Facultad de Ingeniería Instituto de Ciencias Básicas

Transcripción

1 Fcultd de Ingenieí Instituto de Ciencis Básics LGUNOS TÓPICOS Y PLICCIONES DE L MECNIC CIONL (Incluye 5 poblems esueltos Julio Pozo Péez 5

2 lgunos C pítulo I: tópicos lgunos y plicciones tópicos de de cinemátic l Mecánic cionl Julio Pozo Péez mi espos e hijs, l memoi de mis pdes y hemnos. Y en fom especil p todos los estudintes de l Fcultd de Ingenieí de l Univesidd Diego Potles.

3 lgunos C pítulo I: tópicos lgunos y plicciones tópicos de de cinemátic l Mecánic cionl Julio Pozo Péez GDECIMIENTOS mi hij Colin po hbe editdo l vesión finl de este libo, mi espos os Mí po l evisión pelimin del pesente tbjo y Ctheine LLewellyn, po su vlios colboción en l pime etp de este mnuscito. 3

4 lgunos C pítulo I: tópicos lgunos y plicciones tópicos de de cinemátic l Mecánic cionl Julio Pozo Péez ÍNDICE CPÍTULO I: LGUNOS TÓPICOS DE L CINEMÁTIC Cinemátic de un ptícul (divess coodends Movimiento de un ptícul (vecto posición, desplzmiento, veloc. y celeción Coodends ctesins ectngules (x, y, z Movimiento cuvilíneo Coodends noml y tngencil Componentes tngencil y noml p l celeción Movimiento cicul Componentes (escles: dil y tnsvesl p l velocidd Componentes (escles: dil y tnsvesl p l celeción Movimiento en el espcio de un ptícul (coodends cilíndics (,, z Movimiento en el espcio de un ptícul (coodends esféics (,, Movimiento eltivo otcionl (coodends móviles Sistems de coodends en otción Movimiento eltivo y eje instntáneo de otción Poblems esueltos...9 CPÍTULO II: FUNDMENTOS DE MECÁNIC Intoducción Leyes de Newton Sistems de efeenci ineciles Ecución de movimiento de un ptícul Consevción del momento linel (de un ptícul Consevción del momento ngul Teoem del tbjo y l enegí Sistems consevtivos Consevción de l enegí

5 lgunos C pítulo I: tópicos lgunos y plicciones tópicos de de cinemátic l Mecánic cionl Julio Pozo Péez.. Sistems de coodends en otción L Fuez de Coiolis Poblems esueltos...6 CPÍTULO III: SISTEMS DE PTÍCULS DEL SÓLIDO ÍGIDO Sistem de ptículs (esumen Momento linel de un sistem de ptículs Momento ngul de un sistem de ptículs Toque exteno sobe un sistem de ptículs elción ente momento ngul y toque Enegí cinétic de un sistem de ptículs Movimiento eltivo del cento de ms Cuepo ígido Teoem del tbjo y l enegí p l otción Dinámic del cuepo ígido Ecuciones dinámics p el cuepo ígido (esumen Tenso de ineci Enegí cinétic Ejes pinciples de ineci Movimiento de un tompo Ecuciones de Eule (p el tompo Ecuciones geneles de movimiento p un cuepo ígido Ángulos de Eule Poblems esueltos...35 CPÍTULO IV: FOMULCIÓN DE LGNGE Pincipio de Dlembet Ecuciones de Lgnge Ecuciones de Lgnge p Sistems Consevtivos Pincipio de Hmilton o de mínim cción

6 lgunos C pítulo I: tópicos lgunos y plicciones tópicos de de cinemátic l Mecánic cionl Julio Pozo Péez 4.5. Multiplicdoes de Lgnge Consevción del momento ngul Fomulción de Hmilton Hmiltonino del Sistem Teoem de Eule Consevción de l Enegí Dinámic de Hmilton (Ecuciones cnónics de movimiento Péntesis (o cochetes de Poisson Poblems esueltos...89 CPÍTULO V: MOVIMIENTO EN UN CMPO CENTL Movimiento de los cuepos (Intoducción Leyes de Keple Movimiento en un cmpo de fuezs centles (Intoducción Ecución de l tyectoi Distncis pcidles Puntos de Invesión Tece Ley de Keple Movimiento en un cmpo centl (Poblem de dos cuepos Ms educid Integles pimes del movimiento Ls ecuciones de movimiento Ecución difeencil de l óbit y ley de fuez Potencil efectivo V (...57 e f 5.5. Fuez invesmente popocionl l cuddo de l distnci Movimiento plnetio (Poblem de Keple Poblems esueltos...64 CPÍTULO VI: OSCILCIONES Y TEOI DE PEQUEÑ OSCILCIONES Oscilciones

7 lgunos C pítulo I: tópicos lgunos y plicciones tópicos de de cinemátic l Mecánic cionl Julio Pozo Péez 6... Oscilciones libes Oscilciones motiguds (Movimiento mónico motigudo Oscilciones fozds no motiguds Oscilciones fozds motiguds Teoí de pequeñs oscilciones Oscilciones Lineles libes (un gdo de libetd Oscilciones con vios gdos de libetd Poblems esueltos...3 7

8 lgunos C pítulo I: tópicos lgunos y plicciones tópicos de de cinemátic l Mecánic cionl Julio Pozo Péez CPÍTULO I LGUNOS TOPICOS DE CINEMTIC.. Cinemátic de un ptícul (divess coodends.... Movimiento de un ptícul (vecto posición, desplzmiento, velocidd y celeción Consideemos un ptícul moviéndose lo lgo de un tyectoi biti en el espcio tidimensionl, desde hci B, tl como se muest en l figu. y Definmos z O + : Vecto de posición en el tiempo t + : Vecto de posición en el tiempo t + t : Desplzmiento en el tiempo t m (Velocidd medi t d lím (Velocidd instntáne t t d t x B d (. & d t m (celeción medi t 8

9 Julio Pozo Péez d lím (celeción instntáne t t d t d d (. & & d t... Coodends ctesins ectngules El vecto posición, l velocidd y l celeción de un ptícul en el espcio (en coodends ctesins ectngules x, y, z están dds po xi + y + z k d & xi & + y& + z& k donde x x& ; y y& ; z z& d & & && xi + && y + && z k donde x y z x & ; && y ; z & Ls mgnitudes espectivs están dds po ( y x y z + + x y z Ests ecuciones son geneles y se plicn p culquie movimiento de un ptícul en el espcio. Si se tt de un movimiento cuvilíneo plno, entonces éste se eliz en el plno xy, de modo que se tiene xi + y & xi & + y& && xi + & y Ls mgnitudes espectivs son + y x y + x y 9

10 Julio Pozo Péez El movimiento ectilíneo de un ptícul, que tiene lug lo lgo de un líne ect (eje x, está ddo po (.4 xi ; & xi & ; & & xi donde x ; & x& ; && & x.. Movimiento cuvilíneo... Coodends noml y tngencil. Consideemos el cso de un ptícul que se mueve lo lgo de un cuv contenid en el plno tl como se muest en l figu. Se l posición de l ptícul en un instnte ddo, ê T el vecto unitio tngente l tyectoi en l diección del movimiento de l ptícul y T el vecto unitio tngente socido l posición de l ptícul en un instnte de tiempo posteio. y e T ê N ê T O x Si se tzn mbos vectoes ê T y e desde el mismo oigen O, se puede defini el vecto T ê T como se muest en l siguiente figu, ddo que estos vectoes son de longitud uniti, sus extemos se encuentn sobe un cículo de dio unidd. O T o ê T ê T

11 Julio Pozo Péez De l figu nteio se tiene que T e T sen( / Si se conside el vecto e / se obsev que cundo, este vecto se vuelve tngente l cículo unitio de l figu nteio, po lo tnto se hce noml e y su mgnitud es igul l unidd, esto es T T lím T sen( lím / lím sen( / / Luego, en este límite se obtiene un vecto unitio lo lgo de l noml l tyectoi de l ptícul, en l diección en l cul cmbi se puede escibi êt. Entonces si epesentmos po e este vecto N T (.5 lím N o e N d T d Po oto pte, ddo que l velocidd de l ptícul es tngente l tyectoi, se puede expes en l fom ê T y l celeción espectiv puede se detemind pti de d /.... Componentes tngencil y noml p l celeción Consideemos el cso de un ptícul que se mueve en un tyectoi epesentd po l cuv C (po simplicidd pln como se muest en l figu. T T N C N

12 Julio Pozo Péez En un tiempo t, l ptícul se encuent en el punto con velocidd y celeción. sumiendo que l celeción está diigid según l figu nteio (hci l pte cóncv de l tyectoi, entonces, ést se puede descompone en un componente tngencil T (plel l tngente T denomind celeción tngencil, y un componente noml (plel l noml N llmd celeción noml. En l siguiente figu se h tzdo en el punto, un vecto unitio T tngente l cuv, lo que pemite escibi ê T y l celeción se expes como d d (.6 ( T d T d T + T T Y ĵ CC ρ d ê N ds d ê T X O î d Deteminemos con yud de l figu nteio el vlo del témino T, p log lo plntedo, consideemos tmbién en el punto un vecto unitio e, noml l cuv que punt hci el ldo cóncvo, esto nos pemite escibi N Y T e N N cos cos( + π sen i + sen / i + cos i + sen( + π / ĵ ê N ê T ( + π / O î X

13 Julio Pozo Péez de est fom d T d ( cos i + sen & sen i + & cos d T d (.7 sen i & ( x + cos jy & N N d El esultdo nteio nos muest que T es un vecto noml l cuv. Teniendo pesente el tiángulo CC, se tiene d d ds ds con ds (.8 s& d ds donde ds es el elemento de co donde se mueve l ptícul en el tiempo. Ls nomles l cuv en y se intesectn en el punto CC que ecibe el nombe de cento de cuvtu. Definmos ρ CC como el dio de cuvtu, ho como en un tiángulo el co es el poducto del dio po el ángulo (en dines se tiene d ds ρ d luego ds ρ d d ds ρ con lo cul d T d (.9 N N ρ Sustituyendo en l expesión p l celeción se encuent d d T d (. T + T + N ρ 3

14 Julio Pozo Péez d El pime témino de l celeción e T es un vecto tngente l cuv que coesponde l celeción tngencil T y se debe l cmbio en l mgnitud de l velocidd en el tiempo. Con especto l segundo témino ê N es un vecto noml l cuv y está socido con el ρ d cmbio en l diección de l velocidd (puesto que poviene de T y coesponde l celeción noml N, esto pemite escibi + T T N N donde T d y ds N con s& ρ El módulo de l celeción está dd po (. o & s + d & ( s / ρ + ρ Deteminción del dio de Cuvtu ρ Ddo que tmbién se puede escibi y De l expesión de l velocidd, se tiene que deivndo con especto s d ds e T && s e. T + ( s& / ρ N d ds d ds e T det ds 4

15 Julio Pozo Péez como d T ds N se tiene que ρ d T ds ρ N d ds ρ e N de donde se encuent d (. ρ ds nlicemos lgunos csos de inteés: Movimiento cuvilíneo unifome: En este cso el modulo de l velocidd es constnte ( Cte y como consecuenci de esto. T Movimiento ectilíneo: Tipo de movimiento en el cul l diección de l velocidd no cmbi. N En este cso se tiene que ρ y...3. Movimiento cicul L celeción ngul de un ptícul está definid po dω α como d dω d ω entonces α Sepndo vibles en l ecución nteio y considendo que el movimiento es con celeción ngul constnte, se tiene que (.3 ω ω + α( t t 5

16 Julio Pozo Péez Tmbién como d ω, sustituyendo ω po el vlo nteio e integndo se encuent (.4 α + ω ( t t + ( t t Est últim ecución d cuent de l posición ngul p culquie tiempo. P el cso pticul de un movimiento unifomemente celedo (α Cte y ω con d ρ Cte, ls ecuciones T y N se tnfomn en ρ T d d dω ( ω (.5 T α P l celeción noml (centípet en est cso se tiene (.6 N ω ρ Ls siguientes figus muestn ls componentes tngencil y noml de l celeción p el movimiento cicul Z T C v N C ω ω ω ω X O Y Si considemos el cso del movimiento cicul unifome ( α, l celeción tngencil es nul. L celeción se puede detemin diectmente pti de (.7 ω 6

17 Julio Pozo Péez d d ( ω (.8 ω dω (puesto que α eemplzndo ω se encuent (.9 ω ( ω (Movimiento cicul unifome dω Como α, entonces est celeción debe coesponde l celeción centípet (o noml.tbjndo con el módulo de l celeción se puede veific ápidmente lo nteio ω ( ω ω ( ω ω ω N.3. Componentes (escles: dil y tnsvesl p l velocidd Consideemos el cso de un ptícul que descibe un tyectoi cuvilíne en el plno de l figu. Y ê O ĵ î ê Cundo l ptícul se encuent en l posición, l velocidd está dd po d /. Utilizndo los vectoes unitios e que es plelo y e que es pependicul, se puede escibi. Luego l velocidd se puede expes como C X d( d d + 7

18 Julio Pozo Péez Po oto ldo, utilizndo ls componentes ectngules de estos vectoes unitios, se tiene (. d con lo cul se encuent e cos sen i + sen i + cos d d (cos i + sen j e. eemplzndo en l ecución de l velocidd d d (. + & + & donde d e es un vecto plelo (ve figu nteio y ecibe el nombe de velocidd dil y se debe l cmbio en l distnci de l ptícul con especto del punto O. El d témino e es un vecto pependicul y se debe l cmbio en su diección o l otción de l ptícul lededo de O, y ecibe el nombe de velocidd tnsvesl. Entonces sus módulos espectivos (componentes escles están ddos po d d & ; & ω donde d / & ω, coesponde l velocidd ngul. En el cso de un movimiento cicul Cte y d /, se tiene sólo l velocidd tnsvesl..3.. Componentes (escles: dil y tnsvesl p l celeción Teniendo pesente ls consideciones nteioes, l celeción está dd po d sustituyendo l velocidd po & e + &, se encuent d d d ( & + & && + & & + && + & 8

19 Julio Pozo Péez ddo que y d d d d d (cos i + sen j e ( sen i + cos j & e eemplzndo se obtiene (. (&& & + ( && + & & de donde se encuent & & y & + & &.4. Movimiento en el espcio de un ptícul (coodends cilíndics (,, z Utilizndo los esultdos nteioes, se puede descibi el movimiento de un ptícul cundo su posición en el espcio está definid po sus coodends cilíndics,, z tl como se muest en l siguiente figu, en donde h sido conveniente utiliz los vectoes unitios:, ê ê y ê. z z z ê z ê ê z ê x p ê y z O O x p z z ê y El vecto posición de l ptícul puede se descompuesto lo lgo de estos vectoes unitios en l fom p (.3 p + z z 9

20 Julio Pozo Péez Obsevndo l figu nteio, nos dmos cuent que ê y ê definen en fom espectiv ls componentes dil y tnsvesl en el plno hoizontl x y, demás que el vecto unitio e (que enteg l diección xil es constnte, luego dp & + e& + z& + z e& z z z Teniendo pesente que d ; d e d d se tiene d d d & d & d d d & d & d ; &e z z ; e e emplzndo se obtiene dp (.4 & + & + z& z donde + + z & ; & ; z& z L celeción está dd po d p d && + & & + & & + && + & & (.5 && & & && & + & + & + && & & & ( e + ( + e + z e z && && + && z z + && z z donde + + z & & ; & + & & ; & z z

21 Julio Pozo Péez El cso nteio se puede educi coodends poles, considendo e, obteniéndose p e dp (.6 & + & (.7 (&& & + ( && + & & z P el movimiento cicul bst conside constnte, entonces p e & & + & Po oto ldo, si s se mide lo lgo de l tyectoi cicul, se tiene que s Entonces s & & s & & s & / & Notmos que ests últims ecuciones en coodends poles, coinciden con ls ecuciones obtenids nteiomente si se conside..4. Movimiento en el espcio de un ptícul (coodends esféics (,, En l siguiente figu se muest un sistem en coodends esféics epesentds po,, con vectoes unitios ê, ê y ê, donde ê es un vecto (unitio dil y positivo del oigen hci fue ê es un vecto (unitio tngente l cículo meidino ê es un vecto (unitio tngente l cículo de ltitud

22 Julio Pozo Péez z ê ê O ê y x Después de lgún desollo mtemático (ve péndice, ls deivds tempoles de los vectoes unitios están dds po & & & + & sen e ϑ & & + & cos & cos ϑ & sen El desplzmiento (, l velocidd ( & y l celeción ( & & de un punto culquie en coodends esféics, se pueden escibi en l fom & & + & e (.8 & & + & + & sen ϑ e Ls componentes de l velocidd son P l celeción se tiene & ; & ; & sen & && + & e& + & & + && sen ϑ + && ϑ + & e& + & & cos ϑ + & & sen + & sen & Sustituyendo ls deivds de los vectoes unitios se encuent (.9 & (&& & & sen + (& & + && & + (& & sen + & & cos + && sen sen cos ϑ

23 Julio Pozo Péez donde se pueden escibi cd un de ls componentes de l celeción & & & sen & & + && & sen cos & & sen + & & cos + & sen.5. Movimiento eltivo otcionl (coodends móviles.5.. Sistems de coodends en otción En un gn númeo de poblems l descipción del movimiento o l elción ente ls fuezs, puede lleg se complicd cundo está efeid un sistem fijo de coodends, mients que si el movimiento se efiee un sistem móvil, su descipción se puede simplific consideblemente, en tles csos puede se ventjoso tt el movimiento de puntos eltivos un sistem de efeenci móvil y posteiomente detemin el movimiento bsoluto de dicho sistem. Consideemos el poblem genel de movimiento en un sistem móvil de coodends. L siguiente figu muest un sistem de efeenci fijo YZ y un sistem de efeenci móvil xyz que gi con especto l nteio lededo de un eje que ps po su oigen O, l mismo tiempo que O se mueve con elción l oigen fijo O. X Z o o z P x o ω y Y o X o 3

24 Julio Pozo Péez continución, se obtendán expesiones p l velocidd y celeción bsoluts de un punto P culquie, que ecoe un tyectoi tl como se muest en l figu. Ls mgnitudes vectoiles de l figu nteio están descits de l siguiente fom (.3 ω ω i + ω + ω k x y z Coesponde l velocidd ngul del sistem de coodends xyz tomd con especto l sistem X YZ (.3 ρ xi + yj + zk es el vecto de posición del punto P efeido xyz (sistem ottoio es el vecto de posición del oigen móvil O efeido X YZ es el vecto de posición de P efeido X Y (sistem inecil Z De l figu se tiene que (.3 + Deivndo con especto l tiempo, se encuent que l velocidd está dd po & & + & Ddo que ρ se mide en un sistem que gi se tendá teniendo pesente que & di dj dk xi & + yj & + zk & + x + y + z di i dj, j dk / ω, / ω / ω k se obtiene & xi & + yj & + zk & + x( ω i + y( ω j + z( ω k de donde se encuent que (.33 & + ( ω 4

25 Julio Pozo Péez En un sistem de coodends que gi y se tsld se puede obsev que l deivd tempol de un vecto const de dos ptes, l velocidd xi & + yj & + zk & medid en el sistem xyz, y el témino ω, que es l deivd tempol debid l otción de xyz. Como & epesent l velocidd de O eltiv X YZ, entonces (.34 & & + + ω P nliz l ecución nteio, es conveniente escibil en l fom d d d ( fijo ω gitoio fijo Tmbién se puede tene que (.36 fijo V + + ω otción donde d fijo fijo d V fijo d eltivo ( velocidd especto de los ejes fijos ( velocidd linel del oigen móvil gitoio ( velocidd eltivespecto de los ejes en otción ω velocidd debid l otción de los ejes móviles ω velocidd ngul de los ejes en otción P obtene l celeción deivmos l velocidd con especto l tiempo & & + & + ( ω& + ( ω & Como & + ω y & + ( ω se tiene que & & + + ω + ω& + ω ( + ω 5

26 Julio Pozo Péez luego (.37 & & & + + ω& + ω ( ω + ω o tmbién se puede escibi + ρ & + ω& ρ + ω ( ω ρ + ω ρ & e l Donde ρ, ρ & e l & es l celeción del oigen móvil O con especto X YZ. ρ & & celeción de P medid en el sistem móvil. e l & ω celeción tngencil de P considedo como fijo en xyz. ω ω ( celeción noml de P considedo como fijo en xyz. ω es l celeción de Coiolis. e l Cbe destc que l plnte culquie poblem, es indispensble elegi un sistem de ejes móviles tl que el movimiento en este sistem quede bien definido. Si se conside que & & y ω Cte ω&, entonces (.38 & { I ω ( ω { + ω 443 celeción en el SI celeción centípet celeción en el sistem en otción.5.. Movimiento eltivo y eje instntáneo de otción celeción decoiolis Ls ecuciones de movimiento eltivo p un cuepo ígido están dds po & & + + ω y & & & ( + + ω + ω + ω + ω cundo. & & + ω (.39 & & & + ω& ( + ω ω Ests ecuciones muestn que el movimiento de un punto que petenece un cuepo ígido, se debe l combinción de dos movimientos Un tslción de O epesentd po & y & & (ve figu nteio b Un otción lededo de un eje que ps po O epesentd po todos los poductos vectoiles de ls ecuciones nteioes. 6

27 Julio Pozo Péez Po oto ldo, p demost que el vecto velocidd ngul ω es independiente del oigen del sistem móvil de coodends, consideemos l siguiente figu en donde los oígenes de los dos sistems están unidos l cuepo ígido en o dos puntos y tvés de los vectoes de posición P P P oigen de cd de cd sistem de coodends. y o. Se loclizn en el cuepo ígido o, o P, o P y o P pti del Z o o P o o P o Y o X o nlicemos ls consecuencis de supone que ls velociddes ngules ω y ω socids cd oigen son difeentes, según l ecución & & + ω, se puede escibi ls velociddes de los puntos y P en téminos de cd sistem móvil de coodends. P Con especto l oigen en Con especto l oigen en o, se tiene o, se tiene & & ω + op & & ω + op & & ω + op & & ω + op Utilizndo ls dos pimes ecuciones se puede elimin & y de ls dos últims se puede elimin &, esto es (.4 & & ω op op ω op op 7

28 Julio Pozo Péez Ddo que op op op op P P, lo nteio se debe que P P es bitio. De donde se encuent que ω ω ω Luego l velocidd ngul de un cuepo ígido es independiente del oigen. Definmos ( & & como l velocidd de P con especto P, entonces (.4 & & ω P P de donde se obsev que l velocidd eltiv es independiente del sistem móvil de coodends (si ω, tods ls ptículs del ígido tiene l mism velocidd Deivndo con especto l tiempo l ecución nteio, l celeción eltiv está dd po o & & ( P P + ω & P & d & ω P ω P P + ω P P (.4 ( & d Ddo que l posición de o es biti, entonces se puede conside un nuevo oigen o tl que los vectoes & y ω sen plelos (ve l siguiente figu. Esto se semej l movimiento de un tonillo y en este cso el eje ω ecibe el nombe de eje instntáneo de otción. P el movimiento en el plno &, y l intesección de ω y el plno de movimiento se denomin cento instntáneo de otción. & Z o o ρ P oo o o Yo X o 8

29 Julio Pozo Péez.6. Poblems esueltos Poblem. Considee el cso de l tie, que ot unifomemente con especto su eje SN con un velocidd ngul ω [s - ], y detemine en función de l ltitud (ángulo de l figu, l velocidd y l celeción p un punto sobe l supeficie de l tie. B C Ecudo N ω D S Solución: Ddo el movimiento otcionl de l tie, todos los puntos sobe su supeficie se mueven con movimiento cicul unifome. En l figu nteio, l ltitud del punto se define como el ángulo que fom el dio C con el dio CD situdo en el ecudo. El gio de l tie especto del eje SN pemite que el punto descib un cículo de cento en B y de dio B, de modo que: B cos L velocidd ( del punto es tngente l cículo, y está dd po ω B ω cos L celeción ( es centípet puesto que el movimiento es unifome, está diigid hci B. Luego su mgnitud es ω B ω cos 9

30 Julio Pozo Péez Sustituyendo el vlo de l velocidd ngul, ω [s - ] y del dio de l tie; 6.35[km] [m], se encuent P l velocidd: 463cos [m / s] P l celeción: 3.38 cos [m/s ] los vloes máximos p y se obtienen cundo cos ; (, esto ocue en el ecudo. Poblem. El punto P de l figu se mueve lo lgo de un lmbe dobldo en fom de cicunfeenci cuyo dio es ρ 4[m]. L distnci s que h ecoido el punto pti de Q (co QP se expes como sigue s 4 c t + ct donde c y c son constntes positivs. Detemine l mgnitud de l celeción totl de P en función del tiempo. b Si c 4[ m / s] y c 4 [m/s ], detemine l celeción en t [s] y P s ê ê ρ O Q x Solución: Utilicemos l expesión que nos pemite detemin diectmente l mgnitud de l celeción d + ρ 3

31 Julio Pozo Péez En este cso ds d s& y && s, entonces & + & ( s ( s / ρ 3 donde s & c + 4ct ; & s ct y ρ 4[m] luego, 3 ( c t + ( c 4c / ( t + t 4 b Sustituyendo los vloes de ls constntes p t [s], se encuent ( 48 + ((8 / 4 [ m / s ].8[ m / ] ( t s Poblem.3 Detemine el dio de cuvtu ρ de un cuv en el espcio que es un hélice de dio con un pso de π p. El vecto posición está ddo po (cosϕ i + senϕ j + pϕ k. Solución: Teniendo pesente que d ρ ds se deteminn d ( senϕ i + cosϕ + p k dϕ ds d d + p dϕ d ( senϕ i + cosϕ ds + p d ds ( + p ( cosϕ + i senϕ p k j d d d Luego ρ ds ds ds + p ρ p + 3

32 Julio Pozo Péez Poblem.4 Demost que el dio de cuvtu tempoles de tvés de ρ, se puede expes en téminos de ls deivds ρ & & 3 & Solución: Deteminemos el vlo del poducto vectoil ds d s T T N ds + ρ ds ( e T N ρ teniendo pesente que & y que & &, se tiene 3 ddo que ds & se encuent & & ρ 3 ds ρ & & 3 & Tmbién se puede escibi ρ 3 3 Poblem.5 Detemin el dio de cuvtu del poblem.3 utilizndo l ecución ρ 3 3 Solución: El vecto posición está ddo po (cosϕ i + senϕ j + pϕ k 3

33 Julio Pozo Péez Entonces d & ( ϕ& senϕ i + ϕ& cosϕ j + pϕ& k ( ϕ&& senϕ ϕ& pϕ& 3 cosϕ i + ( ϕ&& cosϕ ϕ& 3 3 senϕ i pϕ& cosϕ + ϕ& senϕ + k pϕ&& k + p ϕ& 3 & ( + p ϕ 3 & 3 / 3 ( + p ϕ Sustituyendo en, se encuent 3 3 ρ ρ + p Poblem.6 Detemin el dio de cuvtu ρ p un cuv suponiendo que xi + y, donde x x(t e y y(t. Solución: P detemin el vlo de ρ, utilizmos l elción ρ & & 3 & & xi & + y& y & && xi + & y & & ( xy &&& yx &&& k, Entonces, ddo que ( x& && y y& && x se encuent 3 / ρ ( x& + y& 33

34 Julio Pozo Péez Po oto ldo, si l ecución de l cuv pln es y f (x, se efectú el cmbio de vibles espectivo x t ; y f (t ; x& ; & x&, y se obtiene l expesión p el dio de cuvtu de un cuv pln dd po ρ y [ + ( y ] 3 / Poblem.7 L otción del bzo de l figu con especto O, (cuy longitud es l está dd po ( t c t. El bloque B desliz tvés del bzo en tl fom que su distnci con especto O es c c t, ( c, c c 3, 3 son constntes bitis. Cundo el bzo O h gido en un ángulo, detemine p el bloque B. g Ls componentes de l velocidd dil y tnsvesl, y tmbién su módulo y diección. b Ls componentes de l celeción dil y tnsvesl, y tmbién su módulo y diección. c L celeción eltiv del bloque con especto l bzo. d Los vloes numéicos de todo lo pedido nteiomente si c., c., c. 5 3 g 4 B O Solución: Ls componentes dil y tnsvesl p l velocidd están dds en fom espectiv po & y &. g / c El tiempo t lo deteminmos pti de c t g luego t. 34

35 Julio Pozo Péez Tmbién c ; & c3t & c3 c3t ( t ct ; & c & c t Entonces & c3t c3( g / c & ( c c t c t emplzndo el vlo del tiempo se tiene 3 ( c c c3 g / c c g / El módulo de l velocidd se detemin pti de + ( ( L diección es γ tn b Ls componentes dil y tnsvesl p l celeción están en fom espectiv po & & c ( c c t (c t con & 3 3 t g / c && + & & ( c c t c + ( c t(c con 3 3 t t g / c + ( ( L diección es δ tn c Ddo que el movimiento del bloque con especto l bzo es ectilíneo, y está definido solo po l vible, se tiene que & ( O c3 d Se dej de te eliz los cálculos numéicos. 35

36 Julio Pozo Péez Poblem.8 En el mecnismo de l figu, los ejes O y P son fijos. L mnivel PQ gi con velocidd constnte ω de modo que el bloque Q desliz lo lgo del bzo O. Detemin: L velocidd y celeción ngul del bzo O b L velocidd y l celeción del extemo del bzo O, en el instnte que se muest en l figu, en que PQ fom el ángulo. P ω b N ϕ Q l O Solución: En l figu ϕ & y ϕ & epesentn en fom espectiv l velocidd y l celeción ngul del bzo O. De donde se tiene que tnϕ sen b cos deivndo l expesión nteio con especto l tiempo y teniendo pesente que se tiene d u vu& uv& v v ( b cos ω cos sen ( ω sen & sec ϕ ; ϕ ( b cos d ω de donde se encuent que ω ( bcos ( b cos &ϕ sec ϕ ; 36

37 Julio Pozo Péez Utilizndo l identidd tigonométic tngente del ángulo se puede escibi sec ϕ + tn ϕ y sustituyendo el vlo de l sen ϕ& + b cos ω ( bcos ( b cos de donde se obtiene que ϕ& ω ( bcos ( + b bcos Deivndo nuevmente con especto l tiempo se tiene ( ϕ& + b b cos ( bω sen ω ( b cos ( + b bcos ( bω sen (4 b ϕ& ω 3 3 cos sen 3 bω sen b ω ( + b b cos sen luego ϕ& ω bsen (4b cos 3 ( + b bcos b b P l velocidd se hbí encontdo que & + &. Sin embgo, p utiliz est expesión en este cso, debemos conside ϕ, l Cte, & y & &. Entonces lϕ& ϕ eemplzndo el vlo de ϕ & se encuent lω ( bcos ( + b bcos ϕ P l celeción se hbí encontdo que (&& & + ( && + & & imponiendo ls condiciones de est cso se tiene ( lϕ& + ( lϕ& ϕ 37

38 Julio Pozo Péez eemplzndo los vloes de ϕ & y ϕ & se encuent ω ( b cos ω bsen (4b cos 3 b l l ( b b cos ( b bcos ϕ Poblem.9 Un ptícul descibe el cículo cos, l componente de l celeción diigid hci el oigen es siempe ceo. Demost que l componente tnsvesl es: 4 cosec. y c x Solución: Ddo que en l figu nteio, el tiángulo que se fom es isósceles, se tiene que cos. Ls componentes dil y tnsvesl p l celeción están dds en fom espectiv po & & ; & + & & Como cos, entonces & & sen & && sen & cos Notmos que en ls ecuciones nteioes no se conocen & y &&. Luego p deteminls, se utilizá l condición que & & & &, l sustitui los vloes de y & & se tiene & & sen cos cos & sen & cos & 38

39 Julio Pozo Péez & & cos sen si se tiene que && d & &, entonces d d & d & cos sen sepndo vibles Integndo d& cos d & sen d& cos d & sen Ln & Ln sen + C Eligiendo C se tiene Ln& Ln sen & sen de donde & & cos sen 5 Sustituyendo en l componente tnsvesl de l celeción, se encuent cos & + & & 4 cos 4 sen sen 5 sen 4 cos 4 cos 4 sen sen 5 sen 4 4 cos 4 cos sen sen sen sen cosec 3 sen sen 39

40 Julio Pozo Péez Poblem. Un ptícul se mueve en el espcio de modo que sus coodends cilíndics están dds po t π t z 3t Detemine l velocidd y l celeción p culquie tiempo. Solución: L velocidd y l celeción (en coodends cilíndics se expesn espectivmente en l fom & + & + z& ; e z (&& & ( && & & && z z & ; donde & π ; z& 6t ; && && && z 6 luego + πt + 6t ; e z t π + π e z Poblem. El vecto posición de un ptícul que se mueve lo lgo de un cuv que se desoll en tes dimensiones está ddo po t i t sen 3 cos + j t k en donde π t. Descibi el movimiento en coodends cilíndics. + Solución: L posición, velocidd y l celeción (en coodends cilíndics se expesn en l fom && e + z e z & & e + e + z& e z & ( e + ( + e + & z e z && & & 4

41 Julio Pozo Péez P este cso se tiene t cos i + t sen t ; & 4t ; & 4 πt & πt ; & π 3 z t z& 6t ; & z t Sustituyendo los vloes nteioes se encuent 4( 3 t e + t e z 4t π + e z t t 6t 4 π + π + e z t t Poblem. Ls coodends de un ptícul están dds po x cos( + t / ; y sen( t / ; z t (/ bt Detemine l velocidd, l celeción y sus espectivs mgnitudes en función del tiempo (, y b son constntes Solución: Utilizndo coodends cilíndics se tiene (&& & + z & e z & z& + + e z ( && & & && z e z donde x + y Cte. & & ( / t & ( / ; & z t + ( / bt z& + t ; & z 4

42 Julio Pozo Péez emplzndo se encuent e + ( + ( t / e + e z b z de donde se tiene que sus mgnitudes son bt + bt + + bt ( + bt ( + b / Poblem.3 El movimiento de un ptícul sobe l supeficie de un cilindo cicul está definido po ls elciones ; πt ; z (/ 4 t ; ( es un constnte. Detemine ls mgnitudes de l velocidd y l celeción de l ptícul p culquie instnte t. Solución: Utilizndo coodends cilíndics se tiene (&& & & & z& + + e z ( && & & && z e z donde Cte & & π t & π ; & z ( / 4 t z& ( / t ; & z / emplzndo se encuent π + ( / t ( 4π e z + ( / e z 4

43 Julio Pozo Péez de donde se tiene que sus mgnitudes son π 4π + t / 4 ( / (4 + t 4 6π + / 4 ( / 64π 4 + Poblem.4 Si l tyectoi de un ptícul en coodends esféics está expesd po k ; ( π / cos(ω t ; π ( cos( ω t Detemine l velocidd y l celeción p culquie tiempo t. Solución: L velocidd y l celeción en coodends esféics está dds po & & + & + & sen & (&& & & sen + (& & + && & + (& & sen + & & cos + && sen ϑ sen cos ϑ en este cso k Cte, & & ( π / cos(ω t & πω sen(ω t ; & πω cos(ω t π ( cos( ω t & πω sen( ω t ; & πω cos( ω t emplzndo, p l velocidd se encuent Y p l celeción se obtiene kπ kπω sen( ω t + kπω sen( ω t sen ω + [-kπω [ sen (ω t sen ( ω t sen ] cos(ω t kπ + [ kπ ω sen( ω t sen(ω tcos + kπω ϑ ω sen ( ω t sen cos ] ϑ cos( ω t sen ] 43

44 Julio Pozo Péez Poblem.5 (Coodends móviles El bzo nudo de l figu gi con un pidez ngul constnte ω en el sentido de los punteos del eloj, y en el plno X Y. El bloque se mueve lejándose del oigen del bzo con un velocidd constnte Cte. Cundo y OP l. Detemine p un punto P sobe el bloque. L velocidd. b L celeción. c L velocidd y l celeción si ω [d/s] ; [m/s] ; OP l.5[m]. Y x y P O X Solución: El sistem móvil de coodends se une l bzo nudo de mne que el movimiento del bloque en ese sistem se un tslción pu. L velocidd del punto P sobe el bloque (en genel está dd po & P & + ω + ; ρ P En este cso & puesto que el oigen O está fijo, ω ω ( ; i ; emplzndo en l ecución p l velocidd se tiene ω + ω l k i + P ( i k l i 44

45 Julio Pozo Péez P ω + ω l + i b P detemin l celeción, utilizmos l ecución. & & + ω& + ω ( ω + + ω P Ddo que & & ; ω & ;, entonces l celeción está dd po ω ( ω + ω P P ω l k ( j + ω k i ω l i ω c emplzndo vloes ω [d/s] [m/s] OP l.5[m] se encuent P ω l + l i ( 5.5i [m/s] P + P ω l i ω P (i + 8 [m/s j ] Poblem.6 (Coodends móviles Un ptícul se mueve con un pidez eltiv constnte lo lgo de l peifei de un tubo cicul de dio T, mients el tubo está gindo un velocidd ngul constnte lededo del diámeto, como se muest en l siguiente figu. Detemine l velocidd y l celeción de l ptícul en l posición indicd. y,y Ω O x; X T z, Z 45

46 Julio Pozo Péez Solución: Se considen los dos sistems que se muestn en l figu, el fijo X Y y el móvil xyz. Z Dichos sistems coinciden y los ejes móviles x e y están en el plno del tubo. El eje Y es el eje de otción del tubo. El movimiento del sistem de coodends móvil está ddo po OO d V velocidd linel del oigen móvil fijo & & ; ω Ω Cte ; ω & El movimiento de l ptícul con especto ls coodends móviles, está descito po cos i + T T sen Po ttse de un movimiento cicul & ω donde ω ω ω & ( k ;. se tiene & ω k ( cos i + sen j ( sen i cos ( T T j donde ω T, & & ω & k & ω ( / ( cos î + sen ( T El vlo de l velocidd se puede detemin pti de l ecución dd po fijo V + & + ω eemplzndo ls mgnitudes coespondientes se encuent sen i cos T cos k Ω L celeción se obtiene utilizndo l ecución & & + ω& + ω ( ω + + ω elizndo ls sustituciones coespondientes en l ecución nteio se tiene 46

47 Julio Pozo Péez & & Ω j ( Ω ( cos i + sen j - ( / ( cos î sen ĵ + T T T + Teniendo pesente que + Ω ( sen i cos j i k ; k i ; k i y que el poducto cuz ente dos vectoes es nticonmuttivo, se encuent que l celeción está dd po & ( + / cos î / sen Ω sen k T T Ω ( T Poblem.7 (Coodends móviles El cento del disco de l figu se está moviendo con un velocidd y ued sin desliz con un velocidd ngul ω. Detemine: Ls velociddes de los puntos, B y C. b Ls mgnitudes de ls velociddes de los puntos espectivos si [m] y 4 [m/s]. Y y C ω O B E Solución: O X F x Ddo que el disco gi sin desliz, entonces el punto E de l peifei y el punto F del plno (coincidentes en el instnte en que el disco está en l posición indicd, no se mueven uno con especto l oto, y l velocidd de E eltiv F es ceo, luego el disco tiende gi en tono un punto de contcto, po el cul se debe hce ps un eje instntáneo de otción. 47

48 Julio Pozo Péez Ls velociddes p los puntos espectivos, está dds po & & B & C & + ω & + ω B & + ω C E EB EC Ddo que l velocidd del punto E es ceo, se tien que &, entonces & ω ; E & ω ; B B EB & ω ; C C EC E EB EC b P [m] y 4[m/s] se encuent ω [d/s] con lo cul 4[m/s] B B C [m/s] [m/s] C C B E Poblem.8 Demost que todo cento instntáneo de otción (epesentdo po el punto C de l figu, de velocidd ceo tiene un celeción. y Y ω O x C O X 48

49 Julio Pozo Péez Solución: Utilizndo l expesión genel p l celeción, p el punto C se puede escibi donde luego & i ; & & + ω& + ω ( ω + + ω C ω ω k ; ω& ω& k ; O C ; & C & C i O C i + ω & + O Cω O C i ( + ω & + O Cω ; Ddo que el punto C es el cento instntáneo de otción del disco cundo ued sin desliz, entonces CO i k CO ω ω j ω ω OC CO i deivndo con especto l tiempo se tiene & ω& OC. Sustituyendo en & C O C i ( + ω & + O C ω, se encuent & C C O Cω Poblem.9 Un b de lgo l se mueve sobe un ped veticl, de modo que su extemo se mueve veticlmente con cte. Clcul l velocidd ngul y l velocidd del punto P de l b. ĵ l k î P h O 49

50 Julio Pozo Péez Solución: L velocdd del punto P está dd po p + ω P donde P O hi, de l figu O h tn, luego P h y ω ω k ( i + tn Sustituyendo en l poime ecución, se encunt ω k h + p ( i tn ω hj + ω h tn i o ( ω h + ω h tn i p p Po oto ldo, con yud de l siguiente figu p P ( tmbién se puede escibi cos i + sen p p compndo ls componentes de ests dos últims expesiones se tiene ω h tn cos ω h p p sen 5

51 Julio Pozo Péez de donde se tiene p ω h tn cos y p ω h sen igulndo ls dos últim ecuciones, se obtiene ( + tn ω h ω h cos de donde se encuent que l velocidd ngul de l b está dd po ω cos o ω cos k h h eemplzndo el vlo de ω en b es p ω h tn cos p, se encuent que velocidd del punto P de l sen Poblem. El disco pequeño de dio está solddo l b O (de longitud 3, l cul gi en tono l eje fijo hoizontl O, con velocidd ngul ω y celeción ngul α. Detemine l celeción (con especto un sistem fijo de un ptícul P que ecoe el bode del disco con un pidez constnte eltiv l disco. f f O ω f, α f g c P 5

52 Julio Pozo Péez Solución: Consideemos l siguiente figu O ê ê ê c cos + sen ρ (cos + sen & / ê P ê Con especto un sistem fijo en O, y un sistem móvil en c, se tiene + ρ & & ( ω ρ & CO Ddo que el sistem móvil no gi, ω v e l + ω ρ + ω ω ρ + ; ω & + CO ρ & & e, entonces l e l donde CO (&& & + ( && + & e & De l figu se tiene que 4 Cte. & &, & ω y &&, eemplzndo en l ecución nteio se obtiene Po oto ldo, escibi CO 4ω f + 4α ρ (cos + sen e, po ttse de un movimiento cicul, se puede ρ& (cos e l e + f sen L expesión nteio, tmbién se puede obtene pti de ρ cos y ρ sen, siendo P CO + ρ& (4ω f f α f ρ & ρ&& + & e l l 4ω f + 4α f (cos + sen + cos + (4α f sen e e ρ, donde 5