiee l lid y podue u eñl de eo l ul idi l dieei del vlo oeido l lid y el vlo equeido. eo vlo de eeei - vlo medido.- Elemeo de ool. Deide que ió om udo e eie u eñl de eo. meudo e uili el émio ooldo p u elemeo que iopo el elemeo de ool y l uidd de oeió..- Elemeo de oeió. Se uili p podui u mio e el poeo l elimi el eo y o euei e deomi udo. 4.- Elemeo poeo. El poeo o pl e el iem dode e v ool l vile. 5.- Elemeo de mediió. Podue u eñl eliod o l odiió de l vile oold y popoio l eñl de elimeió l elemeo de ompió p deemi i hy o o eo. Todo iem de ool de lo edo poee elimeió; que e el medio vé del ul u eñl eliod o l vile el oeid e elime p ompe o l eñl de eeei. Se iee u elimeió egiv udo l eñl elimed e ue del vlo de eeei: Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7

171 6 Cpíulo 4. 4 Siem de Cool -6 eo vlo de eeei - vlo de elimeió L elimeió poiiv e pee udo l eñl elimed e diio l vlo de eeei: eo vlo de eeei vlo de elimeió Cool de u poeo iduil El ule o lo p u poeo iduil e omdo po lo iguiee elemeo igu 4.4: poeo mio ooldo y válvul de ool. Puo de oig Eo Cooldo Medid y miió Elemeo il de ool Fluido de ool Slid del poduo ile eguld Poeo ile mipuld Ed del poduo Peuioe Figu 4.4 Elemeo de u iem de ool iduil El poeo oie e u iem que h ido deolldo p llev o u ojeivo de emido: mieo del meil medie u eie de opeioe epeíi deid llev o u omió. El mio igu 4.5 e u iumeo que p l vile del poeo y l mie dii u iumeo eepo idido egido ooldo o u omiió de eo. Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

172 -7 Cpíulo 4. Siem de Cool 7 ile del poeo Tmio Medio De Tmiió Señl De Tmiió Reepo dido Regido Cooldo Figu 4.5 Elemeo que ieviee e l miió Lo ipo de eñle de miió puede e u de l idid e l l 4.: Tl 4. Señle de miió No. Señl Rgo Neumái -5 PS.- B.- Kg/m Eleói 4- m CD -m CD -5 CD Digil y e gupo de 8 6 y i 4 Hidáuli P miió de gde poei 5 Teleméi P miió de gde poei El ooldo pemie l poeo umpli u ojeivo de omió del meil y eli do uioe eeile: Comp l vile medid o l de eeei o deed puo de oig p deemi el eo. Eili el uiomieo diámio del ule de ool medie iuio epeile p edui o elimi el eo. Lo poeo pee do eíi piiple que dee oidee l uomilo: Lo mio e l vile oold deido leioe e l odiioe del poeo y llmdo geelmee mio de g. El iempo eeio p que l vile del poeo le u uevo vlo l oui u mio de g. Ee edo e dee u o vi popiedde del poeo: pii eiei y iempo de poe. Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7

173 8 Cpíulo 4. 4 Siem de Cool -8 L válvul o elemeo il de ool e e oo dieo o l vile de mpo y e l que ejeu l ió de ool de uedo lo idido po el ooldo. Compoee de u iem de ool Lo uo ompoee áio de lo iem de ool o lo eoe lo mioe lo ooldoe y lo elemeo ile de ool; le ompoee deempeñ l e opeioe ái de odo iem de ool: mediió M deiió D y ió. Seoe y mioe Co lo eoe y mioe e eli l opeioe de mediió e el iem de ool. E el eo e podue u eómeo meáio eléio o imil el ul e elio o l vile de poeo que e mide; el mio u ve oviee ee eómeo e u eñl que e puede mii y po lo o é iee elió o l vile del poeo. Eie e émio impoe que e elio o l omiió eo/mio S/T: L el del iumeo l deie lo vloe upeio e ieio de l vile medi del poeo; eo e i e oide que u S/T e li p medi l peió ee y 5 pi de u poeo e die que l el de l omiió S/T e de -5 pi. El go del iumeo e l dieei ee el vlo upeio y el ieio de l el p el iumeo ido quí el go e de pi. E geel p deii l el del iumeo e dee epeii u vlo upeio y oo ieio; e dei e eeio d do úmeo; mie que el go e l dieei ee lo do vloe. Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

174 -9 Cpíulo 4. Siem de Cool 9 El vlo ieio de l el e ooe omo eo del iumeo ee vlo o eeimee dee e eo p llmlo í; e el ejemplo ddo má i el eo del iumeo e de pi. P u iumeo l gi e l elió del go de lid epeo l go de ed: go de lid m - 4m G Ejemplo : G go de ed pi - pi 6m pi m.8 pi 4 álvul de ool L eleió de l válvul e eli omdo e ue l ió que e dee eli e o de que l eegí que l io lle omo medid de eguidd. Eie do ipo ie e ll F y ed e ll CF; l pime e ie y l egud e e udo el umiio ll. L myoí de l válvul de ool e ope de me eumái y oeueemee l eegí que e le pli e ie ompimido. P i u válvul ed e ll e equiee eegí y; po ello mié e le ooe omo válvul de ie p i. L válvul ie e ll e l que e equiee eegí p el e ooe mié omo de ie p e C. Dimeiomieo de l válvul de ool El dimeiomieo de l válvul de ool e el poedimieo medie el ul e lul el oeiiee de lujo de l válvul C ; e deie omo l idd de gu e gloe U.S. que luye po miuo vé de u válvul omplemee ie o u ld de peió de pi e l eió vel de l válvul. L euió ái p dimeio u válvul de ool que e uili o líquido e l mim p odo lo ie: 5 Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7

175 Cpíulo 4. 4 Siem de Cool - L euioe p dimeio u válvul de ool que e uili o g vpo y vpo de gu diiee de ie e ie p luido ompeile deido omo e epee el lujo íio. El lujo íio e l odiió que e pee udo el lujo o e uió de l í udd de l d de peió e l eió de l válvul io úimee l peió de ed l válvul. Ee eómeo oue depué de que el luido l l veloidd del oido e l ve o; udo el luido e eue e l odiió del lujo íio lo deemeo o iemeo e l peió de lid de l válvul o e l lujo io úimee lo mio e l peió de ed. í e iee l iguiee euioe: 6 Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

176 - Cpíulo 4. Siem de Cool El émio y e uili p epe l odiió íi o uíi del lujo y e deie po: El dimeiomieo de l válvul medie el álulo de C e dee he de me l que udo l válvul e omplemee el lujo que pe e má del que e equiee e odiioe omle de opeió; e dei dee he lgo de oedieño e l válvul p el o e que e equie má lujo u o de e ue eleió e l myoí de lo o: 7 8 Coideioe de íd de peió e l válvul U egl uul oie e epeii l íd de peió de dieño e l válvul l 5 % de l íd diámi ol de peió e odo el iem de oduoe o pi l que e myo; peo el vlo el depede de l iuió y del ieio eleido e l ompñí. Como e upoe l íd de peió de dieño mié iee eeo oe el deempeño de l válvul l omo e veá e l iguiee eió. Ejemplo 4.. Dimeio u válvul que eá ud o g; lujo omil 5 lm/h; peió de ed 5 pi; íd de peió de dieño pi. Gvedd epeíi del g.4 empeu de lujo 5 F peo moleul. U u válvul de oplmieo C.9. Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7

177 Cpíulo 4. 4 Siem de Cool - Soluió. Suiuyedo lo vloe e l euioe e iee que: Cooldoe El ooldo e el eeo del iuio de ool; e el dipoiivo que om l deiió D e el iem de ool y p helo:. Comp l eñl del poeo que lleg del mio l vile que e ool o el puo de ool y. Eví l eñl popid l válvul de ool o ulquie oo elemeo il de ool p mee l vile que e ool e el puo de ool. Figu 4.6 Dieee ipo de ooldoe de poeo Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

178 - Cpíulo 4. Siem de Cool Coidéee ho el iuio de ool de ivel que e mue e l igu 4.7 i el ivel del líquido e el puo de ijió el ooldo dee i l válvul p que el ivel egee l puo de ool. Pueo que l válvul e de ie p i el ooldo dee ieme u eñl de lid ve l leh e l igu y p om e deiió el ooldo e dee olo e ió die. lguo ie deomi e ió iemeo; e dei udo hy u iemeo e l eñl que e l ooldo eoe eie u iemeo e l eñl de lid del mimo. P deemi l ió del ooldo el igeieo dee ooe: lo equeimieo de ool del poeo; l ió de l válvul de ool u oo elemeo il de ool. Figu 4.7 Ciuio de ool p ivel de líquido Tipo de ooldoe po elimeió Cool popoiol. El ooldo popoiol e el ipo má imple de ooldo o eepió del ooldo de do edo; l eui6 o que e deie u uiomieo e l iguiee: 9 Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7

179 4 Cpíulo 4. 4 Siem de Cool -4 Muho ie de ooldoe o uili el émio gi p deig l idd de eiilidd del ooldo io que uili el émio Bd Popoiol PB. L elió ee l gi y l d popoiol e epe medie: E l igu 54.8 e epli gáimee l deiiió de PB; e ell e ve que u PB del % igii que udo l vile que e ool ví e go u loo% l lid del ooldo ví % e go; u PB de 5% igii que udo l vile que e ool ví u 5% e go l lid del ooldo ví e go %. Tmié e dee o que e u ooldo popoiol o PB del % l lid del ooldo o e mueve oe el go ompleo; u PB del % igii muy po gi o eiilidd lo eoe. Figu 4.8 Deiiió de l d popoiol BP. Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

180 -5 Cpíulo 4. Siem de Cool 5 L uió de eei p ee ooldo e: E lo o e que el poeo e ool deo de u d del puo de ool lo ooldoe popoiole o uiiee; i emgo e lo poeo e que el ool dee e e el puo de ool lo ooldoe popoiole o popoio u ool ioio. Cool popoiol iegl P. L myoí de lo poeo o e puede ool o u deviió e dei e dee ool e el puo de ool y e eo o e dee ñdi ieligei l ooldo popoiol p elimi l deviió. E uev ieligei o uevo modo de ool e l ió iegl o de ejue y e oeuei el ooldo e oviee e u ooldo popoiol-iegl Dode τ iempo de iegió o ejue miuo/epeiió. Po lo o el ooldo P iee do pámeo K C y τ que e dee ju p oee u ool ioio. oiuió e mue l euioe o que lguo ie deie l opeió de u ooldoe: L uió de eei de ee ooldo eá dd po: 4 Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7

181 6 Cpíulo 4. 4 Siem de Cool -6 E geel: lo ooldoe popoiole-iegiole iee do pámeo de jue: l gi o d popoiol y el iempo de ejue o pide de ejue; l vej de ee ooldo e que l ió de iegió o de ejue elimi l deviió. Cooldo popoiol-iegl-deivivo PD. lgu vee e ñde oo modo de ool l ooldo P ee uevo modo de ool e:l ió deiviv que mié e ooe omo pide de deivió o peuió; iee omo popóio iip hi dóde v el poeo medie l oevió de l pide p el mio del eo u deivd. L euió deipiv e l iguiee: 5 Dode τ D e l pide de deviió e miuo. Po lo o el ooldo PD iee e pámeo K o PB τ o τ R y τ D que e dee ju p oee u ool ioio. Nóee que ólo eie u pámeo p jue de deivió τ D el ul iee l mim uidde miuo p odo lo ie. Lo ooldoe PD e uili e poeo dode l oe de iempo o lg. Ejemplo ípio de ello o lo iuio de empeu y lo de oeió. L uió de eei de u ooldo PD idel e: 6 Lo vloe ípio de α eá ee.5 y.. E geel lo ooldoe PD iee e pámeo de jue: l gi o d popoiol el iempo de ejue o pide de ejue y l pide deiviv. L pide deiviv e d iempe e miuo. Lo ooldoe PD e eomied p iuio o oe de iempo lg e lo que o hy uido. L vej del modo deivivo e que popoio l pidd de ve hi dóde e diige el poeo. Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

182 -7 Cpíulo 4. Siem de Cool 7 Cooldo popoio/ deivivo PD. Ee ooldo e uili e lo poeo dode e poile uili u ooldo popoiol peo e dee ie idd de iipió. L euió que lo deie y l uió de eei eá dd po: 7 U devej del ooldo PD e que ope o u deviió e l vile que e ool; l deviió olmee e puede elimi o l ió de iegió i emgo u ooldo PD puede opo myo gi de lo que eul u meo deviió que udo e uili u ooldo úimee popoiol e el mimo iuio. Cooldoe lógio pogmle U Cooldo Lógio Pogmle e u ompudo iduil que ool máqui y poeo. U PLC ieú o el eeio po medio de módulo de ed y lid el pogm de ooldo eide e u memoi l iomió de u ed e empled p uli lo edo de u lid e dei u PLC impleme u Figu 4.9 Opeió del PLC. ool de lo edo p mej mqui y poeo. El poeo ojuo de u PLC modo e l igu 4.9 e muy imple el PLC mide o e eñle poveiee de máqui o poeo eoe vé de u pogm ieo popoio elimeió l máqui o poeo oold. Lo PLC popoio muho eeiio epeo lo iem de ool eleomeáio. Uo de lo mejoe eeiio e que he má áil y meo ooo lo mio e u iem de ool. Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7

183 8 Cpíulo 4. 4 Siem de Cool -8 Compoee del PLC U PLC e oomdo po do ompoee piiple igu 4.: el iem de Ed Slid E/S; l Uidd Cel de Poemieo CPU. EL iem de ed/lid e l pe del PLC que ieú íimee o el mudo eeo. L uidd Cel de Poemieo e dode el PLC lme do y eli el poeo de ómpuo. Figu 4. Compoee del PLC. El Siem de ed/lid e oom de do ompoee l ie de ed y l ie de lid igu 4.: e de ed: E el o de emile de ed que íimee oe lo dipoiivo de ed le omo ooe eoe ieupoe de límie l PLC. Co el ojeivo de dui l iomió dede lo dipoiivo de ed de me que l uidd de poemieo eied. L ie de lid: E el o de emile que íimee oe lo dipoiivo de lid le omo doe oleoide válvul l PLC. Co el ojeivo de dui l iomió poveiee de l uid de poemieo de me que eied lo dipoiivo de lid. Figu 4. e /O de PLC. L Uidd Cel de Poemieo e oom de lo iguiee ompoee igu 4.: iem de memoi; poedo; uee de limeió. Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

184 -9 Cpíulo 4. Siem de Cool 9 El iem de memoi lme el pogm de ool del PLC í omo lo do eiido o evido l iem de ed/lid. Tmié oev e memoi ule dipoiivo de E/S eá oedo que iee de E/S. El poedo e l pe ompuid del CPU que ejeu el pogm de ool. Mipul lo do lmedo e el iem de memoi y deemi ul e el edo de l emile de lid ddo el edo de l emile de ed. L uee de limeió povee l poei p mo el iem de poei y el poedo. De me que pued j eiieemee. Figu 4. CPU del PLC. Opeió del PLC Todo lo PLC iluyedo el MioLogi ejeu u euei oiu de e po llmd u eeo igu 4. que oie e lo iguiee: leu de lo do de ed que el PLC eie dede lo dipoiivo de ed; ejeuió del pogm de oolo lmedo e l memoi del PLC; uliió de lo dipoiivo de lid do e el euldo lojdo po l ejeuió del pogm de ool. El eeo puede e dividido e do pe el eeo de ed/lid y el eeo del pogm igu 4.. Due el eeo E/S el PLC lee l ed y uli l lid. Due el eeo de pogm el PLC ejeu el pogm de ool. Piipio íio y memáio p el álii de iem diámio. oduió l ool - Myo 7

185 Cpíulo 4. 4 Siem de Cool - Figu 4. Eeo del PLC. El iempo de eeo e l idd epeíi de iempo que equiee el PLC p ejeu mo eeo. U MioLogi puede ejeu u eeo e miliegudo. Si emgo udo el PLC eá e líe o u dipoiivo pogmdo el MioLogi epeime do edo due u eeo igu 4.4 que o lo iguiee: Redo po eviio de omuiió. E el iempo equeido p evi lo do l dipoiivo de pogmió o moioeo. Que puede e u PC o u pogmdo mul. Redo po eguidd de miió de do. E el iempo equeido p opeioe omo mejo de memoi y uliió de iomió de empoidoe. L om EC L om EC de uii lo leguje de pogmió p PLC e u eoo iegdo de pogmió múliple imil l edei ul de mulileguje e eoo de PC. Se oide omo leguje válido lo iguiee: uio Li L; Suued Te ST; Fuio Blo Digm FBD; 4 Sequeil Fuio Ch SFC; 5 Ldde Digm LD. Uiveidd uóom del Edo de Moelo - Fuld de Ciei Quími e geieí - geieí Eléi

186

187

188 umeo de ool iduil umeo de mediió y!! Eo Slid [ol] K Poiió de ed # &! %!! % & e K *-y!!! # %

189 # % Seudio Pimio Seudio Núleo eoo El movimieo depl el úleo de u poiió el olje de lid omo l dieei e lo do volje eudio olje de de ed l pimio.!! % /! & & τ # # / #!!. % olje de Slid

190 % %! ± ±! %! 4 4 Digm olje de lid 4 Peió plid CD # / 4 % 5!!! # %

191 #. # % & %! #!. % N Slid Slid illo delie S Devdo gioio C plid #.! θ % & θ ω 5 # & ω% # % &

192 θ 6 # LED Seo lumioo!!!! %! % %!! % 6 67 % 4 8 % & 9 4 4!!! # %

193 % 9 # 9 :;% % 9678;:<7 4 LED Seoe & 4 % 4 :4%< 96784<: Roo Eo 9 47 Eo Eo % 9 %! %

194 % % Ed de C Tmio Slid Tomdo de ool # % % %. % % # % % % # 5 % #!!!! # %

195 CD Slid RTD RTD Slid # % % % 4 % 4 % & 6 & 7 % 7 & ρ ρ ρ ρ 8 # 4 % ρ% % %! 4 : % &

196 ρ 9 % & ρ 5 #% ρ% % / 4 % %! 89: Peio de ed % % ± >! Peió e l eiió!!! # %

197 .! / 4! % ± > Flujo F lu jo? Α Α! % 9! Peió e l eiió Flujo Flujo Peió de ed? # # #

198 % % % ±4 > D ieei de peió Rem olio Flujo? Pl de oiiio Flujo eigido umeo de oeió. # % Β! % CD Eoill Comudo Polo del devdo de mpo mdu Devdo de mdu Polo del devdo de mpo #!!! # %

199 ! % % # % % % 5? # % Devdo e l u Mgeo pemee gioio? # # Χ. # & % & %

200 %!!! Eo i lel de l jul de dill oduoe del oo que om l jul de dill Polo Roo Polo illo emile que oe lo eemo de lo oduoe p om lo iuio vé de lo &?. % 4 ;7 % 967!!! # %

201 ! % %. % # ; #% 4 % % 9 < % % Ε %? < 6 S Eo N Roo

202 Dipo e..4ε Gio Fij edo S7 5 8 ego 9 vede millo Moo de po o u 4 devdo de eo % % % % % % % Φ < % Φ < oo del ieupo oo del ieupo NC N!!! # %

203 % %!! %!. % % % # % % 8 Nuleo de hieo uve Lde Reoe de eoo Soleoide Pueo de epe Pueo de lid Sumiio de peió Cliiió de iumeo de mediió % %

204 !! umeo que mide idde meái o emodiámi. %! % % % # %!!! 9; 7 Γ % 6 7 %!! % % % % % % % %!!! # %

205 . %. % % % 4 %! 5? %. %! 6 % %! % % %. %! 4 4 % 7/ % %!. # % % % # % %

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208 umeo que mide idde eléi % 7 % %!!% 7 % %! % 7 Η %! 9 % %!!! # %

209 Biliogí Memái Fíi Dei G. Zill. Euioe dieeile o pliioe de modeldo. 6 ediió. Thomo. Méio. Dei G. Zill. Cálulo o geomeí líi. Gupo Edioil eoméi. Méio 987. Edwd C. H Peey E. D. Euioe dieeile elemele. ediió. Peie-Hll. Méio Gville. Cálulo dieeil e iegl. Limu. Méio. 5 Gimldi P. Rlph. Diee d omioil mhemi. ediió. ddio- Weley. US Mde E. J Tom J.. Cálulo veoil. 4 ediió. Peie-Hll. Méio Se Muh. dved mhemil mehod o Siei d Egiee Hllidy D Rei R Ke S. Fíi volume y. 4 ediió. CECS. Méio Youg D. H Zemy Se. Uiveiy Phyi. 8 ediió. ddio- Weley. US 99. geieí eléi y de ool Bolo W. geieí de ool. ediió. lomeg. Méio. Eique H. G. Cool de mooe eléio. Limu. Méio 998. Eique H. G. Tomdoe y mooe de iduió. 4 ediió. Limu. Méio. Glove. J. D Sm S. M. Siem de poei álii y dieño. ediió. Thomo. Méio. 4 Gige J. J Seveo D. W. álii de iem de poei. MGwHill. Méio Guu B. S Hiioglu H. R. Máqui eléi y omdoe. ediió. Ood. Méio. 6 Gwyhe H. F. G. Poei eleói y eleói de poei. lomeg. Méio Hy H. W Kemmely E. J. álii de iuio e igeieí. 5 ediió. MGwHill. Méio. 8 Hy W. Teoí eleomgéi. 5 ediió. MGwHill. Méio. i

210 9 Mhew N. O. Elemeo de eleomgeimo. ediió. Ood. Méio. Og Kuhio. geieí de ool mode. ediió. Peie-Hll. Méio 998. Smih. C Coipio B.. Cool uomáio de poeo. Limu. Méio 99. Pogmió y ompuió Deiel H. M. Como pogm e C/C. ediió. Peie-Hll. Méio 99. Joe Jvie L. uod.4. Mul de uliió. MGwHill. Epñ Moi M. M. quieu de ompudo. ediió. Peo. Méio So Meye. Eeive C. ddio-weley. US The Pogmmig Reeh Goup. High-iegiy C odig dd mul - veio.. US 4. ii

211 FCQ MPRESO 8 MYO DE 7. CUERNC MORELOS MÉXCO.