Sistema diédrico Ortogonal: Introducción

Transcripción

1 El item diédio e un método gáfio que e eng de eeent oe un lno figu o ueo de do o te dimenione. Se tt de un onjunto de egl o iniio lido do lno eendiule oe lo que e oyetn lo ojeto (unto, et, u o ueo). Ete metodo que fue menizdo, deolldo o etudido en 799 o el geómet Gd Monge, onidedo el de de l geometí deiti. FUNDAMENTOS El item diédio tiene omo e fundmentl do lno de oyeión que fomn uto ángulo eto y uto udnte. A eto lno lo llmmo lno Hoizontl (H) y lno Vetil (V), mo e otn en un et llmd Line de tie (LT). Todo lo elemento (unto, it, ueo) e eeentn medinte u do oyeione. L oyeione on Cilíndi: todo lo yo oyetnte on lelo ente í. L oyeione on otogonle: lo yo oyetnte fomn ieme 90º eeto lo lno de oyeión º udnte ' V e udnte H V ' H ' V ' V e udnte 4º udnte H H ode eeent el diedo en do dimenione, e dei oe un lno, el lno oizontl de oyeión e te oe el etil, undo omo nel (eje de gio) l line de tie, llendo on el tod u oyeione de lo elemento en el eio. (e lo uto diujo i) COORDENADAS itu lo unto e emlen l oodend. imeo etudiemo lo nome de l ditint oodend: L ltelidd: (x) e l ituión (dee o izquied) del unto eeto l line de tie. El Alejmiento: (y) e l ditni exitente ente el unto y el lno etil. L Cot: (z) e l ditni exitente ente el unto y el lno oizontl (l ltu). Aí, un unto ieme e itu de l iguiente mne (x,y,z), o lo que e lo mimo (ltelidd, lejmiento, ot). o ejemlo: ( -,,4). NOMENCLATURAS nom lo unto en el eio umo l let myúul nom l oyeione oizontle umo let minúul: nom l oyeione etile umo let minúul eguid de ' :'. Ete e el item de nomenltu que umo en el lente eñol en ono l ofeo de geometí Don Enique Bonet. En ot zon, u ejeiio e emlen el (, ), o el (', "), o et mim eo on let myúul l oyeione. De ulquie modo ieme l nomenltu de l oyeione etile uele tene "myo g". ' ot V ltelidd lejmiento H ot lejmiento ' V ltelidd H Sitem diédio Otogonl: Intoduión SDO_Rd ágin: de

2 Un unto en item diédio otogonl e eeent medinte u oyeione: etil y oizontl. L do oyeione ieme etán lined en un eendiul l LT. L ot e l ditni ente el unto y el lno oizontl de oyeión (en oyeione l ditni ente l oyeion etil y l LT). El lejmiento e l ditni ente el unto y el lno etil de oyeión (en oyeione e l ditni ente l oyeión oizontl y l LT). f' F f' d' d' C ' e' ' B A ' D d E e f ' ' ' e' e d f Aunque no e lo má uul, lgun ee, enontmo unto en udnte difeente l imeo. En eto o, deido l timiento del lno oizontl oe el etil, enontemo l oyeione etile jo l line de tie y l oizontle o enim de ell. Eto unto menudo lo enontmo omo tz de et l ule on neei eigu ode enont un lno. i H g' G g ' j e CUADRANTE e CUADRANTE i g' º CUADRANTE ' I i' j' J g i' j 4º CUADRANTE LOS LANOS BISECTORES: Son do lno que diiden lo udnte en do mitde igule. Amo e otn en LT y fomn 90º ente ello, y 45º on V y H. Aí enontemo 8 otnte. El ime ieto diide el ime y tee udnte, mient que el egundo ieto diide el egundo y uto udnte. Culquie unto que e enuente en lo ietoe tendá lo mimo loe (oluto) de ot que de lejmiento. BISECTOR 4 Otnte 5 Otnte 6 Otnte j' Otnte BISECTOR Otnte Otnte 8 Otnte 7 Otnte Sitem diédio Otogonl: Alfeto del unto SDO_Rd ágin: de

3 En ete "lfeto" e ueden oe todo lo tio de et que odemo enont en el item diédio. Tod etán eeentd on un eeti lle (izq.) y junto ell l eeentión en diédio (d.). En diédio, un et e eeent medinte u oyeione oizontl y etil. RECTA OBLICUA O CUALQUIERA ' ' R ' ' ' ' RECTA HORIZONTAL (lel l lno oizontl) RECTA FRONTAL (lel l lno etil) ' S ' t' T ' t t' t ' RECTA ARALELA A LT u' A l izquied e uede oe un et lel l line de tie l ul no tiene tz. u' U u u Ajo l et etil y oizontl l ule ólo tienen un tz oe uno de lo lno de oyeión. RECTA DE UNTA RECTA VERTICAL m' ' m M ' m' m n' ' N n n' n ' RECTA DE ERFIL ' '' A l izquied e enuent l et de efil, l má tiul de tod. ' ' ' '' B '' '' ' ' '' '' Deido u oiion elti eeto lo lno de oyeión no e uede oe oetmente on olo do it. Et iuntni e neeio un lno de efil oe el ul e oyet un tee it de l et que emite oe u inlinión eeto V y H. Sitem diédio Otogonl: Alfeto de l et SDO_Rd ágin: de

4 En geometí deiti un et e uede defini de do fom: º- Do unto deien un et. º- L inteeión de do lno tmién define un et. Un unto etenee un et i m oyeione del unto etán oe m oyeione de l et. ' A l izquied oemo un eie de ' V unto, en myuul (en el eio, oe l ' et), Tmién emo u oyeione ' ' A oe l oyeione de l et. ' A l dee emo el mimo ' B diujo, et ez eeentdo ' en item diédio. ' C Vemo omo lo unto eteneiente l et tienen u oyeione oe l oyeione omómim ' H ( on el mimo nome, etil u oizontl) de l et. LAS TRAZAS DE UNA RECTA L tz de un et on lo unto de l et que otn lo lno de oyeión. Un et uede tene do tz: L tz oizontl H ('), e el unto en que l et ot el lno oizontl de oyeión. L tz etil V ( ') e el unto en que l et ot el lno etil de oyeión. RECTA HORIZONTAL RECTA FRONTAL RECTA ARALELA A LT No tod l et tienen do tz, un et uede ' tene olo un tz i e lel lgún lno de ' oyeión o ningun i e lel mo. ENCONTRAR LAS TRAZAS DE UNA RECTA Mu ee no enontemo on egmento que no e otn on lo ' lno de oyeión eo, o neeidde del ejeiio, neeitemo ' enont l tz de l et l ul etenee el egmento. º- olongemo m oyeione t enont l line de tie. L olongemo dede mo extemo. ' ' º- Dede eo unto de ote on l LT tzemo eendiule LT t que oten l ot oyeione. Lo unto de ote on l line de tie y de l eendiul on l ot oyeión on l tz de l et. ' V ' ' ' ' El unto de l et on ot 0 e l tz oizontl, H(, ). Mient que el unto de l et on lejmiento 0 e l tz etil de l et, V (, ). Amo unto, omo todo en diédio, tienen do oyeione. A l izquied e uede oe todo eto eeentdo en eeti lle. ' ' ' A H B Sitem diédio Otogonl: unto eteneiente et. Tz de un et SDO_R4d ágin: 4 de

5 Un et eá iile ieme y undo e enuente en el ime udnte. Cundo l et e enuent en lo demá udnte (º,º y 4º) e eeent on tzo diontinuo A l izquied oemo un et olíu o ulquie. Cundo ' l et uz lo lno de oyeión l º y 4º udnte, et qued eeentd on tzo diontinuo. A l dee emo el mimo diujo eeentdo en item diédio. Vemo omo ti de l tz l oyeione e eeentn on tzdo diontinuo. RECTA HORIZONTAL RECTA DE ERFIL RECTA ARALELA A LT ' H ' ' ' Un et odí o un olo udnte (ete e el o de l line lel l LT), o do ' () udnte (uede on l et de ' unt etil y de unt oizontl, () oizontl o fontl) y o te ' udnte (et olíu, omo en l ilutión de i, o tmién l et de efil). ESTUDIO DE VISIBILIDAD DE UNA RECTA El etudio de iiilidd de un et en diédio onite en detemin l te de l oyeione oult t lo lno de oyeión (eeentándol diontinu) y l iile (ontinu) demá de detemin u tz y de ete modo o qué udnte tnue l et. ' V ' R HACER UN ESTUDIO DE LA VISIBILIDAD DE LA RECTA QUE CONTIENE AL SEGMENTO AB º- Deemo enont l tz de l et. De ete modo deteminmo l te de l et (u oyeione) que o el ime udnte y l inteeione on el lno etil y oizontl; í omo tmién odemo eeent l te it y oult on tzo ontinuo o diontinuo. Con ete ime o odemo et eguo de que el egmento H(,') V(,') e enuent en el ime udnte. xx' e ieto º- A ti de quí deemo detemin o qué 4º udnte e udnte º udnte oto udnte l et undo uz lo º ieto H V lno de oyeión. OBSERVANDO: ' V - A l izquied de ' l oyeión etil de l et e enuent jo l LT o lo tnto l ot en et te de l et on negti, mient l ' oyeión oizontl e mntiene tmién jo l LT. Eto imli: Cot B negti y lejmiento oitio = 4º CUADRANTE - A l dee de ' l oyeión etil e mntiene oe l LT lo ul ignifi que l ot on oiti mient que l oyeión oizontl de l ' A et e itu oe LT o lo que lo lejmiento en ete o on negtio. Conluyendo de nueo: Cot oiti y lejmiento negtio = º udnte. - Lo unto ' y xx' on unto donde el lo oluto (el númeo, in igno) e igul, o lo que on unto donde l et tie lo lno ietoe. t' t T ': ot oiti, lejmiento oitio= ot l ime ieto. xx': ot negti, lejmiento oitio = ot l egundo ieto. ' yº yº ' ' xº xº ' ' Sitem diédio Otogonl: Etudio de iiilidd de l et SDO_R5d ágin: 5 de

6 TERCERA ROYECCIÓN DE UN UNTO Si ien en item diédio ontmo on l oyeión etil y l oyeión oizontl omo l it inile y neei del item, en lguno o odemo neeit oe lo elemento (inilmente et y lno) en un tee oyeión uxili. En ime lug mo etudi l tee oyeión on un unto genéio en el e udnte: L oeión onite en tz un lno de efil, '' odemo elo en l ltelidd que má no oneng, l izquied o l dee. En l ' '' myoí de lo o no oniene tlo ode tene l zon de l oyeione oizontl y etil deejd. '' ' - Un ez emo tzdo el lno de efil oyetmo oe ete, otogonlmente, el unto (ete quedá l mim ot). - elo deemo oyet oe el lno de efil l oyeión oizontl y l etil. - Finlmente timo el. de efil oe el H de oyeión emlendo omo nel (eje de gio) l tz etil del lno de efil. V H V H L meáni ieme e l mim. Hy que nde on ojo undo el unto oyet en tee oyeión mi de udnte, ue unque l método no mi i que mi l dioiión y el entido del timiento. Vemo jo que uede undo emo l tee oyeión de un unto en el tee udnte. ' ' ' Como e oe l izquied el o, que eeent el timiento º CUAD ER CUAD del lno de efil, en ete o e enuent oe l line de tie y l izquied del lno de efil. Eto e dee que el timiento ieme fet l lejmiento y no l ot, que emnee l e el timiento del lno de efil oe el lno Vetil de oyeión. e 4º CUAD Como e oen en mo unto (e udnte i y e CUAD udnte l izquied) l tz de lno de efil uxili yudn '' ' e el unto omo i etuiemo oendo el item, oimente dio, de efil. oe un et en tee oyeión deeemo de lle l tee oyeión do unto eteneiente et. En elidd l úni et que, en i mim, neeitn de un tee oyeión en el item diédio on l et de efil, que o u ntulez no e ueden oe ien en l do oyeione má onenionle (H y V). ' q' q' q'' q' ' ' ' ' ' '' ' q q q ' '' q'' '' '' '' º- Tzmo el lno de efil uxili, oyetmo lo do unto en el y lo timo oe el etil, de ete modo y oemo l tee oyeione de mo unto. º-Tzmo l et ", í odemo oe u inlinión eeto mo lno de oyeión e inluo oe u tz etil y oizontl que odemo lle l do oyeione oiente. ' '' '' A l dee oemo omo e lledo o el mimo oedimiento de l ilutione i de et line, eo en ete o tzndo el lno uxili de efil de modo que ontiene l oi et de efil eto uede o eio y en lguno o e onejle, eo en muo oto, l myoí de lo olem, uele e má indido l tee oyeión un ldo que no e onfund on el eto del olem. q' ' q ' ' q'' '' '' '' Sitem diédio Otogonl: Tee oyeión del unto y l et SDO_R6d ágin: 6 de

7 Un lno e eeent medinte u tz. L tz de un lno on l et inteeión del lno on lo lno de oyeión. Mient l unto en el eio le dámo nome on un let myúul y u oyeione on l minúul y minúul im, A(,'), un lno lo nomemo ieme on myúul, ('). LANO OBLICUO O CUALQUIERA En ete "lfeto" e ueden oe todo lo tio de lno que odemo enont en el item diédio. Todo etán eeentdo on un eeti lle (izq.) y junto ell l eeentión en diédio (d.). A l izquied emo el tio de lno má omún. LANO HORIZONTAL (lelo l lno oizontl) Q LANO FRONTAL (lelo l lno etil) ' O LANO ROYECTANTE VERTICAL O DE CANTO L' LANO ROYECTANTE HORIZONTAL N' L N Ajo l izquied odemo oe un lno de efil uy tz fomn un line eendiul LT. Ete tio de lno e, má que nd, muy útil eeent unto, et, lno y ueo on un tee oyeión. LANO DE ERFIL K' K Ajo do lno: "lelo l LT" y que "ontiene LT" Deido u oiión elti eeto lo lno de oyeión no e uede oe, u oe on ello, oetmente on olo do oyeione. Et iuntni e neeio un lno de efil oe el ul e ot ooionndo un tee it del lno que emite oe u inlinión eeto V y H. Lo lno que ontienen l LT e eeentn on un unto ontenido en el un tzo d ldo de l line de efeeni que une l oyeione. Eto lno tmién on muy uetile de e eeentdo en tee oyeión. LANO ARALELO A LT Y' LANO QUE CONTIENEA LT Y'' ' W' W W'' Y Sitem diédio Otogonl: Alfeto del lno SDO_R7d ágin: 7 de

8 En Geometí deiti un lno uede e definido o ditinto dto: - Te unto no linedo. (Te unto deien un tiángulo y ulquie olígono etá ieme ontenido en un olo lno.) - Un et y un unto no eteneiente ell. - Do et que e otn. 4- Do et lel. OTRAS NOCIONES A TENER EN CUENTA: Un unto etenee un lno undo odemo ontenelo en un et eteneiente l lno. Un et etenee un lno i u tz (que on do unto) etán ontenid en l tz del lno (que on do et). NORMALMENTE, ARA DIBUJAR UN LANO A ARTIR DE OTROS DATOS HABRÁ QUE BUSCAR DOS RECTAS Y SUS TRAZAS. CASO : Te unto no linedo definen un lno: Neeitemo l meno te de l uto tz de do et que en o do de lo te unto. Tz el lno que ontiene lo unto, y. ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' - Tzmo l oyeione de l et y llmo u tz y. - Tzmo l oyeione de l et y llmo u tz y. - Unimo l ( tz oizontle) de m et y l (tz etile). CASO Y : Un et y un unto no eteneiente et o do et que e otn. Se tt en elidd del mimo o que el imeo, y que odemo elegi do unto eteneiente l et que delimitn el tee egmento de un tiángulo uyo étie on eto do extemo del egmento y el oto unto no eteneiente l et. Diuj l tz del lno que ontiene l unto y l et. ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' - Hllmo l tz de l et. o á l tz oizontl del lno y o ' l etil. - Elegimo un unto B(,') oe R y tzmo un et, S, que o A y o B. Hllmo l tz de S. - De l et R y S deemo l meno e otenido te de u tz (do oizontle y un etil o iee), de ete modo y odemo detemin l tz del lno udo, y que emo que l inteeión de l line de tie on ulquie tz de un lno e tmién un unto eteneiente l ot tz. *- En el o de que on lo o do y no uiemo enontdo l tz de et ufiiente itu l del lno elegiemo má unto eteneiente R y tzemo má et dede el unto A o eo unto otene nue tz de et eteneiente l lno. Sitem diédio Otogonl: EL LANO unto y et eteneiente lno. SDO_R8d ágin: 8 de

9 CASO 4: Do et lel definen un lno Se tt en elidd del mimo o que el imeo, y que odemo elegi do unto eteneiente l et que delimitn el tee egmento de un tiángulo uyo étie on eto do extemo del egmento y el oto unto, no eteneiente l et. Detemin l tz del lno que ontiene l et R y S. ' ' ' ' ' ' ' ' ' - Hllmo l tz de l et R. - Hllmo l tz de l et S. - Unimo l ( oyeione oizontle de l tz oizontle de l et) de m et y l (oyeione etile de l tz etile de l et). Tz l tz del lno que ontiene l et y. En ete o m et on lel LT ' -Tzmo un lno de efil que ot tod l oyeione de m et. Atiendo ete y u inteeione on l do et odemo iuliz mejo el lno que umo. - Reeentmo l et oe el lno de efil tido et tee oyeión eán lo unto y. - Tzmo l et que une on. Etá eeent l lno udo de efil. El unto eeent u tz etil y el unto l oizontl. " 4º- o tzmo un ' " " et oizontl que eá l " 4 ' " ' " ' " tz oizontl detid,. " " " Llemo, on el omá, " l ditni del lejmiento " de oe el lno de efil iniil y ti de et ditni tzmo un oizontl que eá l tz oizontl detid. ASAR LANOS ROYECTANTES OR RECTAS. L myoí de olem en item diédio equieen ontene et en lno, e et o unto o lno o unto. Si neeitmo ontene un et en un lno o un unto en un lno lo lno oyetnte no ien ete fin de mne áid y limi. Tz un lno oyetnte etil u oizontl que onteng un et ulquie Lo lno oyetnte eien di denominión oque todo lo que ontienen qued oyetdo en l tz oyetnte. o ejemlo: todo lo unto, et y figu ln ontenid en un lno oyetnte etil e oyetán oe u tz etil, l ot tz e ieme eendiul l LT. Dio eto, e enillo tz lno lno oyetnte que ontengn et olíu iendo oinidi un de l oyeione de l et on l tz omónim del lno. Dio eto, e enillo lno oyetnte ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' Sitem diédio Otogonl: EL LANO unto y et eteneiente lno. SDO_R9d ágin: 9 de

10 CONTENER RECTAS HORIZONTALES Y FRONTALES EN LANOS. L myoí de olem en item diédio equieen ontene et en lno, e et o unto o lno o unto. Si neeitmo ontene un et en un lno el tio de et idoneo ello on l et oizontle y l fontle. Et en l myoí de oione ien nueto oóito dento del olem y e ontienen en lo lno de fom limi y áid. Contene un et oizontl en un lno olíuo ' ' ' ' ' ' ' ' ' º- Tzmo l oyeión etil de l et R,, (i no iden lgun ot tiul lo emo e ditni de LT). Et oyeión en ete tio de et e ieme lel LT, oizontl. º- En l inteeión de ' on ' e enuent ' (tz etil de l et R) tzmo o ' un eendiul LT t otl, en et inteeión e enuent (oyeión oizontl de l tz etil de l et R). º- o tzmo un lel (tz oizontl del lno). Contene un et fontl en un lno olíuo ' ' ' ' ' ' ' º- Tzmo l oyeión oizontl de l et R,, (i no iden lgún lejmiento tiul lo emo e ditni de LT). Et oyeión en ete tio de et e ieme lel LT, oizontl. º- En l inteeión de on e enuent (oyeión oizontl de l tz oizontl de l et), tzmo o un eendiul LT t otl, en et inteeión e enuent ' (oyeión etil de l tz oizontl de l et R). º- o ' tzmo un lel ' (tz etil del lno). ALICACIONES O ROBLEMAS BÁSICOS Hll l oyeión oizontl del unto A, del ul onoemo u oyeión etil ', eteneiente l lno. º- Tzmo un et oizontl uy tz etil o '. º-Tzmo un eendiul LT o ', donde et ot l oyeión oizontl de l et enontmo. ' ' ' ' ' Hll l tz etil ' del lno, del ul onoemo u tz oizontl y que ontiene l unto A(',) ' º- Tzmo un et fontl ' ' uy tz oizontl o ' A(, ). ' ' A ti de ' (oyeión etil de l tz oizontl de l et) tzmo l oyeión etil de l et o '. º- Tzmo un lel l oyeión etil de l et, ti de l inteeión de l tz oizontl del lno on LT. ' ' ' Sitem diédio Otogonl: EL LANO Contene et oizontle y fontle en lno SDO_R0d ágin: 0 de

11 OLíGONOS CONTENIDOS EN LANOS que un olígono ete ontenido en un lno todo u étie deeán et ontenido en el lno. demot o omo que un olígono etenee en u totlidd un lno neeitmo o lo étie del olígono et ontenid en el lno, eo e enillo i emlemo et oizontle o fontle. ' Un ejeiio áio muy omún e: Dd l oyeión oizontl de un olígono y l tz del lno l que etenee ll l oyeión etil del olígono. º- o uno de lo étie del olígono tzmo un et fontl ontenid en el lno (en ete ejeiio emo udo un et fontl, eo eto e lo mimo que i uiemo do o el unto un oizontl). LLemo el unto l oyeión oizontl. º- Reetimo l oeión on el eto de étie. Un ez lldo oyeión oizontl todo lo étie y odemo tz l oyeión del olígono omleto. ' ' Ot oión igulmente álid ' ' eole ete olem eí olong lo egmento que fomn el olígono ddo ' ' ' ' y l LT. t ot l tz etil del lno ' Eto no emite detemin m tz de l et que ontiene l ldo del olígono y o lo tnto detemin l oyeión oizontl de l mim y í l oyeión oizontl del olígono. eo eto en oione uede eult imoile l enonte l tzd de di et fue de lo límite del el. Dd l oyeión etil de un olígono y l tz del lno lelo LT l que etenee ll l oyeión etil del olígono. En el o emo tzdo l tee oyeión de. En el egundo o emo lledo el olígono l lno en tee oyeión y emo lledo el lejmiento l oyeión oizontl. A l dee emo el mimo eultdo eo onteniendo lo ldo en et, tzndo l oyeione oizontle de et y jndo lo unto oe et. ' ' ' ' ' ' ' ' " ' ' ' ' " " " " ' ' ' ' RECTA DE MÁXIMA ENDIENTE DE UN LANO E un et eteneiente l lno que fom el máximo ángulo oile on H. En ete o l et e eendiul l tz oizontl del lno. Un lno tiene infinit et de máxim endiente RECTA DE MÁXIMA INCLINACIÓN DE UN LANO ' ' ' ' E un et eteneiente l lno que fom el máximo ángulo oile on V. En ete o l et e eendiul l tz etil del lno. Un lno tiene infinit et de máxim inlinión. Sitem diédio Otogonl: EL LANO olígono ontenido en lno Ret de máxim inlinión y de máxim endiente SDO_Rd ágin: de